4.5相似三角形的性质及其应用 浙教版初中数学九年级上册同步练习（含详细答案解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
4.5相似三角形的性质及其应用 浙教版初中数学九年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.孙子算经是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸提示：丈尺，尺寸，则竹竿的长为( )
A. 五丈 B. 四丈五尺 C. 一丈 D. 五尺
2.如图，有一块直角三角形余料，，，分别是，边上的一点，现从中切出一条矩形纸条，其中，在上，若，，则的长为( )
A. B. C. D.
3.延时课上，老师布置任务如下：让王林站在点处去观测外的位于点处的一棵大树，所用工具为一个平面镜和必要的长度测量工具、、在一直线上已知王林目高，大树高，将平面镜放置在离王林处才能观测到大树的顶端．
A. B. C. D.
4.图是墨经中记载的“小孔成像”实验图，图是其示意图，其中物距，像距若像的高度是，则物体的高度为( )
A. B. C. D.
5.生物小组要在温箱里培养，两种菌苗，种菌苗的生长温度的范围是，种菌苗的生长温度的范围是，那么温箱里的温度应该设定的范围是( )
A. B. C. D.
6.如图是装了液体的高脚杯示意图数据如图用去一部分液体后如右图所示，此时液面直径( )
A. B. C. D.
7.如图，小明利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆的高为，并测得，，那么树的高度是( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为( )
A. B. C. D.
9.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树高等于( )
A. B. C. D. 都不对
10.如图，不等臂跷跷板的一端碰到地面时，另一端到地面的高度为；当的一端碰到地面时，另一端到地面的高度为，则跷跷板的支撑点到地面的高度是( )
A. B. C. D.
11.如图，放映幻灯片时，通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若幻灯片到光源的距离为，到屏幕的距离为，且幻灯片上图形的高度为，则屏幕上图形的高度为( )
A. B. C. D.
12.由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示过点作的垂线交小正方形对角线的延长线于点，连接，延长交于点若，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，晚上小亮走在大街上．他发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为米，左边的影子长为米，又知自己身高米，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为米，则路灯的高为________米．
14.晚上，小亮走在大街上他发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为米，左边的影子长为米又知自己身高米，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为米则路灯的高为______米
15.如图是装了液体的长方体容器的主视图数据如图，将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图所示，此时液面宽度 ______．
16.综合实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度，把一面镜子放在与假山距离为米的处，然后沿着射线退后到点，这时恰好在镜子里看到山头，利用皮尺测量米，若小宇的身高是米，则假山的高度为______米结果保留整数
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
周末，小欣同学来到郊外露营，看到了一棵大树，爱思考的她想利用学过的知识测量如图所示的大树高度小欣同学找来一根长绳，绑在大树的点处并将长绳拉直，长绳平行于地面，即满足，然后等待合适的时机，等大树在地面的影长恰好与长绳的影长顶端在点处重合即、、三点在同一直线上，此时做好相应的标记最后测量得，，，假设图中所有点在同一平面内，且满足，请求出大树的高度．
18.本小题分
为了保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，小高和小新想通过自己所学的数学知识计算该桥的长如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点，再在河岸的这一边选出点和点，分别在、的延长线上取点、，使得经测量，米，米，且点到河岸的距离为米已知于点，请你根据提供的数据帮助他们计算桥的长度．
19.本小题分
如图，，．
在上方求作求作一点，连接使得∽要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．
在的条件下，连接，若，，求证：．
20.本小题分
