1.3二次函数的性质 浙教版初中数学九年级上册同步练习（含详细答案解析）

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1.3二次函数的性质浙教版初中数学九年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点，，均在抛物线上，下列说法中正确的是( )
A. B. C. D.
2.若，，为抛物线上的三点，且总有，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知点，在抛物线上，当且时，都有，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.二次函数的图象如下图所示，给出下列结论：当时，随的增大而减小其中正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5.小飞研究二次函数为常数性质时如下结论：
这个函数图象的顶点始终在直线上；
存在一个的值，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形；
点与点在函数图象上，若，，则；
当时，随的增大而增大，则的取值范围为．
其中错误结论的序号是( )
A. B. C. D.
6.如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线则下列结论：函数的最大值为若关于的方程无实数根，则正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7.已知在二次函数中，与的部分对应值如下表．
当的取值范围是时，的最大值是( )
A. B. C. D.
8.在平面坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其中现将此抛物线向上平移，平移后的抛物线与轴交于，两点，且，下列结论正确的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
9.已知二次函数当时，的取值范围是，且该二次函数的图象经过点，两点，则整数解的个数为( )
A. B. C. D. 无数个
10.已知二次函数为实数，且，对于满足的任意一个的值，都有，则的最大值为( )
A. B. C. D.
11.已知点，，都在抛物线上当，，时，，，三者之间的大小关系是( )
A. B. C. D.
12.已知二次函数，当时，的取值范围是，且该二次函数的图象经过点，两点，则的值不可能是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.二次函数的最大值是__________．
14.如图，抛物线的对称轴为，点、点是抛物线与轴的两个交点，若点的坐标为，则点的坐标为 ．
15.二次函数中，当时，，则________．
16.已知二次函数在有最大值，则所有满足条件的实数的值为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知抛物线经过点，．
求，的值；
若，是抛物线上不同的两点，且，求的值．
18.本小题分
如图，直线与抛物线相交于和两点，点是线段上异于，的动点，过点作轴于点，交抛物线于点．
求抛物线的解析式
是否存在这样的点，使线段的长有最大值若存在，求出这个最大值若不存在，请说明理由．
19.本小题分
如图，已知经过原点的抛物线与轴交于另一点．
求的值和抛物线顶点的坐标；
求直线的解析式．
20.本小题分
已知抛物线的解析式是．
求证：此抛物线与轴必有两个不同的交点
若抛物线与直线的一个交点在轴上，求该二次函数的顶点坐标．
21.本小题分
在劳动课上，小华同学所在小组进行了风筝框架设计比赛．
小华设计的风筝框架平面图如图，已知，，与交于点．
求证：．
小明提出了改进建议：制作风筝框架只需要两个支架和如图，当垂直平分时即可固定风筝．
现在有总长度为的细木条用于制作该风筝框架，小明同学想做面积最大的风筝，请你帮他设计：当为何值时，风筝的面积最大，面积最大值为多少
22.本小题分
已知抛物线，，．
若抛物线经过点，，与轴的另一个交点是．
求抛物线的解析式；
过点作轴，垂足为延长至点，连接，若，求点的坐标；
当时，已知点，在抛物线上，直线与直线交于点，有成立，直接写出的取值范围．
23.本小题分
已知抛物线交轴于，两点，为抛物线的顶点，，为抛物线上不与，重合的相异两点，记中点为，直线，的交点为．
求抛物线的函数表达式；
若，，且，求证：，，三点共线；
小明研究发现：无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
24.本小题分
如图，一次函数与二次函数的图象交于，两点．
求二次函数的解析式；
求一次函数的解析式；
根据图象直接写出使的的取值范围．
25.本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
求抛物线的解析式．
如图，有一宽度为的直尺平行于轴，在点，之间平行移动，直尺两边被线段和抛物线截得两线段，设点的横坐标为，且，求当为何值时．
如图，在的条件下，当时，作射线，是射线上一动点，当取最小值时，试求点坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】略
2.【答案】
【解析】略
3.【答案】
【解析】根据题意，得抛物线的对称轴为，当时，恒成立当时，恒不成立当时，使，恒成立，，，当时，恒不成立综上可得：
4.【答案】
