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【题型专练】1.1 认识三角形
★1、三角形的定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
★2、三角形的“三元素”
(1)顶点：三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点.
(2)边：组成三角形的线段叫做三角形的边.
(3)内角：在三角形中，相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角.
★3、三角形的表示方法：用符号“△”表示三角形.
如图，顶点是A，B，C 的三角形，记作△ ABC，
读作“三角形ABC”.
★1、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° .
几何语言：在△ ABC 中，∠A+ ∠B+ ∠C=180° .
★2、三角形内角和定理的应用：主要用在求三角形中角的度数．
①直接根据两已知角求第三个角；
②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；
★三角形可以按内角的大小进行分类：
★三角形的三边关系
文字语言 数学语言 理论依据 图形
三角形两边的和大于第三边 a+b﹥c， b+c﹥a， a+c﹥b 两点之间， 线段最短.
三角形两边的差小于第三边 a－b﹤c， b－c﹤a， a－c﹤b(a ﹥b﹥c)
★★★一、三角形的高
◆1、三角形的定义：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
性质：如右图：
∵ AD是△ABC的边BC上的高(已知)，
∴ AD⊥BC于点D(或∠ADB=∠ADC=90°)
判定：
∵ AD⊥BC于点D(或∠ADB=∠ADC=90°)(已知)，
∴线段AD 是△ABC 的边BC上的高(三角形的高的定义)
◆2、三角形的高的画法
一靠：使三角尺的一条直角边靠在作高的边上；
二移：移动三角尺使另一条直角边通过这条边所对的顶点；
三画：画垂线段.
◆3、三角形三条高的位置
高的位置 交点位置 交点名称
锐角三角形 三条高都在三角形内部 三条高交于一点，都在三角形内部. 垂心
直角三角形 其中两条高恰好是直角边 三条高交于一点，再三角形的直角顶点
钝角三角形 其中两条高在三角形外部 三条高没有交点，但三条高所在的直线交于一点，在三角形外.
★★★二、三角形的中线
◆1、三角形的中线的定义：连接三角形一个顶点和它所对的边的中点，所得的线段叫做该三角形这条边上的中线.
几何语言：如图，
(1)AD是△ ABC 中BC 边上的中线；
(2)D是BC边的中点；
(3)BD=DC，BD=BC，DC=BC.
◆2、三角形的重心：
三角形的三条中线相交于一点. 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心(如右图中的点O)，重心在三角形内部.
★★★三、三角形的角平分线
◆1、三角形的角平分线的定义： 三角形一个内角的平分线与它所对的边相交，顶点和交点之间的线段叫做这个三角形的角平分线.
【注意】●角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段.
●三角形的角平分线是其内角的平分线的一部分，故角的平分线的性质三角形的角平分线都具有.
◆2、三角形的角平分线的位置：
三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点.
题型一 三角形有关的概念
解题技巧提炼 三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．
1．（2023秋 屯昌县期末）下列图形中，三角形是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023秋 宁津县校级月考）如图中都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023秋 南开区校级月考）如图，在△ACE中，∠CEA的对边是 ．
4．看图填空，如图．
（1）图中共有 个三角形，它们分别是 ；
（2）△BGE的三个顶点分别是 ，三条边分别是 ，三个角分别是 ；
（3）在△AEF中，顶点A所对的边是 ，边AF所对的顶点是 ；
（4）∠ACB是△ 的内角，∠ACB的对边是 ．
题型二 三角形的分类
解题技巧提炼 三角形按三个内角的大小，可将三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．
1．（2023秋 招远市期中）若三角形有两个内角的和是100°，那么这个三角形是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
2．（2023春 伊川县期末）图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上都有可能
3．（2024春 济南期中）已知△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：7，则△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
4．（2024春 静安区校级期中）下列说法正确的是（ ）
A．若∠A+∠B＞∠C，则△ABC为锐角三角形
B．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC为锐角三角形
C．若AB＝BC＝AC＝2cm，则△ABC为锐角三角形
D．若∠A＜90°且∠B＜90°，则△ABC为锐角三角形
题型三 三角形的计数问题
解题技巧提炼 在计数三角形的个数时，要找到一种科学、方便的计数方法，保证所计数的三角形不重不漏，这种方法就是“定边平移法”.
1．（2023秋 巴东县期中）图中有（ ）个三角形．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023秋 永吉县期中）如图，图中三角形的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．（2023秋 易县期末）如图所示，以BC为边的三角形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2023秋 张店区期末）请同学们认真观察，图中共有（ ）三角形．
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
5．（2023秋 兰山区校级月考）如图，共有 个三角形．
题型四 三角形三边关系的计算
解题技巧提炼 1.在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 2.在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，容易忽略．
1．（2024 开福区校级三模）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，7 C．2，6，7 D．3，3，6
2．（2024春 郸城县期末）现有两根木条，它们的长分别是40cm和50cm，要选择第三根木条，把它们钉成一个三角形木架，设第三根木棒长为x cm，则（ ）
A．10＜x＜90 B．20＜x＜100 C．40＜x＜50 D．90＜x＜200
3．（2024 南安市模拟）若三角形两边长分别为7cm和10cm，则第三边长可能为（ ）
A．2cm B．10cm C．17cm D．20cm
4．（2024 河源一模）在下列长度的四条线段中，能与长5cm，12cm的两条线段围成一个三角形的是（ ）
A．5cm B．7cm C．15cm D．17cm
5．（2024 桥西区校级三模）如图，数轴上点A，B，C，D对应的数字分别是﹣1，1，x，7，点C在线段BD上且不与端点重合，若线段AB，BC，CD能围成三角形，则x可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2024春 福田区校级期中）已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数．
（1）若a＝2，b＝5，且c为偶数．求△ABC的周长．
（2）化简：|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b+c|．
题型五 三角形三边关系的证明
解题技巧提炼 证明线段间不等关系的方法，常先构造三角形，把相关线段尽可能地集中在一个三角形中，然后运用“三角形两边的和大于第三边”这一关系，得出几个同向不等式，最后通过变形得出结论.
