3.2图形的旋转 浙教版初中数学九年级上册同步练习（含详细答案解析）

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3.2图形的旋转浙 教版初中数学九年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在平面直角坐标系中，绕原点逆时针旋转得到若，则点的坐标为 ( )
A. B. C. D.
2.如图，在中，，，将绕点逆时针转得到，则的长是( )
A.
B.
C.
D.
3.如图，在中，，，为边上一点不与点，重合，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，与交于点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转度得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，，、是等腰的两腰，将绕点顺时针进行旋转，得到当点恰好在的延长线时，则的度数为( )
A. B. C. D.
6.如图，在方格纸中，经过变换得到，正确的变换是( )
A. 把绕点顺时针旋转，再向下平移格
B. 把绕点顺时针旋转，再向下平移格
C. 把向下平移格，再绕点逆时针旋转
D. 把向下平移格，再绕点顺时针旋转
7.如图，在等边三角形中，点在边上，连接，将绕点旋转一定角度，使得，连接若，则为( )
A. B. C. D.
8.如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，且，分别作射线、，它们交于点以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，若的长为，则面积的最小值是( )
A. B. C. D.
9.如图，在正方形中，，是的中点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，则线段长的最小值为( )
A. B. C. D.
10.如图，将绕点逆时针旋转一定角度，得到，若，，且，则的度数为( )
A. B. C. D.
11.如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，，，，将绕点顺时针旋转，每次旋转，若经过次旋转，则此时点的对应点的坐标为 【 】
A. B. C. D.
12.如图，将绕点逆时针旋转到，点恰好落在边上已知，，则的长是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，在边长为的正方形中，点为边靠近点的四等分点．点为边上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段连接，则的最小值为_________．
14.如图，中，，，点为上的一点不与点重合，以为斜边在的下方作等腰直角三角形，将绕点逆时针旋转得到，则周长的最小值为_________．
15.如图，在中，，，，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为______．
16.如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，连接、，若，则的度数为 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在正方形中，将边绕点逆时针旋转得到线段，与延长线相交于点，过作交于点，连接．
如图，求证：；
当时，依题意补全图，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
18.本小题分
如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形，为格点三角形仅用无刻度的的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，结果用实线表示．
如图，将线段绕点顺时针旋转得到，画对应线段再在上画点，使
如图，为上任意一点，作出点关于的对称点再过点作出的平行线．
19.本小题分
如图，格点三角形与关于轴对称其中点的对称点用表示，点的对称点用表示，现动点、同时都从轴上的位置出发，分别沿，方向，以相同的速度向右运动，请在图中作出点、，使得．
20.本小题分
请按以下要求用无刻度直尺作图：
如图，线段和线段关于点成中心对称，画出点；
如图，将绕点逆时针旋转得，画出；
如图，设，将绕点顺时针旋转得，画出．
21.本小题分
已知：如图， 和直线，点在直线上．
画出 ，使 与 关于直线对称；
画出 ，使 与 关于点成中心对称；
与 对称吗？若对称，请在图中画出对称轴．
22.本小题分
如图所示的平面直角坐标系与网格纸，其中网格纸每一格小正方形的边长都是坐标系的单位长度，的顶点坐标为，，．
画出向下平移个单位后的；
画出绕点逆时针旋转后的；
直接写出点的坐标为________；点的坐标为________．
23.本小题分
如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．
将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到，请画出；
将绕原点逆时针旋转后得到，请画出；
借助网格，利用无刻度的直尺画出的中线保留作图痕迹．
24.本小题分
如图，四边形中，，将线段绕点逆时针旋转得线段．
作出线段 要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
在的条件下，连接，求证：．
25.本小题分
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为个单位长度平面直角坐标系的原点在格点上，轴、轴都在格线上线段的两个端点也在格点上．
若将线段绕点逆时针旋转得到线段，请在图中画出线段；
若线段与线段关于原点对称，请在图中画出线段．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查坐标与图形变化旋转，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题如图，连接，，过点作轴于点，过点作轴于点利用全等三角形的性质解决问题即可．
【解答】
解：如图，连接，，过点作轴于点，过点作轴
于点．
，
，，
，
，
，，
，
，，
．
2.【答案】
【解析】【分析】
由旋转的性质可得，，可得为等边三角形，由等边三角形的性质可证垂直平分，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
【解答】
解：如图，连接，设交于点，
，，
，
绕点逆时针转，得到，
，，
为等边三角形，
，
而，
垂直平分，
，，
