4.2由平行线截得的比例线段 浙教版初中数学九年级上册同步练习（含详细答案解析）

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4.2由平行线截得的比例线段 浙教版初中数学九年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在中，点，分别在边，上，已知，，则的长是 ( )
A. B. C. D.
2.如图，已知，，，那么下列结论正确的是( )
A. ：： B. ：：
C. ：： D. ：：
3.如图，，若，，，则的长是 ( )
A. B. C. D.
4.已知正方形的边长为，延长到点，使，取的中点，连接、，与的延长线相交于点，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，在中，，，把绕点逆时针旋转得到，点与点对应，点恰好落在上，过作交的延长线于点，连接并延长交于点，连接交于点下列结论：其中正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6.如图，已知，，，则的长为 ( )
A. B. C. D.
7.如图，正方形中，，分别在边，上，，相交于点，若，，则的值是( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，五线谱由五条等距离的平行横线组成，同一条直线上的三个点，，都在横线上，若线段，则线段的长是( )
A. B. C. D.
9.如图，已知中，，若，，，则的长是( )
A. B. C. D.
10.如图，直线交坐标轴于点，，交反比例函数于点，，若，则的值为( )
A. B. C. D.
11.小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图的七巧板，设计拼成图的“奔跑者”形象来激励自己．已知图正方形纸片的边长为，图中，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即，之间的距离是( )
A. B. C. D.
12.如图，，若，，，则的长是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，矩形的对角线相交于点，，，点在对角线上，是的中点，的最小值是________．
14.如图，在正方形，点，在射线上，，则最大值是____．
15.如图，在中，点，分别在，边上，，若，，则 ______．
16.如图，在中，点，在边，上，，，联结，设向量，，那么用，表示 ______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在的方格纸中，点，，都在格点上，按要求画图：
在图中找一个格点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．
在图中仅用无刻度的直尺，把线段三等分保留画图痕迹，不写画法．
18.本小题分
学习相似三角形后，曾老师开展了一节探索黄金分割之旅的活动课．
【背景资料】黄金分割是一种数学上的比例关系如图，点把线段分成和两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点，叫做黄金分割比黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，在人体、建筑、美学等很多方面都有广泛应用，蕴藏着丰富的美学价值几何图形中的黄金分割，造就了图形不一样的美如图和图，都是黄金三角形腰与底的比或底与腰的比等于黄金比如图，矩形是黄金矩形宽与长的比等于黄金比．
【知识探究】直角三角形中的黄金分割
活动一：如图，在中，，是边上的高以为边，作 ，使得点，分别落在边，上要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
活动二：在活动一的条件下，若，求证：点是线段的黄金分割点．
19.本小题分
如图，已知一次函数、为常数，的图象与轴，轴分别交于点，，且与反比例函数为常数，的图象在第二象限内交于点，作轴于，若．
求一次函数与反比例函数的解析式；
观察图象直接写出不等式的解集；
在轴上是否存在点，使得是以为一腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．
20.本小题分
如图，在菱形中，，为对角线，点是边延长线上的任意一点，连结交于点，平分交于点．
求证；
若，．
求菱形的面积；
求的值．
21.本小题分
如图，在中，，，，是中点，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动．设运动时间为秒，点到直线的距离与点到点的距离之和记为．
请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质；
结合函数图象，直接写出的图象与函数的图象有两个公共点时的取值范围．
22.本小题分
如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于点，点为直线上位于点右侧的一点，且，过点作轴，垂足为，交反比例函数的图像于点．
求反比例函数的解析式
试判断的形状．
23.本小题分
已知是的中线，是线段上一点，过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线交于点，连接．
如图，当点与点重合时，求证：≌．
如图，当点与点不重合时，求证：四边形是平行四边形．
如图，记与的交点为，的延长线与的交点为，且为的中点．
求的值；
若，，求的长．
24.本小题分
如圖，已知，，，，求的長度．
25.本小题分
图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，点，，，，均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
在图中，作以点为对称中心的；
在图中，作四边形的边上的高；
在图中，在四边形的边上找一点，连接，使．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了平行线中分线段成比例的性质，属于基础题．
根据此性质可得，进而可以求解．
【解答】
解：，
，
，
，
故选B．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平行线分线段成比例定理、比例的性质；由平行线分线段成比例定理得出是解决问题的关键．
由平行线分线段成比例定理得出，由比例的性质得出，即可得出结论．
【解答】
解：，
，
，
：：；
故选B．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是平行线分线段成比例定理．
先根据平行线分线段成比例定理列出比例式，求出，再由求解即可．
【解答】
解：，
，
，，，
，
，
故选：．
4.【答案】
【解析】解：过点作，交于点，连接，
，
是的中位线，
为的中点，
是的中点，
是的中位线，
，
正方形的边长为，，
，，
，，
，，
，
故选：．
过点作，交于点，连接，根据平行线等分线段定理的推论证得，在中，根据勾股定理可求出，，再在中根据勾股定理即可求出．
此题主要考查了正方形的性质，勾股定理应用等知识，平行线等分线段定理的推论，根据平行线等分线段定理的推论证得是解题关键．
5.【答案】
【解析】【分析】
连接，可证四边形是矩形，，即可判断根据的结论可推出垂直平分，可得是等腰直角三角形，从而可判断；取的中点，连接并延长交于，设，根据等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，平行线等分线段定理，三角形的中位线定理用含的代数式表示、、、、即可解答．
本题综合考查了短形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，平行线等分线段定理，三角形的中位线定理等知识点，综合性较强，
基础．
【解答】
解：连接，，如图所示，取的中点，连接并延长交于，
，，
由题意得：
，，
．
，
四边形是矩形，
，，
．
，，
．
．
点是的中点
即：，故正确
．，，
．
．
同理可证
，故正确
，
垂直平分
是等腰直角三角形
，
，故正确
是的中点，，
，，
四边形是矩形，
，，，是中点，
，是中点，
，
是中点，
，
，
，
，
，
，
，故正确
综上所述正确的有有个．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例解答．
【解答】
解：，
，
，，
，
解得：．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】本题考查的知识点是正方形的性质，平行线分线段成比例，如图作，交于，交于设，则，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【解答】
解：因为四边形是正方形，所以．
如图，过点作 交于点．
所以四边形是平行四边形．
因为 ，所以四边形是矩形．
因为，设，则，，．
因为，，所以，
所以
因为，所以 ．
故选C．
8.【答案】
【解析】【分析】
过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
【解答】
解：过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，
则，即，
解得：，
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查平行线分线段成比例有关知识，根据平行线分线段成比例可得，求出，再利用计算．
【解答】
解：，
，
即，
解得：，
．
故选B．
10.【答案】
【解析】【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，平行线分线段成比例，一元二次方程根与系数的关系，先根据，可得，过点作轴的垂线，垂足分别为，可得，根据，联立直线与反比例函数解析式，根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
【详解】解：
如图所示，过点作轴的垂线，垂足分别为，
，即
设的横坐标为
联立
即
解得：
故选：．

