第2章《直线与圆的位置关系》单元提升培优测试题
参考答案
Ⅰ﹒答案部分：
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
B
A
D
A
C
A
D
二、填空题
11. ±. 12. . 13. 112.5°.
14. 2. 15. 1或. 16. ①②④．
三、解答题
17.解答：（1）证明：连结OE，
∵CD切⊙O于点E，∴OE⊥CD，
∴∠CEO＝90°，
∵BE∥OC，∴∠AOC＝∠OBE，∠COE＝∠OEB，
∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，
∴∠AOC＝∠COE，
又∵OA＝OE，OC＝OC，
∴△AOC≌△EOC（SAS），
∴∠CAO＝∠CEO＝90°，即AC⊥OA，
∴AC是⊙O的切线；
（2）在Rt△DEO中，BD＝OB，
∴BE＝OD＝OB＝4，
∵OB＝OE，
∴△BOE是等边三角形，
∴∠ABE＝60°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE＝BEtan60°＝4.
18.解答：（1）如图，连结BD，∵DE是⊙O的直径，
∴∠DBE＝90°，
假设四边形BCOE是平行四边形，则BC∥OE，BC＝OE＝1，
在Rt△ABD中，C为AD的中点，
∴BC＝AD＝1，∴AD＝2，
∴当AD＝2时，四边形BCOE为平行四边形；
（2）BC与⊙O相切，理由如下：
连结OB，∵BC∥OD，BC＝OD，
∴四边形BCDO为平行四边形，
∵AD切⊙O于点D，
∴OD⊥AD，∴平行四边形BCDO为矩形，
∴OB⊥BC，
19.解答：作PC⊥AB于C，连结AP，
∵直线y＝﹣x+3分别与x轴、y轴交于A、B，
当y＝0时，x＝，当x＝0时，y＝3，
∴A（，0），B（0，3），
∵∠AOB＝90°，tan∠OAB＝＝，
∴∠OAB＝60°，
∵以P为圆心，PH为半径的圆与直线AB相切，
∴PH＝PC，
∴AP平分∠OAB，
∴∠PAH＝∠OAB＝30°，
设OH＝x，则AH＝x+，
∵PH⊥x轴，
∴∠PHA＝90°，
∴tan∠PAH＝，
∴PH＝AHtan30°＝（x+），
∵点P是y＝﹣（x＜0）的图象上一点，
∴PHOH＝，即(x+)x＝，
解得：x＝（负值舍去），
∴OH＝.
20.解答：（1）∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，
在Rt△BDO中，BD＝2，tan∠BOD＝＝，
∴OD＝3；
（2）连结OE，
∵AE＝OD＝3，AE∥OD，
∴四边形AEOD为平行四边形，
∴AD∥EO，
∵DA⊥AE，∴OE⊥AC，
又∵OE为⊙O的半径，
∴AE为⊙O的切线；
（3）∵OD∥AC，
∴＝，即＝，
∴AC＝7.5，
∴EC＝AC﹣AE＝7.5﹣3＝4.5，
∴S阴影＝S△BDO+S△OEC﹣S扇形FOD﹣S扇形EOG
＝×2×3+×3×4.5﹣
＝3+﹣
＝．
21.解答：（1）如图1，连结OQ，
∵PQ切⊙O于点Q， ∴OQ⊥PQ，
又∵BP＝OB＝OQ＝2，
∴PQ＝＝＝2；
（2）OQ⊥AC，理由如下：如图②，连结BC，
∵BP＝OB，
∴点B是OP的中点，
又∵PC＝CQ，
∴BC是△PQO的中位线，
∴BC∥OQ，
又∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
∴OQ⊥AC；
（3）如图②，连结AQ，
∵四边形ABCQ内接于⊙O，∴∠PCB＝∠PAQ，
又∵∠P＝∠P，∴△PCB∽△PAQ，
∴＝，即PCPQ＝PBPA，
∴PQ2＝2×6，解得PQ＝2．
22.解答：（1）证明：∵∠ODB＝∠AEC，∠AEC＝∠ABC，
∴∠ODB＝∠ABC，
∵OF⊥BC，∴∠BFD＝90°，
∴∠ODB+∠DBF＝90°，
∴∠ABC+∠DBF＝90°，即∠OBD＝90°，
∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切线；
（2）证明：连结AC，∵OF⊥BC，
∴＝，
∴∠CAE＝∠ECB，
∵∠CEA＝∠HEC，
∴△CEH∽△AEC，
∴＝，∴CE2＝EHEA；
（3）解：连结BE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，