，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：将线段绕点逆时针旋转得到，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
点，，，在以为直径的圆上，
与交于点，
是直径上的一点到点的距离，
即：当时，最小，
，
，
，
，
四边形是矩形，
的最小值，
故选：．
由“”可证≌，可得，通过证明点，，，四点共圆，可得当时，最小，可证四边形是矩形，即可得出结论．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，矩形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：由旋转的性质可知，，
，
为等边三角形，
，
，
故选A．
根据旋转变换的性质得到，根据等边三角形的性质解答即可．
本题考查的是旋转变换的性质、等边三角形的性质，掌握旋转前、后的图形全等是解题的关键．
5.【答案】
【解析】【分析】利用等腰三角形的性质得，再根据旋转的性质得，，，接着利用等腰三角形性质得，则可判断，根据平行线的性质得，然后计算的度数．
【解答】解：，
，
绕点顺时针进行旋转，得到点恰好在的延长线上，
，，，
，
，
，
，
．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了作图平移变换与旋转变换，属于基础题．
观察图形即可解答．
【解答】
解：根据图形，绕点顺时针方向旋转，再向下平移格即可与重合．
故选B．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，找到全等三角形是解答本题的关键，根据，以及可证，进而证得为等边三角形，有，再根据证≌，可得到，即可求出为
【解答】
解：，
，
，
又，
为等边三角形，
，
在和中，
≌，
，
．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是旋转的性质，三角形的面积，勾股定理，等腰直角三角形有关知识，当在的下方与相切时，的值最小，得出，证明四边形是正方形，得出，由勾股定理求出，则可得出答案．
【解答】
解：以为圆心，为半径画圆，如图：
，
当在的下方与相切时，的值最小，则面积的最小
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
的面积为
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查图形的旋转，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系．解题的关键是掌握图形旋转的性质．
连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，，证明≌，可得，由条件可得，根据，即可得出的最小值．
【解答】
解：如图，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，，
，
，
，，
≌，
，
正方形中，，是边的中点，
，
，
，
，
．
当时，恰好在上，取得等号．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
如图，运用旋转变换的性质得到：，；求出，运用三角形的内角和定理即可解决问题．
该题主要考查了旋转变换的性质、三角形的内角和定理；准确找出图形中隐含的相等的角或边是解题的关键．
【解答】
解：如图，由题意得：，；
；
，
，，
，
．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了坐标与图形变化旋转、规律型点的坐标，解决本题的关键是根据旋转的性质发现规律，总结规律．
过点作轴于点首先利用相似三角形的性质求出点的坐标，再探究规律，利用规律解决问题即可．
【解答】
解：如图，过点作轴于点．
，，
，，
，
，
，
，，
，
∽，
：：：，即：：：，
，，
，
，
绕点顺时针旋转，每次旋转，
则第次旋转结束时，点的坐标为；
则第次旋转结束时，点的坐标为；
则第次旋转结束时，点的坐标为；
则第次旋转结束时，点的坐标为；
发现规律：旋转次一个循环，
，
则第次旋转结束时，点的坐标为．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质，关键是推出根据旋转的性质得出，代入求出即可．
【解答】
解：将绕点按逆时针方向旋转至，
，
，
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质与判定有关知识，过点作于，作于，根据证≌，设，则，，根据勾股定理得出的表达式，求最小值即可．
【解答】
解：过点作于，作于，如图
四边形是正方形，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，，
线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
在和中≌，
，，
在边长为的正方形中，点为边靠近点的四等分点，
，
，
设，
则，，，
，
，
，
，
当时，取最小值，其最小值为
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，旋转的性质等知识，构造全等三角形是解题关键．
延长至，使，作交延长线于点，易知、是等腰直角三角形，证明≌，得到，进而可得、、、四点共线时，最小，即可解答．
【解答】
解：延长至，使，作交延长线于点，
易知、是等腰直角三角形，
，，，
，
≌，
，
，
当、、、四点共线时，最小，
此时与重合，
周长最小，
故答案为．
15.【答案】
【解析】解：由旋转的性质可得，
，
为等边三角形，
，
．
故答案为．
由旋转的性质可证得为等边三角形，则可求得，再利用线段的和差，则可求得答案．
本题主要考查旋转的基本性质．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理有关知识，由旋转的性质得出，，由等腰三角形的性质求出，，则可求出答案．
【解答】
解：将将绕点逆时针旋转得到，
，，
，
，
，
，
，
，
．
17.【答案】解：证明：边绕点逆时针旋转得到线段，
，
正方形，
，
，
，
，
，
，
正方形，
，
，
；
补全图如下：
线段，，之间的数量关系为：，
理由如下：
在上取，连接交于，交于，连接，，如图：
正方形，
，，
又，
≌，
，，
，
，
，
，
由知，
且，
≌，
，
而，，
≌，
，
、、、共圆，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
．
【解析】本题考查正方形性质应用及全等三角形的性质和判定，难度较大，解题的关键是构造辅助线，将转化为．
根据，得到，由绕点逆时针旋转得到线段，得到，，由正方形性质得到，得到；
按照题意补全图形即可，在上取，连接交于，交于，连接，，利用≌、≌、≌证明、、、共圆，从而可得，，再证明，即可得到．
18.【答案】解：如图，、点即为所求
如图，点，直线即为所求．