1．已知：在△ABC中，AB＝AC，D在AC的延长线上，如图，求证：BD－BC＜AD－AB.
2．（2023秋 忻府区月考）如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，则AB+BC+AC＞2AD．请说明理由．
3．如图，△ABC中，点D在AC上，点P在BD上，求证：AB+AC＞BP+CP．
4．如图所示，在△ABC中，D是BA上一点，则AB+2CD＞AC+BC成立吗？说明理由．
5．如图，点P是△ABC内任意一点，求证：PA+PB+PCABBCAC．
题型六 三角形的高
解题技巧提炼 1、从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 2、锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
1．（2024春 和平区期中）在下列各图的△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024春 深圳期中）下面四个图形中，线段BE能表示△ABC的高的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023秋 上饶期末）如图，△ABC的边BC上的高是（ ）
A．线段AF B．线段DB C．线段CF D．线段BE
4．（2024春 沛县期中）如图所示，已知AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，D、C、F是垂足，下列说法中错误的是（ ）
A．△ABC中，CF是AB边上的高
B．△AGC中，CF是AG边上的高
C．△GBC中，GC是BC边上的高
D．△BFC中，CG是BF边上的高
5．（2023秋 汕尾校级月考）如图，△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B．
（1）试说明CD是△ABC的高；
（2）如果AC＝8，BC＝6，AB＝10，求CD的长．
题型七 三角形的中线
解题技巧提炼 三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个小三角形．
1．（2024春 鼓楼区期中）如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝7，AD是中线．若△ABD的周长为19，则△ACD的周长为 ．
2．（2023秋 张店区校级期末）BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是 ．
3．（2023春 兴庆区校级期中）已知AD是△ABC的边BC上的中线，若△ABD的周长比△ACD的周长大6，则AB与AC的差是 .
4．（2024 沭阳县校级模拟）已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 cm2．
5．（2023秋 苍梧县期中）如图，已知△ABC的周长为16cm，，AD＝4cm，AD是BC边上的中线，△ABD的周长是12cm，求△ABC各边的长．
6．（2024春 丰泽区校级期中）如图，在△ABC中，AD是中线，AB＝10cm，AC＝6cm．
（1）△ABD与△ACD的周长差为 cm．
（2）点E在边AB上，连接ED，若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm，求线段AE的长．
题型八 三角形的角平分线
解题技巧提炼 三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
1．如图所示，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是（ ）
A．BD是△ABC的角平分线 B．CE是△BCD的角平分线
C．∠3∠ACB D．CE是△ABC的角平分线
2．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACE＝40°，AD，CE是△ABC的角平分线，则∠DAC＝ ，∠BCE＝ ，∠ACB＝ ．
3．（2023春 南召县期末）如图，AD，BE，CF依次是△ABC的高、中线和角平分线，下列表达式中错误的是（ ）
A．AE＝CE B．∠ADC＝90° C．∠ACB＝2∠ACF D．∠CAD＝∠CBE
4．（2023秋 崇明区期末）AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，若∠BAC＝100°，则∠ADE＝ °．
5．如图，DE∥BC，CD是△ACB的平分线，∠ACB＝60°，那么∠EDC＝ 度．
6．如图所示，在△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于E，EF∥AD交BC于F，试问：EF是△BDE的角平分线吗？说说你的理由．
题型九 三角形的内角和定理
解题技巧提炼 根据“三角形三个内角的和等于180° ”来求三角形中求角的问题，有时要用到方程的思想来解决.
1．（2024 子洲县校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，过点A作EF∥BC，则∠FAC的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
2．（2024 新华区校级模拟）如图，C岛在A岛的北偏东50°方向上，在B岛的北偏西60°方向上，A岛在B岛北偏西80°方向上，则从C岛看A、B两岛的视角∠ACB为（ ）
A．80° B．95° C．110° D．140°
3．（2023秋 玉林期末）纸片△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内（如图），若∠1＝20°，则∠2的度数为 ．
4．（2023春 电白区期末）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，∠A＝∠1，∠3＝∠C，求∠A的度数．
5．（2024春 天桥区期中）如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝30°，AD和AE分别是△ABC的高和角平分线，求∠DAE的度数．
6．（2024春 沭阳县校级期中）已知：如图，在△ABC中，AD是角平分线，E为边AB上一点，连接DE，∠EAD＝∠EDA，过点E作EF⊥BC，垂足为F．
（1）说明：DE∥AC；
（2）若∠DEF＝40°，∠B＝36°，求∠BAC的度数．
题型十 三角形的高、中线、角平分线的综合应用
解题技巧提炼 三角形的高、中线、角平分线的综合应用主要是利用他们的性质来解决综合问题.
1．（2024春 雁塔区校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．三角形的角平分线是射线
B．连接三角形任意两边中点的线段是三角形的中线
C．三角形的高都在三角形的内部
D．直角三角形的三条高线交于直角顶点处
2．（2023秋 林芝市期末）如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是（ ）
A．59° B．60° C．56° D．22°
3．（2023秋 安顺期末）如图，AD是△ABC的高，DE是△ABD的中线，BF是△BDE的角平分线．若AD＝BD，则∠BFD的度数为 ．
4．如图，在△ABC中，AD是中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AB＝6cm，AC＝4cm，则 ．
5．（2023春 吴江区期中）如图，AD是△ABC的高，CE是△ACB的角平分线，F是AC中点，∠ACB＝50°，∠BAD＝65°．
（1）求∠AEC的度数；
（2）若△BCF与△BAF的周长差为3，AB＝7，求BC的长．
6．（2023春 惠州期末）如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°．试求：
（1）AD的长；
（2）△ABE的面积；
（3）△ACE和△ABE的周长的差．中小学教育资源及组卷应用平台
【题型专练】1.1 认识三角形
★1、三角形的定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
★2、三角形的“三元素”
(1)顶点：三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点.
(2)边：组成三角形的线段叫做三角形的边.
(3)内角：在三角形中，相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角.
★3、三角形的表示方法：用符号“△”表示三角形.
如图，顶点是A，B，C 的三角形，记作△ ABC，
读作“三角形ABC”.
★1、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° .
