4.7图形的位似 浙教版初中数学九年级上册同步练习（含详细答案解析）

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4.7图形的位似 浙教版初中数学九年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，与是位似图形，点为位似中心，已知：：，则与的面积比是( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
2.如图，与是位似图形，位似中心为，，，的面积为，则的面积为( )
A. B. C. D.
3.如图，在平面直角坐标系中，与关于原点位似，，若的面积为，则的面积为( )
A. B. C. D.
4.如图，在平面直角坐标系中，和是以原点为位似中心的位似图形若，的周长为，则的周长为( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，在外任取一点，连接、、，并分别取它们的中点、、，顺次连接、、得到，则下列说法错误的是( )
A. 与是位似图形 B. 与是相似图形
C. 与的周长比是： D. 与的面积比是：
6.如图，已知与位似，位似中心为点，且的面积等于面积的，则：的值为( )
A. ：
B. ：
C. ：
D. ：
7.如图，与是以点为位似中心的位似图形，且位似比为，下列结论不正确的是( )
A. B.
C. 是的中位线 D.
8.在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是 ( )
A. B. C. 或 D. 或
9.如图，与位似，位似中心为点，：：，的面积为，则的面积为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，与位似，点是它们的位似中心，其中相似比为，则与的面积之比是( )
A. B. C. D.
11.如图，的两个顶点、均在第一象限内，以点为位似中心，在轴左侧作的位似图形，与的相似比为若点的纵坐标是，则其对应点的纵坐标是( )
A. B. C. D.
12.如图，与位似，点为位似中心，与的周长之比为：，若点坐标为，则点的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图所示，三个顶点的坐标分别为，，，以点为位似中心，相似比为，将缩小，则点的对应点的坐标是 ．
14.如图，与是以点为位似中心的位似图形，，若，则 ．
15.墨子天文志记载：“执规矩，以度天下之方圆”度方知圆，感悟数学之美如图，正方形的边长为，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若：：，则四边形的外接圆半径为______．
16.如图，和是以点为位似中心的位似图形若，则与的面积比是______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
把向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到，请在图中画出
以点为位似中心在第三象限内画出的位似图形，使得与的位似比为
连接，请用无刻度的直尺在线段上确定一点，使得．
18.本小题分
已知是坐标原点，、的坐标分别为、．
画出绕点顺时针旋转后得到的；
在轴的左侧以为位似中心作的位似图形，使新图与原图相似比为；
若点在线段上，直接写出变化后点的对应点的坐标为_________．
19.本小题分
如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点网格线的交点，其中点，，的坐标分别为，，．
在给定的网格中，以点为位似中心，将扩大为原来的倍，得到，请画出
画出以，为邻边的平行四边形，则顶点的坐标为 在图中标出边的中点．
20.本小题分
如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点网格线的交点．
以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转后得到，画出
以点为位似中心，在第一象限内把放大倍后得到，画出．
21.本小题分
如图，已知点是坐标原点，小方格的边长为，．
以点为位似中心，在轴的上方将放大到原图的倍，即新图与原图的相似比为，画出对应的；
直接写出四边形的面积：______．
22.本小题分
在如图所示小正方形方格中，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图不要求写画法．
在图中请以为端点作一条线段，使它与线段平行且相等
以点为位似中心，将线段按缩小为，在图中画出线段，并保留作图痕迹．
23.本小题分
已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点和点的坐标分别为，．
在第一象限画出以原点为位似中心的位似图形，使与的位似比为
画出绕点按逆时针方向旋转后的．
24.本小题分
如图，在正方形网格中，的三个顶点，，都在格点上，请仅用无刻度的直尺在网格中按要求画图保留画图痕迹．
请画一个，使得与关于点位似
请画一个，使得可通过绕点旋转得到．
25.本小题分
已知，点在平面直角坐标系中，小明给了一些的取值，列出了下表：
他在直角坐标系中描出这些点后，猜想点在以点为顶点的抛物线上．
求该抛物线相应的函数表达式，并说明无论取何实数值，点都在此抛物线上；
设中的抛物线与轴的交点分别为点、点在点的左侧，点在该抛物线的对称轴上，是以点为位似中心的位似图形点、、的对应点分别是点、、若与的相似比是，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：与位似，
∽，，
∽，
，
，
即与的面积比是：：．
故选：．
根据位似图形的概念得到∽，，根据相似三角形的性质计算，得到答案．
本题考查的是位似变换的概念，掌握位似三角形是相似三角形以及相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：与是位似图形，
∽，，
∽，
，
，，
，
，
，
的面积为，
的面积为，
故选：．
根据位似图形的概念得到∽，，得到∽，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：与关于原点位似，，
与相似比为：：，
与面积之比为：，
的面积为，
的面积为：．
故选：．
直接利用位似图形的性质得出与的面积比，进而得出答案．