∵⊙O的半径为5，sin∠BAE＝，
∴AB＝10，BE＝ABsin∠BAE＝10×＝6，
∴EA＝＝＝8，
∵＝，
∴BE＝CE＝6，
∵CE2＝EHEA，∴EH＝＝，
在Rt△BEH中，BH＝＝＝．
23.解答：（1）如图，连结AE，由已知得：AE＝CE＝5，OE＝3，
在Rt△AOE中，由勾股定理得：OA＝＝＝4，
∵OC⊥AB，
∴由垂径定理得：OB＝OA＝4，
∴OC＝OE+CE＝3+5＝8，
∴A（0，4），B（0，－4），C（8，0），
∵抛物线的顶点为C，
设抛物线的解析式为：y＝a(x－8)2，
将点B的坐标代入上解析式得：64a＝－4，
解得a＝－，∴y＝－(x－8)2，
∴抛物线的解析式为y＝－x2+x－4；
（2）在直线l的解析式y＝x+4中，令y＝0，则x+4＝0，解得x＝－，
∴点D的坐标为（－，0），∴OD＝，
当x＝0时，y＝4，
∴点A在直线l上，
在Rt△AOE和Rt△DOA中，∵＝，＝，
∴＝，
∵∠AOE＝∠DOA＝90°，∴△AOE∽△DOA，
∴∠AEO＝∠DOA，
∵∠AOE+∠EAO＝90°，
∴∠DAO+∠EAO＝90°，即∠DAE＝90°，
∴直线l与⊙O相切于A.
（3）过点P作直线l的垂线段PQ，垂足为Q，过点P作PM⊥x轴，交直线l于点M，
设M(m，m+4)，P(m，－x2+x－4)，则PM＝m+4－(－x2+x－4)＝(m－2)2+，
当m＝2时，PM取得最小值，此时，P（2，－），
对于△PQM，∵PM⊥x轴，
∴∠QMP＝∠DAO＝∠AEO，
又∠PQM＝90°，
∴△PQM的三个内角固定不变，
∴在动点P运动的过程中，△PQM的三边的比例关系不变，
∴当PM取得最小值时，PQ也取得最小值，
∴PQ最小值＝PM最小值sin∠QMP＝PMsin∠AEO＝×＝，
∴当抛物线上的动点P的坐标为（2，－）时，点P到直线l的距离最小，其最小距离为.
Ⅱ﹒解答部分：
1﹒如图，∠APB＝30°，O为PA上一点，且PO＝6，以点O为圆心，半径为3的圆与OB的位置关系是（ ）21教育网
A﹒相离 B﹒相切 C﹒相交 D﹒以上三种情况均有可能
解答：过点O作OC⊥PB于点C，∵∠APB＝30°，
∴OC＝PO＝3，
∵3＜3，
∴半径为3的圆与OB的位置关系是相交，
故选：C.
2﹒如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连结BC并延长交AE于点D.若∠AOC＝80°，则∠ADB的度数为（ ）www.21-cn-jy.com
A﹒20° B﹒40° C﹒50° D﹒60°
解答：∵AB是⊙O直径，AE是⊙O的切线，
∴∠BAD＝90°，
∵∠B＝∠AOC＝40°，
∴∠ADB＝90°﹣∠B＝50°，
故选：B．
3﹒如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线DM，交BC于M，切点为N，则DM的长为（ ）
A﹒ B﹒ C﹒ D﹒2
解答：连接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，∵∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4，
∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，
∴四边形AFOE，FBGO是正方形，
∴AF＝BF＝AE＝BG＝2，∴DE＝3，
∵DM是⊙O的切线，
∴DN＝DE＝3，MN＝MG，
∴CM＝5﹣2﹣MN＝3﹣MN，
在Rt△DMC中，DM2＝CD2+CM2，
即(3+NM)2＝(3﹣NM)2+42，
解得：NM＝，∴DM＝3+＝，
故选：A．
4﹒如图，两个同心圆（圆心相同半径不同的圆）的半径分别为6cm和3cm，大圆的弦AB与小圆相切，则劣弧AB的长为（ ）21·世纪*教育网
A﹒2 B﹒4 C﹒6 D﹒8
解答：如图所示，连结OA，OC，
∵弦AB切小圆于点C，∴OC⊥AB，
∵OA＝6，OC＝3，∴OC＝OA，∴∠A＝30°，
∴∠AOC＝60°，同理，∠BOC＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴劣弧AB的长＝＝4，
故选：B.
