4.4两个相似三角形的判定 浙教版初中数学九年级上册同步练习（含详细答案解析）

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4.4两个三角形相似的判定 浙教版初中数学九年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，点是等腰的腰上的一点，过点作直线不与直线重合截，使截得的三角形与原三角形相似．满足这样条件的直线最多有( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
2.已知如图，则下列个三角形中，与相似的是 ( )
A. B. C. D.
3.如图，在正方形中，点是边上一点，连接并延长至点，使，连接交于点，若，，则正方形的边长为( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，、为边的三等分点，，点为与的交点若，则为( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，点在的边上，要判断∽，添加一个条件，不正确的是( )
A. B.
C. D.
6.如图，在中，、分别是和的中点，，则( )
A. B. C. D.
7.在中，，，，点是平面上一点，且，连接、，则下列说法正确的是( )
A. 长度的最大值是 B. 的最小值是
C. D. 面积的最大值是
8.如图，矩形，，，点是边上的动点，点是射线上的动点，且，连接，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
9.如图，在正方形中，为的中点，以为一边作正方形，连接交于，交于，连接则下列结论中：；；；，正确的是 【 】
A. B. C. D.
10.如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )
A. B.
C. D.
11.如图，在中，，，是的中点，连接，过点作交于点，若的面积为，则的面积为( )
A. B. C. D.
12.如图，在边长为的正方形中，点、分别是边、的中点，连接、交于点，点、分别是、的中点，连接，则的长度为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，已知平行四边形，是边的中点，联结并延长，与的延长线交于点，设，，那么向量用向量表示为_____________．
14.如图，在矩形中，，连接，，点是上一点，，点是上一动点，连接，以为斜边向下作等腰直角，连接，当的值最小时，的长为______．
15.如图，在的方格纸上建立直角坐标系，，，试在的网格中，以格点为顶点作与相似相似比不为，点的坐标为______．
16.如图，在矩形中，点在边上，把沿直线对折，使点落在对角线上的点处，连接若点、、在同一条直线上，若，则 ， ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，是的直径，弦交于点．
求证：∽；
若，求证：．
18.本小题分
如图，已知求证：∽．
19.本小题分
如图，在中，点、分别在、上，、的延长线相交于点，且求证：∽．
20.本小题分
如图，在四边形中，平分，，为的中点，与交于点．
求证：；
若，，求的值．
21.本小题分
在中，，、分别是、的点，且．
求证：∽；
求证：．
22.本小题分
已知：如图，正方形中，是边上一点，，垂足分别是点、．
求证：；
联结，若，求证：．
23.本小题分
校园内有一块三角形空地如图中的，经测量米，边上的高米．某综合实践小组要在这块空地上规划出一个区域如图中的种植月季花，其余部分种植牡丹花．根据设计要求，点，分别在边，上，且已知种植月季花和牡丹花每平方米分别需要元、元．设，的面积为．
求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
种植月季花和牡丹花的总费用是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由．
24.本小题分
如图．在中．，是上的一点不与点，重合，过点作，交于点连接，设的面积为，的面积为．
当是的中点时，直接写出______．
若，，求关于的函数关系式以及自变量的取值范围．
25.本小题分
已知点为和的公共顶点，将绕点顺时针旋转，连接，．
问题发现：如图所示，若和均为等边三角形，则线段与线段的数量关系是
类比探究：如图所示，若，，其他条件不变，请写出线段与线段的数量关系，并说明理由
拓展应用：如图所示，若，，，，当点，，三点共线时，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查相似三角形的判定的运用．根据已知及相似三角形的判定作辅助线即可求得这样的直线有几条．
【解答】
解：作，
，
∽，
作，
∽，
作，
，
∽，
作，
∽，
所以共条，
故选C．
2.【答案】
【解析】略
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的有关知识，先根据正方形的性质得到，，，然后利用相似三角形的判定与性质，得到，，进而求出，再利用勾股定理求解即可．
【解答】
解：四边形为正方形，
，，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
在中，，
，
解得负值不合题意，舍去
则正方形的边长为
4.【答案】
【解析】解：、为边的三等分点，，
，，，
，是的中位线，
，
，
∽，
，即，
解得：，
，
故选：．