【解析】抛物线开口向上，且与轴交于负半轴，，，，结论正确抛物线的对称轴为直线，，．抛物线经过点，，，即，结论正确抛物线与轴有两个交点，，即，结论正确抛物线开口向上，且抛物线的对称轴为直线，当时，随的增大而减小，结论错误．
5.【答案】
【解析】解：二次函数为常数
顶点坐标为且当时，
这个函数图象的顶点始终在直线上
故结论正确；
假设存在一个的值，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形
令，得，其中
解得：，
顶点坐标为，且顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形
解得：或
当时，二次函数，此时顶点为，与轴的交点也为，不构成三角形，舍去；
存在，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形
故结论正确；
二次函数为常数的对称轴为直线
点离对称轴的距离小于点离对称轴的距离
，且
故结论错误；
当时，随的增大而增大，且
的取值范围为．
故结论正确．
故选：．
根据函数解析式，结合函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性依次对个结论作出判断即可．
本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，是一道综合性比较强的题目，需要利用数形结合思想解决本题．
6.【答案】
【解析】变形为：，由题意，得，将，，代入得：，因为，则，则，又，正确．
7.【答案】
【解析】解：将，，代入，得：
，解得：，
二次函数的表达式为，
二次函数图象开口向上，对称轴为直线，
当时，；
当时，．
时，的最大值是．
故选：．
利用待定系数法即可求出二次函数的表达式，即可求得抛物线的开口方向和对称轴，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出当及时的值，即可找出时，的最大值．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用二次函数图象上点的坐标特征结合二次函数的性质，找出时，的最大值．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抛物线与轴的交点，平移的性质以及函数的图象，解题关键是利用数形结合的思想进行解答．
根据平移的性质画出函数图象，由函数的性质结合函数图象解答即可．
【解答】
解：如图所示：
抛物线的对称轴为直线，
，且．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是二次函数的性质，二次函数的图象上点的坐标特征的有关知识，依据题意，可得该抛物线的对称轴和开口方向，并通过比较两点的纵坐标可知两点离对称轴的远近关系，由此可列不等式，求出范围，进而选出符合条件的选项．
【解答】
解：根据题意可知，该二次函数开口向上，
对称轴为．
，
与点相比，点更靠近对称轴．
，整理得．
．
．
满足题意的整数为，，共个．
10.【答案】
【解析】解：函数，且，
该函数图象的开口方向向下，对称轴为直线，该函数有最大值，其最大值为，
若要满足的任意一个的值，都有，
则有，解得，
对于该函数图象的对称轴，的值越小，其对称轴越靠左，
的值越小，满足的的值越小，
当取的最大值，即时，令，
解得，，
满足的的最大值为，
即的最大值为．
故选：．
由该二次函数解析式可知，该函数图象的开口方向向下，对称轴为直线，该函数的最大值为，由题意可解得，根据函数图象可知的值越小，其对称轴越靠左，满足的的值越小，故令即可求得的最大值．
本题主要考查了二次函数图象与性质，解题关键是理解题意，借助函数图象的变化分析求解．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数图象上各点的坐标特征是解答此题的关键．
抛物线得对称轴为，由得抛物线开口向下，当时，随的增大而增大当时，随的增大而减小，离对称轴距离越远越小．然后再根据点与对称轴的距离判定，，的大小即可得到结果．
【解答】
解：
对称轴为，
，
抛物线开口向下，
当时，随的增大而增大当时，随的增大而减小，离对称轴距离越远越小，
，，，
点到对称轴的距离最远，点到对称轴的距离最近，
，
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二次函数的性质有关知识，根据时，的取值范围是，可得抛物线图象开口方向及对称轴直线方程，再根据二次函数的性质进而求解．
【解答】
解：如图，
二次函数，当时，的取值范围是，
二次函数开口向上，对称轴为直线，该二次函数的图象经过点，两点，
点关于对称轴的对称点为，
，
不可能是
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二次函数的最值，掌握二次函数最值的求解方法是解题关键，先将二次函数化为顶点式，然后再确定最值即可．
【解答】
解：因为，且，
所以当时，取最大值，且最大值为．
14.【答案】
【解析】略
15.【答案】
【解析】解：将、代入，
得：，
解得：，
故答案为．
将、代入，解方程即可得．
本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
16.【答案】或
【解析】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
二次函数在有最大值，
当时，时，，
解得，
，符合题意；
当时，时，，
解得，
，符合题意；
满足条件的实数的值为或．
故答案为：或．
由二次函数解析式可得抛物线开口方向和对称轴，进而求解．
本题考查二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数性质．