综合实践活动中，小明所在的数学活动小组利用所学知识测量旗杆的高度，他在距离旗杆米的处立下一根米高的竖直标杆，然后调整自己的位置，当他与标杆的距离为米时，他的眼睛、标杆顶端和旗杆顶位于同一直线上，若小明的眼睛离地面高度为米，求旗杆的高度．
21.本小题分
如图，丽丽、娜娜利用晚间放学时间完成一个综合实践活动，活动内容是测量公园里路灯的点光源到地面的高度如图，丽丽站在路灯下处，娜娜测得丽丽投在地面上的影子；当丽丽在点处半蹲时，娜娜测得丽丽的影子，已知丽丽的身高，半蹲时的高度图中所有点均在同一平面内，、均与地面垂直，点在上，，，，在同一水平线上，请你根据以上信息帮助她们计算路灯的点光源到地面的高度．
22.本小题分
如图，为了求出海岛上的山峰的高度，在处和处树立标杆和，标杆的高都是米，，两处相隔米，并且，和在同一平面内．从标杆后退米的处，可以看到顶峰和标杆顶端在一条直线上；从标杆后退米的处，可以看到顶峰和标杆顶端在一条直线上．求山峰的高度及它和标杆的水平距离各是多少米？
23.本小题分
晚上小凯在广场上散步，如图，在广场两盏路灯的照射下，地面上形成了他的两个影子已知光源，的高均为，小凯的身高为，两盏路灯相距，，，，，在同一平面内．
当影子长为时，求此时小凯到路灯的距离；
连接，判断与的位置关系，并说明理由；
小凯向上跳起再落下，该过程中最长达到，直接写出小凯头顶离地面的最大高度．
24.本小题分
如图，已知平行四边形的三个顶点、、都在半径为的上，且，垂足为点，．
求平行四边形的边的长；
延长线段交于点，求点到的距离．
25.本小题分
如图，在中，．
在上求作一点，连接，使得∽；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
点，分别是、中点，若，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平行投影设竹竿的长度为尺，根据物体的高度与影长成正比即可得到，即可得到答案．
【解答】
解：设竹竿的长度为尺，
竹竿的影长一丈五尺尺，标杆长一尺五寸尺，影长五寸尺，
，解得，即竹竿的长为四丈五尺．
故选B．
2.【答案】
【解析】解：，
，
四边形是矩形，
，，，，
，，
，
，
∽，
：：，
，，
：：，
，
故选：．
根据题意推知∽，由该相似三角形的对应边成比例，求得的长度即可．
本题考查了相似三角形的应用和矩形的性质．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
3.【答案】
【解析】解：由题意得：，，，
，
∽，
，
，
解得：，
将平面镜放置在离王林处才能观测到大树的顶端，
故选：．
根据题意可得：，，，从而可得，然后证明∽，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
直接利用相似三角形的对应边成比例解答．
【解答】
解：设蜡烛火焰的高度是，
由相似三角形的性质得到：
即：
解得．
即物体的高度是．
5.【答案】
【解析】解：温箱里的温度应该设定在能使，两种菌苗同时满足的温度，即与的公共部分
由题意可列出不等式组，根据求不等式解集的方法可知温箱里的温度应该设定在。
因此本题选择。
6.【答案】
【解析】解：如图：过作，垂足为，过作，垂足为，
，
∽，即相似比为，
，
，，
，
故选：．
高脚杯前后的两个三角形相似，根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．
本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．
7.【答案】
【解析】解：由题意可得，，
在中，，
即，
解得．
故选：．
由，可得，进而可求解线段的长度．
此题考查的是平行线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解决此题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】根据题意，画出示意图，易得，进而可得，代入数据求解即可得答案．
【详解】解：根据题意做出示意图，则，，，，
，
，
，
，
，即，
，
负值舍去．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：，
在与中，
，，
∽．
．
．
．
，
．
即树的高为．
故选：．
先判定∽，再根据相似三角形对应边成比例解答．
本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出和相似是解题的关键．
10.【答案】
【解析】【解答】解：如图：过点作，垂足为，
，，
，
，
∽，
，
，
如图：过点作，垂足为，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
解得：，
跷跷板的支撑点到地面的高度是，
故选：．
11.【答案】
【解析】解：如图所示：，
∽，
，
设屏幕上的图形高是，则，
解得：经检验，是原方程的解，
故选：．
根据题意可画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例解答．
本题考查了相似三角形性质的应用．解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
12.【答案】
【解析】解：如图，过点作交的延长线于，设交于，交于设，则，
