4.6相似多边形 浙教版初中数学九年级上册同步练习（含详细答案解析）

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4.6相似多边形 浙教版初中数学九年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知两个相似多边形的面积比是，其中较小多边形的周长为，则较大多边形的周长为( )
A. B. C. D.
2.如果两个相似多边形的周长比是：，那么它们的面积比为( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
3.若两个相似多边形的相似比为：，则它们周长的比为( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
4.如图，点为四边形内的一点，连结，，，，若，则四边形的面积与四边形的面积比为( )
A. B. C. D.
5.如图所示，在长为，宽为的矩形中，截去一个矩形图中阴影部分，如果剩下的矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是( )
A. B. C. D.
6.如图，四边形∽四边形，则下列角的度数正确的是( )
A. B. C. D.
7.如图，矩形相框的外框矩形的长为，宽为，上下边框的宽度都为，左右边框的宽度都为，则符合下列条件的，的值能使内框矩形和外框矩形相似的为( )
A. B. C. ， D. ，
8.如图是古希腊时期的巴台农神庙，把图中用虚线表示的矩形画成图矩形，当以矩形的宽为边作正方形时，惊奇地发现矩形与矩形相似，则等于( )
A. B. C. D.
9.如图，在平面直角坐标系中，矩形∽矩形，，，则的长是( )
A. B. C. D.
10.如图所示的两个五边形相似，则以下，，，的值错误的是( )
A. B. C. D.
11.如图，矩形中，，，要使边上至少存在一点，使、、两两相似，则、一定满足( )
A. B. C. D.
12.如图所示，四边形与四边形位似，点为位似中心，若，则四边形与四边形的面积比为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，正方形中，点是对角线上的一点，，过点作，，垂足分别为点，，则正方形与正方形的相似比为 ．
14.如图，已知矩形∽矩形，，，则的长为______．
15.将一张长方形纸片对折，若得到的小长方形与原长方形相似，则原长方形的长与宽的比是________________．
16.如图，为四边形的对角线，是的中点，，，，连接交于点若，则的长为________．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，中，的平分线交于点，的平分线交于点．
求证：是菱形：
若，则的值为______．
18.本小题分
如图，点是菱形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个菱形，且菱形∽菱形，相似比是，连接，．
求证：．
若，，求的长．
19.本小题分
如圖，四邊形與四邊形相似，求、、的度數以及、、的值．
20.本小题分
如图，四边形与四边形相似．
，四边形与四边形的相似比为 ；
求，的值．
21.本小题分
根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．
某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确直接在横线上填写“真”或“假”．
四条边成比例的两个凸四边形相似；______命题
三个角分别相等的两个凸四边形相似；______命题
两个大小不同的正方形相似．______命题
如图，在四边形和四边形中，，，求证：四边形与四边形相似．
如图，四边形中，，与相交于点，过点作分别交，于点，记四边形的面积为，四边形的面积为，若四边形与四边形相似，求的值．
22.本小题分
如图，梯形中，，是上的一点，，并且将梯形分成的两个梯形、相似，若，，求．
23.本小题分
几何体的三视图相互关联已知直三棱柱的三视图如图所示，在中，，，．
求及的长
若主视图与左视图两矩形相似，求的长
在的情况下，求直三棱柱的表面积．
24.本小题分
已知四边形与四边形相似，并且点与点、点与点、点与点、点与点对应．
已知，，，求的度数；
已知，，，，，求四边形的周长．
25.本小题分
如图，是菱形的对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个菱形，且菱形∽菱形，连接、．
求证：
若，，，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可．
【解答】
解：两个相似多边形的面积比是：，面积比是相似比的平方，
较大多边形与较小多边形的相似比是：．
相似多边形周长的比等于相似比，为：．
设较大多边形的周长为，
则有，
解得：．
即较大多边形的周长为．
故选A．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解题的关键．
直接根据相似多边形的性质即可得出结论
【解答】
解：两个相似多边形的周长比是，
两个相似多边形的相似比是，
它们的面积比是．
故选B．
3.【答案】
【解析】解：两个相似多边形的相似比为：，
两个相似多边形周长的比等于：，
故选：．
直接根据相似多边形周长的比等于相似比进行解答即可．
本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形周长的比等于相似比．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了相似多边形的性质根据题意得出两四边形的相似比是解题关键．
利用位似图形的定义得出四边形与四边形的位似比为：，进而得出面积比．
【解答】
解：，
四边形与四边形的位似比为：，
四边形与四边形的面积比为：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键．
根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得．
【解答】
解：依题意，在矩形中截取矩形，
则矩形∽矩形，
则，
设，得到：
，解得：，
则剩下的矩形面积是：．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：四边形和四边形相似，
，，，
．
故选：．
直接利用相似多边形的性质得出对应角相等进而得出答案．
此题主要考查了相似多边形的性质，正确得出对应角相等是解题关键．
7.【答案】
【解析】如图，当矩形∽矩形时，则有，，可得，选项B符合题意当矩形∽矩形时，则有，，可得综上，只有选项符合题意，故选B．
8.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，
四边形是矩形，
，
，
矩形与矩形相似，
，
，
点是的黄金分割点，
，
，
故选：．
根据正方形的性质可得，再根据矩形的性质可得，从而可得，然后利用相似多边形的性质可得，从而可得，进而可得点是的黄金分割点，然后根据黄金分割的定义可得，从而进行计算即可解答．
本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，正方形的性质，黄金分割，熟练掌握相似多边形的性质，以及黄金分割的定义是解题的关键．
9.【答案】
【解析】点的坐标为，四边形和四边形是矩形，，，．，．矩形∽矩形，，即，，，故选B．
10.【答案】
【解析】两个五边形相似，
，
，，，故选D．
11.【答案】
【解析】设，则．
∽，
，即，即，
方程有解的条件是，
，则，
故选D．
12.【答案】
【解析】四边形与四边形位似，
四边形∽四边形，，
∽，
，
四边形与四边形的面积比，
故选C．
13.【答案】：
【解析】【分析】
本题主要考查相似多边形的性质，解题的关键是掌握正方形的性质和相似多边形的性质．
设，根据正方形的性质知，由正方形与正方形的相似比：可得答案．
【解答】
解：设，
则，
，
，
则正方形与正方形的相似比．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解四边形和四边形都是矩形，
，，
，
，，
，
矩形∽矩形，
，即，
负值舍去，
经检验，是原方程的解，
故答案为：．
先根据矩形的性质得到，再求出，最后根据相似多边形对应边成比例得到，据此代值计算即可．
本题主要考查了相似多边形的性质，矩形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质．
15.【答案】：
【解析】【分析】设，，根据每一个小长方形与原长方形相似，可知，再由，均为正数可知，由此即可得出结论．
【解答】解：设，，
每一个小长方形与原长方形相似，
，
，
，均为正数，
，
，
原长方形的长与宽之比为：．
故答案为：：．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角形的中位线、相似三角形和勾股定理求线段长度，取的中点，连接，可得，，根据相似比可得，求得，，，．
【解答】
解：取的中点，连接，
是的中点，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
是中点，
，
，
，
，，
，
，
，
≌，
，
，
，即，
是的中点，
，
，
，
，
，
．
17.【答案】【详解】的平分线交于点，
．
四边形是平行四边形，
．
．
．
．
同理，．
．
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形．
由知，四边形是菱形，
又四边形是平行四边形，
，
设，，则有：
，即，
整理得，
解得，
，
，
故答案为：

