3.6圆内接四边形 浙教版初中数学九年级上册同步练习（含详细答案解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
3.6圆内接四边形浙 教版初中数学九年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，为线段的中点，点，，到点的距离相等，若，则的度数是( )
A. B. C. D.
2.如图，四边形内接于，连结若，，则的度数是 ( )
A. B. C. D.
3.如图，已知四边形内接于，，则的度数是( )
A. B. C. D.
4.如图，四边形内接于，连结若，，则的度数是( )
A. B. C. D.
5.如图，点，，，在上，是的直径，，则的度数为
A. B. C. D.
6.如图，是的外接圆，且，在弧上取点不与点，重合，连接，则的度数是( )
A. B. C. D.
7.如图，点，，在上，若，则的度数是( )
A. B. C. D.
8.如图，，，，均在上，，若，则的长最大为( )
A. B. C. D.
9.如图，四边形内接于，，，、分别为、上一点，，，则的长为( )
A. B. C. D.
10.如图，四边形是的内接四边形，四边形是平行四边形，则下列结论：；；；，其中正确结论有( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
11.如图，圆心角，则的度数是( )
A. B. C. D.
12.如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.在半径为的中，弦的长度为，点为上异于、两点的一个动点，则 ．
14.如图，点、、在上，为直径，，则弧的度数为 ．
15.半径长为的中，有一条弦的长为，则弦所对的圆周角度数等于
16.如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，且，，则________．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，已知，，，是上的四点，延长，相交于点若，求证：是等腰三角形．
18.本小题分
如图，四边形内接于，，对角线，相交于点，为上一点，．
求证：；
若，求的值．
19.本小题分
如图，圆内接四边形 的对角线 ， 交于点 ， 平分，．

