1.2二次函数的图像 浙教版初中数学九年级上册同步练习（含详细答案解析）

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1.2二次函数的图像 浙教版初中数学九年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知抛物线经过点，，且它与轴只有一个公共点，则的值是( )
A. B. C. D.
2.下列函数的图象与轴正半轴有交点的是( )
A. B. C. D.
3.已知二次函数其中的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是( )
A. B. C. D.
4.在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是 ( )
A. B.
C. D.
5.在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后所得的抛物线的表达式为( )
A. B.
C. D.
6.如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点下列说法：；；；若，是抛物线上的两点，则；其中其中说法正确的是( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，二次函数的图象与轴相交于，两点，则以下结论：；对称轴为；；其中正确的个数为( )
A. B. C. D.
8.已知抛物线是常数，经过点，，当时，与其对应的函数值有下列结论：关于的方程有两个不相等的实数根其中，正确结论的个数是( )
A. B. C. D.
9.抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断中：方程的两个根是，当时，的值随增大而增大其中正确的判断是( )
A. B. C. D.
10.如图，抛物线的顶点在直线上，对称轴为直线，有以下四个结论：，，，当时，，其中正确的结论是( )
A. B. C. D.
11.已知两个二次函数，的图象如图所示，那么函数为常数的大致图象可能为( )
A. B.
C. D.
12.如图，二次函数、、为常数，的图象关于直线对称，抛物线与轴交于，两点若，则下列四个结论错误的是( )
A. B.
C. D. 对于任意实数，都有
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.将二次函数的图像向左平移个单位，再向上平移个单位，所得图像的解析式 ______ ．
14.已知实数，，满足，，则的值为 ．
15.关于二次函数的四个结论：对任意实数，都有与对应的函数值相等；无论取何值，抛物线必过两个定点；若抛物线与轴交于不同两点、，且，则或；若，对应的整数值有个，则或其中正确的结论是_________填写序号
16.如图，二次函数的图象的顶点坐标为，则以下五个结论中：
，
，
，
，
方程有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有：______写序号
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和．
求平移后新抛物线的表达式；
直线与新抛物线交于点，与原抛物线交于点；
如果小于，求的取值范围；
记点在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点的坐标．
18.本小题分
我们约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点，，满足，则称此函数为关于的等和函数，这两点叫做关于的等和点．
下列函数中，是关于的等和函数的是______；
；
；
．
若点，在双曲线上，且，两点是关于的等和点，求的值；
若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为若，两部分组成的图象上恰有两个关于的等和点，请求出的取值范围．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，设二次函数是实数．
当时，若点在该函数图象上，求的值．
小明说二次函数图象的顶点可以是，你认为他的说法对吗？为什么？
已知点，都在该二次函数图象上，求证：．
20.本小题分
如图，若二次函数的图象与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点．
求，两点的坐标；
若，为二次函数图象上一点，求的值．
21.本小题分
已知二次函数的图象经过点，，且当，时，．
求的值；
若，也是该二次函数图象上的两个点，且，求实数的取值范围；
若点不在该二次函数的图象上，求的取值范围．
22.本小题分
画出函数的图象，利用图象回答：
方程的解是什么？
取什么值时，函数值大于？
取什么值时，函数值小于？
23.本小题分
如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”例如，方程的两个根是和，则方程就是“倍根方程”．
若一元二次方程是“倍根方程”，则______；
若方程是倍根方程，且相异两点，，都在抛物线上，求一元二次方程的根．
24.本小题分
在平面直角坐标系中，已知抛物线．
求抛物线的顶点坐标用含的代数式表示；
将抛物线在轴右侧的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，得到图形，点在图形上．