几何语言：在△ ABC 中，∠A+ ∠B+ ∠C=180° .
★2、三角形内角和定理的应用：主要用在求三角形中角的度数．
①直接根据两已知角求第三个角；
②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；
★三角形可以按内角的大小进行分类：
★三角形的三边关系
文字语言 数学语言 理论依据 图形
三角形两边的和大于第三边 a+b﹥c， b+c﹥a， a+c﹥b 两点之间， 线段最短.
三角形两边的差小于第三边 a－b﹤c， b－c﹤a， a－c﹤b(a ﹥b﹥c)
★★★一、三角形的高
◆1、三角形的定义：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
性质：如右图：
∵ AD是△ABC的边BC上的高(已知)，
∴ AD⊥BC于点D(或∠ADB=∠ADC=90°)
判定：
∵ AD⊥BC于点D(或∠ADB=∠ADC=90°)(已知)，
∴线段AD 是△ABC 的边BC上的高(三角形的高的定义)
◆2、三角形的高的画法
一靠：使三角尺的一条直角边靠在作高的边上；
二移：移动三角尺使另一条直角边通过这条边所对的顶点；
三画：画垂线段.
◆3、三角形三条高的位置
高的位置 交点位置 交点名称
锐角三角形 三条高都在三角形内部 三条高交于一点，都在三角形内部. 垂心
直角三角形 其中两条高恰好是直角边 三条高交于一点，再三角形的直角顶点
钝角三角形 其中两条高在三角形外部 三条高没有交点，但三条高所在的直线交于一点，在三角形外.
★★★二、三角形的中线
◆1、三角形的中线的定义：连接三角形一个顶点和它所对的边的中点，所得的线段叫做该三角形这条边上的中线.
几何语言：如图，
(1)AD是△ ABC 中BC 边上的中线；
(2)D是BC边的中点；
(3)BD=DC，BD=BC，DC=BC.
◆2、三角形的重心：
三角形的三条中线相交于一点. 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心(如右图中的点O)，重心在三角形内部.
★★★三、三角形的角平分线
◆1、三角形的角平分线的定义： 三角形一个内角的平分线与它所对的边相交，顶点和交点之间的线段叫做这个三角形的角平分线.
【注意】●角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段.
●三角形的角平分线是其内角的平分线的一部分，故角的平分线的性质三角形的角平分线都具有.
◆2、三角形的角平分线的位置：
三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点.
题型一 三角形有关的概念
解题技巧提炼 三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．
1．（2023秋 屯昌县期末）下列图形中，三角形是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形的定义即可得到结论．
【解答】解：选项C是三角形，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形，熟练掌握三角形的定义是解题的关键．
2．（2023秋 宁津县校级月考）如图中都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形的定义判断即可．
【解答】解：三角形是由三条首尾相连的线段组成的图形．
故选：C．
【点评】本题考查三角形，解题的关键是理解三角形的定义．
3．（2023秋 南开区校级月考）如图，在△ACE中，∠CEA的对边是 ．
【分析】根据图形直接写出答案．
【解答】解：如图，在△ACE中，∠CEA的对边是AC．
故答案为：AC．
【点评】本题考查了三角形，组成三角形的线段叫做三角形的边．
4．看图填空，如图．
（1）图中共有 个三角形，它们分别是 ；
（2）△BGE的三个顶点分别是 ，三条边分别是 ，三个角分别是 ；
（3）在△AEF中，顶点A所对的边是 ，边AF所对的顶点是 ；
（4）∠ACB是△ 的内角，∠ACB的对边是 ．
【分析】（1）根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
（2）组成三角形的线段叫做三角形的边．
（3）相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．
（4）相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角分别进行分析．
【解答】解：（1）如图中共有4个三角形，它们是△ABC、△EBG、△AEF、△CGF，
故答案为：4；△ABC、△EBG、△AEF、△CGF；
（2）△BGE的三个顶点分别是B、G、E，三条边分别是BE、EG、GB，三个角分别是∠B、∠BEG、∠BGE，
故答案为：B、G、E；BE、EG、GB；∠B、∠BEG、∠BGE；
（3）△AEF中，顶点A所对的边是EF；边AF所对的顶点是E，
故答案为：EF；E；
（4）∠ACB是△ACB的内角，∠ACB的对边是AB．
故答案为：ACB；AB．
【点评】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形中的有关概念．
题型二 三角形的分类
解题技巧提炼 三角形按三个内角的大小，可将三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．
1．（2023秋 招远市期中）若三角形有两个内角的和是100°，那么这个三角形是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
【分析】由三角形有两个内角的和是100°，可得出这两个角中较大的角可以是钝角、直角、锐角，结合三角形的分类，可得出这个三角形可能是钝角三角形、直角三角形、锐角三角形，即不能确定．
【解答】解：∵三角形有两个内角的和是100°，
∴这两个角中较大的角可以是钝角、直角、锐角，
∴这个三角形可能是钝角三角形、直角三角形、锐角三角形，
∴这个三角形不能确定．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的分类，牢记“三角形按角分类可以分成锐角三角形、直角三角形和钝角三角形”是解题的关键．
2．（2023春 伊川县期末）图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上都有可能
【分析】三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形．
【解答】解：从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个直角．
故选：D．
【点评】此题考查了三角形的分类．
3．（2024春 济南期中）已知△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：7，则△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
【分析】由题意设∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝7x，根据三角形内角和定理，进而可解决此题．
【解答】解：由题意可设∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝7x．
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴3x+4x+7x＝180°．
∴x＝（）°．
∴7x＝90°．
∴△ABC是直角三角形．
故选：B．
【点评】本题主要考查三角形内角和定理以及解一元一次方程，熟练掌握三角形内角和定理以及解一元一次方程是解决本题的关键．
4．（2024春 静安区校级期中）下列说法正确的是（ ）
A．若∠A+∠B＞∠C，则△ABC为锐角三角形
B．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC为锐角三角形
C．若AB＝BC＝AC＝2cm，则△ABC为锐角三角形
D．若∠A＜90°且∠B＜90°，则△ABC为锐角三角形
【分析】根据三角形内角和定理、三角形的分类，举出适当的反例，即可得出答案．
【解答】解：A、当∠A＝20°，∠B＝100°，∠C＝60°时，满足∠A+∠B＞∠C，但△ABC不是锐角三角形，故原说法错误，不符合题意；
B、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∴，，，则△ABC为直角三角形，故原说法错误，不符合题意；
C、若AB＝BC＝AC＝2cm，则△ABC为等边三角形，即为锐角三角形，故原说法正确，符合题意；
D、若∠A＝20°，∠B＝20°，满足∠A＜90°且∠B＜90°，则∠C＝140°，故△ABC不是锐角三角形，故原说法错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的分类、三角形内角和定理，正确记忆相关知识点是解题关键．
题型三 三角形的计数问题
解题技巧提炼 在计数三角形的个数时，要找到一种科学、方便的计数方法，保证所计数的三角形不重不漏，这种方法就是“定边平移法”.