5﹒如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径.若∠P＝40°，则∠BAC的度数为（ ）【出处：21教育名师】
A﹒20° B﹒25° C﹒30° D﹒40°
解答：连结BC，OB，
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
又∠P＝40°，
∴∠AOB＝180°－∠P＝140°，
∴∠BOC＝40°，
∴∠BAC＝∠BOC＝20°，
故选：A.
6﹒如图，如果等边△ABC的内切圆⊙O的半径为2，那么△ABC的面积为（ ）
A﹒4 B﹒6 C﹒8 D﹒12
解答：连结OB，OD，OA，
∵⊙O是等边△ABC的内切圆，
∴∠OBD＝30°，∠BDO＝90°，
∴OB＝2OD＝4，
由勾股定理得：BD＝＝2，
同理，CD＝2，∴BC＝BD+CD＝4，
∵△ABC是等边三角形，A，O，D三点共线，
∴AD＝6，
∴S△ABC＝BCAD＝12，
故选：D.
7﹒如图，以半圆O中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，
若＝，且AB＝10，则CB的长为（ ）
A﹒4 B﹒4 C﹒4 D﹒4
解答：如图，∵＝，且AB＝10，
∴AD＝4，BD＝6，
作AB关于直线BC的对称线段A′B，交半圆于D′，连接AC、CA′，
可得A、C、A′三点共线，
∵线段A′B与线段AB关于直线BC对称，
∴AB＝A′B，
∴AC＝A′C，AD＝A′D′＝4，A′B＝AB＝10．
而A′CA′A＝A′D′A′B，即2A′C2＝4×10＝40．
则A′C2＝20，
又∵A′C2＝A′B2﹣CB2，∴20＝100﹣CB2，
∴CB＝4，
故选：A．
8﹒如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作圆，交斜边AB于点E，D为AC的中点，连结DO，DE.则下列结论中不一定正确的是（ ）21·cn·jy·com
A﹒DO∥AB B﹒△ADE是等腰三角形 C﹒DE⊥AC D﹒DE是⊙O的切线
解答：连接OE，
∵D为AC的中点，O为BC的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴DO∥AB，故选项A正确；
∴∠COD＝∠B，∠DOE＝∠OEB，∠CDO＝∠A，∠EDO＝∠DEA，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠B，
∴∠COD＝∠DOE，
在△COD和△EOD中，，
∴△COD≌△EOD（SAS），
∴∠OED＝∠OCD＝90°，∠CDO＝∠EDO，
∴DE为⊙O的切线，故选项D正确；
∵∠A＝∠DEA，
∴△AED为等腰三角形，故选项B正确，
则不一定正确的为DE⊥AC．
故选：C.
9﹒如图，在△ABC中，∠BCA＝60°，∠A＝40°，AC＝2，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点M，N，则线段MN长度的最小值是（ ）
A﹒3 B﹒2 C﹒2 D﹒
解答：如图，作CF⊥AB于点F，以CF为直径作⊙O，与CB，CA分别相交于点M，N，则线段MN的长最小，21世纪教育网版权所有
∵⊙O的直径是点C到AB距离最小的，此时∠MON为定值，
∴线段MN此时长最小，
∴∠CFA＝90°，
∵∠A＝45°，AC＝2，
∴CF＝＝2，即⊙O的半径为，
作OE⊥MN于点E，连结OM，ON，则∠MOE＝∠MON，
∵∠BCA＝60°，∴∠MON＝120°，
∴∠MOE＝60°，∴ME＝OMsin60°＝
∴MN＝2ME＝3，
故选：A.