11.【答案】
【解析】【分析】过点作于点，过点作于点，由七巧板的特点可得，，都是等腰直角三角形，，，，与之间的距离为，由，得出，由平行线分线段成比例定理的推论求出的长度，进而即可得出答案．
【解答】解：如图，过点作于点，过点作于点，
由题意得，，都是等腰直角三角形，，，，与之间的距离为，
，
，
，，
， ，
，，
，
，
，
与之间的距离，
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入求出，根据求出答案．
【解答】
解：，
，
，，，
，
．
13.【答案】
【解析】取的中点和的中点，先证明在上，过点作于，过作于交于得矩形，得，再根据矩形的对角线相交于点，，，证明是等边三角形，利用等腰三角形的性质得，
根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半得，最后根据平行线分线段乘比例得是中点，，然后根据垂线段最短可知当和重合时最小即可解答．
此题重点考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
【解答】
解：取、的中点、，
，
是的中点，
，
、、三点共线，
过点作于，过作于交于得矩形，
，
矩形的对角线相交于点，，，
，，，
，
是等边三角形，
，
，
是中点，，
，
根据垂线段最短可知当和重合时最小，最小值为．
故答案为．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平行线分线段成比例，二次函数与不等式组，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的最值．
过点作交于点，过点作于点，设，正方形边长为，证，由平行线分线段成比例定理得出，，得出，即可解答．
【解答】
解：过点作交于点，过点作于点，
设，正方形边长为
由于
，
在和中
则，
则，
即
有
得出，
则
整理得
不等式两边同除以得
令
则
，则最大值为．
15.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
故答案为：．
根据题意知两平行线间的线段成比例式，进而解答即可．
本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例的性质是本题的关键．
16.【答案】
【解析】解：在中，，，则．
，，
．
．
，即．
故答案为：．
由三角形法则求得的值；然后结合平行线截线段成比例求得线段的长度，继而求得向量的值．
本题主要考查了平面向量和平行线截线段成比例．注意：平面向量既有大小又有方向．
17.【答案】解：画出图形如图所示；
如图所示．