1．（2023秋 巴东县期中）图中有（ ）个三角形．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据三角形的定义即可得到结论．
【解答】解：图中有△ADC，△ABC，△DBC共3个三角形．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的定义，熟练掌握三角形的定义是解题的关键．
2．（2023秋 永吉县期中）如图，图中三角形的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，据此进行判断即可．
【解答】解：图中的三角形为：△ABD，△ACE，△DCE，△ACD和△ABC，有5个三角形，
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的概念，解题时注意：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
3．（2023秋 易县期末）如图所示，以BC为边的三角形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据三角形的定义（由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形）找出图中的三角形．
【解答】解：以BC为边的三角形有△BCE，△BAC，△DBC，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的定义．注意：题目要求找“图中以BC为边的三角形的个数”，而不是找“图中三角形的个数”．
4．（2023秋 张店区期末）请同学们认真观察，图中共有（ ）三角形．
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【分析】由三角形的概念，即可得到答案．
【解答】解：图形中有三角形：△ABC，△ABD，△BCD，△BCO，△COD，
∴图中共有5个三角形．
故选：A．
【点评】本题考查三角形，关键是掌握三角形的概念．
5．（2023秋 兰山区校级月考）如图，共有 个三角形．
【分析】根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形数出三角形的个数．
【解答】解：图中有：△ABC，△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，△ADE，共6个．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的定义，数三角形时，要不重不漏．
题型四 三角形三边关系的计算
解题技巧提炼 1.在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 2.在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，容易忽略．
1．（2024 开福区校级三模）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，7 C．2，6，7 D．3，3，6
【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
【解答】解：A、2+1＝3，长度是1，2，3的线段不能组成三角形，故A不符合题意；
B、2+3＝5＜7，长度是2，3，7的线段不能组成三角形，故B不符合题意；
C、2+6＞7，长度是2，6，7的线段能组成三角形，故C符合题意；
D、3+3＝6，长度是3，3，6的线段不能组成三角形，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
2．（2024春 郸城县期末）现有两根木条，它们的长分别是40cm和50cm，要选择第三根木条，把它们钉成一个三角形木架，设第三根木棒长为x cm，则（ ）
A．10＜x＜90 B．20＜x＜100 C．40＜x＜50 D．90＜x＜200
【分析】已知三角形的两边长分别为40cm和50cm，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求第三边长的范围．
【解答】解：由三角形三边关系定理得：50﹣40＜x＜40+50，即10＜x＜90．
故选：A．
【点评】此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
3．（2024 南安市模拟）若三角形两边长分别为7cm和10cm，则第三边长可能为（ ）
A．2cm B．10cm C．17cm D．20cm
【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围．
【解答】解：设第三边的长为x cm，根据三角形的三边关系，
得10﹣7＜x＜10+7，
即3＜x＜17，
10cm适合，
故选：B．
【点评】本题主要考查了求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式组，然后解不等式组即可，难度适中．
4．（2024 河源一模）在下列长度的四条线段中，能与长5cm，12cm的两条线段围成一个三角形的是（ ）
A．5cm B．7cm C．15cm D．17cm
【分析】首先设第三条线段长为x cm，再利用三角形的三边关系可得x的范围，然后可得答案．
【解答】解：设第三条线段长为x cm，由题意得：
12﹣5＜x＜12+5，
解得：7＜x＜17，
只有15cm适合，
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
5．（2024 桥西区校级三模）如图，数轴上点A，B，C，D对应的数字分别是﹣1，1，x，7，点C在线段BD上且不与端点重合，若线段AB，BC，CD能围成三角形，则x可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由三角形三边关系定理得：，得到不等式组的解集是3＜x＜5，即可得到答案．
【解答】解：由点在数轴上的位置得：AB＝1﹣（﹣1）＝2，BC＝x﹣1，CD＝7﹣x，
由三角形三边关系定理得：，
不等式①恒成立，
由不等式②得：x＞3，
由不等式③得：x＜5，
∴不等式组的解集是3＜x＜5，
故选：C．
【点评】本题考查三角形三边关系定理，数轴，解一元一次不等式组，关键是由三角形三边关系定理得到一元一次不等式组．
6．（2024春 福田区校级期中）已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数．
（1）若a＝2，b＝5，且c为偶数．求△ABC的周长．
（2）化简：|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b+c|．
【分析】（1）先根据三角形的三边关系得出c的取值范围，再由c为偶数即可得出c的值，进而可得出结论；
（2）根据三角形的三边关系得出a+c＞b，再去绝对值符号，合并同类项即可．
【解答】解：（1）∵a＝2，b＝5，
∴5﹣2＜c＜5+2，
∴3＜c＜7，
∵c为偶数，
∴c＝4或6，
当c＝4时，△ABC的周长＝a+b+c＝2+5+4＝11；
当c＝6时，△ABC的周长＝a+b+c＝2+5+6＝13，
综上所述，△ABC的周长为11或13；
（2）∵△ABC的边长为a，b，c，
∴a+c＞b，
∴|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b+c|
＝a+c﹣b﹣（a+c﹣b）+a+b+c
＝a+c﹣b﹣a﹣c+b+a+b+c
＝a+b+c．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
题型五 三角形三边关系的证明
解题技巧提炼 证明线段间不等关系的方法，常先构造三角形，把相关线段尽可能地集中在一个三角形中，然后运用“三角形两边的和大于第三边”这一关系，得出几个同向不等式，最后通过变形得出结论.