10.如图，在△ABC中，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE＝CD，连结AE.给出以下结论：2·1·c·n·j·y
①AD＝DC；②△CBA∽△CDE；③＝；④AE为
⊙O的切线，其中正确的结论是（ ）
A﹒①② B﹒①②③ C﹒①④ D﹒①②④
解答：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AC，而AB＝CB，∴AD＝DC，故①正确；
∵AB＝CB，∴∠1＝∠2，
而CD＝ED，∴∠3＝∠4，
∵CF∥AB，∴∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∴△CBA∽△CDE，故②正确；
∵△ABC不能确定为直角三角形，
∴∠1不能确定等于45°，
∴与不能确定相等，故③错误；
∵DA＝DC＝DE，
∴点E在以AC为直径的圆上，
∴∠AEC＝90°，∴CE⊥AE，
而CF∥AB，∴AB⊥AE，
∴AE为⊙O的切线，故④正确，
故选：D．
二、填空题
11.在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（3，0），⊙A的半径为1，若直线y＝mx－m（m≠0）与⊙A相切，则m的值为_______________.2-1-c-n-j-y
解答：如图所示，设直线y＝mx－m（m≠0）与x轴相交于点C，与y轴交于点D，
令y＝0，则mx－m＝0，解得：x＝1，
令x＝0，则y＝－m，故B（0，－m），C（1，0），
∴OB＝＝，
∵直线y＝mx－m与⊙A相切，
∴易得△ACD∽△BCO，∴DC：OC＝AD：OB，
即：1＝1：，解得：m＝±，
故答案为：±.
12.已知：在RtABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点O和M分别为RtABC的外心和内心，则线段OM的长为_____________.21cnjy.com
解答：如图，作△ABC的内切圆⊙M，过点M作MD⊥BC于D，ME⊥AC于E，MN⊥AB于N，
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
∵点O为外接圆的外心，∴AO＝AB＝5，
设⊙M的半径为R，则MD＝ME＝R，
又∵∠MDC＝∠MEC＝∠C＝90°，
∴四边形MECD是正方形，
∴CE＝CD＝R，AE＝AN＝6－R，BD＝BN＝8－R，
∵AB＝10，∴8－R+6－R＝10，解得：R＝2，
∴MN＝R＝2，AN＝6－R＝4，
在Rt△OMN中，∵∠MNO＝90°，ON＝AO－AN＝1，
∴OM＝＝，
故答案为：.
13.如图，AB是⊙O的直径，OA＝1，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D.若BD＝－1，则∠ACD＝__________.【版权所有：21教育】
解答：如图，连结OC，∵OC是⊙O的切线，∴OC⊥DC，
∵BD＝－1，OA＝OB＝OC＝1，
∴OD＝，∴CD＝＝1，
∴OC＝OD，∴∠DOC＝45°，
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝∠DOC＝22.5°，
∴∠ACD＝∠OCA+∠OCD＝22.5+90°＝112.5°，
故答案为：112.5°.
14.如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，使BD＝OB，DC切⊙O于点C，点B是 的中点，弦CF交AB于点E.若⊙O的半径为2，则CF＝__________.
解答：连结OC，
∵DC切⊙O于点C，∴∠OCD＝90°，
∵BD＝OB，∴OB＝OD，
∵OC＝OB，∴OC＝OD，
∴∠D＝30°，∴∠COD＝60°，
∵AB为⊙O的直径，点B是的中点，
∴CF⊥OB，CE＝EF，
∴CE＝OCsin60°＝2×＝，
∴CF＝2，
故答案为：2.