求证 平分，并求的大小；
过点 作交 的延长线于点 若，，求此圆半径的长．
20.本小题分
【问题情境】如图，在中，，，点是的中点，点，分别是边，上的动点，且，以为直角边，在上方作，使得，，与交于点，连接．
【问题提出】
当时，__________；
当时，求此时的长；
【问题探究】
在点，的运动过程中．
的大小是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；
四边形的面积是否存在最大值？若存在，直接写出最大值；若不存在，说明理由．
21.本小题分
如图，四边形是的内接四边形，且，垂足为，，为延长线上一点．
求证：平分；
若，，求和的半径长．
22.本小题分
【问题情境】如图，在中，，，点是的中点，点，分别是边，上的动点，且，以为直角边，在上方作，使得，，与交于点，连接．
【问题提出】
当时，
当时，求此时的长
【问题探究】
在点，的运动过程中．
的大小是否为定值如果是，请求出这个定值如果不是，请说明理由
四边形的面积是否存在最大值若存在，直接写出最大值若不存在，说明理由．
23.本小题分
如图，在中，，将绕点顺时针旋转，可得到请仅用无刻度的直尺完成以下作图保留作图痕迹．
在图中，作出的平分线；
在图中，作出线段的中点．
24.本小题分
已知，四边形内接于，为直径，与的延长线相交于点，平分与相交于点．
如图，若，求证：；
如图，若，，求的半径．
25.本小题分
如图，四边形是的内接四边形．平分，连接．
求证：；
若，求的度数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】略
2.【答案】
【解析】解：连接，，，
，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，，，根据圆周角定理得出，再根据得到，从而得到，最后利用圆内接四边形的性质得到结果．
本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，关键在于画出半径，构造圆心角．
3.【答案】
【解析】略
4.【答案】
【解析】略
5.【答案】
【解析】解：是的直径，
，
，
，
由圆周角定理得，，
故选：．
根据直径所对的圆周角是直角得到，根据直角三角形的性质求出，根据圆周角定理解答即可．
本题考查的是圆周角定理，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，以及圆内接四边形的性质是解题的关键．
利用等腰三角形的性质可得，从而利用圆内接四边形的性质可求出，然后利用三角形内角和定理进行计算即可解答．
【解答】
解：，，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
在中，，
，
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆周角的性质与圆的内接四边形的性质，首先圆上取一点，连接，，根据圆的内接四边形的性质，即可得，即可求得的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案．
【解答】
解：圆上取一点，连接，，
点、，，在上，，
，
，
故选D．
8.【答案】
【解析】解：如图，连接、，
四边形为内接四边形，
，
，
，
由圆周角定理得：，
，
为等边三角形，
，
当为的直径时，最大，最大值为，
故选：．
连接、，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理求出，再根据等边三角形的判定和性质解答即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、等边三角形的判定和性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，构造辅助线得到全等三角形的问题的关键与难点．
延长到，使，连接，则可证得≌，从而，，易证≌，可得，则可求得的长．
【解答】
解：延长到，使，连接，如图，
四边形内接于，
，
，
，
在和中，
≌，
，，
，，
，
，
，
．
在和中，
≌，
，
．
10.【答案】
【解析】解：连接，
四边形是平行四边形，，
四边形是菱形，
，
故正确；
，
是等边三角形，
，
四边形是菱形，
，
，
故正确；
四边形是菱形，
，
故正确；
的位置不确定，长在变化，半径的长不变，
和没有确定的数量关系，
错误．
正确的结论是，共有个．
故选：．
由四边形是平行四边形，，判定四边形是菱形，得到，由是等边三角形得到，由四边形是菱形，得到，由圆周角定理得到，由菱形的性质得到，和没有确定的数量关系．
本题考查圆周角定理，菱形的判定和性质，关键是判定四边形是菱形，得到．
11.【答案】
【解析】解：如图，在优弧上取一点，连接、，
，
，
、、、四点共圆，
，
，
故选：．
在优弧上取一点，连接、，根据圆周角定理求出，根据圆内接四边形的性质得出，代入求出即可．
本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，能根据圆周角定理得出是解此题的关键．
12.【答案】
【解析】【分析】
此题考查的是圆内接四边形的性质，圆周角定理．
先根据圆周角定理求得的度数，然后根据圆内接四边形的性质求出的度数即可．
【解答】
解：是的内接四边形，且，
，
，
故选：．
13.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是：根据点所在位置进行分类讨论．根据题意得到，是等边三角形，进而得到，由点所在位置进行分类讨论，根据圆周角定理及圆内接四边形的性质，分别计算，即可求解，
【解答】
解：如图：
根据题意得：，
是等边三角形，
，
当点在优弧上时，，
当点在劣弧上时，
四边形是的内接四边形，
，
，
故答案为或
14.【答案】
【解析】解：连接、，如图，
四边形为的内接四边形，
，
，
，
，
弧的度数为．
故答案为：．
连接、，先根据圆内接四边形的性质，则可计算出，接着根据圆周角定理得到，然后利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆心角、弧、弦的关系．
15.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查了圆周角定理和勾股定理的逆定理以及圆内接四边形的性质等知识，熟练掌握圆周角定理和勾股定理的逆定理是解本题的关键．
根据题意画出图形，连接和，先根据勾股定理的逆定理得出，再根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求出即可．
【解答】
解：连接、，为优弧上一点，为劣弧上一点，如图所示：
则，
，
由于，即，
，
，
，
即弦对的圆周角的度数是或．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，熟知直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
根据圆周角定理及已知可求得的度数，根据圆内接四边形的性质可求得的度数，再根据三角形内角和公式即可求得的度数．
【解答】
解：是半圆的直径，
，
，
．
．
．
．
故答案为：．
17.【答案】略
【解析】略
18.【答案】证明：，，
又，
，
即，
，
，
解：作于，如下图所示：
，
，
又，
，
由可知：，
，
即，
，
，
，
，，
，
，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
即：：，
，，
∽，
：：，
即：：：，
，
，
，
，
．
【解析】根据及三角形的外角定理得，再根据可得出结论；
作于，先证明得，则，，进而得，由此可证明和全等，则，进而得：：，然后证明∽得：：：，则，进而得，据此可得的值．
此题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
19.【答案】解：
，
，即 平分．
平分，
，
，
，即
，
是直径，

解：，，
，则．
，
．
，
，
是等边三角形，则．
平分，
．
是直径，
，则．
四边形 是圆内接四边形，
，则，
，
，
．
，
，
．
是直径，
此圆半径的长为．