依据是的中位线，即可得出，再根据∽，即可得到的长，进而得出的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
5.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
【解答】
解：当时，又，∽，故此选项不符合题意；
B.当时，又，∽，故此选项不符合题意；
C.当时，又，∽，故此选项不符合题意；
D.添加，无法得到∽，故此选项符合题意．
故选D．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理．
由、分别是、的中点，可得、，则有∽，，即可得到答案．
【解答】
解：D、分别是、的中点，
，，
∽，
，
，
，
，．
故选D．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查点与圆的位置关系，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积等知识，难度较大，由题知，点的运动轨迹是一个圆，当点在的延长线时，的长度最大，可判断；在上截，证明∽，得到，当、、三点共线时，取得最小值，长度为，利用勾股定理求出可判断；根据不是固定值可判断；过圆心作于点，延长交圆于点，则此时的面积取得最大值，求出此时面积可判断．
【解答】
解：由题知，点的运动轨迹是一个圆．
对于选项A如下图：
当点在的延长线时，的长度最大，值为．
故A不正确
对于选项B如下图：
在上截，
则在和中，
∽
，
当、、三点共线时，取得最小值，长度为，
，
故B正确
对于选项C因为点的运动轨迹为圆，不是固定值，
故C不正确
对于选项D如下图：
过圆心作于点，延长交圆于点，则此时的面积取得最大值．
，，
，
根据
得，
进而，
所以，
故D不正确．
8.【答案】
【解析】解：连接，如图：
，，
∽，
，
，
延长至点，使，连接，则，
，
当点为与的交点时，取最小值，此时
即的最小值为，
故选：．
本题的思路是先根据两条边对应成比例并且夹角相等证明三角形相似，将转化为，然后做关于的对称线段，结论自然可得．
本题考查了矩形的性质，掌握三角形相似的性质是解题的关键．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查正方形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形是关键，过点作于，先根据正方形的性质利用证明得，，再根据中点定义证明垂直平分，根据线段垂直平分线的定义即可判定正确；连接，根据对边平行且相等的三角形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可判定故正确；根据，，得，，即可判定故正确；过点作交于，证明，根据相似三角形的性质得，证明，得，设，则，即可判定错误．
【解答】
解：如图，过点作于，
、
四边形、是正方形，
，，
，，
，
，
为的中点，
，
，
垂直平分，
，
，
，故正确；
连接，
，
，
又，，
，
四边形是平行四边形，
，
，故正确；
，，
，，
，故正确；
过点作交于，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，故错误．
综上所述正确的是 ．
故选A．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【解答】
解：在选项A、中，阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，则两三角形相似，故A、选项不符合题意
在中，两三角形的对应边不成比例，则两三角形不相似，故C选项符合题意；
在中，两三角形对应边成比例且夹角相等，则两三角形相似，故D选项不符合题意．
故选C．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理以及三角形的面积．
过点作于，先求出，设，则，利用勾股定理求
出，的长，证明∽，求出进而得到，则．
【解答】
解：如图所示，过点作于，
在中，，，
，
设，
是的中点，
，
，
，
，，
，
，
，
又，
∽，
，即，
，
，
，
的面积为，
，
是的中点，
．
12.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，，
点、分别是边、的中点，
，，
，
在和中，
．
点、分别是、的中点，
．
由≌知，
，
，
，
．
，
∽，
，
，
，，
，，
．
故选：．
利用正方形的性质和勾股定理求得，利用全等三角形的判定与性质和在直角三角形的性质得到，利用相似三角形的判定与性质求出，，在中，利用勾股定理即可求得结论．
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定定理得到≌是解题的关键．
13.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了平面向量的知识、相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法则的应用是关键．根据平行四边形的判定与性质得到四边形是平行四边形，则，故AF，结合三角形法则进行解答．
【解答】
解：如图，连接，，
四边形是平行四边形，
，，
∽，
又是边的中点，
，
，即点是的中点，
四边形是平行四边形，
，
，
．
故答案是：．
14.【答案】
【解析】解：四边形为矩形，
，
在中，，，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，，，
