1.4二次函数的应用 浙教版初中数学九年级上册同步练习（含详细答案解析）

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1.4二次函数的应用 浙教版初中数学九年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.二次函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是 ( )
A. ，
B.
C.
D. 时，不等式一定成立
2.如图所示，在边长为的正方形中，点是边上不与端点重合的一动点，连接、过点作交正方形外角的平分线于点，则有关面积的说法正确的为 ．
A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最大值为 D. 有最小值为
3.如图，四边形的两条对角线相交于点，点在线段上，且，，若有下列结论：
的取值范围是；
的长有两个不同的值满足四边形面积为；
四边形面积最大值为．
其中，正确结论的个数有
　
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4.在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度米与水平距离米之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
5.如图，一次函数和二次函数的图象交于点和点，则的解集是( )
A. B. 或 C. D.
6.已知二次函数，经过点当时，的取值范围为或则如下四个值中有可能为的是( )
A. B. C. D.
7.某小区有一块绿地如图中等腰直角所示，计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，其中点，，分别在边，，上，记，图中阴影部分的面积为，当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系分别是( )
A. 二次函数关系 B. 正比例函数关系 C. 反比例函数关系 D. 一次函数关系
8.长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为( )
A. B.
C. D.
9.如图，一次函数与抛物线相交于、两点，则关于的不等式的解集为( )
A. 或
B.
C.
D.
10.如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是( )
A.
B.
C.
D. 或
11.已知抛物线与轴交于点，，其中下列四个结论：不等式的解集为其中正确结论的序号为( )
A. B. C. D.
12.如表中，记录了二次函数中两个变量与的组对应值，其中，根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.已知二次函数的图像与直线交于点两点，则关于的不等式的解集为_____________．
14.汽车刹车后行驶的距离单位：关于行驶的时间单位：的函数解析式是，汽车刹车后到停下来，所需的时间为______单位：
15.已知二次函数与一次函数的图象相交于点和点，则不等式的解集是 ．
16.如图，公园一处草坪上安装了一个可升降的喷水浇灌装置，喷水口可以上下移动，喷出的水流呈抛物线形状，其形状大小始终保持一致．已知公园喷水装置灌溉时水流所在抛物线的函数表达式为，若想浇灌到距离该装置处的一棵古树的树根，则此喷水装置需要向上移动的距离是________．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
小明投资销售一种进价为每件元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量件与销售单价元之间的关系可近似的看作一次函数：，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的．
设小明每月获得利润为元，求每月获得利润元与销售单价元之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围．
当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
如果小明想要每月获得的利润不低于元，那么小明每月的成本最少需要多少元？成本进价销售量
18.本小题分
某种商品每件的进价为元，若每件按元的价格销售，则每月能卖出件若每件按元的价格销售，则每月能卖出件假定每月的销售件数是销售价格单位：元的一次函数．
求关于的一次函数表达式
当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大并求此最大利润．
19.本小题分
在“乡村振兴”行动中，某村办企业以，两种农作物为原料开发了一种有机产品．原料的单价是原料单价的倍，若用元收购原料会比用元收购原料少生产该产品每盒需要原料和原料，每盒还需其他成本元．经市场调查发现：该产品每盒的售价是元时，每天可以销售盒；每盒每涨价元，则每天少销售盒．
求每盒产品的成本成本原料费其他成本；
设每盒产品的售价是元是整数，每天的利润是元，求关于的函数表达式不需要写出自变量的取值范围；
若每盒产品的售价不超过元是大于的常数，且是整数，直接写出每天的最大利润．
20.本小题分
如图，排球场长为，宽为，网高为队员站在底线点处发球，球从点的正上方的点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点时，高度为即这时水平距离，以直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，如图．