【解析】【分析】根据已知得出，则，即可证明 平分，进而根据 平分，得出 ，推出 ，得出 是直径，进而可得；
根据的结论结合已知条件得出，，是等边三角形，进而得出，由 是直径，根据含 角的直角三角形的性质可得，在中，根据含 角的直角三角形的性质求得 的长，进而即可求解．
20.【答案】解：．
过点作，得矩形，
，
，
，，
；
作的外接圆，
，
点在的外接圆上．
即是定值．
存在最大值为：．
【解析】【分析】
本题是三角形综合，主要考查平行线的性质，含度角的直角三角形的性质，圆的内接四边形的判定，三角形的面积，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，三角形内角和定理，添加辅助线构造圆的的内接四边形和直角三角形是关键．
根据平行线的性质即可解答；
过点作，得得矩形，根据，得、、，然后根据的等腰直角三角形和含角的直角三角形的性质即可解答；
作的外接圆，根据，得点在的外接圆上，然后根据圆周角定理得即可解答；
当时，四边形的面积最大过点作交延长线于，先根据含度角的直角三角形的性质求得，再根据等腰三角形的判定得、，求得，最后根据计算即可解答．
【解答】
解：，，
，
，
，
，
．
见答案；
见答案；
当时，四边形的面积最大过点作交延长线于，
中，，，
，
由可知，
，，
，
，
，，
．
四边形的面积存在最大值，最大值为．
21.【答案】证明：，
，
与是同弧所对的圆周角，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
平分；
解：，，
，
，
，
在中，，
在中，，
连接并延长交于点，交线段于点，连接，
是的直径，
平分圆，
，
点是的中点，
，，
在中，，
设的半径为，则，，
在中，，
即，
解得．
【解析】本题考查的是圆周角定理，垂径定理，勾股定理，圆内接四边形的性质，角平分线的判定有关知识．
先根据得出，再由圆周角定理得出，由圆内接四边形的性质可得出，故，据此得出结论；
根据，可得出的长，故可得出的长，在中，利用勾股定理求出的长，同理可得出的长，连接并延长交于点，交线段于点，连接，由垂径定理得出，故点是的中点，利用勾股定理求出的长，设的半径为，在中利用勾股定理列方程求出的值即可．
22.【答案】解：．
过点作，得矩形，
，
，
，，
；
作的外接圆，
，
点在的外接圆上．
即是定值．
存在最大值为：．
【解析】【分析】
本题是三角形综合，主要考查平行线的性质，含度角的直角三角形的性质，圆的内接四边形的判定，三角形的面积，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，三角形内角和定理，添加辅助线构造圆的的内接四边形和直角三角形是关键．
根据平行线的性质即可解答；
过点作，得得矩形，根据，得、、，然后根据的等腰直角三角形和含角的直角三角形的性质即可解答；
作的外接圆，根据，得点在的外接圆上，然后根据圆周角定理得即可解答；
当时，四边形的面积最大过点作交延长线于，先根据含度角的直角三角形的性质求得，再根据等腰三角形的判定得、，求得，最后根据计算即可解答．
【解答】
解：，，
，
，
，
，
．
见答案；
见答案；
当时，四边形的面积最大过点作交延长线于，
中，，，
，
由可知，
，，
，
，
，，
．
四边形的面积存在最大值，最大值为．
23.【答案】解：如图：即为所求
如图：即为所求

【解析】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，四点共圆等知识．
延长，，相交于点，连接，则四边形是正方形，则平分；
连接，相交于点，则四点共圆，则，则为中点．
24.【答案】证明：为直径，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌
；
解：平分，
，
由得：，
在和中，
，
≌，
，
，，
设，，
由勾股定理得：，，
，，
，即：，
解得：，
为直径，
的半径为．
【解析】利用证得≌，进而可求证结论；
利用先证得≌，进而可得，，设，，利用勾股定理得，，再结合，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定及性质、圆与三角形的综合、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
25.【答案】证明：平分，
，
，
，
，
，
；
解：，
，
，
，
，
，
平分，
．

【解析】【分析】根据平分，可得，再根据，可得，从而得到，即可．
根据圆的内切四边形，对角互补，求出，再利用垂径定理，可得，可得到，即可求解．
本题考查了圆内接四边形的性质，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质，垂径定理，圆周角定理．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)