当时，求的取值范围；
若的取值范围为全体实数，直接写出符合题意的的取值范围．
25.本小题分
已知：二次函数的图象经过点．
求的值；
设、、均在该函数图象上，
当时，、、能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；
当取不小于的任意实数时，、、一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：抛物线过点，，
对称轴是直线，
又抛物线与轴只有一个交点，
设抛物线解析式为，
把代入，得．
故选：．
根据点、的坐标易求该抛物线的对称轴是直线故设抛物线解析式为，直接将代入，通过解方程来求的值．
本题考查了抛物线与轴的交点．解答该题的技巧性在于找到抛物线的顶点坐标，根据顶点坐标设抛物线的解析式．
2.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了一次函数、二次函数和反比例函数的图象上点的坐标特征，根据一次函数、二次函数的解析式分别求出当时的值和根据反比例函数的图象与坐标轴没有交点，即可得出答案．
【解答】
解：对于一次函数，当时，，图像与轴的交点在轴的负半轴上，不符合题意；
对于反比例函数，图象与坐标轴没有交点，不符合题意；
对于二次函数，当时，，图象与轴的交点在轴负半轴上，不符合题意；
对于二次函数，当时，，图象与的交点在轴的正半轴，符合题意．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，观察二次函数图象判断出、的取值是解题的关键．
根据二次函数图象判断出，，然后求出，再根据一次函数与反比例函数图象的性质判断即可．
【解答】
解：由图可知，，
所以，，
所以，一次函数经过第二、三，四象限，且与轴相交于点，
反比例函数的图象位于第一、三象限，
纵观各选项，只有选项图形符合．
故选D．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一次函数的图象与系数的关系以及二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是得出两函数与轴交于点．
分及分析，结合两函数与轴交于点即可判断．
【解答】
解：当时，一次函数经过第一，二，三象限，二次函数开口向上，与轴交于轴下方；
当时，一次函数经过第二，三，四象限，二次函数开口向下，与轴交于轴上方．
由一次函数可知，一次函数的图象与轴交于点，由二次函数可知，二次函数与轴交于点，
即两函数与轴交于点．
则符合的是．
故选C．
5.【答案】
【解析】解：将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后所得的抛物线的表达式为：即，
故选：．
根据图象的平移变换规律：左加右减，上加下减，求得即可．
本题考查了二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
6.【答案】
【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，
，
抛物线与轴的交点在轴上方，
，
，所以正确；
抛物线经过点，
时，，
，所以错误；
对称轴为，且经过点，
抛物线与轴的另一个交点为，
，
，
，所以正确；
点离对称轴要比点离对称轴要远，
，所以正确；
抛物线开口向下，对称轴为，
当时，，
，
，即其中，所以正确．
故选：．
根据抛物线开口方向得到，根据抛物线的对称轴得，则，根据抛物线与轴的交点在轴上方得到，则，于是可对进行判断；由于经过点，则得到，则可对进行判断；根据对称轴和一个与轴的交点，求得另一个交点，由根与系数的关系即可得出，则得到，于是可对进行判断；通过点，离对称轴的远近对进行判断；根据函数的最值可对进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右．简称：左同右异抛物线与轴交于抛物线与轴交点个数：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
7.【答案】
【解析】解：对于：二次函数开口向上，故，与轴的交点在的负半轴，故，故，因此正确；
对于：二次函数的图象与轴相交于、，由对称性可知，其对称轴为：直线，因此错误；
对于：抛物线的对称轴是直线，，即，抛物线经过点，，，因此正确；
对于：当时对应的，观察图象可知时对应的函数图象的值在轴下方，故，因此错误．
故选：．
根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及过特殊点时系数、、满足的关系综合判断即可．
本题考查了二次函数的图象与其系数的关系及二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的图象性质是解决此类题的关键．
8.【答案】
【解析】抛物线是常数，经过点，，，．．当时，与其对应的函数值，．，解得．．，故正确．可以画出函数的大致图象如图由图象得出函数的图象与直线有两个交点，关于的方程有两个不相等的实数根，故正确．，，．，．，故正确．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程有关知识，根据函数图象进行判断即可．
【解答】
解：抛物线开口向上，
，
对称轴在轴的左边，
、同号，
，故正确，
抛物线的对称轴为直线，
而点关于直线的对称点的坐标为，
方程的两个根是，，故正确，
