3.3垂径定理 浙教版初中数学九年级上册同步练习（含详细答案解析）

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3.3垂径定理浙 教版初中数学九年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为 ( )
A.
B.
C.
D.
2.被誉为“中国画里乡村”的黄山宏村，村头有一座美丽的圆弧形石拱桥如图，已知桥拱的顶部距水面的距离为，桥弧所在的圆的半径为，则水面的宽度是( )
A. B. C. D.
3.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是( )
A. 第一块 B. 第二块 C. 第三块 D. 第四块
4.如图，圆形输水管的横截面阴影部分为有水部分，水面宽为，水的最大深度为，则该输水管的半径为( )
A. B. C. D.
5.往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示若水面宽，则水的最大深度为( )
A. B. C. D.
6.如图所示的工件槽的两个底角均为，尺寸如图单位，将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有，，三个接触点，则该球的半径是．
A.
B.
C.
D.
7.小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图所示网格中每个小正方形的边长均为的一块碎片到玻璃店，配了形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径为( )
A. B. C. D.
8.如图，某公图的一石桥是圆弧形劣弧，其跨径为米，拱的半径为米，则拱高为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
9.赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径约为( )
A. B. C. D.
10.九章算术是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷勾股中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点，寸，寸，则直径长为寸．
A. B. C. D.
11.如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心，另一边所在直线与半圆相交于点、，量出半径，弦，则直尺的宽度为( )
A. B. C. D.
12.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径长是 ( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如下图所示，测得弦长厘米，弓形高为厘米，则镜面半径为 厘米．
14.如图是一个隧道的横截图，它的形状是以点为圆心的一部分，如果是中弦的中点，经过圆心交于点，若，，则的半径为______
15.圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，的半径为，圆心到油面的距离为，则水面的宽度为__________．
16.如图，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车盛水筒的运行轨迹是以为圆心的一个圆，可简化为图若被水面所截的弦长米，的半径为米，则筒车最低点距水面___________米．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为，拱高为．

求拱桥的半径；
有一艘宽的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面，求此货船是否能顺利通过拱桥？
18.本小题分
如图，圆形拱门是中国古典园林建筑元素之一，圆形拱门有着圆满、完美的美好寓意、
在图中作出拱门中圆弧的圆心要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
已知拱门高优弧中点到的距离，，，求拱门的圆弧半径．
19.本小题分
如图所示，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度米，拱高米为的中点，为弧的中点．
求该圆弧所在圆的半径；
在距离桥的一端米处欲立一桥墩支撑，求桥墩的高度．
20.本小题分
如图，某下水管道的横截面为圆形，直径为，下雨前水面宽若一场大雨过后，水面宽，求水面上升的高度．
21.本小题分
如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥拱所在圆的圆心为点，桥下水面宽度为，过点作于点，交圆弧于点，现有一艘宽、船舱顶部高出水面的货船要经过这座拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？
22.本小题分
排水管的截面为如图所示的，其半径为，圆心到水面的距离是，求水面宽．
23.本小题分
“圆材埋壁”是我国古代数学著作九章算术中的一个问题：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？用现在的数学语言表述：如图，为的直径，弦，垂足为，寸，尺，求直径的长尺寸．
24.本小题分
如图，有一座拱桥的截面是圆弧形，其所在圆的圆心为，它的跨度，拱高．
求圆弧所在圆的半径．
当洪水泛滥到跨度只有时，要采取紧急措施．当拱顶离水面只有，即时，是否需要采取紧急措施？
25.本小题分
如图，一圆弧形桥拱的圆心为，拱桥的水面跨度米，桥拱到水面的最大高度为米．求：
桥拱的半径；
现水面上涨后水面跨度为米，求水面上涨的高度．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
连接，过点作于点，交于点，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而可得出的长．
【解答】
解：连接，过点作于点，交于点，如图所示：
，
，
的直径为，
，
在中，，
，
故选C．
2.【答案】
【解析】解：如图，连接，
在中，，，，
，
，
．
故选：．
连接，在中，利用勾股定理求出即可解决问题．
本题考查垂径定理、勾股定理等知识，连接是解题的关键，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
3.【答案】
【解析】略
4.【答案】
【解析】解：如图所示：过点作于点，交圆的另一侧于，连接，
，
，
设，则，
在中，，即，
解得．
该输水管的半径为；
故选：．
先过点作于点，交圆的另一侧于，连接，由垂径定理可知，设，则，在中，利用勾股定理即可求出的值．
本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
5.【答案】
【解析】略
6.【答案】
【解析】解：设圆心为点，连，交于，如图，
，，
则，
，
在中，设的半径为，，
，
，
解得，，
即该球的半径是．
故选：．
设圆心为点，连，交于，则，，在中，设的半径为，，利用勾股定理得到，解方程即可．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理．
7.【答案】
【解析】【分析】本题考查的是垂径定理在实际生活中的运用，根据题意构造出直角三角形是解答此题的关键．
在网格中找点、、如图，作，的中垂线，交点就是圆心，故即为此圆的半径，根据勾股定理求出的长即可．
【解答】解：如图，连接，作，的垂直分线交于点，
则点即此圆形镜子的圆心，连接，
，，
．
故选B．
8.【答案】
【解析】解：作出圆弧所在的圆的圆心，连接、，
垂直平分，
点在直线上，，
在中，，
米
故选：．
连接、，根据勾股定理求出，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，解决计算弦长、半径、弦心距是解题的关键．
9.【答案】
【解析】略
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理的应用．
证明为 的中点，可得 ，设 ，则 ， ，由勾股定理得： ，可得 ，再解方程可得答案．
【解答】
解：弦 ， 为 的直径，
为 的中点，
又寸，
寸，
设寸，
则寸， 寸，
由勾股定理得： ，
即 ，解得 ，
寸，
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是垂径定理的应用，解答此类题目先构造出直角三角形，再根据垂径定理及勾股定理进行解答．
连接，则，过点作于，则容易得出，在，由勾股定理得，即求得直尺的宽度．
【解答】
解：连接，过点作于点，
，，
由垂径定理得：
，
在中，由勾股定理得：
，
即：，
，
即直尺的宽度为．
故选B．
12.【答案】
【解析】解：的中点，作于点，取上的球心，连接，
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
，
设，则，
，，
在直角三角形中，，
即，
解得，
故选B．
取的中点，作于点，取上的球心，连接，设，则，，然后在中利用勾股定理求得的长即可．
本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
13.【答案】
【解析】略
14.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为，弦长为，这条弦的弦心距为，则有等式成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
因为是弦的中点，根据垂径定理，，则，在中，有，进而可求得半径．
【解答】
解：连接，
是弦的中点，
根据垂径定理：，
又，则有：，
设圆的半径是米，
在中，有，
即：，
解得：，
所以圆的半径长是米．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，同时需熟练掌握勾股定理．
过点作于点，交于点，连接，由垂径定理可得，然后在中根据勾股定理求出的长，即可得出的长．
【解答】
解：如图，过点作于点，交于点，连接，
，
由题意知，，，
在中，，
16.【答案】
【解析】【分析】过点作于点，并延长与相交于点，连接，可得点为筒车最低点，筒车最低点距水面的距离为的长，再根据垂径定理，得出米，再根据勾股定理，得出米，再根据线段之间的数量关系，计算即可得出答案．
【详解】解：过点作于点，并延长与相交于点，连接，
点为筒车最低点，筒车最低点距水面的距离为的长，
米，，
米，
又的半径为米，即米，
米，
又米，
米，
筒车最低点距水面米．
故答案为：
本题考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用，解本题的关键在熟练掌握垂径定理、勾股定理．
17.【答案】解：如图，连接，，
，
为中点，
，
，
又，
设，则，
在中，根据勾股定理得：，
解得；
故拱桥的半径为；
，船舱顶部为长方形并高出水面，
，
，
在中，，
，
．
故此货船不能顺利通过拱桥．
【解析】此题考查了垂径定理，勾股定理的应用此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．
根据垂径定理和勾股定理求解即可；
通过求距离水面米高处即长为时的长，比较和的大小来确定货船能否通过大于则能通过，小于等于则不能通过．
18.【答案】【详解】解：如图，点即为所求，
解：连接，如图所示：
，，
，
，
，
又，
四边形是矩形，
过点作于，交优弧于点，交于，则
，，，
设，则，
，
在中，，
，
，
解得，
拱门的圆弧半径为．

