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第二章 特殊三角形 单元重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（2024·浙江·二模）“天有日月，道分阴阳”，从古至今，中国人一直都在追求对称美．中国传统图形比较注重于对称，其集中体现在文字和建筑、绘画上，下列图形、文字为轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·浙江台州·期中）中，，，的对边分别记为a，b，c，下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是（ ）号．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2024·浙江温州·一模）已知等腰三角形的顶角是，则它的一个底角的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23八年级上·浙江湖州·期末）如图，是直角三角形，，分别以、为边向两侧作正方形．若图中两个正方形的面积和，则 ．
A、3 B、4 C、5 D、6
6．（2024·浙江·二模）如图是由8个同样大小的正方形组成的纸片，我们只需要剪两刀，将它分成三块，就可以拼成一个大正方形，则三块中面积最大的图形的周长为（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，平行四边形的对角线，相交于点，且，点为边上一动点（不与点A，重合），于点，于点，若，，则的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
8．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，在四边形中，，，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，中，，，，线段的两个端点、分别在边，上滑动，且，若点、分别是、的中点，则的最小值为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
10．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论：①．②．③过点B作于点I，延长IB交AC于点J，则．④若，则．其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（6小题，每小题2分，共12分）
11．（2023·浙江丽水·模拟预测）如图，点，在的边上，，只需添加一个条件即可证明≌，则这个条件可以是 写一个即可
12．（2024·浙江台州·二模）如图，直线直线，直线分别交，于点，．射线平分，交于点；于点，若，，则 ．
13．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，在中，，，，点D是边的中点，点E是边上一动点，将沿折叠得到，连接，当是直角三角形时，的长为 ．
14．（2024·浙江杭州·二模）如图，已知D，E是边，上两点，沿线段折叠，使点A落在线段的点F处，若，，则 ．
15．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，在四边形中，已知，，，，，则四边形面积是 ．
16．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知等边的面积是，边长是4，平分交与点．
（1）若点为边中点，在上是否存在点，使最小？最小值是 ；
（2）若点为边任意一点，在上是否存在点，使最小？最小值是 ．
三、解答题（8小题，共68分）
17．（2024·浙江·二模）如图，在四边形中，，．
(1)求证：．
(2)若，，求四边形的周长．
18．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，每个小正方形的边长为1，连结小正方形的顶点，，．
(1)求的长；
(2)求的度数．
19．（2024·浙江·二模）如图，于点B，于点D，P是BD上一点，且，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
20．（2024·浙江温州·三模）如图，在中，，边上取一点，过点作，交于，连结，已知．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
21．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，于于F，若，
(1)求证：平分；
(2)已知，求的长．
22．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）某校教学楼后面紧邻一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，，斜坡长米，，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，地质人员勘测，当斜坡的角度不超过时，可确保山体不滑坡．
(1)求改造前坡B到地面的垂直距离的长；
(2)为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿削进到F处，问至少是多少米？
23．（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）如图，在长方形中，，，动点从点出发，以的速度沿的方向向点运动，动点从点出发，以的速度向点运动．若、两点同时出发，其中一点运动到终点另一点也停止运动，设运动时间为，连结、．
(1)当时，四边形的面积等于________．
(2)当为何值时，线段长为？
(3)当为何值时，的面积为？
24．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）【基础巩固】
（1）如图1，在与中，，，，求证：；
【尝试应用】
