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第一章 三角形的初步认识 单元重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期中）下列各组图形中，属于全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，在四边形中，已知．添一个条件，使，则不能作为这一条件的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）下列各组数分别表示三条线段的长度，其中能构成三角形的是（）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
4．（2024·广东惠州·二模）如图，在中，，平分，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24七年级下·河南商丘·期中）下列四个命题：①同角的补角相等；②互为邻补角的两个角相等；③一个负实数的绝对值是它的相反数；④平行于同一条直线的两直线互相垂直．其中是真命题的有（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．③④
6．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）如图，直线，点，分别在直线，上，点在两平行线之间，连接，，过点作平分交直线于点，过点作交直线于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·山西吕梁·模拟预测）如图，用两对全等的三角形纸片拼成如图所示的六边形，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24七年级下·浙江台州·期中）健康骑行逐渐受到人们喜欢，图1是便携式折叠自行车，图2是其示意图． ， ，平分．若，，则
A． B． C． D．
9．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，与的平分线交于点，若，，则四边形的周长为（ ）
A．38 B．40 C．44 D．56
10．（22-23七年级下·山东济南·期末）如图，在和中，，，．连接，连接并延长交，于点，．若恰好平分，则下列结论； ； ； 中，，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（6小题，每小题2分，共12分）
11．（23-24七年级下·湖北·期中）把命题“锐角的余角是锐角”改写成“如果……那么……”的形式是 ．
12．（22-23七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，是边上的高，平分，已知，，则 ．
13．（2024·浙江湖州·二模）如图，在中，以顶点为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，连结并延长，交于点．已知，，则为 度．
14．（2024七年级下·浙江·专题练习）如图1所示，为消防云梯示意图，其由救援台、延展臂（在的左侧），伸展主臂、支撑构成，在操作过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平平行，当，且时，则 ；为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整．如图2，使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，则这时展角 ，
15．（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）如图，已知直线，点为直线上一点，为射线上一点，若，，交于点，则的度数为 ．
16．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）如图1，将一条两边互相平行的长方形纸带沿折叠，设度．
图1 图2
（1）若，则 度．
（2）将图1纸带继续沿折叠成图2，则 度．（用含的代数式表示）
三、解答题（8小题，共68分）
17．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，平分，于点，交于点．若，求的度数．
18．（23-24七年级下·浙江金华·期中）如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点上，将先向上平移1个单位，再向右平移2个单位，按要求回答问题．
(1)画出平移后的．
(2)平移后，和两条线段之间的关系 ．
(3)在平移过程中，求出线段扫过的面积．
19．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，是的高，是的角平分线，是中点，，．
(1)求的度数；
(2)若与的周长差为3，，能否求出的值？若能，请写出理由和结果；若不能，请你补充条件并解答．
20．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，在中，平分．
(1)求的度数；
(2)求的度数；
(3)探究：小明认为如果不知道与的具体度数，只知道，也能得出的度数，你认为可以吗？若可以，请你写出求解过程；若不可以，请说明理由度数，你认为可以吗？若可以，请你写出求解过程；若不可以，请说明理由．
21．（2024七年级下·浙江·专题练习）【基础巩固】如图1，已知垂足分别为点A，B．若，
，探究与的关系，并说明理由．
【尝试应用】如图2，垂足分别为点A，B，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线上以同样的速度运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．当时，判断此时线段和线段的关系，并说明理由．
【拓展提高】如图3，在【尝试应用】的基础上，把“”改为“”，若点Q的运动速度为，其它条件不变，当点P，Q运动到何处时有与全等，求出相应的x的值．
22．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）已知：如图1，在三角形中，，将线段沿直线平移得到线段，连接．
(1)当时，请说明．
(2)如图2，当在上方时，且时，求与的度数．
(3)在整个运动中，当垂直三角形中的一边时，求出所有满足条件的的度数．
23．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）中，是的角平分线，是的高．
(1)如图1，若，请说明的度数；
(2)如图2（），试说明、、的数量关系；
(3)如图3，延长到点F，和的角平分线交于点G，求的度数．
24．（2024七年级下·浙江·专题练习）已知：点在直线上，点都在直线上（点在点的左侧），连接，，平分，且．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点为线段上一动点，连接，且始终满足．
①当时，在直线上取点，连接，使得，求此时的度数；
②在点的运动过程中，与的度数之比是否为定值，若是，求出这个值；若不是，说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
