3.5圆周角 浙教版初中数学九年级上册同步练习（含详细答案解析）

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3.5圆周角 浙教版初中数学九年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，是的直径，是弦，，则的度数是 ( )
A. B. C. D.
2.如图，点，，在上，连结，，，若，则的度数是 ( )
A. B. C. D.
3.如图，正方形内接于，点在上，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
4.如图．点，，，，均在上．，，则的度数为( )
A. B. C. D.
5.如图，在中，弦与交于点，，，则的度数是( )
A. B. C. D.
6.如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是( )
A. B. C. D.
7.如图，为的直径，为上一点，平分，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
8.如图，已知是的直径，，则的度数为
A. B. C. D.
9.如图所示，，是的两条弦，点，分别是，的中点，若，，则的半径为( )
A. B. C. D.
10.如图，为的直径，为上一点，平分，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
11.如图，是的直径，点，，在上，若，则的度数是( )
A. B. C. D.
12.如图，点，，，是上的点，是的直径，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，是的外接圆，，垂足为，交于点，连接若，，则的长度为 ．
14.如图，是的外接圆，，于点，的延长线交于点．
______填“，或”；
若，，则 ______．
15.如图，点、、在圆上，的延长线交于点，，，则的度数为_____．
16.如图，在中，点是优弧上一点，，连接，，延长交于点，则图中角度大小为的角是___________．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，为的直径，，交于点，交于点，．
求的度数．
求证：．
18.本小题分
如图，是的直径，为上一点，为上一点，且，延长交于点，连接．
求证：；
若，，求的长．
19.本小题分
如图，已知线段，用直尺和圆规作，使，，且分别满足下列条件．要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明
； ．
20.本小题分
如图，在中，，以为直径的分别交，边于点、过点作于点．
求证：；
若半径为，且，求的长．
21.本小题分
如图，四边形中，，，过，，三点的圆与交于点．
求证：是的中点；
若，求证：．
22.本小题分
如图四边形、、均是平行四边形，点在 内，
求证：≌；
若，求证：．
23.本小题分
如图所示，小明制作一个模具，，，，，，求这个模具的面积．
24.本小题分
小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点为顶点，分别作菱形和菱形，点，在轴上，以点为圆心，长为半径作，连接．
求的值；
求扇形的半径及圆心角的度数；
请直接写出图中阴影部分面积之和．
25.本小题分
如图，是的直径，点在上，且，连接并延长到点，连接，若．
求证：是的切线；
若，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：是直径，
，
，
，
，
故选：．
求出，利用圆周角定理，可得结论．
本题考查圆周角定理，解题的关键是圆周角定理，属于中考常考题型．
2.【答案】
【解析】解：，，
．
故选：．
直接利用圆周角定理求解即可求得的度数．
此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆周角定理和正方形的性质，确定弧所对的圆心角为，是本题解题的关键．
根据正方形的性质得到弧所对的圆心角为，则，然后根据圆周角定理求解．
【解答】
解：连接、，如图，
正方形内接于，
弧所对的圆心角为，
，
．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
首先连接，由圆周角定理即可得的度数，继而求得的度数，然后由圆周角定理，求得的度数．
【解答】
解：连接，
，，
，
．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可得到结论．
【解答】
解：，，
，
，
故选：．
6.【答案】
【解析】解：是的直径，
，
，
，
故选：．
由直径所对的圆周角是直角可得，由同弧所对的圆周角相等可得，进而可计算．
本题主要考查了直径所对的圆周角是直角、同弧所对的圆周角相等，解决本题的关键是熟练掌握相关知识点，难度不大．
7.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了圆周角定理，连接，根据圆周角定理得出，，根据直角三角形的性质求出，根据角平分线的定义求解即可．
【解答】
解：如图，连接，
为的直径，
，
，
，
，
平分，
，
故选D．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．先根据圆周角定理求出及的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】
解：，
．
是的直径，
，
．
故选C．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了三角形的中位线定理，以及勾股定理，圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
先根据圆周角定理得到，则可判断为等腰直角三角形，然后根据勾股定理可得，再根据三角形的中位线定理可得，即可求出半径．
【解答】
解：如下图，连接和，
，
，
点、分别是、的中点，
，
．
和是的半径，
，
，
．
故选：．
10.【答案】
【解析】根据圆周角定理得出，，根据直角三角形的性质求出，根据角平分线的定义求解即可．
【解答】解：如图，连接，
为的直径，
，
，
，
，
平分，
，
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．连接，根据圆周角定理，可分别求出，，即可求的度数．【解答】
解：连接，
为的直径，
，
，
，
，
故选：．
12.【答案】
【解析】解：是的直径，
，
，
，
．
故选：．
根据是的直径，可得，进而可得，问题随之得解．
本题主要考查了圆周角定理，掌握直径所对圆周角为直角，同圆中，等弧所对的圆周角相等，是解答本题的关键．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是含度角的直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，垂径定理，三角形的外接圆和外心的有关知识，连接，利用圆周角定理及垂径定理易得，结合已知条件，利用直角三角形中角对的直角边等于斜边的一半即得到，利用勾股定理求解即可．
【解答】
解：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得
14.【答案】
【解析】解：延长交于点，连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
在中，，，
，
，
解得：，
，
，
，
的长为，
故答案为：．
延长交于点，连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，再根据垂直定义可得，从而可得，然后利用同弧所对的圆周角相等可得，从而可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得，最后利用等式的性质可得，即可解答；
根据直角三角形的两个锐角互余可得，，从而利用等角的余角相等可得，再利用对顶角相等可得，从而可得，进而可得，然后设，在中，利用勾股定理列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆心角和圆周角的关系及三角形外角的性质，圆心角和圆周角的关系是解题的关键．
根据三角形的外角的性质求得，然后根据邻补角求得的度数，再根据圆周角定理求得即可
【解答】
解：，，
，
，
，
故答案为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆周角定理，关键是掌握圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半，由圆周角定理，即可得到答案．
【解答】
解：由圆周角定理得：．
故答案为：．
17.【答案】【小题】
．．
【小题】
略