【解析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
画出图形即可；
根据平行线分线段成比例定理画出图形即可．
18.【答案】解：如图所示，四边形是所求作的平行四边形．
在 中，，
是菱形，
，，，
，，
，，
．
是边上的高，
，
，
．
，
点是线段的黄金分割点．
【解析】此题考查了平行四边形的性质、黄金分割等知识；关键是根据题意画出图形，注意黄金分割线的灵活运用．
首先作可得，再在上截取即可得到四边形是平行四边形；
首先证明 是菱形，并根据平行线分线段比例定理证明，再证明，可得，从而得到，即可证明点是线段的黄金分割点．
19.【答案】解：，，
，，，
，
，
，，，
把、两点的坐标分别代入可得，解得，
一次函数解析式为，
反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的解析式为；
；
存在，满足条件的点，其坐标为或或．
【解析】见答案；
解：由题意可知所求不等式的解集即为直线在轴上方且在反比例函数图象下方的图象所对应的自变量的取值范围，
即线段包含点，不包含点所对应的自变量的取值范围，
，
的解集为；
解：，，
，
是以为一腰的等腰三角形，
有或两种情况，
当时，即，
，或，
点坐标为或；
当时，则点在线段的垂直平分线上，
线段的中点坐标为，
点坐标为；
综上可知存在满足条件的点，其坐标为或或．
本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线分线段成比例、函数与不等式、等腰三角形的性质、数形结合及分类讨论思想等知识．在中求得、、的坐标是解题的关键，在中注意利用数形结合思想，在中确定出的两种情况是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强．
由平行线分线段成比例可求得的长，则可求得、、的坐标，再利用待定系数法可求得函数解析式；
由题意可知所求不等式的解集即为直线在轴上方且在反比例函数图象下方的图象所对应的自变量的取值范围，结合函数图象可求得答案；
由、的坐标可求得的长，当时，则可求得点坐标，当时，可知点在线段的垂直平分线上，则可求得的中点坐标，进而求得点坐标．
20.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
，
≌，
，
，
．
解：如图，连结交于点，交于点，
，
，
，，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】本题考查了菱形的性质、平行线的判定、平行线分线段成比例定理、勾股定理，锐角三角函数定义有关知识
由菱形的性质得，，可证明≌，得，而，所以；
连结交于点，交于点，由，，，根据勾股定理可求得，则，即可由求出菱形的面积；
先由证明，则，所以，再由得，则，即可由，得，可求得，所以，再求出的值即可．
21.【答案】解：如图
，，，
，
是中点，
，
过作于，过点分别作于，于，
四边形是矩形，
，
，
，，
，，
当时，点在上，
，
，
，
，
，
；
当时，点在上，
如图
，
，
关于的函数表达式为；
由令得，得，
由令得，得，
函数图像如下：
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大．
当的图象过点时，，
，
当的图象过点时，
，
当的图象过点时，，
，
时，的图象与的图象有两个公共点．
【解析】本题考查分段函数，平行线分线段成比例定理，勾股定理．
分当时，点在上，当时，点在上，两种情况求解即可；
通过描点，连线可画出图形，写出一条性质即可；
根据图象可直接求解．
22.【答案】解：正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于点，
把代入，
得：，
解得：，
把代入，
得：，
解得：，
反比例函数的解析式为；
过点作轴于，
则，，，
轴，
，
，
，
，
，
解得：，，
，
设，
把代入，
得，，
，，
，即是等腰三角形．
【解析】把代入，可求出的值，确定点的坐标，进而求出反比例函数的关系式；
过点作轴于，则，确定出，坐标，可得，即可得出结论．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征，平行线分线段成比例，待定系数法求反比例函数解析式，图象上点的坐标适合解析式是关键．
23.【答案】证明：由已知得：，，
，，
是的中线，
，
≌；
证明：延长交于点，
，是的中线，
，
，
，，
，，
≌，
，
，
四边形是平行四边形；
解：连接，
，，
，，
，
四边形是平行四边形，
，

，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
为的中点，
≌，
，
．

【解析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形，平行线分线段成比例定理的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理．
根据题意，得，，根据平行线的性质，得，，再根据是的中线，全等三角形的判定，即可；
延长交于点，根据是的中线，，得，根据，，得，，根据全等三角形的判定，，再根据平行四边形的判定，即可；
连接，根据，，得，；根据四边形是平行四边形，得，根据等量代换得，，即可；
根据，，得，根据，求出，根据四边形是平行四边形，得，根据平行四边形的判定，得四边形是平行四边形，得，根据，即可．
24.【答案】解：，，
，
，
，
，
解得
【解析】本题主要考查的是平行线分线段成比例的有关知识，先求出，然后利用平行线分线段成比例求解即可．
25.【答案】【小题】
解：如图，即为所求；
【小题】
如图，高即为所求；
【小题】
如图，点即为所求．

【解析】
利用网格特征连接，并延长，即可作以点为对称中心的；

取格点，连接交于点，即可作四边形的边上的高；

取格点，，，连接，，，与相交于点，连接并延长交于点即可．
点评：本题解题要充分利用网格特点，灵活运用所学过的三角形的面积、平行线分线段成比例定理等知识解决问题．
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