若球向正前方运动即轴垂直于底线，求球运动的高度与水平距离之间的函数关系式不必写出取值范围并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由；
若球过网后的落点是对方场地号位内的点如图，点距底线，边线，问发球点在底线上的哪个位置？参考数据：取
21.本小题分
某工厂计划从，两种产品中选择一种生产并销售，每日产销件．两种产品成本价、售价及每日需支付的专利费如下表所示：
成本价元件 售价元件 每日需支付的专利费元
为常数，且
其中产品每日最多产销件，产品每日最多产销件，产品每日需支付专利费元与每日产销件满足关系式 ．
若产销，两种产品的日利润分别为 元， 元，请分别写出， 与的函数关系式，并写出的取值范围；
分别求出产销，两种产品的最大日利润；产品的最大日利润用含的代数式表示
为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．
22.本小题分
如图所示，为抛物线在第一象限内的一点，点的坐标为．
设点的坐标为，试求出为坐标原点的面积与点的横坐标之间的函数关系式
试在图所给的网格图中建立平面直角坐标系，并画出关于的函数图象．
23.本小题分
综合与实践
【发现问题】
当运动中的赛车撞到物体时，赛车所受的损坏程度可以用“撞击影响”来衡量，而赛车的撞击影响与赛车行驶速度存在某种函数关系以下是某型号赛车的行驶速度与撞击影响的试验数据：
请在图中描出上表对应的点，并用光滑的曲线连接．
【猜想验证】
观察图象并猜测：是的 函数请你据此求出关于的函数表达式，并验证所求表达式的合理性．
【实际应用】
年某车队搭载引擎的赛车马力达到了接近匹，在某赛道跑出的极速利用你得到的撞击影响公式，计算此速度的撞击影响是多少
24.本小题分
“五一”黄金周期间，丹尼斯百货计划购进，两种商品已知购进件商品和件商品需元购进件商品和件商品需元．
，两种商品的进货单价分别是多少
设商品的销售单价为单位：元件，在销售过程中发现：当时，商品的日销售量单位：件与销售单价之间存在一次函数关系，，之间的部分数值对应关系如表：
销售单价元件
日销售量件
请写出当时，与之间的函数关系式
在的条件下，设商品的日销售利润为元，当商品的销售单价元件定为多少时，日销售利润最大最大利润是多少
25.本小题分
中秋节来临前夕，某蛋糕店购进一种品牌月饼，每盒进价是元，蛋糕店规定每盒售价不得少于元，根据以往销售经验发现：当售价定为每盒元时，每天可卖出盒，每盒售价每提高元时，每天要少卖出盒，请解答下列问题：
若每盒月饼售价提高元，求每天可卖出多少盒，销售利润为多少元；
设每天的销售利润为元，每盒售价提高元为整数，求出与之间的函数解析式；
当每盒售价定为多少元时，每天销售的总利润最大？最大利润是多少？
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右．简称：左同右异；常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
根据抛物线开口方向和抛物线的对称轴位置对进行判断；根据抛物线与轴的交点个数对进行判断；根据抛物线对称轴对进行判断；根据抛物线与轴的交点的坐标对进行判断．
【解答】
解：抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴在轴右侧，
，
，所以不符合题意；
抛物线与轴有个交点，
，所以不符合题意；
由图可知：抛物线的对称轴是直线，
，
，所以不符合题意；
由对称可知：抛物线与轴的交点为：，，
当时，不等式，则时，不等式一定成立，所以符合题意；
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、二次函数的应用等知识点，求出 面积的解析式成为解题的关键．
如图：连接 ，过作 交 于，过作 于，先证明 可得 ，再证 ，进而得到 ，设 ，则 ，进而得到 ，最后根据二次函数的性质求最值即可解答．
【解答】
解：如图：连接 ，过作 交 于，过作 于，
四边形 为正方形；
，
，
，
，
，
正方形外角的平分线 ，
，
，

，即 ，
，
，
，
，
，
，
，
， ， ，
，
，
，
，
设 ，则 ，
，
当 时，即 时， 面积有最大值 ．
故选C．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了三角形的三边关系，三角形的面积，一元二次方程的应用，二次函数的应用，解答本题的关键是掌握利用一元二次方程、二次函数解决几何问题的思路与方法；根据三角形的三边关系对结论作出判断；设，则，根据四边形的面积为构造关于的方程，解方程，即可对结论作出判断；设，则，根据，得到关于的二次函数，再根据二次函数最大值的求法进行解答，即可对结论作出判断；综合上述情况，即可求解．
【解答】
解：在中，，，
，
的取值范围是，故结论正确；
，
设，则，
于，
，
又四边形的面积为，
，解得，，
或时，四边形的面积为，故结论正确；
，
设，则，
由可知，，
，
，
当时，有最大值，的最大值为，故结论正确；
综上所述，正确结论的个数有个．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】小宇此次实心球训练的成绩就是抛物线，与轴交点的横坐标，即当时，求的值即可．
【详解】解：当时，即，
解得：舍去，，
所以小宇此次实心球训练的成绩为米，
故选：．
【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