第一章 三角形的初步认识 单元重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期中）下列各组图形中，属于全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等图形．根据全等图形的定义（能够完全重合的两个图形叫做全等形）逐项判断即可得．
【详解】解：A、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；
B、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；
C、两个图形能够完全重合，是全等图形，则此项符合题意；
D、两个图形的形状不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；
故选：C．
2．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，在四边形中，已知．添一个条件，使，则不能作为这一条件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的判定．根据题意，分别对每一项进行分析判断即可．
【详解】解：A.已知，，添加，利用可得，此项不符合题意；
B.已知，，添加，利用可得，此项不符合题意；
C.已知，，添加，利用可得，此项不符合题意；
D.已知，，添加不能得出，此项符合题意．
故选：D．
3．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）下列各组数分别表示三条线段的长度，其中能构成三角形的是（）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
【分析】本题考查的知识点是三角形三边关系，解题关键是熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系对各选项进行逐一判断即可．
【详解】、，不能组成三角形；
、，能组成三角形；
、不能组成三角形；
、不能组成三角形；．
故选：
4．（2024·广东惠州·二模）如图，在中，，平分，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知三角形内角和为180度是解题的关键．先求出，再根据三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得到，则，即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故选：C．
5．（23-24七年级下·河南商丘·期中）下列四个命题：①同角的补角相等；②互为邻补角的两个角相等；③一个负实数的绝对值是它的相反数；④平行于同一条直线的两直线互相垂直．其中是真命题的有（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．③④
【答案】A
【分析】本题主要考查了补角的性质，邻补角的定义，绝对值意义，平行线公理，解题的关键是熟练掌握相关的定义，根据相关的定义和性质，逐项进行判断即可．
【详解】解：①同角的补角相等，正确，是真命题；
②互为邻补角的两个角不一定相等，错误，是假命题；
③一个负实数的绝对值是它的相反数，正确，是真命题；
④平行于同一条直线的两条直线互相平行，错误，是假命题．
综上分析可知：真命题是①③．
故选：A．
6．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）如图，直线，点，分别在直线，上，点在两平行线之间，连接，，过点作平分交直线于点，过点作交直线于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，角平分线的意义，垂线的性质等，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键．过点N作，根据两直线平行，同旁内角互补继而得出，再由角平分线的意义得出，继而得出，再根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】过点N作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
7．（2024·山西吕梁·模拟预测）如图，用两对全等的三角形纸片拼成如图所示的六边形，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】题目主要考查全等三角形的性质及三角形内角和定理，根据题意得出，然后进行等量代换求解即可，熟练掌握全等三角形的性质及三角形内角和定理是解题关键
【详解】解：∵，，
∴，
∴
，
故选：B
8．（23-24七年级下·浙江台州·期中）健康骑行逐渐受到人们喜欢，图1是便携式折叠自行车，图2是其示意图． ， ，平分．若，，则
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，先利用平行线的性质可得，，从而可得，再利用角平分线的定义可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系可得，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
故选：C．
9．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，与的平分线交于点，若，，则四边形的周长为（ ）
A．38 B．40 C．44 D．56
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形、平行线和角平分线的性质，构造辅助线、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．过点作，根据角平分线可证明，，得到，，从而推算出四边形的周长等于．
【详解】解：如下图所示，过点作，
的平分线交于点E，
∴，
，，
，
∴，
∵，，
∴，
同理可得：
，
∵，
∴四边形的周长为，
故选：C．
10．（22-23七年级下·山东济南·期末）如图，在和中，，，．连接，连接并延长交，于点，．若恰好平分，则下列结论； ； ； 中，，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】证明可得，，可判断，选项正确；由全等三角形的性质，三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求解的度数，利用角平分线的定义求得，即可得，进而可证明，即可判断选项正确，进而可求解．
【详解】解：①，
，即，
在和中，
，
，
，故①选项符合题意；
，故④选项符合题意；
②，
，
，
，
平分，
，
，
，
（内错角相等，两直线平行），
故②选项符合题意；
根据已知条件无法证明，故③选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理．证明是解题的关键．
二、填空题（6小题，每小题2分，共12分）
11．（23-24七年级下·湖北·期中）把命题“锐角的余角是锐角”改写成“如果……那么……”的形式是 ．
【答案】如果一个角是锐角，那么这个角的余角是锐角
【分析】本题主要考查的知识点是如何将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解题关键是找到命题中相应的条件和结论．命题中的条件是一个角是锐角，放在“如果”的后面，结论是这个角的余角是锐角，应放在“那么”的后面．