【解析】本题考查了格点作图，关键是掌握作图旋转变换，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，等腰梯形的性质等知识，题目较难．
取格点，连接，即可求解；取格点、，连接、交于点，则点是矩形对角线的交点，即为的中点，连接交于，则；
取格点，连接，再连接交于点，连接并延长交于点，则点即为所求；取格点，连接再连接交网格线于点，连接并延长交于，连接，则，即．
19.【答案】解：如图，点，即为所求．

【解析】根据两点之间线段最短即可解决问题．
本题考查作图复杂作图，关于轴，轴对称的点的坐标，坐标与图形变化旋转，熟练掌握基本作图方法是解题的关键．
20.【答案】解：如图所示，点即为所求．
如图所示，即为所求；
如图所示，即为所求．
【解析】连接、，交点即为所求；
根据旋转变换的定义作出变换后的对应点，再首尾顺次连接即可；
根据旋转变换的定义，结合网格特点作出变换后的对应角，从而得出答案．
本题主要考查作图旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质．
21.【答案】解：根据轴对称的作图原理，画图如下：
则 即为所求．
根据中心对称图形作图的原理，画图如下：
则 即为所求．
根据作图的原理，判断 与 对称，
其对称轴为直线．

【解析】根据轴对称的作图，垂直且相等原理画图即可．
根据中心对称图形的基本作图画图即可．
根据作图的意义判断即可．
本题考查了轴对称图形，中心对称图形的基本作图，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键．
22.【答案】解：所画图形如下所示，即为所求；
所画图形如下所示，即为所求．
由图可知：点的坐标为，；点的坐标为，

【解析】本题主要考查了利用旋转变换以及平移变换作图，解题的关键是根据旋转变换的定义和性质作出变换后的对应点．
利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，即可，
根据、的位置可得其坐标．
23.【答案】解：的三个顶点坐标分别是，，，将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到，
对应点，，，在平面直角坐标系中找出各点并连接，如图所示，
即为所求图形．
将绕原点逆时针旋转后得到，根据旋转的性质，如图所示，
即为所求图形．
如图所示，根据平面直角坐标系的特点，每个小正方形的边长都是一个单位长度，以为对角线，作矩形，连接与交于点，连接，
即为的中线．
【解析】本题考查的是作图平移变换，作图旋转变换有关知识
根据图形平移的性质即可求解；
根据图形旋转的性质即可求解；
根据矩形的性质即可求解．
24.【答案】解：如图示：线段即为所作线段，
如图：连接，
，
是等边三角形，
绕点旋转得线段，
，
即
在和中
．
【解析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质．
以，为圆心，为半径画弧，相交于，则即为所求
连接，由旋转可得，证，即可．
25.【答案】解：如图，线段即为所求；
如图，线段即为所求．
【解析】利用网格特点和旋转性质画出点、的对应点、即可；
利用网格特点和关于原点对称的点的特征画出点、的对应点、即可．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了中心对称变换．
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