3.1圆 浙教版初中数学九年级上册同步练习（含详细答案解析）

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3.1圆 浙教版初中数学九年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，点，，，在半圆上，四边形，，均为矩形，设，，，则下列各式中正确的是 ．
A. B. C. D.
2.如图，、在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为，在此网格中找两个格点即小正方形的顶点、，使为的外心，则的长度是( )
A. B. C. D.
3.如图在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，若点是以点为圆心，为半径的圆上一点，则的面积最大值为( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，直线与坐标轴交于，两点，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则线段的最小值是 ( )
A. B. C. D.
5.如图，锐角三角形的三边是，它的外心到三边的距离分别为，那么等于( )
A. B.
C. D.
6.下列说法正确的是( )
A. 直径是圆中最长的弦，有条
B. 长度相等的弧是等弧
C. 如果的周长是周长的倍，那么的面积是面积的倍
D. 已知的半径为，为平面内的一点，且，那么点在上
7.如图，为锐角三角形的外心，四边形为正方形，其中点在的外部，判断下列叙述不正确的是．
A. 是的外心，不是的外心
B. 是的外心，不是的外心
C. 是的外心，不是的外心
D. 是的外心，不是的外心
8.如图，是的直径，半径，为上一动点，为的中点，连接。若的半径为，则的最大值为( )
A. B. C. D.
9.如图，是的直径，半径，为上一动点，为的中点，连接若的半径为，则的最大值为
A. B. C. D.
10.如图，在直角坐标系中，已知一个直角，，斜边在两坐标轴上滑动，，，下面说法错误的是( )
A. 当点与点重合时，点的坐标是；
B. 滑动过程中，的最大值是；
C. 滑动过程中，四边形的面积最大值是；
D. 滑动过程中，的中点所走的路径是一段圆弧．
11.如图，在中，半径，，求的度数为( )
A.
B.
C.
D.
12.如图，已知直线与轴、轴分别交于、两点，是以为圆心，为半径的圆上一动点，连结、则面积的最小值是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.已知线段．
画半径为的圆，使它经过，两点，这样的圆能画 个；
画半径为的圆，使它经过，两点，这样的圆能画 个；
画半径为的圆，使它经过，两点，这样的圆能画 个．
14.如图，在中，，是边上的中线，分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点，直线与交于点，若，则外接圆的面积为______．
15.如图，点，，在上，，，则的度数为 ．
16.如图，圆的半径为，内接于圆，若，则 ______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在锐角的外部找一点，使的面积与的面积相等且点在以为直径的圆上，请用尺规作图的方法确定点的位置不写作法，保留作图痕迹；
在中，如图，若，且，求以为直径的圆覆盖的面积______．
18.本小题分
如图，二次函数其中的图象与轴交于、两点点在点左侧，与轴交于点，连接、，点为的外心．
填空：点的坐标为__________，______；
记的面积为，的面积为，试探究是否为定值？如果是，求出这个定值；
若在第一象限内的抛物线上存在一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，则___________________．
19.本小题分
有甲乙两个不透明的布袋，甲袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字、，乙袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字、、，小丽先从甲袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为；再从乙袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为，设点坐标为．
请用列表格或树状图列出点所有可能的坐标；
在平面直角坐标系中，的圆心在原点，半径为，求点在内的概率．
20.本小题分
如图，是的内接三角形，，请用无刻度的直尺按要求作图．
如图，请在图中画出弦，使得．
如图，是的直径，是的切线，点，，在同一条直线上，请在图中画出的边上的中线．
21.本小题分
如图，在中，，，的中点为求证：，，，四点在以为圆心的圆上．
22.本小题分
如图，为的直径，为的弦，，的延长线交于点已知，，求的度数．
23.本小题分
如图，是半圆的直径，正方形和正方形彼此相邻点，，在直径上，点，，在半圆上，点在上，正方形的边长为．
求证：；
求的半径．
24.本小题分
如图，在中，，，为边上一点，且，连接，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点异于点，求的长．
25.本小题分
如图，四边形中，，，
求的度数；
连接，若，求证：；
点，分别为线段和上的点，点是线段上任意一点且和的面积相等，过点作，交直线于点，连接若，求线段的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了矩形的性质，正确根据矩形的性质作出辅助线是解题的关键．