（2）如图2，在与中，，，，，，、、三点在一条直线上，与交于点，若点为中点．
①求的大小；
②，求的面积；
【拓展提高】
（3）如图3，与中，，，，与交于点，，，的面积为18，请直接写出的长．中小学教育资源及组卷应用平台
第二章 特殊三角形 单元重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（2024·浙江·二模）“天有日月，道分阴阳”，从古至今，中国人一直都在追求对称美．中国传统图形比较注重于对称，其集中体现在文字和建筑、绘画上，下列图形、文字为轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
A，B，D选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
故选：C．
2．（23-24八年级下·浙江台州·期中）中，，，的对边分别记为a，b，c，下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理以及三角形内角和，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
利用三角形内角和定理和勾股定理逆定理进行计算即可．
【详解】解：A、，
设， ， ，
，
为直角三角形，故此选项不合题意；
B、，
设，，，
，解得：，
，
是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、，
，
为直角三角形，故此选项不合题意；
D、设，，，，
解得：，
则，
所以不是直角三角形，故此选项符合题意；
故选：D．
3．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是（ ）号．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】主要考查了轴对称的性质，按轴对称画图是正确解答本题的关键．根据题意画出图形，由轴对称的性质判定正确选项．
【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：
∴该球最后将落入的球袋是4号．
故选：D．
4．（2024·浙江温州·一模）已知等腰三角形的顶角是，则它的一个底角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．根据等腰三角形的两个底角相等，结合三角形的内角和定理即可解答．
【详解】解：∵等腰三角形的两个底角相等，
∴它的一个顶角为．
故选：C
5．（22-23八年级上·浙江湖州·期末）如图，是直角三角形，，分别以、为边向两侧作正方形．若图中两个正方形的面积和，则 ．
A、3 B、4 C、5 D、6
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理即可求解．
【详解】解：在中，由勾股定理得，，
∵，，，
∴，
故答案为：D．
6．（2024·浙江·二模）如图是由8个同样大小的正方形组成的纸片，我们只需要剪两刀，将它分成三块，就可以拼成一个大正方形，则三块中面积最大的图形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查图形的拼剪，算术平方根的应用，勾股定理．设每个小正方形的面积为1，则拼成的大正方形的面积为8，其边长为．由此可见，剪痕应是方格的对角线．
【详解】解：设每个小正方形的面积为1，则拼成的大正方形的面积为8，其边长为．
由此可见，剪痕应是方格的对角线．
如图1，沿各剪一刀，就可以拼成如图2的大正方形．
三块中面积最大的图形的周长为．
故选：A．
7．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，平行四边形的对角线，相交于点，且，点为边上一动点（不与点A，重合），于点，于点，若，，则的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，先根据勾股定理计算出，再证明四边形是矩形，得到，再根据垂线段最短求出的最小值即可．
【详解】解：如下图所示，连接，
∵，且四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴当最小时，最小，
当时，当最小，
当时，，
∴，
故选：C．
8．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，在四边形中，，，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，所对直角边是斜边的一半，延长交于点，则，，故有，根据所对直角边是斜边的一半得，由勾股定理得，在通过线段和差得，最后由等腰三角形的性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】如图，延长交于点，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，，
∴，
∴，
故选：．
9．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，中，，，，线段的两个端点、分别在边，上滑动，且，若点、分别是、的中点，则的最小值为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，明确、、在同一直线上时，取最小值是解题的关键．
根据勾股定理得到，根据直角三角形斜边中线的性质求得，，由当、、在同一直线上时，取最小值，即可求得的最小值为2．
【详解】解：如图，连接、，
，，，
，
，点、分别是、的中点，
，，
当、、在同一直线上时，取最小值，
的最小值为：．
故选：A．
10．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论：①．②．③过点B作于点I，延长IB交AC于点J，则．④若，则．其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线．