17.【答案】解：把点，代入得，，
解得：；
由得函数解析式为，
把代入得，，
，
，对称轴为，
，
．
【解析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和待定系数法求解析式，解方程组，正确理解题意是解题的关键．
把点，代入解方程组即可得到结论；
把代入得到，于是得到，再根据对称轴，即可得到结论．
18.【答案】【小题】
把代入，得，解得，一次函数解析式为把代入，得，即，把，代入，得解得抛物线解析式为
【小题】
存在设，轴，，，当时，的长有最大值，最大值为．

【解析】 见答案
见答案
19.【答案】解：抛物线与轴交于另一点，
，
，
，
顶点的坐标为，
设直线的解析式为，
图象过，，
，
解得，
直线的解析式为．
【解析】将代入抛物线解析式即可求出的值，然后将关系式化为顶点式即可得出顶点坐标；
设直线的解析式为，将点，的坐标代入即可．
本题主要考查了待定系数法求函数的关系式，以及二次函数顶点式的转化，属于常考题型．
20.【答案】【小题】
，此抛物线与轴必有两个不同的交点
【小题】
抛物线与直线的一个交点在轴上，，解得，则抛物线解析式为，所以该二次函数的顶点坐标为

【解析】 见答案
见答案
21.【答案】解：证明：因为，，
所以点在的中垂线上，点在的中垂线上，
所以垂直平分，
所以．
设，则，
因为和相互垂直，
所以
．
当时，风筝的面积最大，最大面积是．
【解析】本题考查垂直平分线的性质和二次函数的应用，属于中档题．
利用垂直平分线的判定和性质即可证得结论；
求得面积的表达式，利用二次函数性质即可求解．
22.【答案】解：将点，代入，
解得
抛物线的解析式为
，
，
当时，，
解得或，
，
，
，，
，
，
，
，
设，
，
解得，
；
，
，
直线的解析式为，
，
或，
当时，，点在直线上方，
，
解得
时，，点在直线上方，
，
解得
综上所述：或．
【解析】用待定系数法求函数的解析式即可
由，，可得，从而推导出，则，设，由，可求
当时，，点在直线上方，，解得时，，点在直线上方，
，解得．
本题考查二次函数的图象及性质，用待定系数法求函数的解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
23.【答案】解：因为抛物线经过点，，
所以
解得
所以抛物线的函数表达式为；
证明：设直线对应的函数表达式为，
因为为中点，所以，
又因为，
所以，解得
所以直线对应的函数表达式为，
因为点在抛物线上，所以，
解得，，或，
又因为，所以，
所以，
因为，即满足直线对应的函数表达式，
所以点在直线上，即，，三点共线；
的面积为定值，其面积为．
【解析】见答案；
见答案；
的面积为定值，其面积为．
理由如下：
如图，当，分别运动到点，的位置时，，与，分别关于直线对称，此时仍有，，三点共线．
设与的交点为，则，关于直线对称，即轴，
此时，与不平行，且不平分线段，
故，到直线的距离不相等，即在此情形下与的面积不相等，
所以的面积不为定值；
如图，当，分别运动到点，的位置，且保持，，三点共线．此时与的交点到直线的距离小于到直线的距离，
所以的面积小于的面积，故的面积不为定值；
又因为，，中存在面积为定值的三角形，故的面积为定值；
在的条件下，，，，
直线对应的函数表达式为；直线对应的函数表达式为，
由，解得
，此时的面积为．
利用待定系数法，构建方程组求解；
求出直线都是解析式，再判断出点的坐标，可得结论；
取特殊位置，判断出，的面积不为定值，可得结论．
本题属于二次函数综合题，考查一次函数和二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
24.【答案】解：由图象可知在二次函数上，
，
，
二次函数的解析式为．
在二次函数上，
，
，则，
又、两点在一次函数上，
，解得，
一次函数的解析式为，
根据图象可知：当或时，．
【解析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，注意数形结合思想在解题中的应用．
把坐标代入二次函数解析式即可求得二次函数解析式；
先求得点坐标，再把，两点坐标代入一次函数解析式即可求得一次函数的解析式；
观察一次函数的图像在二次函数图像下方时的取值．
25.【答案】解：把，代入得：
，解得：，
抛物线的解析式为
当时，，
，
设直线的函数表达式为，
把，代入得：
，解得：，
直线的函数表达式为，
点的横坐标为，
，，，，
，，
，
，
解得：，
当时；
如图，过作射线，使，过作于，过作于，交于点，
则在中，，
，
当点与点重合时，取最小值，
由知：当时，
，
轴，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，代入得，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
解得：，
．
【解析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、两点间线段最短，垂线段最短，待定系数法求二次函数的解析式、坐标与图形性质、二次函数上点的坐标特征、含的直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质、添加适当的辅助线是解题的关键．
把，代入，求出和的值即可得出函数解析式；
先求出的函数表达式为，则，，，，得出，，根据列出方程求解即可；
过作射线，使，过作于，过作于，交于点，根据得，当点与点重合时，取最小值，求出直线的解析式即可得到点的坐标．
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