1．已知：在△ABC中，AB＝AC，D在AC的延长线上，如图，求证：BD－BC＜AD－AB.
【答案】证明：∵在△BCD中，BD－BC＜CD,
∵CD=AD－AC且AB＝AC，
则CD=AD－AC=AD－AB,
即BD－BC＜AD－AB
【解析】【分析】在△BCD中，由三角形任意两边之差小于第三边可得BD－BC＜CD, 由线段的构成和已知可得 CD=AD－AC=AD－AB, 代入即可求解.
2．（2023秋 忻府区月考）如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，则AB+BC+AC＞2AD．请说明理由．
【分析】分别在两个三角形中利用三角形的三边关系得到不等式，然后相加即可得到结论．
【解答】解：∵在△ABD中，AB+BD＞AD，△ACD中AC+CD＞AD，
∴AB+BD+AC+CD＞AD+AD，
即：AB+BC+AC＞2AD．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是根据三角形的三边关系在另个三角形中得到边的不等关系，难度不大．
3．如图，△ABC中，点D在AC上，点P在BD上，求证：AB+AC＞BP+CP．
【分析】由三角形的三边关系可得AB+AD＞BD，CD+PD＞PC，即可得结论．
【解答】证明：在△ABD中，AB+AD＞BD，
在△PDC中，CD+PD＞PC，
∴AB+AD+CD+PD＞BD+PC
∴AB+AC＞BP+CP．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟练运用三角形的三边关系是本题的关键．
4．如图所示，在△ABC中，D是BA上一点，则AB+2CD＞AC+BC成立吗？说明理由．
【分析】先根据三角形三边关系定理可得AD+CD＞AC，BD+CD＞BC，再将两式相加得（AD+BD）+2CD＞AC+BC，即AB+2CD＞AC+BC．
【解答】解：AB+2CD＞AC+BC成立，理由如下：
在三角形ADC中，AD+CD＞AC，
在三角形BCD中，BD+CD＞BC，
两式相加得（AD+BD）+2CD＞AC+BC，
即AB+2CD＞AC+BC．
【点评】本题考查了三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．同时考查了不等式的性质．
5．如图，点P是△ABC内任意一点，求证：PA+PB+PCABBCAC．
【分析】根据三角形的三边关系可得出结论．
【解答】证明：∵PA+PB＞AB，PB+PC＞BC，PC+PA＞AC．
∴把它们相加，再除以2，得
PA+PB+PCABBCAC．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边是解答此题的关键．
题型六 三角形的高
解题技巧提炼 1、从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 2、锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
1．（2024春 和平区期中）在下列各图的△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形的高的概念判断．
【解答】解：AC边上的高就是过B作垂线垂直AC交AC的延长线于D点，因此只有B符合条件，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，关键是利用基本作图作三角形高的方法解答．
2．（2024春 深圳期中）下面四个图形中，线段BE能表示△ABC的高的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用三角形高的定义即可求解．
【解答】解：A，C，D中线段BE不能表示△ABC任何边上的高；
B中线段BE能表示△ABC的高，且表示AC边上的高．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形高线的定义，熟练掌握从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与
垂足间的线段叫做三角形的高是解题的关键．
3．（2023秋 上饶期末）如图，△ABC的边BC上的高是（ ）
A．线段AF B．线段DB C．线段CF D．线段BE
【分析】根据三角形的高的定义进行分析即可得出结果．
【解答】解：由图可得：△ABC的边BC上的高是AF．
故选：A．
【点评】本题主要考查三角形的角平分线、中线、高，解答的关键是对三角形的高的定义的掌握．
4．（2024春 沛县期中）如图所示，已知AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，D、C、F是垂足，下列说法中错误的是（ ）
A．△ABC中，CF是AB边上的高
B．△AGC中，CF是AG边上的高
C．△GBC中，GC是BC边上的高
D．△BFC中，CG是BF边上的高
【分析】根据三角形的一个顶点到对边的垂线段叫做三角形的高，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：∵AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，
A、△ABC中，CF是AB边上的高，正确；
B、△AGC中，CF是AG边上的高，正确；
C、△GBC中，GC是BC边上的高，正确；
D、△BFC中，CF是BF边上的高，错误．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，是基础题，熟记概念是解题的关键．
5．（2023秋 汕尾校级月考）如图，△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B．
（1）试说明CD是△ABC的高；
（2）如果AC＝8，BC＝6，AB＝10，求CD的长．
【分析】（1）由等量代换可得到∠B+∠BCD＝90°，故△BDC是直角三角形，即CD⊥AB；
（2）由面积法可求得CD的长．
【解答】解：（1）∵∠1+∠BCD＝90°，∠1＝∠B
∴∠B+∠BCD＝90°
∴△BDC是直角三角形，即CD⊥AB，
∴CD是△ABC的高；
（2）∵∠ACB＝∠CDB＝90°
∴S△ABCAC BCAB CD，
∵AC＝8，BC＝6，AB＝10，
∴CD．
【点评】本题利用了直角三角形的判定和利用面积法求直角三角形的斜边上的高的长．
题型七 三角形的中线
解题技巧提炼 三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个小三角形．
1．（2024春 鼓楼区期中）如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝7，AD是中线．若△ABD的周长为19，则△ACD的周长为 ．
【分析】根据三角形的中线的定义可得BD＝CD，然后求出△ABD与△ACD的周长之差＝AB﹣AC．
【解答】解：∵AD为中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD的周长为：AB+AD+BD；
△ACD的周长为：AC+AD+CD，
∴△ABD与△ACD的周长为：AB﹣AC＝9﹣7＝2，
∵△ABD的周长为19．
∴△ACD的周长为17．
故答案为：17．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，掌握中线的定义及三角形的周长公式是解题的关键．
2．（2023秋 张店区校级期末）BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是 ．
【分析】根据三角形的中线的定义可得AD＝CD，再求出△ABD和△BCD的周长的差＝AB﹣BC．
【解答】解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∴△ABD和△BCD的周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）＝AB﹣BC，
∵AB＝5，BC＝3，
∴△ABD和△BCD的周长的差＝5﹣3＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于AB﹣BC是解题的关键．
3．（2023春 兴庆区校级期中）已知AD是△ABC的边BC上的中线，若△ABD的周长比△ACD的周长大6，则AB与AC的差是 .