首先根据题意证明出，进而得到，即可判断①；过点F作交延长线于点O，证明出，得到，然后利用三角形面积公式即可得到，即可判断②；过点A作交的延长线于点P，过点C作，证明出，得到，同理得到，得到，然后证明出，得到，即可判断③；根据全等三角形的性质得到，然后利用勾股定理证明出，同理得到，然后得到，即可判断④．
【详解】∵在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，
∴，，
∵
∴
∴
∴，故①正确；
如图所示，过点F作交延长线于点O，
∵
∴
又∵，
∴
∴
∵
∵，
∴，故②正确；
如图所示，过点A作交的延长线于点P，过点C作
∵，
∴
又∵，
∴
∴
同理可证，
∴
∴
∵，
∴
∴，故③正确；
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∵
∴
∴
同理可证，
∴，故④正确．
综上所述，正确的结论个数是4．
故选：D．
二、填空题（6小题，每小题2分，共12分）
11．（2023·浙江丽水·模拟预测）如图，点，在的边上，，只需添加一个条件即可证明≌，则这个条件可以是 写一个即可
【答案】（答案不唯一）
【分析】由题意可得，，即添加一组边对应相等，可证与全等．
本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．
【详解】解：添加，则≌，
，
，
在与中，
，
≌，
故答案为：答案不唯一．
12．（2024·浙江台州·二模）如图，直线直线，直线分别交，于点，．射线平分，交于点；于点，若，，则 ．
【答案】4
【分析】此题考查了平行线的性质、勾股定理．根据角平分线定义及平行线的性质求出，根据等腰三角形的判定得出，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：平分，
，
∵，
，
，
，
，，
，
于点，
，
故答案为：4．
13．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，在中，，，，点D是边的中点，点E是边上一动点，将沿折叠得到，连接，当是直角三角形时，的长为 ．
【答案】或7
【分析】本题考查翻折变换，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．分两种情形：如图1中，当时，如图2中，当时，分别求解即可．
【详解】解：如图1中，当时，
，
，
，，共线，
，，
，
设，则，
在中，则有
解得，
；
如图2中，当时，，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或7．
故答案为：或7．
14．（2024·浙江杭州·二模）如图，已知D，E是边，上两点，沿线段折叠，使点A落在线段的点F处，若，，则 ．
【答案】40°/40度
【分析】本题考查翻折变换，等腰三角形的性质，三角形内角和定理及其推论，弄清题目中角的关系是解题的关键．
先证出, 进而证出，再由可求出的度数．
【详解】解：∵,
∴,
∵是由折叠得到的,
∴,
∴,
∵,
∴,
又∵,
∴.
故答案为: ．
15．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，在四边形中，已知，，，，，则四边形面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键．
连接，由勾股定理得，，由，可得是直角三角形，，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
故答案为：．
16．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知等边的面积是，边长是4，平分交与点．
（1）若点为边中点，在上是否存在点，使最小？最小值是 ；
（2）若点为边任意一点，在上是否存在点，使最小？最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查动点最值问题，涉及动点最值问题-两点之间线段最短模型、动点最值问题-点线模型，熟练掌握动点最值问题的两个模型是解决问题的关键．
（1）本题考查动点最值问题-两点之间线段最短模型，连接，与的交点为，使最小，最小值为，如图所示，由等腰三角形性质及勾股定理求出即可得到答案；
（2）本题考查动点最值问题-点线模型，先由等腰三角形性质得到关于对称，由点到直线的距离垂线段最短可得，过点作于点，与的交点为，使最小，最小值为，如图所示，由等腰三角形性质及勾股定理求出即可得到答案．
【详解】解：（1）由两点之间线段最短可得，连接，与的交点为，使最小，最小值为，如图所示：
是等边三角形，点为边中点，
由等腰三角形“三线合一”可得，
在中，，，，则，
若点为边中点，在上存在点，使最小；最小值是；
故答案为：；
（2）是等边三角形，平分交与点，
由等腰三角形“三线合一”可得关于对称，
由点到直线的距离垂线段最短可得，过点作于点，与的交点为，使最小，最小值为，如图所示：
由等腰三角形“三线合一”可得点为边中点，
在中，，，，则，
若点为边任意一点，在上存在点，使最小；最小值是；
故答案为：．
三、解答题（8小题，共68分）
17．（2024·浙江·二模）如图，在四边形中，，．
(1)求证：．
(2)若，，求四边形的周长．
【答案】(1)见解析
(2)20
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边：
（1）只需要证明，即可证明；
（2）证明，得到，则，据此可得答案．
【详解】（1）证明：在和中，
，
；
（2）解：∵，
，
∵，
，
，
∵，，
，
∵，
四边形的周长为20．
18．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，每个小正方形的边长为1，连结小正方形的顶点，，．
(1)求的长；
(2)求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了勾股定理，判断是等腰直角三角形是解决本题的关键，注意在格点三角形中利用勾股定理．
（1）由勾股定理，即可求出线段的长度；