此题主要考查了位似变换，熟练掌握位似变换的相关知识是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：和是以原点为位似中心的位似图形，，
和的相似比为：：，
和的周长比为：：，
的周长为，
的周长为；
故选：．
根据位似比等于相似比，周长比等于相似比，即可得出结果．
本题考查坐标与位似，掌握位似比等于相似比，周长比等于相似比是解题的关键．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
根据三角形中位线的性质得到，，，，，，则可判定∽，接着根据位似的定义可判断与是位似图形，利用位似性质得到与的周长比是：，面积比是：．
【解答】
解：、、的中点分别为、、，
，，，，，，
∽，
与是位似图形，位似中心为点，
与的周长比是：，与的面积比是：．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：与位似，位似中心为点，
，
，
：：，
故选：．
由经过位似变换得到，点是位似中心，根据位似图形的性质即可求得的面积：面积：，得到：：．
此题考查了位似图形的性质．注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．
7.【答案】
【解析】【分析】根据位似图形的概念、相似三角形的性质、三角形中位线的概念判断即可．
【解答】解：、与是以点为位似中心的位似图形，
，本选项说法正确，不符合题意；
、与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，
，
，
，本选项说法正确，不符合题意；
、同选项可知，，
是的中位线，本选项说法正确，不符合题意；
、与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，
，本选项说法不正确，符合题意；
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了位似图形的性质，根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或是解题的关键．
根据已知得出位似图形对应坐标与位似图形比的关系进而得出答案．
【解答】
解：的一个顶点的坐标是，以原点为位似中心相似比为，将缩小得到它的位似图形，
若与在原点同侧，则将点的横纵坐标均乘以，得到点的坐标是，即，
若与在原点异侧，则将点的横纵坐标均乘以，得到点的坐标是，即，
综上所述：点的对应点的坐标是或．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：，
，
与位似，
∽，且与的相似比为，
，
．
故选：．
由：：得到：：，从而得到与的相似比为：，：：，进而即可解答．
本题考查位似的性质、相似三角形的性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了位似三角形的性质，明确两三角形位似，面积比等于相似比的平方是解题的关键．
根据两三角形位似，面积比等于相似比的平方即可求解．
【解答】
解：与位似，点是它们的位似中心，且相似比为：，
与的面积之比是：，
故选：．
11.【答案】
【解析】解：点的纵坐标为，则、间的垂直距离为，
与的相似比为，，间的垂直距离为，
点的纵坐标是．
12.【答案】
【解析】解：如图，过点作于，
点坐标为，
．
与位似，点为位似中心，与的周长之比为：，
∽且相似比为：，．
：：，，，．
，，
．
故选：．
根据题意可以推知：∽且相似比为：；由平行线分线段成比例、对应边上的高线之比等于相似比求得答案．
此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
13.【答案】或
【解析】略
14.【答案】
【解析】本题考查的是位似变换，根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
解：，
，
与是以点为位似中心的位似图形，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：如图，连接，
正方形与四边形是位似图形，
四边形是正方形，
，
正方形的边长为，：：，
，
，
四边形的外接圆半径为，
故答案为：．
连接，根据位似图形的概念得到四边形是正方形，根据题意求出，再根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是位似变换、正方形的性质，掌握位似图形的概念的解题的关键．
16.【答案】：
【解析】解：，
：：，
和是以点为位似中心的位似图形，
∽，，
，，
∽，
，
与的面积比为：，
故答案为：：．
根据位似变换的性质及相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
本题考查的是位似变换，相似三角形的判定和性质，掌握位似图形的概念、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
17.【答案】解：如图：即为所求
如图：即为所求．
如图：即为所求．
【解析】本题考查了作图位似变换，作图平移变换，解题的关键是运用正方形网格的特征正确的作出图形．
利用作图平移变换找出点、、的位置，然后顺次连接即可；
利用作图位似变换，找出点、、的位置，然后画出图形即可；
由，得出在二，四象限的角平分线上，即可作出．
18.【答案】解：如图所示，即为所求
如图所示，即为所求
．
【解析】【分析】
本题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
直接利用旋转变换的性质得出对应点位置进而得出答案；
直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
根据位似图形的性质，即可求解．
【解答】
解：见答案；
见答案；
作的位似图形，新图与原图相似比为：，且，
点的对应点的坐标为；
故答案为：．
19.【答案】解：如图，即为所求．
．
连接，交于点，
四边形为平行四边形，
点为的中点，
则点即为所求．
【解析】【分析】
本题考查作图位似变换、平行四边形的性质，熟练掌握位似变换、平行四边形的性质是解答本题的关键．
根据位似变换的性质作图即可．
根据平行四边形的性质可得答案．
连接，与的交点即为点．
【解答】
解：见答案
如图，取格点，使，且，
顶点的坐标为．
故答案为：．
见答案．
20.【答案】解：如图，即为要作为的三角形；
如图，即为要作为的三角形．