【详解】解：条件为：一个角是锐角，结论为：这个角的余角是锐角，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果一个角是锐角的，那么这个角的余角是锐角．
故答案为：如果一个角是锐角，那么这个角的余角是锐角．
12．（22-23七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，是边上的高，平分，已知，，则 ．
【答案】36
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，根据三角形内角和定理得出，根据角平分线定义得出，最后根据，求出结果即可．
【详解】解：∵是边上的高，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故答案为：36．
13．（2024·浙江湖州·二模）如图，在中，以顶点为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，连结并延长，交于点．已知，，则为 度．
【答案】
【分析】本题考查的是角平分线的作图与含义，三角形的外角的性质，先求解，再利用三角形的外角的性质可得答案．
【详解】解：∵，平分，
∴，
∵，
∴；
故答案为：
14．（2024七年级下·浙江·专题练习）如图1所示，为消防云梯示意图，其由救援台、延展臂（在的左侧），伸展主臂、支撑构成，在操作过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平平行，当，且时，则 ；为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整．如图2，使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，则这时展角 ，
【答案】 124 159
【分析】本题考查了平行线的性质，垂线，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．如图2：延长与交于点，利用平行线的性质可得：，，然后利用平角定义进行计算，即可解答；如图3：延长与交于点，延长与交于点，根据题意可得：，从而可得，再利用平行线的性质可得，然后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答．
【详解】解：如图2：延长与交于点，
，
，
，
，
；
如图3：延长与交于点，延长与交于点，
由题意得：，
，
，
，
是的一个外角，
，
故答案为：124；159．
15．（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）如图，已知直线，点为直线上一点，为射线上一点，若，，交于点，则的度数为 ．
【答案】/45度
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，三角形的内角和，平角的定义是解题的关键．设，，得到，，根据平行线的性质得到，求得，根据三角形的内角和即可得到结论．
【详解】解：，，
设，，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）如图1，将一条两边互相平行的长方形纸带沿折叠，设度．
图1 图2
（1）若，则 度．
（2）将图1纸带继续沿折叠成图2，则 度．（用含的代数式表示）
【答案】
【分析】（1）由平行线的性质得，，折叠和三角形的外角得'，，最后计算出 ；
（2）由折叠和平角的定义求出 ，再次折叠经计算求出 ．
【详解】解：（1）如图1所示，
，
，，
又'，
'，
又'，
，
又，
，
故答案为：；
（2）如图2所示，
，
，
又，
，
故答案为：．
【点睛】本题综合考查了平行线的性质，折叠问题，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，平角的定义以及角的和差等相关知识，重点掌握平行线的性质，难点是折叠前后的变及不变的问题，二次折叠角的前后大小等量关系．
三、解答题（8小题，共68分）
17．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，平分，于点，交于点．若，求的度数．
【答案】114°
【分析】本题主要考查了角平分线、垂线以及三角形外角的定义和性质，熟练掌握三角形外角的定义和性质是解题关键．根据题意易得，，然后根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”，利用求解即可．
【详解】解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．（23-24七年级下·浙江金华·期中）如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点上，将先向上平移1个单位，再向右平移2个单位，按要求回答问题．
(1)画出平移后的．
(2)平移后，和两条线段之间的关系 ．
(3)在平移过程中，求出线段扫过的面积．
【答案】(1)图见解析
(2)且
(3)9
【分析】本题主要考查了平移作图，平移的性质，根据网格求三角形的面积，解题的关键是作出对应点的位置．
（1）作出点A、B、C平移后的对应点、、，然后顺次连接即可；
（2）根据平移的性质进行求解即可；
（3）利用割补法求出四边形的面积即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：观察图形，结合平移的性质可知：且．
（3）解：根据平移可知：扫过的图形为四边形，连接，，取格点E，
则线段扫过的面积为：
．
19．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，是的高，是的角平分线，是中点，，．
(1)求的度数；
(2)若与的周长差为3，，能否求出的值？若能，请写出理由和结果；若不能，请你补充条件并解答．
【答案】(1)
(2)能，，理由见解析
【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高．
（1）根据三角形的高的概念得到，根据直角三角形的性质求出，根据角平分线的定义求出，根据三角形的外角性质计算即可；
（2）根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】（1）解：是的高，
，
，
，
是的角平分线，，
，
；
（2）解：能，，理由如下：
是中点，
，
与的周长差为3，
，
，
，
，
20．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，在中，平分．
(1)求的度数；
(2)求的度数；
(3)探究：小明认为如果不知道与的具体度数，只知道，也能得出的度数，你认为可以吗？若可以，请你写出求解过程；若不可以，请说明理由度数，你认为可以吗？若可以，请你写出求解过程；若不可以，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)可以，
【分析】本题考查角平分线定义、三角形的内角和定理等知识点，灵活运用三角形的内角和定理成为解题的关键．
（1）利用三角形的内角和定理求出，再利用角平分线定义即可解答；
（2）先利用三角形内角和定理可得，然后根据角的和差即可解答；
（3）用表示出、，然后根据角的和差可得，最后将代入即可解答．
【详解】（1）解：∵，
∴.