当时，的值随增大而增大，故正确．
综上，正确的判断是．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】根据二次函数图象的开口方向和对称轴即可判断，将代入即可判断，求出抛物线的顶点坐标，将其代入一次函数解析式中即可判断，根据图象即可判断．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
，所以正确，符合题意；
时，，
即，
，
，
，
，所以错误，不符合题意；
当时，，
抛物线的顶点坐标为，
把代入得，
，所以正确，符合题意；
当时，，
即，
，所以正确，符合题意．
综上：正确的是
故选：．
此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系是解决此题的关键．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是二次函数的图象与系数的关系的有关知识，根据二次函数，的图象可得，然后再进行求解即可．
【解答】
解：由二次函数，的图象可得，
，
函数为常数的图象开口向下，
函数为常数的图象可能为
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，掌握数形结合思想的应用，二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性是解题的关键．
根据二次函数的对称性，即可判断；由开口方向和对称轴即可判断；根据抛物线与轴的交点和时的函数的取值，即可判断；根据抛物线的最低点，当时，取得最小值，可得，从而得到，即可判断．
【解答】
解：二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，两点，且，
，故A正确；
二次函数的图象关于直线对称，
其对称轴为直线，即，
，
．
由图象可知该抛物线开口向上，
，
，故B错误；
抛物线与轴有两个交点，
．
由图象结合题意可知当时，，
，
．
，
，
，
，故C正确；
由图象可知，当时，取得最小值，最小值为，
所以当取任意实数，对应的，
，故D正确；
故选B．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查二次函数图象的平移，掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．
利用平移的规律“左加右减，上加下减”可得到答案．
【解答】
解：把二次函数的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位，所得图象的函数解析式为．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可．
【详解】
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，整体思想的应用，解题的关键是掌握以上知识点．
15.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系、一元一次不等式组的整数解，掌握这几个知识点的综合应用，其中分情况讨论及二次函数的性质的应用是解题关键．先求二次函数对称轴，根据对称轴来判断与对应的的两个点是是关于直线对称，从而得出判断；
根据二次函数的对称性直接判断结论是正确的；
设，，且，根据根与系数的关求出两根之和两根之积，从而表示长，再根据已知条件分两种情况分别讨论，得出的取值范围；
根据已知条件分两种情况分别讨论，当时，若，随的增大而增大，得，再根据的整数值有个，得；当时，若，随的增大而减小，方法和第一种情况类似，求出，从而的出最终结论．
【解答】
解：二次函数对称轴为直线，
，
与关于直线对称，
对任意实数，都有与对应的函数值相等，正确；
对称轴为直线，与轴的交点为，
抛物线也过点，
无论取何值，抛物线一定过两个定点和，正确；
若抛物线与轴交于不同两点，，
设，，且，
，是方程的两个不同的根，
，，
，
，
，
当时，解不等式得，
当时，解不等式得，
综上所述：或，
若抛物线与轴交于不同两点，
，
或，
综上所述：或，错误；
当时，若，随的增大而增大，
当时，，
当时，，
，
的整数值有个，
，
，
当时，若，随的增大而减小，
，
的整数值有个，
，
，
综上所述：或，正确．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：抛物线开口向下，因此，
对称轴，、异号，因此，
抛物线与轴交于正半轴，因此，
所以，因此错误；
对称轴为，即，即，因此正确；
由抛物线的顶点的位置可知，，而，
所以，即，因此错误；
因为当时，，
，
，
，因此正确；
由图可知，二次函数的图象开口向下，函数有最大值，最大值为，
抛物线与直线有两个交点，
关于的方程有两个不相等的实数根，故正确．
综上所述，正确的有．
故答案为：．
根据二次函数的图象和性质，即抛物线的开口方向，对称轴，与轴、轴的交点坐标以及最大值最小值逐项进行判断即可．
本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
17.【答案】解：设平移抛物线后得到的新抛物线为，
把和代入，
可得：，解得：，
新抛物线为；
如图，设，则，
，
小于，
，
，
，
；
，
平移方式为：向右平移个单位，向下平移个单位，
由题意可得：在的右边，当时，
轴，
，
，
由平移的性质可得：，即；
如图，当时，则，过作于，
，
∽，
，