【分析】依据三角形中线的定义，即可得到BD＝CD，再根据△ABD的周长比△ACD的周长大6，即可得出AB与AC的差为6．
【解答】解：∵AD是△ABC的边BC上的中线，
∴BD＝CD，
∵△ABD的周长比△ACD的周长大6，
∴（AB+BD+AD）﹣（AC+CD+AD）＝6，
即AB﹣AC＝6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
4．（2024 沭阳县校级模拟）已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 cm2．
【分析】易得△ABD，△ACD为△ABC面积的一半，同理可得△BEC的面积等于△ABC面积的一半，那么阴影部分的面积等于△BEC的面积的一半．
【解答】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等，
∴S△ABD＝S△ACDS△ABC4＝2（cm2），
同理S△BDE＝S△CDES△BCE2＝1（cm2），
∴S△BCE＝2（cm2），
∵F为EC中点，
∴S△BEFS△BCE2＝1（cm2）．
故答案为1．
【点评】此题考查了三角形中线的性质，解答此题的关键是知道同底等高的三角形面积相等．
5．（2023秋 苍梧县期中）如图，已知△ABC的周长为16cm，，AD＝4cm，AD是BC边上的中线，△ABD的周长是12cm，求△ABC各边的长．
【分析】首先求出AB＝5cm，然后根据△ABD的周长是12cm，求出BD＝12﹣5﹣4＝3cm，再根据中线的定义可求出CD＝BD＝3cm，由△ABC的周长为16cm，即可求出AC＝16﹣5﹣6＝5cm．
【解答】解：∵，AD＝4cm，
∴AB＝5cm，
∵△ABD的周长是12cm，
∴BD＝12﹣5﹣4＝3cm，
∵AD是BC边上的中线，
∴CD＝BD＝3cm，
∴BC＝BD+CD＝6cm，
∵△ABC的周长为16cm，
∴AC＝16﹣5﹣6＝5cm．
【点评】考查了三角形的周长和中线，解题本题的关键是由周长得到BD＝12﹣5﹣4＝3cm．
6．（2024春 丰泽区校级期中）如图，在△ABC中，AD是中线，AB＝10cm，AC＝6cm．
（1）△ABD与△ACD的周长差为 cm．
（2）点E在边AB上，连接ED，若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm，求线段AE的长．
【分析】（1）因为AD是中线，所以BD＝CD，因为△ABD的周长＝AB+AD+BD，△ACD的周长＝AC+CD+AD，可得△ABD的周长△ACD的周长的差即AB与AC的差，因为AB﹣AC＝4（cm），即△ABD的周长△ACD的周长的差为4cm；
（2）分两种情况讨论．
【解答】解：（1）∵AD是中线，
∴BD＝CD，
∵△ABD的周长＝AB+AD+BD，△ACD的周长＝AC+CD+AD，
∴△ABD的周长△ACD的周长的差即AB与AC的差，
∵AB﹣AC＝4（cm），
∴△ABD的周长△ACD的周长的差为4cm，
故答案为：4；
（2）①折线BE+BD比折线AE+AC+CD大2cm时，
即BE﹣（AE+AC）＝2cm，
∵AB＝10cm，AC＝6cm，
∴AE＝1cm，
②折线AE+AC+CD比折线BE+BD大2cm时，
即AE+AC﹣BE＝2cm，
∵AB＝10cm，AC＝6cm，
∴AE＝3cm，
综上，线段AE的长为1cm或3cm．
【点评】本题考查了三角形的中线，关键是注意分类讨论．
题型八 三角形的角平分线
解题技巧提炼 三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
1．如图所示，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是（ ）
A．BD是△ABC的角平分线 B．CE是△BCD的角平分线
C．∠3∠ACB D．CE是△ABC的角平分线
【分析】利用三角形角平分线的性质即可分析．
【解答】解：A、由∠1＝∠2，∠3＝∠4，根据角平分线的性质，可知：BD是△ABC的角平分线，正确；
B、CE是△BCD的角平分线，正确；
C、∠3∠ACB，正确；
D、CE是△ABC的角平分线是错误的，三角形的角平分线是三角形的内角平分线与对边相交，角的顶点与对边交点之间的线段，错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查三角形角平分线的概念和性质．注意三角形的角平分线与角的平分线的区别．角的平分线是射线，而三角形的角平分线是线段．
2．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACE＝40°，AD，CE是△ABC的角平分线，则∠DAC＝ ，∠BCE＝ ，∠ACB＝ ．
【分析】由AD平分∠ABC，得∠DAC30°．由CE平分∠BCA，得∠BCE＝∠ACE40°，进而解决此题．
【解答】解：∵AD平分∠ABC，
∴∠DAC30°．
∵CE平分∠BCA，
∴∠BCE＝∠ACE40°．
∴∠BCE＝40°，∠BCA＝2∠ACE＝2×40°＝80°．
故答案为：30°、40°、80°．
【点评】本题主要考查角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解决本题的关键．
3．（2023春 南召县期末）如图，AD，BE，CF依次是△ABC的高、中线和角平分线，下列表达式中错误的是（ ）
A．AE＝CE B．∠ADC＝90° C．∠ACB＝2∠ACF D．∠CAD＝∠CBE
【分析】根据三角形的高、中线和角平分线的定义即可求解．
【解答】解：A、BE是△ABC的中线，所以AE＝CE，故本表达式正确；
B、AD是△ABC的高，所以∠ADC＝90，故本表达式正确；
C、CF是△ABC的角平分线，所以∠ACB＝2∠ACF，故本表达式正确．
D、由三角形的高、中线和角平分线的定义无法得出∠CAD＝∠CBE，故本表达式错误；
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的高、中线和角平分线的定义，熟记定义是解题的关键．
4．（2023秋 崇明区期末）AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，若∠BAC＝100°，则∠ADE＝ °．
【分析】由角平分线的定义得到角相等及度数，由平行线得到角相等，根据等量代换可得到答案．
【解答】解：∵AD为△ABC的角平分线，∠BAC＝100°，
∴∠BAD＝∠CAD100°＝50°，
∵DE∥AB，
∴∠ADE＝∠BAD＝50°．
故答案为50．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高及平行线的性质；得到角相等后利用等量代换是正确解答本题的关键．
5．如图，DE∥BC，CD是△ACB的平分线，∠ACB＝60°，那么∠EDC＝ 度．
【分析】利用平行线的性质得出∠EDC＝∠DCB，利用角平分线的性质得出∠EDC＝∠ECD进而求出即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCB，
∵CD是△ACB的平分线，
∴∠ECD＝∠DCB，
∴∠EDC＝∠ECD，
∵∠ACB＝60°，
∴∠EDC＝∠ECD＝30°．
故答案为：30．
【点评】此题主要考查了平行线的性质以及角平分线的性质等知识，根据已知得出∠EDC＝∠ECD是解题关键．
6．如图所示，在△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于E，EF∥AD交BC于F，试问：EF是△BDE的角平分线吗？说说你的理由．