【解析】【分析】根据平行四边形的性质和菱形的判定解答即可；
根据菱形的性质和平行四边形的性质可以得到设，根据相似多边形的性质可得，列方程求出和的关系，从而可解答本题
本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质以及相似多边形的性质，求出与的数量关系是解答本题的关键
18.【答案】【小题】
证明：菱形∽菱形，，，，，．，，，．
【小题】
如图，连接交于点，则．
，．
菱形∽菱形，相似比是，，，，，，
，
．

【解析】 见答案
见答案
19.【答案】解：四边形相似于四边形，
，，，
四边形相似于四边形，
，
解得，，．

【解析】观察图形，可知两个相似的四边形的四个角中有两个锐角，两个钝角，根据相似多边形的对应角相等得出，，，再根据相似多边形对应边成比例列出比例式比即可求得，，．
本题考查了相似多边形的性质：对应角相等；对应边的比相等．准确识图，找准对应顶点是解题的关键．
20.【答案】【小题】

【小题】
四边形与四边形相似，，解得，

【解析】
四边形与四边形相似，，四边形与四边形的相似比为．
见答案
21.【答案】解：假，假，真．
证明：如图中，连接，．
，且，
∽，
，，
，
，
，
，
∽，
，，，
，，，，，
四边形与四边形相似．
如图中，
四边形与四边形相似．
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】【分析】
根据相似多边形的定义即可判断．
根据相似多边形的定义证明四边成比例，四个角相等即可．
四边形与四边形相似，证明相似比是即可解决问题，即证明即可．
本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，相似多边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
【解答】
解：四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等．
三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例．
两个大小不同的正方形相似．是真命题．
故答案为假，假，真．
见答案．
22.【答案】解：梯形∽梯形，
，
又，，
，
，
，
，即．
【解析】本题考查了相似多边形的性质，相似多边形的对应边的比相等．梯形、相似，与是相似梯形的对应边，根据相似多边形的对应边成比例，因而可以把求：转化为求：．
23.【答案】解：由图可知：，，
，，
，，
，
；
矩形与矩形相似，且，
，
即，
；
直三棱柱的表面积：．

【解析】本题主要考查立体图形的三视图，锐角三角函数，相似多边形的性质以及立体图形的表面积从三视图入手，找出边之间的关系，利用三角函数解决问题．
由图可知，，进一步由锐角三角函数的意义与勾股定理求得答案即可；
利用相似的性质列出比例式，代入数值求得答案即可；
求出五个面的面积和得出答案即可．
24.【答案】解：四边形与四边形相似，
，
．
四边形与四边形相似，
，
，
，，
四边形的周长．
【解析】根据相似多边形的对应角相等解决问题即可．
根据相似多边形的对应边成比例，解决问题即可．
本题考查相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例．
25.【答案】证明：菱形菱形，

，即
，，
．
．
解：连接，交于点，则．
，
．
．
．
，
．
．
．

【解析】见答案
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