（2）求出和的长度，然后利用勾股定理的逆定理，得到是等腰直角三角形，即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意，每个小正方形的边长为1，
∴，；
（2）根据勾股定理可以得到：，
∵，
∴，即，
∴是等腰直角三角形．
∴．
19．（2024·浙江·二模）如图，于点B，于点D，P是BD上一点，且，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）结合垂直定义以及角的等量代换，得出，再由“”可证；
（2）由全等三角形的性质可得，由勾股定理可求的长，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
【详解】（1）证明：于点，于点，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
，
，，
．
20．（2024·浙江温州·三模）如图，在中，，边上取一点，过点作，交于，连结，已知．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
（1）根据垂直的定义得出，根据平行线的性质及等量代换得出，利用即可证明；
（2）根据全等三角形的性质得出，利用勾股定理即可得答案．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴．
（2）∵，
∴，
∵，，
∴．
21．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，于于F，若，
(1)求证：平分；
(2)已知，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)12
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
（1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线性质得出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出，即可求出答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴平分；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
22．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）某校教学楼后面紧邻一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，，斜坡长米，，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，地质人员勘测，当斜坡的角度不超过时，可确保山体不滑坡．
(1)求改造前坡B到地面的垂直距离的长；
(2)为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿削进到F处，问至少是多少米？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，正确作出辅助线是关键．
（1）根据题意及勾股定理进行求解即可得BE的长．
（2）当是时，作于点H，连接，在直角、中，求得的长，则即可求得．
【详解】（1）解：∵，
∴设，则，
则
解得：，
则，；
（2）作于点H，连接，
则，
当时，，
则，
则至少是米．
23．（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）如图，在长方形中，，，动点从点出发，以的速度沿的方向向点运动，动点从点出发，以的速度向点运动．若、两点同时出发，其中一点运动到终点另一点也停止运动，设运动时间为，连结、．
(1)当时，四边形的面积等于________．
(2)当为何值时，线段长为？
(3)当为何值时，的面积为？
【答案】(1)37
(2)
(3)或
【分析】
本题主要考查三角形面积公式的应用，勾股定理：
（1）根据求解即可；
（2）求出，根据勾股定理求解即可；
（3）根据点E在点F左侧和右侧两种情况，根据三角形面积公式列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴
当时，
∴
，
故答案为：37；
（2）解：∵运动时间为，且，
∴，
∴
在中，，
∴，
整理得，，
解得，（不合题意，舍去）
所以，；
（3）解：当点E在点F在左侧时，如图，
此时，，
∵，
∴，即，
解得，；
当点E在点F在右侧时，如图，
此时，，
∵，
∴，即，
解得，；
综上，当或时，的面积为．
24．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）【基础巩固】
（1）如图1，在与中，，，，求证：；
【尝试应用】
（2）如图2，在与中，，，，，，、、三点在一条直线上，与交于点，若点为中点．
①求的大小；
②，求的面积；
【拓展提高】
（3）如图3，与中，，，，与交于点，，，的面积为18，请直接写出的长．
【答案】（1）见解析；（2）①90度；②2；（3）6
【分析】（1）先证明，再利用“边角边”证明三角形全等即可；
（2）①同（1）证明即可；②过点A作，垂足为M，先证明，再根据等腰直角三角形的性质得出，再根据三角形的面积公式求解即可；
（3）连接，同（1）得，，可得，再证明，，由平行线间距离处处相等得出，再根据，得出，即可求解．
【详解】（1）∵，
∴，
即，
∵，，
∴；
（2）①∵，
∴，
即，
∵，，
∴；
∴，
∵，
∴，
∴；
②过点A作，垂足为M，
∴，
∵点为中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
（3）连接，
同（1）得，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴同底等高，即，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的面积等，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键．