【分析】由平行线的性质得出同位角相等、内错角相等∠BED＝∠BAC，∠BEF＝∠BAD，由角平分线得出∠BAD∠BAC，得出∠BEF∠BED即可．
【解答】解：EF是△BDE的角平分线；理由如下：
∵DE∥AC，EF∥AD，
∴∠BED＝∠BAC，∠BEF＝∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD∠BAC，
∴∠BEF∠BED，
即EF平分∠BED，
∴EF是△BDE的角平分线．
【点评】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义；熟练掌握平行线的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
题型九 三角形的内角和定理
解题技巧提炼 根据“三角形三个内角的和等于180° ”来求三角形中求角的问题，有时要用到方程的思想来解决.
1．（2024 子洲县校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，过点A作EF∥BC，则∠FAC的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【分析】先根据三角形内角和定理和已知角的度数求出∠C，再根据平行线的性质求出∠FAC的度数即可．
【解答】解：∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∠BAC＝90°，∠B＝60°，
∴∠C＝30°，
∵EF∥BC，
∴∠FAC＝∠C＝30°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理和平行线的性质，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的数量关系．
2．（2024 新华区校级模拟）如图，C岛在A岛的北偏东50°方向上，在B岛的北偏西60°方向上，A岛在B岛北偏西80°方向上，则从C岛看A、B两岛的视角∠ACB为（ ）
A．80° B．95° C．110° D．140°
【分析】方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角，由此得到∠CAD＝50°，∠CBE＝60°，∠ABE＝80°，求出∠ABC＝∠ABE﹣∠CBE＝20°，由平行线的性质得到∠DAB＝100°，求出∠BAC＝∠DAB﹣∠DAC＝50°，由三角形内角和定理即可求出∠ACB的度数．
【解答】解：∵C岛在A岛的北偏东50°方向上，
∴∠CAD＝50°，
∵C岛在B岛的北偏西60°方向上，
∴∠CBE＝60°，
∵A岛在B岛北偏西80°方向上，
∴∠ABE＝80°，
∴∠ABC＝∠ABE﹣∠CBE＝20°，
∵AD∥BE，
∴∠DAB+∠ABE＝180°，
∴∠DAB＝100°，
∴∠BAC＝∠DAB﹣∠DAC＝50°，
∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣20°＝110°．
故选：C．
【点评】本题考查方向角，三角形内角和定理，平行线的性质，关键是由方向角的定义求出∠ABC、∠BAC的度数．
3．（2023秋 玉林期末）纸片△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内（如图），若∠1＝20°，则∠2的度数为 ．
【分析】先根据∠A＝65°，∠B＝75°，求出∠C的度数．再由∠1＝20°可求出∠CED的度数，由三角形内角和定理及平角的性质即可求解．
【解答】解：∵△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣65°﹣75°＝40°，
∵∠1＝20°，
∴∠CED80°，
在△CDE中，∠CDE＝180°﹣∠C﹣∠CED＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
∴∠2＝180°﹣2∠CDE＝180°﹣2×60°＝60°，
故答案为60°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理及平角的性质，解答此题的关键是熟知三角形的内角和是180°．
4．（2023春 电白区期末）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，∠A＝∠1，∠3＝∠C，求∠A的度数．
【分析】由角平分线的定义可得∠A＝∠1＝∠2，利用三角形的内角和定理及平角的定义可得∠3＝∠A+∠1，设∠A＝x，则∠1＝∠2＝x，∠3＝2x，根据三角形的内角和定理可求解x值，即可求解．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠2，
∵∠A＝∠1，
∴∠A＝∠1＝∠2，
∵∠A+∠1+∠4＝180°，∠3+∠4＝180°，
∴∠3＝∠A+∠1，
设∠A＝x，则∠1＝∠2＝x，∠3＝2x，
∵∠3＝∠C，
∴∠C＝2x，
∵∠2+∠3+∠C＝180°，
∴x+2x+2x＝180°，
解得x＝36°，
即∠A＝36°．
【点评】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理列方程是解题的关键．
5．（2024春 天桥区期中）如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝30°，AD和AE分别是△ABC的高和角平分线，求∠DAE的度数．
【分析】先根据三角形的内角和定理得到∠BAC的度数，再利用角平分线的性质可求出∠BAE∠BAC，而∠BAD＝90°﹣∠B，然后利用∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD进行计算即可．
【解答】解：在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝30°
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°
∵AE是的角平分线
∴∠BAE∠BAC＝45°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝90°
∴在△ADB中，∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝45°﹣30°＝15°
【点评】本题考查了三角形内角和定理．关键是利用三角形内角和定理求解．
6．（2024春 沭阳县校级期中）已知：如图，在△ABC中，AD是角平分线，E为边AB上一点，连接DE，∠EAD＝∠EDA，过点E作EF⊥BC，垂足为F．
（1）说明：DE∥AC；
（2）若∠DEF＝40°，∠B＝36°，求∠BAC的度数．
【分析】（1）只需要证明∠EDA＝∠CAD，即可证明DE∥AC；
（2）利用三角形内角和定理求出∠EDF＝55°，进而求出∠BED＝100°，再利用平行线的性质求解即可．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠EAD＝∠EDA，
∴∠EDA＝∠CAD，
∴DE∥AC；
（2）解：∵EF⊥BD，
∴∠EFD＝90°，
∴∠EDF＝180°﹣∠DEF﹣∠EFD＝50°，
∴∠BED＝180°﹣∠B﹣∠BDE＝94°，
∵DE∥AC，
∴∠BAC＝∠BED＝94°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．
题型十 三角形的高、中线、角平分线的综合应用
解题技巧提炼 三角形的高、中线、角平分线的综合应用主要是利用他们的性质来解决综合问题.