，
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，，
，
∽，
，
，
，
，
故选：．
如图，过点作交的延长线于，设交于，交于设，则，想办法求出，，可得结论．
本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查相似三角形的应用利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出路灯的高即可．
【解答】
解：设路灯的高为米，
，，
．
∽．
同理∽，
，
，
解得米，
，
解得．
故答案为 ．
14.【答案】
【解析】解：设路灯的高为米，
，，
．
∽．
同理∽
．
．
解得米，代入得，
解得．
故答案为：．
利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出路灯的高即可．
本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出路灯的高，体现了转化的思想．
15.【答案】
【解析】解：如图，作于，则，
由题意知，，，，，，，
，
又，
∽，
，即，
解得，，
故答案为：．
如图，作于，则，由题意知，，，，，，，则，证明∽，则，即，计算求解即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：，，
，
根据平面镜反射原理，入射角等于反射角可得：，
∽，
，即，
解得：，
故答案为：．
根据题意可得∽，根据相似三角形对应边成比例，即可进行解答．
本题主要考查了利用相似三角形测高，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．
17.【答案】解：，
，，
∽，
，
即，
，
解得：，
，
答：大树的高度为．
【解析】由，证得∽，得出，求出，即可得出答案．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
18.【答案】解：如图所示，过作于，
，
∽，
，
，
，，
，
，
，
∽，
，即，
解得：，
桥的长度为米．
【解析】过作于，依据∽，即可得出，依据∽，即可得到，进而得出的长．
本题主要考查了利用相似测量距离．正确构造直角三角形相似是解题关键．
19.【答案】解：图形如图所示：
证明：平分，，
，关于对称，
，
，
，
，，
，
，
，关于对称，
，
∽，
：：，
，
，，
，
，
【解析】作平分，在射线上截取，使得，点即为所求；
利用勾股定理的逆定理判断即可．
本题考查作图相似变换，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是掌握相似变换的性质，属于中考常考题型．
20.【答案】解：过点作，交于点，交于点．
由题意得：米，米，米，米．
，，
，
∽，
，
，
米，
米．
答：旗杆的高度为米．
【解析】本题主要考查了相似三角形的应用，能够熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键．
过点作，交于点，交于点，根据已知条件证明∽，列出比例式求出的长，再根据线段的和差关系即可求得旗杆的高度．
21.【答案】解：由题意得，，，，
∽，∽，
，，
即，，
解得．
路灯的点光源到地面的高度为，
【解析】此题考查了相似三角形的应用，判定三角形相似是解题的关键，根据题意得出∽，∽，利用相似三角形的性质得出，，求出，即可得出结果，
22.【答案】解：由题意得：，，，
，
，
∽，
，
，
，
∽，
，
，
，
解得：，
，
解得：，
山峰的高度为米，它和标杆的水平距离是米．

【解析】【分析】根据题意可得：，，，从而可得，然后证明字模型相似∽，∽，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握字模型相似三角形是解题的关键．
23.【答案】【详解】解：
，
，
解得，，
答：此时小凯到路灯的距离；
解：如图，
由可得：，
又
，
；
解：如图，
同可得，
，
，
又
，
解得，，
所以，小凯头顶离地面的最大高度．

【解析】【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质：
证明，运用相似三角形的性质即可得出结论；
证明，可得，可得；
由，求出，再由求出即可
24.【答案】解：，，
，
，
，
，
．
如图，延长线段交于点，过点作，
，
∽，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，
．
【解析】由，，得出，再根据勾股定理即可得出的长度，进而得出答案；
延长线段交于点，过点作，得出∽，再得出，即可得出与的长度，再根据，得出∽，进而求出答案．
本题主要考查相似三角形的应用，勾股定理，垂径定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
25.【答案】解：如图，点即为所求作的点；
连接、，
，分别是，的中点，
、分别是，的中线，
∽，
，
，
，
．
【解析】利用尺规作图作即可；
由，分别是，的中点知、分别是，的中线，根据相似三角形的性质可得，代入计算即可．
本题主要考查作图相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)