∵平分，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴
（3）解：可以，理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
若，则．
21．（2024七年级下·浙江·专题练习）【基础巩固】如图1，已知垂足分别为点A，B．若，
，探究与的关系，并说明理由．
【尝试应用】如图2，垂足分别为点A，B，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线上以同样的速度运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．当时，判断此时线段和线段的关系，并说明理由．
【拓展提高】如图3，在【尝试应用】的基础上，把“”改为“”，若点Q的运动速度为，其它条件不变，当点P，Q运动到何处时有与全等，求出相应的x的值．
【答案】基础巩固：，理由见解析；尝试运用：；拓展提高当与全等时的x值为2或
【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据证明，解决此题的是注意分类讨论．
基础巩固：根据证明，进而解答即可；
尝试应用：根据证明，进而解答即可；
拓展提高：根据全等三角形的性质得出方程解答即可，注意分类．
【详解】解：基础巩固：．
理由：，
，
，，
在与中，
，
，
，
，
，
，
；
尝试运用：
．
当时，，
，
，
，
由基础巩固中的结论可知：；
拓展提高
①若设运动时间为时，
则，
可得：，，
；
②若设运动时间为时，，
则，可得：，，
，，
综上所述，当与全等时的x值为2或．
22．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）已知：如图1，在三角形中，，将线段沿直线平移得到线段，连接．
(1)当时，请说明．
(2)如图2，当在上方时，且时，求与的度数．
(3)在整个运动中，当垂直三角形中的一边时，求出所有满足条件的的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或或
【分析】本题考查了平行线的性质，平移的性质，三角形的外角性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）由平移的性质可得，可得，可得结论；
（2）由平行线的性质可得，由外角的性质可得，即可求解；
（3）分三种情况讨论，由平行线的性质可求解．
【详解】（1）证明：将线段沿直线平移得到线段，
，
，
，
；
（2）解：将线段沿直线平移得到线段，
，
，
，
，
，
；
（3）如图2，当时，
，
，
，
，
，
；
如图3，当时，
，
，
③如图4，当时，
，
，
，
，
综上所述：或或．
23．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）中，是的角平分线，是的高．
(1)如图1，若，请说明的度数；
(2)如图2（），试说明、、的数量关系；
(3)如图3，延长到点F，和的角平分线交于点G，求的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题为与三角形有关的角平分线，高线的计算等知识，考查了三角形的内角和定理，外角定理，直角三角形两锐角互余等知识．
（1）根据三角形内角和定理求出， 根据角平分线的定义求出，根据三角形外角定理求出，根据直角三角形两锐角互余即可求出；
（2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据三角形外角定理求出，根据直角三角形两锐角互余即可求出；
（3）根据角平分线的定义求出，根据三角形外角定理得到进行等量代换即可求解．
【详解】（1）解：如图1，∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵是的高，
∴，
∴；
（2）解：．
证明：如图2，在中，，
∵是的角平分线，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵是的高，
∴，
∴；
（3）解：∵、分别是和的角平分线，
∴，
∵是的外角，是的外角，
∴
．
24．（2024七年级下·浙江·专题练习）已知：点在直线上，点都在直线上（点在点的左侧），连接，，平分，且．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点为线段上一动点，连接，且始终满足．
①当时，在直线上取点，连接，使得，求此时的度数；
②在点的运动过程中，与的度数之比是否为定值，若是，求出这个值；若不是，说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)①或；②是定值，
【分析】（1）由角平分线的定义可得，再根据“内错角相等，两直线平行”可得结论；
（2）①由垂直的定义可知，即可得，设，则可表示和的度数，然后利用三角形的内角和解题即可解题；②设，则可求出的值，然后表示的度数解题即可．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：①如下图，当点可以在点的右侧，
∵，
∴，
又∵，
∴，
设，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
即，
解得，
∴；
当点可以在点的左侧，
同理，可得，
综上，的度数为或；
②，理由如下：
如图，设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了角平分线、平行线的判定与性质、三角形外角的定义和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