连接，，，根据矩形的对角线相等，即可证明，，都等于圆的半径．
【解答】
解：连接，，．
四边形、、均为矩形．
，，
即．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据为的外心得到，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】
解：如图，
为的外心，
，
，
故选A．
3.【答案】
【解析】解：连接，延长交圆于，过作轴于，
的坐标是，的坐标是，
，，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
的坐标是，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，过圆心，
当与重合时，的面积最大，
，是等腰直角三角形，
，，
圆的半径是，
，
的面积的最大值为．
故选：．
连接，延长交圆于，过作轴于，判定是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，得到，，求出，得到当与重合时，的面积最大，求出，，得到，得到的面积的最大值为．
本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，等腰直角三角形下，关键是连接，延长交圆于，证明．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定为最小值时点的位置是关键，也是难点．根据同圆的半径相等可知：点在半径为的上，通过画图可知，在与圆的交点时，最小，在的延长线上时，最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
【解答】
解：如图，直线与坐标轴交于，两点，
，，
，
点为坐标平面内一点，，
在上，且半径为，
取，连接，
，，
是的中位线，
，
当最小时，即最小，而，，三点共线时，当在线段上时，最小，
，，
，
．
．
即的最小值为：．
故选B．
5.【答案】
【解析】【分析】根据外心的性质可知，，结合圆周角定理与三角函数可得从而可得答案．
【详解】解：如图经过三点，连接，则，
在中，
同理：
故选C．
本题考查的是三角形外心的性质．重点在于理解圆周角与圆心角的关系，解直角三角形的知识．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关定义和性质，难度不大．利用圆的有关定义和性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】
解：直径是圆中最长的弦，有无数条，则A错误，不符合题意；
完全重合的弧是等弧，则B错误，不符合题意；
如果的周长是周长的倍，则的半径是半径的倍，那么的面积是面积的倍，则C错误，不符合题意；
已知的半径为，为平面内的一点，且，那么点在上，正确．
故选D．
7.【答案】
【解析】 如图，连接、、，
为锐角三角形的外心，
，
四边形为正方形，
，
．
，即是的外心，
，即不是的外心，
，即不是的外心，
，即是的外心，
，即是的外心，
，即不是的外心，
，即不是的外心．
故选 D．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是点与圆的位置关系，勾股定理的有关知识根据题意得出点的移动轨迹，再根据圆外一点到圆上一点最大距离进行计算即可．
【解答】
解：如图，当点在上移动时，的中点的轨迹是以为直径的上，
因此交于点，此时的值最大，
由题意得，，，
在中，，，
，
．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是点与圆的位置关系，勾股定理的有关知识得出点的移动轨迹是解题关键．
根据题意得出点的移动轨迹，再根据圆外一点到圆上一点最大距离进行计算即可．
【解答】
解：如图，当点在上移动时，的中点的轨迹是以为直径的上，
因此交于点，此时的值最大，
由题意得，，，
在中，，，
，
．
10.【答案】
【解析】略
11.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，
故选：
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了点与圆的位置关系，三角形的面积，点到直线的距离公式的应用，解此题的关键是求出圆上的点到直线的最小距离，属于中档题目．首先根据直线，与轴、轴分别交于，两点，得到，两点的坐标，可得，，，再由勾股定理可得，然后过作于，连接，则由三角形面积公式得，，可知圆上点到直线的最短距离是，由此求得答案．
【解答】
解：直线，与轴、轴分别交于，两点，
令，解得，即点的坐标为，
令，解得，即点的坐标为，
，，，
由勾股定理可得，
过作于，连接，
则由三角形面积公式得，，
，
，
圆上点到直线的最小距离是 ，
面积的最小值是 ．
故选A．
13.【答案】【小题】
【小题】
【小题】

【解析】 略
略
略
14.【答案】
【解析】解：，是边中线，
垂直平分，
分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交点分别为点、，
垂直平分，
点即为外接圆圆心，
为外接圆半径，
外接圆的面积为：．
故答案为：．
利用等腰三角形的性质结合三角形外接圆的作法得出点即为外接圆的圆心，进而求出其面积．
此题主要考查了三角形的外心，得出点即为外接圆圆心是解题关键．
15.【答案】
【解析】解：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