1．（2024春 雁塔区校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．三角形的角平分线是射线
B．连接三角形任意两边中点的线段是三角形的中线
C．三角形的高都在三角形的内部
D．直角三角形的三条高线交于直角顶点处
【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念进行判断即可．
【解答】解：A、三角形的角平分线是线段，不符合题意；
B、三角形一边的中点与此边所对顶点的连线是三角形的中线，不符合题意；
C、三角形的高不一定在其内部，不符合题意；
D、直角三角形的三条高线交于直角顶点处，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高的概念，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
2．（2023秋 林芝市期末）如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是（ ）
A．59° B．60° C．56° D．22°
【分析】根据高线的定义可得∠AEC＝90°，然后根据∠C＝70°，∠ABC＝48°求出∠CAB，再根据角平分线的定义求出∠1，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
【解答】解：∵BE为△ABC的高，
∴∠AEB＝90°
∵∠C＝70°，∠ABC＝48°，
∴∠CAB＝62°，
∵AF是角平分线，
∴∠1∠CAB＝31°，
在△AEF中，∠EFA＝180°﹣31°﹣90°＝59°．
∴∠3＝∠EFA＝59°，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义，熟记概念与定理并准确识图是解题的关键．
3．（2023秋 安顺期末）如图，AD是△ABC的高，DE是△ABD的中线，BF是△BDE的角平分线．若AD＝BD，则∠BFD的度数为 ．
【分析】根据三角形的高的概念得到∠ADB＝90°，根据直角三角形、等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠DBA＝45°，EB＝ED，再根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，得到答案．
【解答】解：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝90°，
∵AD＝BD，DE是△ABD的中线，
∴∠DAB＝∠DBA＝45°，EB＝ED，
∴∠EDB＝∠EBD＝45°，
∴∠BED＝90°，
∵BF是△BDE的角平分线，
∴∠EBF∠EBD＝22.5°，
∴∠BFD＝∠BED+∠EBF＝90°+22.5°＝112.5°，
故答案为：112.5°．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形的中线、角平分线、高的概念、三角形的外角性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
4．如图，在△ABC中，AD是中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AB＝6cm，AC＝4cm，则 ．
【分析】由题意，△ABC中，AD为中线，可知△ABD和△ADC的面积相等；利用面积相等，问题可求．
【解答】解：∵△ABC中，AD为中线，
∴BD＝DC．
∴S△ABD＝S△ADC．
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB＝6，AC＝4．
∴ AB ED AC DF，
∴6×ED4×DF，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形的中线性质，关键在于利用中线把三角形的面积分成相等的两部分进行知识解答．属于基础题．
5．（2023春 吴江区期中）如图，AD是△ABC的高，CE是△ACB的角平分线，F是AC中点，∠ACB＝50°，∠BAD＝65°．
（1）求∠AEC的度数；
（2）若△BCF与△BAF的周长差为3，AB＝7，求BC的长．
【分析】（1）根据三角形的高的概念得到∠ADB＝90°，根据直角三角形的性质求出∠ABD，根据角平分线的定义求出∠ECB，根据三角形的外角性质计算即可；
（2）根据三角形的中线的概念得到AF＝FC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：（1）∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝65°，
∴∠ABD＝90°﹣65°＝25°，
∵CE是△ACB的角平分线，∠ACB＝50°，
∴∠ECB∠ACB＝25°，
∴∠AEC＝∠ABD+∠ECB＝25°+25°＝50°；
（2）∵F是AC中点，
∴AF＝FC，
∵△BCF与△BAF的周长差为3，
∴（BC+CF+BF）﹣（AB+AF+BF）＝3，
∴BC﹣AB＝3，
∵AB＝7，
∴BC＝10，
【点评】本题考查的是三角形的三角形的角平分线、中线和高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
6．（2023春 惠州期末）如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°．试求：
（1）AD的长；
（2）△ABE的面积；
（3）△ACE和△ABE的周长的差．
【分析】（1）利用“面积法”来求线段AD的长度；
（2）△AEC与△ABE是等底同高的两个三角形，它们的面积相等；
（3）由于AE是中线，那么BE＝CE，于是△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE），化简可得△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC﹣AB，易求其值．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，
∴AB ACBC AD，
∴AD4.8（cm），即AD的长度为4.8cm；
（2）方法一：如图，∵△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，
∴S△ABCAB AC6×8＝24（cm2）．
又∵AE是边BC的中线，
∴BE＝EC，
∴BE ADEC AD，即S△ABE＝S△AEC，
∴S△ABES△ABC＝12（cm2）．
∴△ABE的面积是12cm2．
方法二：因为BEBC＝5，由（1）知AD＝4.8，
所以S△ABEBE AD5×4.8＝12（cm2）．
∴△ABE的面积是12cm2．
（3）∵AE为BC边上的中线，
∴BE＝CE，
∴△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE）＝AC﹣AB＝8﹣6＝2（cm），即△ACE和△ABE的周长的差是2cm．
【点评】本题考查了中线的定义、三角形周长的计算．解题的关键是利用三角形面积的两个表达式相等，求出AD．