设，则，，，
，
解得：不符合题意舍去；
综上：．
【解析】设平移抛物线后得到的新抛物线为，把和代入，可得答案；
如图，设，则，，结合小于，可得，结合，从而可得答案；
先确定平移方式为：向右平移个单位，向下平移个单位，由题意可得：在的右边，当时，可得，结合平移的性质可得答案如图，当时，则，过作于，证明∽，可得，设，则，，，再建立方程求解即可．
本题属于二次函数的综合题，抛物线的平移，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
18.【答案】
【解析】解：把，代入得：，
，
；
把，代入得：，
，
当，且，互为倒数时，
；
把，代入得：，，
，，
假设，解得：，与题意不符，
是关于的等和函数的是；
故答案为：；
由题意得：，，解得；
在上取点，点关于直线的对称点为，
则由对称性知，消得：，
，两部分的图象如下，
当，解得，，
，
当与仅有一个交点时，，，解得：，
当与仅有一个交点时，，，
解得：，
当过时，解得：，
的取值范围为或．
根据等和函数的定义求解即可；
根据等和函数的定义和反比例函数上点的特征列方程求解即可；
先求出函数沿直线翻折后的解析式，再分别求出当与仅有一个交点时和当与仅有一个交点时的值，结合图象即可求解．
本题考查一次函数的应用，涉及到新定义等和函数，正确理解概念和一次函数的联系是解题关键．
19.【答案】解：当时，则，
点在该函数图象上，
；
若顶点是，则，，
由得，由得，
故小明说法错误；
点，都在该二次函数图象上，
对称轴为直线，
，
，
，
，
．
【解析】把点代入解析式即可求得；
根据题意得出，，两个等式求得的的值不同，即可判断小明说法错误；
由点，的纵坐标相同，即可求得对称轴为直线，即可得出，求得，得到，代入解析式即可得到，根据二次函数的性质即可证得结论．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
20.【答案】解：当时，，解得，，
，；
把代入得，
解得，，
的值为或．

【解析】【分析】通过解方程得、的坐标；
把，代入得，然后解关于的方程即可．
21.【答案】解：二次函数的图象经过点，，且当，时，．
点、关于对称轴对称，
抛物线的对称轴为直线，
，
解得；
，也是该二次函数图象上的两个点，且，
，
解得；
由题意得，抛物线与直线没有交点，
即方程没有实数根，
整理得，，
解得，
故的取值范围为．
【解析】根据抛物线的对称性得到对称轴为直线，再根据对称轴公式列得，由此求出；
将点、代入函数解析式得到不等式，由此得到的取值范围；
由抛物线与直线没有交点，即方程没有实数根，根据判别式列得，由此求出的取值范围．
此题考查了二次函数图象上点的特征，二次函数的对称性，用所学知识解决问题，学会数形结合法解决问题，属于中考常考题型．
22.【答案】【小题】，
【小题】当或时，函数值大于．
【小题】当时，函数值小于

【解析】 略
略
略
23.【答案】
【解析】解：设一元二次方程的根是，，
则，得，则，
，得，
故答案为：；
不同的两点，都在抛物线上，
该抛物线的对称轴是直线，
设抛物线与轴的两个交点为，，
方程是倍根方程，
方程的两个根为，，
，
假设，
则，得，
，
即一元二次方程的根是，．
根据题意和题目中的方程，可以求得的值；
根据题意和二次函数的性质可以求得一元二次方程的根．
本题考查抛物线与轴的交点、根的判别式、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
24.【答案】解：，
抛物线的顶点坐标为；
当时，二次函数解析式是，
对称轴为直线，顶点为，
将抛物线在轴右侧的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，
图形如图所示：
点在图形上，
由图象可知，的取值范围为全体实数；
当对称轴为轴或对称轴在轴右侧时，即：，一定满足的取值范围为全体实数，
当对称轴在轴左侧，且顶点纵坐标等于抛物线在轴右侧的部分沿轴翻折后与轴的交点的坐标时，满足的取值范围为全体实数，
即：，
解得：或舍去，
当对称轴在轴左侧，且顶点纵坐标小于抛物线在轴右侧的部分沿轴翻折后与轴的交点的坐标时，满足的取值范围为全体实数，
即：，
综上：当时，的取值范围均为全体实数，
的范围为：．
【解析】将抛物线的解析式转化为顶点式即可得出结果；
求出时的函数解析式，数形结合求出的取值范围即可；分抛物线的对称轴在轴上，轴左侧，轴右侧，分情况进行讨论求解即可．
本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，运用数形结合思想．
25.【答案】解：把代入二次函数得：，
．
答：当时，、、不能作为同一个三角形三边的长．
理由是当时，、、，
代入抛物线的解析式得：，，，
，
当时，、、不能作为同一个三角形三边的长．
理由是：把、、代入得：
，，，
，
，，，都是的，
，
，
根据三角形的三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边也可求出两小边的和大于第三边，
当取不小于的任意实数时，、、一定能作为同一个三角形三边的长．
【解析】把代入二次函数，求出；
不能，因为代入求出，，，不符合三边关系定理；求出的值即可．
本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，能正确根据定理进行计算是解此题的关键．
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