5.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查待定系数法求解析式，函数与不等式之间的关系．先求得和的值，联立求得点的坐标，然后观察函数图象即可求解．
【详解】
解：一次函数和二次函数的图象交于点
由题意可得 和 ，
解得 和 ，
一次函数和二次函数的解析式分别为 和 ，
联立得 ，解得 或 ，
当 时， ，
，
观察图象可得，当 时，一次函数的图象位于二次函数图象的上方，
不等式 的解集为 ，
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了二次函数的性质，二次函数与不等式，解答本题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征；根据当时，的取值范围为或，得出，是抛物线上的两点，进而得出抛物线得对称轴为直线，即，求出，进一步得出，抛物线的顶点坐标为，当时，的取值范围为或，得出，求出，将点代入中，得，求出，进而得出四个值中有可能为的是，即可求解．
【解答】
解：当时，的取值范围为或，
，是抛物线上的两点，
抛物线得对称轴为直线，
即，
，
，
抛物线的顶点坐标为，
又当时，的取值范围为或，
，
，
将点代入中，得，
，
四个值中有可能为的是．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：设为常数，是等腰直角三角形，
在中，，，
为等腰直角三角形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
与成二次函数关系．
故选：．
设为常数，根据等腰直角三角形的性质得到，根据矩形的性质得到，根据三角形和矩形的面积得到结论．
本题考查了二次函数的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，正确地作出函数解析式是解题的关键．
8.【答案】
【解析】略
9.【答案】
【解析】解：由题意，关于的不等式的解集为函数的图象在函数的图象上方部分对应的自变量的取值范围，
又一次函数与抛物线相交于、两点的横坐标分别为，，
结合图象可得，不等式的解集为或．
故选：．
依据题意，由关于的不等式的解集就是函数的图象在函数的图象上方部分对应的自变量的取值范围，进而结合图象即可判断得解．
本题主要考查了二次函数与不等式组的关系，解题时要能根据函数图象找出相应自变量的取值是关键．
10.【答案】
【解析】解：由图象可知，时，．
故选A．
本题考查二次函数与不等式，二次函数的图象．
根据函数图象写出直线以及上方部分的的取值范围即可．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数与二次函数综合，二次函数与不等式，根据抛物线的开口方向、对称轴的位置、与轴的交点等有效信息推导出系数之间的关系；
由对称轴的位置确定和的正负，从而确定的正负性；
取，通过其对应的函数值的正负确定的正负性；
通过交点进行换元，再通过对称轴的范围确定的正负性；
构造函数，它对应的函数图象恰好是交点和所在直线，所以要求不等式的解集，可以找到图象中抛物线的函数值大于直线函数值的区间；
【解答】
解：由题意画出图象如下：
由交点，及可知：，
对称轴：，即，
又，，
，正确；
令，得，错误；
由交点，及可知：
对称轴：，即，，
，即，
将代入解析式可得：，
，
，错误；
设过点和的直线方程为，则，解得
直线的解析式为
由图象可以看出抛物线函数值大于直线函数值的区间为，
所以不等式的解集为，正确．
12.【答案】
【解析】解：由、可得抛物线对称轴，
又由、以及对称轴可得，
抛物线与轴的交点为、，则设抛物线交点式为，
与对比可得，解得，
二次函数表达式为，
当时，；
当时，；
当时，最大值，
，
当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，
，
故选：．
根据表中数据得出对称轴，进而得到抛物线与轴的交点，利用交点式得到，从而得到二次函数表达式为，根据当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，可得．
本题考查二次函数图象与性质，掌握二次函数表达式的求法是解决问题的关键．
13.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查了二次函数与不等式的应用，解题关键是熟练运用数形结合的思想分析问题．
由题意，可大致画出函数图像，根据图形即可求解．
【详解】解：由题意，可大致画出函数图像如下，
，
，
观察函数图像的解集为，
即关于的不等式解集为，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：，
当时，取得最大值，
即汽车刹车后到停下来前进了，
故答案为：．
求出函数的最大值时自变量的值即可得．
本题主要考查二次函数的应用，根据题意理解其最大值的实际意义是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：根据题意画出函数大致图象如图，
观察函数图象知，当时，抛物线在直线的上方，即，
不等式的解集是．
故答案为：．
此题主要考查了二次函数与不等式的关系，利用数形结合思想是解题的关键．
根据题意画出函数大致图象，根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象上方部分的的取值范围即可．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是二次函数的应用有关知识，先求出平移后的解析式，然后再将代入计算
