4.3相似三角形 浙教版初中数学九年级上册同步练习（含详细答案解析）

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4.3相似三角形浙教版初中数学九年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若两个相似三角形的周长的比为，则这两个三角形对应边的比是( )
A. B. C. D.
2.∽，相似比为，若，则的长是( )
A. B. C. D.
3.如图，点为正方形的中心，，平分交于点，延长到点，使，连接交的延长线于点，连接交于点，连接下列结论中错误的是( )
A. B. ：
C. D.
4.如图，已知，，若的长度为，则的长度为
A. B. C. D.
5.如图，已知点，点，点是第一象限内的动点，且点的纵坐标为，若和相似，则符合条件的点个数是( )
A. B. C. D.
6.已知∽，与面积之比为：当，对应边的长是
A. B. C. D.
7.如图，在正方形中，，点是边上一点，点是延长线上一点，，连接、、，与对角线相交于点，与相交于点，连接，，则下列结论：；；；正确的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8.已知∽，：若，则 的长为 ( )
A. B. C. D.
9.三角形的三邊長之比爲，與它相似的一個三角形的最長邊的長爲，則其餘兩邊長的和爲( )
A. B. C. D.
10.两个相似三角形对应边上的高之比为，则它们的面积比为( )
A. B. C. D.
11.两个相似三角形一组对应边上的中线长分别是和，且其中较大三角形的周长为，则较小三角形的周长为( )
A. B. C. D.
12.若两个相似三角形周长的比为：，则这两个三角形对应边的比是( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图所示为我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形现将向左平移，相应的和进行相似变换如图，当时，已知，，则 ______结果用含，的代数式表示．
14.如图，在中，，，，是边的中点，现有一点位于边上，使得与相似，则线段的长为______．
15.已知，且，，则____．
16.若两个相似三角形面积之比为，则它们的对应中线之比为________．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点的坐标为，点的坐标为，．
求反比例函数与一次函数的解析式．
结合图象，请直接写出不等式的解集．
在轴上是否存在一点，使得与相似，且点不与原点重合？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
18.本小题分
如图，一次函数的图象交反比例函数的图象于，两点，交轴于点．
求反比例函数与一次函数的表达式；
在第四象限内，当一次函数的值小于反比例函数的值时，的取值范围是什么？
若点在轴上，点在坐标平面内，当以，，，为顶点的四边形是矩形时，求点的坐标．
19.本小题分
已知在四边形中，，是边上一点，且∽请在图中用直尺没有刻度和圆规作出所有满足条件的点保留作图痕迹，不写作法
20.本小题分
在中，，，，点在边上，将沿直线翻折后，将点落在点处，连接．
当时，求证：点是的外心；
若与相似，求的长．
21.本小题分
如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点、运动时间为，当与相似时，的值是多少？
22.本小题分
如图，是的直径，与弦的延长线交于点，平分．
求证：；
若，，，求的半径．
23.本小题分
如图，抛物线交轴于，两点在的左侧，交轴于点，为第四象限的抛物线上一点，于点若与相似，求点的坐标．
24.本小题分
在中，，现有动点从点出发，
沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段向点方向运动，
如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，
当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动设运动时间为秒，求：
用含的代数式表示，；
当为多少时，的长度等于？
当为多少时，以点，，为顶点的三角形与相似？
25.本小题分
如图，在中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为，连接，若与相似，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：两个相似三角形周长的比为：，
这两个三角形对应边的比为：，
故选：．
根据相似三角形的性质：相似三角形周长的比等于相似比，求解即可．
本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形对应边的比等于相似比．根据相似三角形对应边的比等于相似比即可求解．
【解答】
解：∽，相似比为：，
，
．
故选．
3.【答案】
【解析】解：过点作于点，则，
，
是等腰直角三角形，
，
在和中，
≌，
，
，
，
，
在和中，
≌，
，
，，
，
，即，
，
，
是的中位线，
，故正确；
，
点为正方形的中心，，
，，
，
，点为正方形的中心，
点为的中点，
是的中位线，
，
，
，故正确；
，，
，
，
，
斜边，故错误；
四边形是正方形，是的平分线，
，
，
，
是中点，
，
，
，故正确．
综上，正确，错误．
故选：．
过点作于点，求出，证明≌，然后可得，再根据等腰三角形三线合一与中位线定理可得出结论；结合，再证明是的中位线，则有，进而可得，问题随之得证：根据，可得，问题得证：根据四边形是正方形，是的平分线可求出，进而得到，再由是中点，可得，求出即可得出结论．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定，相似三角形，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
4.【答案】
【解析】解：∽，：：．
，
当时，．
故选：．
根据相似三角形的性质列比例式即可求解．
本题主要考查了相似三角形的性质，找到对应的边成比例是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：点的纵坐标为，
点在直线上．
当≌时，
，，
则；
当∽时，：：，
，
，
，
解得，
或
综上所述，符合条件的点有个．
故选：．
利用相似三角形的对应边成比例来求点的坐标．注意，全等是一种特殊的相似．