15.已知：点P是半径为1的⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且PA＝1，AB是⊙O的弦，AB＝，连结PB，则PB＝_______________.21教育名师原创作品
解答：分两种情况：
（1）如图1，连结OA，∵PA＝AO＝1，OA＝OB，PA是⊙O的切线，
∴∠AOP＝45°，
∵OA＝OB，∴∠BOP＝∠AOP＝45°，
又∵OP＝OP，∴△POA≌△POB（SAS），
∴PB＝PA＝1；
（2）如图2，连结OA，与PB交于点C，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，而PA＝PO＝1，∴OP＝，
∵AB＝，而OA＝OB＝1，
∴AO⊥BO，∴四边形PABO是平行四边形，
∴PB与AO互相平分，
设AO交PB于点C，则OC＝OA＝，
∴BC＝，∴PB＝，
故答案为：1或.
16.如图，正方形ABCD的边长为1，以AB为直径作半圆，点P是CD的中点，BP与半圆相交于点Q，连结DQ，给出如下结论：①DQ＝1；②＝；③S△PDQ＝；④cos∠ADQ＝，其中正确结论是_________________.（只填写序号）【来源：21·世纪·教育·网】
解答：①连结OQ，OD，如图1所示，
易证四边形DOBP是平行四边形，∴DO∥BP．
∵OQ＝OB，∴∠AOD＝∠QOD，∴△AOD≌△QOD，
∴DQ＝DA＝1．故①正确；
②连接AQ，如图2．
则CP＝，BP＝＝，
易证Rt△AQB∽Rt△BCP，
运用相似三角形的性质可求得BQ＝，
则PQ＝﹣＝，
∴＝．故②正确；
③过点Q作QH⊥DC于H，如图3．
易证△PHQ∽△PCB，
运用相似三角形的性质可求得QH＝，
∴S△DPQ＝DPQH＝××＝，故③错误；
④过点Q作QN⊥AD于N，如图4．
易得DP∥NQ∥AB，
根据平行线分线段成比例可得＝＝，
则有＝，解得：DN＝．
由DQ＝1，得cos∠ADQ＝＝，故④正确．
综上所述：正确结论是①②④．
故答案为：①②④．
三、解答题
17.如图，以线段AB为直径作⊙O，CD与⊙O相切于点E，交AB的延长线于点D，连结BE，过点O作OC∥BE交切线DE于点C，连结AC.21*cnjy*com
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BD＝OB＝4，求弦AE的长.
解答：（1）证明：连结OE，
∵CD切⊙O于点E，∴OE⊥CD，
∴∠CEO＝90°，
∵BE∥OC，∴∠AOC＝∠OBE，∠COE＝∠OEB，
∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，
∴∠AOC＝∠COE，
又∵OA＝OE，OC＝OC，
∴△AOC≌△EOC（SAS），
∴∠CAO＝∠CEO＝90°，即AC⊥OA，
∴AC是⊙O的切线；
（2）在Rt△DEO中，BD＝OB，
∴BE＝OD＝OB＝4，
∵OB＝OE，
∴△BOE是等边三角形，
∴∠ABE＝60°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE＝BEtan60°＝4.
18.(8分)如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于点B.
（1）当AD是多少时，四边形BCOE是平行四边形？
（2）试判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由.
解答：（1）如图，连结BD，∵DE是⊙O的直径，
∴∠DBE＝90°，
假设四边形BCOE是平行四边形，则BC∥OE，BC＝OE＝1，
在Rt△ABD中，C为AD的中点，
∴BC＝AD＝1，∴AD＝2，
∴当AD＝2时，四边形BCOE为平行四边形；
（2）BC与⊙O相切，理由如下：
连结OB，∵BC∥OD，BC＝OD，
∴四边形BCDO为平行四边形，
∵AD切⊙O于点D，
∴OD⊥AD，∴平行四边形BCDO为矩形，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线.
19.(8分)如图，已知直线y＝－x+3分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P是反比例函数y＝（x＜0）图象上的一动点，PH⊥x轴于点H，若以点P为圆心，PH为半径作⊙O，当⊙O与直线AB恰好相切时，求此时OH的长. 21*cnjy*com
解答：作PC⊥AB于C，连结AP，
∵直线y＝﹣x+3分别与x轴、y轴交于A、B，
当y＝0时，x＝，当x＝0时，y＝3；
∴A（，0），B（0，3）；
∵∠AOB＝90°，tan∠OAB＝＝，
∴∠OAB＝60°，
∵以P为圆心，PH为半径的圆与直线AB相切，
∴PH＝PC，
∴AP平分∠OAB，
∴∠PAH＝∠OAB＝30°，
设OH＝x，则AH＝x+，
∵PH⊥x轴，
∴∠PHA＝90°，
∴tan∠PAH＝，
∴PH＝AHtan30°＝（x+），
∵点P是y＝﹣（x＜0）的图象上一点，
∴PHOH＝，即(x+)x＝，
解得：x＝（负值舍去），
∴OH＝.