【解析】本题考查了作图位似变换，熟练掌握画位似图形的一般步骤是解决问题的关键．也考查了旋转变换．
利用网格特点和旋转的性质画出点、、的对应点、、即可；
延长到使，延长到使，延长到使，则满足条件．
21.【答案】
【解析】解：如图，即为所求；
四边形的面积．
故答案为：．
利用位似变换的性质，画出三角形即可；
利用分割法求出四边形面积即可．
本题考查作图位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型．
22.【答案】解：如图，线段即为所求；
如图，线段即为所求．

【解析】本题考查了平行线的判定及性质，位似变换作图，熟悉网格中的平行作图和位似作图是解题的关键．
结合网格特征，找到格点，并连接即可；
连接，，利用网格特征找到线段，的中点并连接即可．
23.【答案】解：如图所示，
即为所求图形
如图所示，
即为所求图形．

【解析】此题主要考查了作图位似变换，作图旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
分别画出以原点为位似中心，使与的位似比为的对应点、、，再顺次连接即可得；
分别作出点、绕点按逆时针旋转所得的对应点，再顺次连接即可得．
24.【答案】解：如答图，即为所求
如答图，即为所求．

【解析】本题主要考查位似变换和旋转变换，掌握相关性质是解题的关键．
根据位似变换的性质，确定位似比，进而得到对应点，即可画出图形；
根据旋转变换的性质，结合网格特点作图即可．
25.【答案】解：抛物线的顶点的坐标为，
设抛物线的函数表达式为，
把代入中，得：，
，
抛物线的函数表达式为，
当时，，
无论取何实数值，点都在此抛物线上；
由可知，抛物线的函数表达式为，
令，得，
，
，，，抛物线的对称轴垂直平分，
又，
，，
，
是等边三角形，
点在该抛物线的对称轴上，是以点为位似中心的位似图形，
点在抛物线的对称轴上，
与的相似比是，
，，
，
抛物线的对称轴垂直平分，抛物线的对称轴为直线，
点与点关于抛物线的对称轴对称，
当点在抛物线位于对称轴的左侧部分时，如图：
则，得；
当点在抛物线位于对称轴的右侧部分时，如图：
则，得；
综上所述，
【解析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，坐标与图形性质，位似图形，解答本题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征．
利用待定系数法求出抛物线的函数表达式，再根据当时，，得出无论取何实数值，点都在此抛物线上即可；
根据抛物线的解析式求出，，，抛物线的对称轴垂直平分，再根据，求出，，进而得出，是等边三角形，根据点在该抛物线的对称轴上，是以点为位似中心的位似图形，得出点在抛物线的对称轴上，根据与的相似比是，得出，，求出，根据抛物线的对称轴垂直平分，抛物线的对称轴为直线，得出点与点关于抛物线的对称轴对称，当点在抛物线位于对称轴的左侧部分时，，得；当点在抛物线位于对称轴的右侧部分时，，得；综合上述情况，即可求解．
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