【解析】 略
略
18.【答案】证明：是的直径，
，
，
，
，
，
，
；
解：连接、，如图，
由得，
，
，
，
，
，
而，
．
【解析】本题考查了圆周角定理及其推论，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，三角形外角的性质．熟练掌握圆周角定理及其推论是解题的关键．
根据圆周角定理得到，则，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到，从而得到结论；
连接、，如图，利用的结论和圆周角定理得到，则，所以，然后利用勾股定理计算的长．
19.【答案】解：如图，作线段，再作线段的垂直平分线作线段，分别以，为圆心，为半径画圆弧，交于点，连接，，即为所求．
如图，作线段，作的垂直平分线和以为圆心，为半径画圆，以为圆心，为半圆于点，连接，，即为所求．

【解析】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰直角三角形的性质，圆周角定理等．
作线段，再作线段的垂直平分线作线段，分别以，为圆心，为半径画圆弧，交于点，连接，，即为所求．
作线段，作的垂直平分线和以为圆心，为半径画圆，以为圆心，为半圆于点，连接，，即为所求．
20.【答案】证明：连接，，，如图，
是的直径，
，，
，
为的中点，
，，
，
点是的中点，
，，
∽，
，
，
；
解：过点作于点，如图，
，，
又，
四边形为矩形，
，，
，
设，
，则．
在中，，
即，
解得，舍去，
．
【解析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
连接，，证得∽，然后依据相似三角形的性质得到，进而推导出；
过点作于点，证明四边形为矩形，由矩形的性质得出，，设，，则由勾股定理得出，解方程可得出答案．
21.【答案】证明：如图，连结，
，，三点共圆，且，
为直径，
，
即，
又，
，
即是的中点．
连结，如图
，，
，
，
则，
又，
，
与对圆中的同一条弧
．
【解析】本题考查的是圆周角定理，等腰三角形的性质有关知识
根据三点共圆可得从而得出为直径得出即，再根据得出即可解答
连结，根据，得出从而得出，再根据条件得出，最后解答即可
22.【答案】解：证明：四边形、、均是平行四边形，
，，，
在与中
≌；
证明：如图，
四边形为平行四边形，
且，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
点、、、四点共圆，则，
由知≌，
，
，
，
．
【解析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理
利用平行四边形的性质得到，，，再利用判定≌即可；
利用平行四边形的性质证明，，则，进而可得点、、、四点共圆，则，再根据平行四边形的性质以及全等三角形的性质即可证明．
23.【答案】
【解析】【分析】连接 ，利用勾股定理求出 的长，在 中，判断它的形状，并求出它的面积，最后求出四边形 的面积．
【详解】解：连接 ，
在 中， ， ， ，
，
，
，
在 中， ， ， ， ，
即： ，
根据勾股定理的逆定理可得， 是直角三角形，且 ，
，
，
答：这个模具的面积是 ．
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积公式，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理，连接 ，说明 是直角三角形．
24.【答案】解：将代入到中，
得：，
解得：；
过点作的垂线，交轴于，
，
，，
，
半径为；
，
，
由菱形的性质可知，，
，
圆心角的度数为：；
．
【解析】见答案；
见答案；
，
，
，
在菱形中，，
，
，
．
故答案为：．
将代入中即可求解；
利用勾股定理求边长，再根据直角三角形中度角所对的直角边是斜边的一半求解出角度，最后根据菱形的性质求解；
先计算出，再计算出扇形的面积，根据菱形的性质及结合的几何意义可求出，从而问题即可解答．
本题考查反比例函数及的几何意义，菱形的性质，圆心角与弧的关系等，正确掌握的几何意义是解题关键．
25.【答案】证明：如图，连接，
图
是的直径，
，
，，
，
，
，即，
又是半径，
是的切线．
解：，
，
，，
，
，
如图，过点作于点，
图
，，
，
，
的长度为．

【解析】【分析】如图，连接，则，，，由，可得，则，即，进而结论得证；
由，可得，则，，由，可得，如图，过点作于点，则，，，根据，求解作答即可．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，三角形内角和定理，切线的判定，圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，正弦，正切，余弦等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，三角形内角和定理，切线的判定，圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，正弦，正切，余弦是解题的关键．
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