【解答】
解：设需要向上移动，则移动后的解析式为
将代入函数中可得：
解得：
则喷水装置需要向上移动的距离是
17.【答案】解：由题意，得：
，
每件的利润不高于成本价的，
每件的最高售价为元
即；
函数的图象的对称轴是直线，
又，抛物线开口向下，
当时，随着的增大而增大，
当时，
答：当销售单价定为元时，每月可获得最大利润，最大利润是元．
取得，
解这个方程得：，．
，抛物线开口向下．
当时，．
当时，．
设每月的成本为元，由题意，得：
，
随的增大而减小．
当时，的值最小，．
答：想要每月获得的利润不低于元，小明每月的成本最少为元．
【解析】【分析】
此题考查二次函数的性质及其应用，还考查抛物线的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．
由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润定价进价销售量，从而列出关系式；首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可；
根据抛物线的性质和图象，求出每月的成本．
18.【答案】【小题】
设，把，和，代入，可得解得：
【小题】
设每月所获的利润为元，．当时，有最大值，最大值为．

【解析】 见答案
见答案
19.【答案】【小题】
解：设原料的单价为元，则原料的单价为元． 根据题意，得， 解得 经检验，是所列方程的解，且符合题意．，每盒产品的成本是元．
【小题】
根据题意，得，关于的函数表达式为．
【小题】
由知，当时，每天的最大利润为元， 当时，每天的最大利润为元．

【解析】 略
略
略
20.【答案】解：设抛物线的表达式为：，
将，代入上式并解得：，
故抛物线的表达式为：；
当时，，
当时，，
故这次发球过网，但是出界了；
如图，分别过点，作边线的平行线交于点，
在中，，
当时，，
解得：或舍去，
，而，
故，
，
发球点在底线上且距右边线米处．
【解析】本题考查的是二次函数的应用，关键是弄清楚题意，明确变量代表的实际意义．
求出抛物线表达式；再确定和时，对应函数的值即可求解；
分别作底线、边线的平行线、交于点，当时，，解得：或舍去，求出的长，即可求解．
21.【答案】解：根据题意，得，．
，．
，随的增大而增大，又，
当时，有最大值，即元．
．
又，对称轴，
当时，随的增大而增大，
当时，元．
若，即，解得，
若，即，解得，
若，即，解得．
又，综上可得，为获得最大日利润：
当时，选择，产品产销均可；
当时，选择种产品产销；
当时，选择种产品产销．
答：当产品成本价为元时，工厂选择或产品产销日利润一样大，当产品时，工厂选择产品产销日利润最大，当时，工厂选择产品产销日利润最大．
【解析】根据利润售价成本产销数量专利费即可列出解析式，注意取值范围．
根据解析式系数确定增减性，再结合得取值范围选择合适的值得出最大值．
分类讨论当什么情况下、利润一样，什么情况下利润大于以及什么情况下利润小于即可得出结论．
本题主要考查了二次函数的应用，从实际问题中抽象出数学问题是解题的关键．
22.【答案】解：点的坐标为，第一象限内的点的坐标为，
；
画函数的图象如图所示：

【解析】本题主要考查了列函数关系式，画二次函数的图象，三角形的面积公式．
根据三角形的面积公式，可以得到，再结合，便可以解答本题；
结合函数解析式和自变量的范围，在坐标系中画出二次函数的图象即可．
23.【答案】解：如图所示，
观察图象并猜测：是的二次函数，
函数图象经过点，
设函数表达式为，
将，代入得：
，
解得，
函数表达式为，
时，，
所求表达式合理．
故答案为：二次；
，
撞击影响是．
【解析】本题考查了二次函数的应用，要注意培养学生读图、读表格，从中得到解题信息的能力，本题难度一般．
根据表中给出的数据，作出图象即可
根据图像是二次函数的一部分，从而猜想出是的二次函数，并设出解析式，用待定系数法求得解析，并验证即可；
化速度单位为，再代入二次函数关系式，求出的值即可．
24.【答案】解：设、两种商品的进货单价分别是、元件，由题意得：，
解得：，
、两种商品的进货单价分别是元件、元件；
设与之间的函数关系式为，将，代入得：，
解得：，
与之间的函数关系式为；
由题意得：
，
当时，取得最大值，
当商品的销售单价定为元件时，日销售利润最大，最大利润是元．
【解析】设、两种商品的进货单价分别是、元件，由题意得关于、的二元一次方程组，求解即可；
设与之间的函数关系式为，用待定系数法求解即可；
根据利润等于每件的利润乘以销售量列出函数关系式，然后写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．
本题考查了二元一次方程组和二次函数在实际问题中的应用及待定系数法求一次函数的解析式等知识点，理清题中的数量关系并明确相关函数的性质是解题的关键．
25.【答案】解：由题意，得：盒，
元．
答：每天可卖出盒，销售利润为元；
依题意，
，
即；
，
，为整数，
当或时，最大，最大值为，
元或元．
每盒售价定为或元时，每天销售的利润最大，最大利润是元；
【解析】根据当售价定为每盒元时，每天可卖出盒，每盒售价每提高元时，每天要少卖出盒，当每盒月饼售价提高元时，每天少卖出盒得出结论；
根据利润盒月饼所获得的利润销售量写出函数关系式，
根据二次函数性质求出利润最大时的取值，从而得出结论．
本题考查的是二次函数与一元二次方程在实际生活中的应用，主要利用了利润盒月饼所获得的利润销售量写出函数关系式．
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