20.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，以BC边上一点O为圆心的半圆与AB切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD＝2，AE＝3，tan∠BOD＝.
（1）求⊙O的半径OD长；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）求图两部分阴影面积的和.
解答：（1）∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，
在Rt△BDO中，BD＝2，tan∠BOD＝＝，
∴OD＝3；
（2）连结OE，
∵AE＝OD＝3，AE∥OD，
∴四边形AEOD为平行四边形，
∴AD∥EO，
∵DA⊥AE，∴OE⊥AC，
又∵OE为⊙O的半径，
∴AE为⊙O的切线；
（3）∵OD∥AC，
∴＝，即＝，
∴AC＝7.5，
∴EC＝AC﹣AE＝7.5﹣3＝4.5，
∴S阴影＝S△BDO+S△OEC﹣S扇形FOD﹣S扇形EOG
＝×2×3+×3×4.5﹣
＝3+﹣
＝．
21.(10分)已知，AB是⊙O的直径，点P在线段AB的延长线上，BP＝OB＝2，点Q在⊙O上，连结PQ.【来源：21cnj*y.co*m】
（1）如图1，线段PQ所在的直线与⊙O相切，求线段PQ的长；
（2）如图2，线段PQ与⊙O还有一个公共点C，且PC＝CQ，连结OQ，交AC于点D.
①判断OQ与AC的位置关系，并说明理由；
②求线段PQ的长.
解答：（1）如图1，连结OQ，
∵PQ切⊙O于点Q， ∴OQ⊥PQ，
又∵BP＝OB＝OQ＝2，
∴PQ＝＝＝2；
（2）OQ⊥AC，理由如下：如图②，连结BC，
∵BP＝OB，
∴点B是OP的中点，
又∵PC＝CQ，
∴BC是△PQO的中位线，
∴BC∥OQ，
又∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
∴OQ⊥AC；
（3）如图②，连结AQ，
∵四边形ABCQ内接于⊙O，∴∠PCB＝∠PAQ，
又∵∠P＝∠P，∴△PCB∽△PAQ，
∴＝，即PCPQ＝PBPA，
∴PQ2＝2×6，解得PQ＝2．
22.(12分)如图，已知AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC.
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：CE2＝EHEA；
（3）若⊙O的半径为5，sinA＝，求BH的长.
解答：（1）证明：∵∠ODB＝∠AEC，∠AEC＝∠ABC，
∴∠ODB＝∠ABC，
∵OF⊥BC，∴∠BFD＝90°，
∴∠ODB+∠DBF＝90°，
∴∠ABC+∠DBF＝90°，即∠OBD＝90°，
∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切线；
（2）证明：连结AC，∵OF⊥BC，
∴＝，
∴∠CAE＝∠ECB，
∵∠CEA＝∠HEC，
∴△CEH∽△AEC，
∴＝，∴CE2＝EHEA；
（3）解：连结BE，∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵⊙O的半径为5，sin∠BAE＝，
∴AB＝10，BE＝ABsin∠BAE＝10×＝6，
∴EA＝＝＝8，
∵＝，
∴BE＝CE＝6，
∵CE2＝EHEA，∴EH＝＝，
在Rt△BEH中，BH＝＝＝．
23.(12分)如图，⊙E的圆心E（3，0），半径为5，⊙E与y轴相交于A、B两点（点A在点B的上方），与y轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y＝x+4，与x轴相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B.www-2-1-cnjy-com
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；
（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时，求出点P的坐标及最小距离.