本题考查了相似三角形的判定，坐标与图形性质．此题属于易错题，同学们解题时，往往忽略了全等是一种特殊的相似这一情况．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形面积的比等于相似比的平方，比较简单，熟记性质是解题的关键．
根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列出比例式，代入数值计算即可得解．
【解答】
解：∽，与的面积之比为：，
：：，
解得：：，
，
．
故选A．
7.【答案】
【解析】解：过点作交于，如下图所示：
四边形为正方形，与对角线相交于点，
，，
为等腰直角三角形，，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
故结论正确；
四边形为正方形，，
，，
，
，，
，
，
，
∽，
，
，
即，
故结论正确；
在中，，，
由勾股定理得：，
由正确可知：，
点为斜边的中线，
，
故结论不正确；
在中，，，
由勾股定理得：，
在中，，，
由勾股定理得：，
，，
又，
，
，
即为等腰直角三角形，
又，
根据等腰三角形三线合一定理得：，
在中，，，
，
，
故结论不正确．
综上所述：正确的结论是，共个．
故选：．
过点作交于，先证为等腰直角三角形得，，由此可判定和全等，据此可对结论进行判断；
先求出，，则，证明∽得，据此可对结论进行判断；
先根据勾股定理得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，据此可对结论进行判断；
先求出，再由，得为等腰直角三角形，则，在中由，得，据此可对结论进行判断，综上所述即可得出答案．
此题主要考查了正方形的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
8.【答案】
【解析】解：∽，：：，
：：，
，
，
故选B．
根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求得相似比后即可求得线段的长．
此题考查了相似三角形的性质，解题的关键是了解相似三角形的面积的比等于相似比的平方，难度不大．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形对应边的比相等是解题的关键．
根据相似三角形对应边的比相等解答即可．
【解答】
解：设其余两边的长分别是，，
由题意得：：：：，
解得，，
故其余两边长的和为．
故选A．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的性质的有关知识，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方直接得出结果．
【解答】
解：两个相似三角形对应高的比为：，
这两个相似三角形的相似比为：，
它们的面积比为：．
11.【答案】
【解析】略
12.【答案】
【解析】解：两个相似三角形的周长比为：，它们对应的相似比为：．
故选：．
根据“相似三角形周长的比等于相似比”即可解答．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：由图形变换可知，在图中，四边形为矩形，≌，≌，∽，≌，
，
，
，
≌，
，，
≌，
设，则，
，
，
∽，
，即：，
≌，
，
，
，解得：，
．
故答案为：．
根据平移的性质可得≌，≌，∽，≌，在根据正切的定义可得，在根据全等三角形的性质可得，，，则，进而得到；在根据相似三角形的性质可得，，进而得到，即可得，最后代入即可解答．
本题主要考查了平移的性质、勾股定理、相似三角形的性质、正切的定义等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键．
14.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查的是相似三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解先根据勾股定理求出的长，再分∽与∽两种情况进行讨论即可．
【解答】
解：在中，，，，
．
是边的中点，
．
当∽时，，即，解得；
当∽时，，即，解得．
故答案为或．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【解答】
解：∽，
，即，
解得，，
故答案为．
16.【答案】
【解析】解：两个相似三角形的面积比为，
它们对应中线的比．
故答案为．
根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方进行计算．
本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．相似三角形多边形的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段对应中线、对应角平分线、对应边上的高的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
17.【答案】解：把代入反比例解析式得：，即，
则反比例解析式为，
点的坐标为，
，
解得：，
，
把与坐标代入一次函数解析式得：
解得：，
一次函数的解析式为
由得，，，
，即为直线在反比例函数下面的部分，
或；
与不重合，在轴上存在一点，使得与相似，理由为：过点作，交轴于点，如图所示，
、两点在直线上，
当时，，当时，，
C、的坐标分别为，，
，，，
∽，
，
即，
解得：，
，
则点的坐标为
综上所示，的坐标为
【解析】本题考查的是反比例函数与一次函数，待定系数法求反比例函数与一次函数解析式，相似三角形的性质，勾股定理有关知识
把坐标代入反比例解析式求出的值，即可确定出反比例解析式；把坐标代入反比例解析式求出的值，确定出坐标，由与坐标，利用待定系数法确定出直线解析式即可；
根据题意得出不等式的解集即为直线在反比例函数下面的部分，结合图象即可得出结果；
过点作，交轴于点，根据直线解析式确定出与坐标，得到，，的长，由∽，得比例求出的长，由求出的长，即可确定出坐标．
18.【答案】解：反比例函数的图象于，
．
双曲线过点，
．
由直线过点，得：
解得，
反比例函数关系式为，一次函数关系式为．
观察图象可知，当时，一次函数的值小于反比例函数的值．
在直线中，令，则，
，
，，，
，
为直角三角形
四边形是矩形时分三种情况当时
点以点重合
点坐标为
当时
设，则，
，
∽，
，即，，
，
此时，
当时
设，作，
，
，，，
∽，
，即，
解得：
此时或
综上，四边形是矩形时点的坐标为，，或．