【解析】【分析】本题考查了垂径定理，矩形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质及勾股定理是解题的关键，
在拱门上找任意一点，分别与相连，并做垂直平分线，利用垂径定理可确定圆心的位置；
先证四边形是矩形，设，再根据勾股定理求得的值，即可得到拱门的圆弧半径．
19.【答案】【解答】解：设弧所在的圆心为，为弧的中点，于，延长经过点，设的半径为，
在中，，
，
解得；
于，则，，
在中，，
，米，
在离桥的一端米处，桥墩高米．

【解析】【分析】设弧所在的圆心为，为弧的中点，于，延长经过点，设的半径为，利用勾股定理求出即可；
利用垂径定理以及勾股定理得出的长，再求出的长即可．
20.【答案】如图，设横截面的圆心为点，作半径于点，交于点，连接由垂径定理，得在中，，当水面上升到圆心以下处，水面宽时，交于点，连接，，，，此时水面上升的高度为当水面上升到圆心以上处时，同理，可得水面上升的高度为综上所述，水面上升的高度为或

【解析】见答案
21.【答案】如图，连接、，为的中点．，设，则在中，根据勾股定理，得，即，解得，船舱顶部高出水面易知，在中，，此货船能顺利通过这座拱桥

【解析】见答案
22.【答案】过点作于点，连接由垂径定理，得，，由勾股定理，得
【解析】见答案
23.【答案】连接，为的直径，尺寸，寸．设寸，则寸．在中，由勾股定理，得，解得寸．寸
【解析】见答案
24.【答案】【小题】
连接设圆弧所在圆的半径为由题意，得，在中，由勾股定理，得，解得圆弧所在圆的半径为
【小题】
连接由题意，得，在中，由勾股定理，得，不需要采取紧急措施

【解析】 见答案
见答案
25.【答案】解：如图，
设点是拱桥所在的圆的圆心，作于，延长交圆于点，
则由垂径定理知，点是的中点，，，
由勾股定理知，，
设圆的半径是，则：，
解得：；
即拱桥的半径为米；
设水面上涨后水面跨度为米，交于，
连接，如图所示则，
米，
米，
米．
【解析】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用有关知识．
根据垂径定理和勾股定理求解；
由垂径定理求出，由勾股定理求出，得出即可．
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