点、在以为直径的圆上，
，，
平分，
即点的轨迹在的平分线上，
过点作于点，此时的值最小，
，，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
．
故答案为：．
先利用勾股定理计算出，则，再利用等腰直角三角形的性质得到，，，则根据圆周角定理可判断点、在以为直径的圆上，所以，，从而可判断平分，过点作于点，利用垂线段最短得到的值最小，然后证明≌得到，从而得到．
本题考查了矩形的性质：矩形的四个角都是直角．也考查了等腰直角三角形的性质、圆周角定理和全等三角形的判定与性质．
15.【答案】或
【解析】解：如图，
的两直角边之比为：，那么两直角边之比为：，
，
当，，此时点，
当，，此时点，
故C点的坐标是或．
本题可根据图形得出与的长度比，再根据角或角为直角，来判断点的位置．
本题考查了相似多边形的性质及点的坐标，此题需注意分情况讨论三角形哪一个角为直角的情况．
16.【答案】

【解析】【分析】本题考查了翻折变换折叠问题，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．根据矩形的性质得到，，根据折叠的性质得到，，，根据全等三角形的判定与性质得到，再根据相似三角形的判定与性质即可求出．
【解答】
解：四边形是矩形，
，，
由折叠的性质知：，，，
，，
，
，
在与中，
，，，
≌，
，，
，
，
，
∽，
，
，
负值舍去，
17.【答案】【小题】
证明：与都是所对的圆周角， 又，∽．
【小题】
， 又，∽，是的直径，，，直径弦，，．

【解析】 略
略
18.【答案】证明： ，
∽，
，
，
即
又 ，
即 ，
∽．
【解析】略
19.【答案】证明：．
，
，
∽，
，
，
，
∽．
【解析】根据相似三角形的判定得出∽，得出，进而证明∽即可．
本题考查相似三角形的判定和性质知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定解答．
20.【答案】解：证明：平分，
，
，
∽，
，
；
，，，
，
，为的中点，
，
，
平分，
，
，
，
∽，
．
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质及直角三角形斜边上直线的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
由平分，得出，再由，得出∽，进而得出，即可证明；
由可知结合已知条件，，可求出，，，再根据平分，得出，得出，由，得出∽，即可得出．
21.【答案】证明：，
，
，，
，
∽；
证明：∽，
，
即，
设，，则，
，
，即．
【解析】本题考查的是等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质有关知识．
利用等腰三角形的性质得出，再结合三角形外角性质得出，最后利用相似三角形的判定定理解答
根据相似三角形的性质得出，然后再解答．
22.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，，
，
，，
，
在和中
，
≌，
，
；
连接，如图所示：
，，
，
，
∽，
，
，
，
又，，
，
在和中
，
≌，
．
【解析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，利用已知条件及角、边的等量关系的转换，结合问题来解题即可．
证明≌，得出，利用等量代换即可证明；
利用以及通过等量代换，得到∽，即可得到，通过利用角的等量代换得≌即可得到．
23.【答案】解：设与交于点．
，
∽，
，
，
，
设，则，
解得．
．
设总费用为，则
．
，
当时，最小，最小值为．
答：种植月季花和牡丹花的总费用的最小值为元．
【解析】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，二次函数的应用．
证明∽，根据相似三角形对应高的比等于相似比可得，设，由相似可得，再根据三角形面积公式列出关于的函数关系式并写出自变量的取值范围；
设总费用为，然后列出关于的二次函数关系式，并根据二次函数的性质解答即可．
24.【答案】
【解析】解：，
∽，
，
是的中点，
是的中位线，
，
，
与等底同高，
，
设的面积为，的面积为，
．
故答案为：．
，，，
∽
，
，
，
与，、边同高，
，
得，
设的面积为，的面积为，，
，
，
自变量的取值范围是．
先根据推∽，再进一步推，再根据与等底同高，求，等量代换最后求出；
求，再求，得最后结果．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形面积求法，掌握判定和性质的熟练应用是解题关键．
25.【答案】解：；
．
理由：，，
，
，．
∽，
，
如图，当点落在线段上时．
，，，，
，，
，．
，
，
∽，
，
；
如图，当点落在线段上时，
同理可得，，
．
综上所述，的长为或．
【解析】解：和都是等边三角形，
，，．
．
≌．
，
故答案为：；
见答案；
见答案．
此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．
根据等边三角形的性质得，，求出得出，即可得出答案
延长交的延长线于点，得出，进而得出∽，即可得出答案
分两种情况，当点落在线段上时；当点落在线段上时，根据相似三角形的判定及性质作答即可．
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