【解析】本题考查了用待定系数法求函数解析式以及反比例函数和一次函数的交点问题，这里体现了数形结合的思想．
将点，代入反比例函数中，可求、；再将点，代入中，列方程组求、即可；
根据两函数图象的交点，图象的位置可确定一次函数的值小于反比例函数的值时的范围；
根据矩形形的性质，分类讨论，即可得出结论．
19.【答案】解：以为边向下作等边，
作出等边的外接圆，圆与的交点即为所求点．
即图中的点，点即为所求作的点
【解析】本题考查圆周角定理及其推论，用尺规作图作三角形外接圆和相似三角形的性质关键是抓住且，把问题转化成在边上找一点使，然后根据圆周角定理同弧所对的圆周角相等，作出等边三角形的外接圆和直线的交点即可解答．
20.【答案】证明：如图，
在中，，，，
，，
，
，
，
，
将沿直线翻折，
，
，
点是的外心；
如图，
沿直线翻折后点落在点处，
，，，
连接，
与相似，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，
．

【解析】【分析】根据含度角的直角三角形求出的长，证明，即可得点是的外心；
根据相似三角形对应边的比相等列式，即可求出的长．
本题考查了相似三角形的性质，含度角的直角三角形，翻折变换，勾股定理，三角形外接圆与外心，解决本题的关键是掌握到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形的外心．
21.【答案】由题意，得，，，，．
当∽时，，
即，解得．
当∽时，，
即，解得．
综上所述，当与相似时，的值是或．

【解析】见答案
22.【答案】【小题】
解：连接，，由平分，可证得≌，，，
是的直径，，；
【小题】
，，设，则，由∽，得，，即，
解得，，即的半径为．

【解析】 见答案
见答案
23.【答案】解：由题意可求得，．
当∽时，，
，由对称性可得；
当∽时，，作交轴于点，
则，设，则，由，得，解得，，
可求得直线：，
直线：，
联立可求得．
点的坐标为或．

【解析】见答案
24.【答案】解：由运动知，，，
， ，
点在上运动，
，即，
点在运动，
，
，
，
故答案为： ，，；
在中，根据勾股定理得，
，
，
解得： 或 舍去，
故答案为：；
以点，，为顶点的三角形与 相似，且，
∽，
，
，
，
∽，
，
，
，
即当为或 时，以点，，为顶点的三角形与 相似，
故答案为：或 ．

【解析】略
25.【答案】解：设运动时间为秒，则，，．
，，，
．
当∽时，，即，解得秒；
当∽时，，即，解得秒．
即当秒或秒时，与相似．
【解析】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的也相等．考查了分类讨论的思想和利用代数法解决动点问题．设运动时间为秒，则，，，先利用勾股定理计算出，分类讨论：当∽时，根据相似三角形的性质得；
当∽时，根据相似三角形的性质得；然后分别解方程求出的值即可．
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