连接，结合已知条件，利用等边对等角及角的和差即可求得答案．
本题考查圆的相关概念与等腰三角形的综合应用，连接构造等腰三角形是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：作圆的直径，连接，
，
，
，
圆的半径为，
，
．
故答案为：．
作圆的直径，连接，由圆周角定理得到，，由锐角的正弦即可求出的长．
本题考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形，关键是通过作辅助线，构造直角三角形．
17.【答案】
【解析】解：如图，
作的垂直平分线，交于点，
以为圆心，作，
作，交于点，则有，
，
即为所求；
如图，连接，设与、交于点、，连接，
是的直径，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，，
以为直径的圆覆盖的面积为：
，
．
利用作垂直平分线，作一个角等于已知角即可；
连接，设圆与、交于点、，连接，由是的直径，
则，从而证明是等腰直角三角形，得，由三角形内角和求出，，最后由即可求解．
本题考查了尺规作图，圆周角定理，勾股定理，扇形面积和三角形的内角和定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
18.【答案】解：，．
是定值，定值为，理由如下：
作，垂足为，，垂足为，则，
，
，
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
，
．
点为的外心，
，，
，
，
，
．
，
，
，即为定值．
．
【解析】【分析】
本题考查了二次函数图象的综合运用，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形的外心以及菱形的性质与判定，十字相乘法等知识点．
将二次函数表达式进行因式分解得到，由此得出点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，即．
作，垂足为，，垂足为，利用表达出和，即可解答．
根据可知，，，设，根据B、、、为顶点的四边形是菱形，利用中点坐标公式列出的方程组解答即可．
【解答】
解：当时，，
所以，
解得或者，
所以点，点，
当时，，
所以点，
所以，
所以．
见答案．
根据可知，，，，
设，
在第一象限内的抛物线上，以、、、为顶点的四边形是菱形，
菱形是以为对角线，
与互相平分，
由得：，代入中得：
，
，
解得：，
又且在第一象限，
．
19.【答案】解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，分别为、、、、、；
由可知，共有种等可能的结果，其中点在内的结果有种，即、，，
点在内的概率为．
【解析】本题考查的是用树状图法求概率、勾股定理以及圆的性质．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
画出树状图，即可得出结论；
由可知，共有种等可能的结果，其中点在内的结果有种，再由概率公式求解即可．
20.【答案】解：
如图，即为所求；
如图，即为所作．
【解析】本题考查了复杂作图、线段的垂直平分线，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，再逐步操作．如图，连接并延长交圆于点，则，即为所求作的图形；
如图，连接、交于点，连接交于点，则就是边上的中线，即为所作的图形．
21.【答案】证明：连结，，
，的中点为，
，
，，，四点在以为圆心，长为半径的圆上．
【解析】连结、，由直角三角形斜边上的中线定理得，则可得出结论．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，圆的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键．
22.【答案】解：连接为的直径，，为的半径，，，，，又，，．
【解析】见答案
23.【答案】【小题】
解：连接，，则，四边形是正方形，，，≌，；
【小题】
连接设，则，，在和中，，，舍去，，即的半径为．

【解析】 见答案
见答案
24.【答案】解：连接，，，，，，，，，≌，，，，，，．
【解析】见答案
25.【答案】解：在四边形中，
，
，
，
证明：如图，作交的延长线于点，在的延长线上截取，连接，
，
由知：，
，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
解：如图，延长，，交于点，
由得：，
，
点在以为直径的圆上运动，
和的面积相等，，
，
点在的平分线上，
点是上任意一点，
在的角平分线上，
设交圆于点，
，
是半圆的中点，
，
，
，
点在以为半径的圆上运动，
连接，交于点，则最小，
作于，
，，
，
，

【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，确定圆的条件和圆的有关性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
根据四边形的内角和求解即可
作交的延长线于点，在的延长线上截取，连接，可证明，从而，，从而，根据可得，进一步得出结论
延长，，交于点，可得，从而得出点在以为直径的圆上运动，根据和的面积相等，推出在的角平分线上，设交圆于点，可推出是半圆的中点，从而，进而推出点在以为半径的圆上运动，接，交于点，则最小，解三角形，进一步得出结果．
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