解答：（1）如图，连结AE，由已知得：AE＝CE＝5，OE＝3，
在Rt△AOE中，由勾股定理得：OA＝＝＝4，
∵OC⊥AB，
∴由垂径定理得：OB＝OA＝4，
∴OC＝OE+CE＝3+5＝8，
∴A（0，4），B（0，－4），C（8，0），
∵抛物线的顶点为C，
设抛物线的解析式为：y＝a(x－8)2，
将点B的坐标代入上解析式得：64a＝－4，
解得a＝－，∴y＝－(x－8)2，
∴抛物线的解析式为y＝－x2+x－4；
（2）在直线l的解析式y＝x+4中，令y＝0，则x+4＝0，解得x＝－，
∴点D的坐标为（－，0），∴OD＝，
当x＝0时，y＝4，
∴点A在直线l上，
在Rt△AOE和Rt△DOA中，∵＝，＝，
∴＝，
∵∠AOE＝∠DOA＝90°，
∴△AOE∽△DOA，
∴∠AEO＝∠DOA，
∵∠AOE+∠EAO＝90°，
∴∠DAO+∠EAO＝90°，即∠DAE＝90°，
∴直线l与⊙O相切于A.
（3）过点P作直线l的垂线段PQ，垂足为Q，过点P作PM⊥x轴，交直线l于点M，
设M(m，m+4)，P(m，－x2+x－4)，则PM＝m+4－(－x2+x－4)＝(m－2)2+，
当m＝2时，PM取得最小值，
此时，P（2，－），
对于△PQM，∵PM⊥x轴，
∴∠QMP＝∠DAO＝∠AEO，
又∠PQM＝90°，
∴△PQM的三个内角固定不变，
∴在动点P运动的过程中，△PQM的三边的比例关系不变，
∴当PM取得最小值时，PQ也取得最小值，
∴PQ最小值＝PM最小值sin∠QMP＝PMsin∠AEO＝×＝，
∴当抛物线上的动点P的坐标为（2，－）时，点P到直线l的距离最小，其最小距离为.
第2章《直线与圆的位置关系》单元提升培优测试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1﹒如图，∠APB＝30°，O为PA上一点，且PO＝6，以点O为圆心，半径为3的圆与OB的位置关系是（ ）21·cn·jy·com
A﹒相离 B﹒相切 C﹒相交 D﹒以上三种情况均有可能
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
2﹒如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连结BC并延长交AE于点D.若∠AOC＝80°，则∠ADB的度数为（ ）2·1·c·n·j·y
A﹒20° B﹒40° C﹒50° D﹒60°
3﹒如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线DM，交BC于M，切点为N，则DM的长为（ ）
A﹒ B﹒ C﹒ D﹒2
4﹒如图，两个同心圆（圆心相同半径不同的圆）的半径分别为6cm和3cm，大圆的弦AB与小圆相切，则劣弧AB的长为（ ）2-1-c-n-j-y
A﹒2 B﹒4 C﹒6 D﹒8
5﹒如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径.若∠P＝40°，则∠BAC的度数为（ ） 21*cnjy*com
A﹒20° B﹒25° C﹒30° D﹒40°
第5题图 第6题图 第7题图 第8题图
6﹒如图，如果等边△ABC的内切圆⊙O的半径为2，那么△ABC的面积为（ ）
A﹒4 B﹒6 C﹒8 D﹒12
7﹒如图，以半圆O中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，
若＝，且AB＝10，则CB的长为（ ）
A﹒4 B﹒4 C﹒4 D﹒4
8﹒如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作圆，交斜边AB于点E，D为AC的中点，连结DO，DE.则下列结论中不一定正确的是（ ）www.21-cn-jy.com
A﹒DO∥AB B﹒△ADE是等腰三角形 C﹒DE⊥AC D﹒DE是⊙O的切线
9﹒如图，在△ABC中，∠BCA＝60°，∠A＝40°，AC＝2，
经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点
M，N，则线段MN长度的最小值是（ ）
A﹒3 B﹒2
C﹒2 D﹒
10.如图，在△ABC中，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE＝CD，连结AE.给出以下结论：【出处：21教育名师】
①AD＝DC；②△CBA∽△CDE；③＝；④AE为
⊙O的切线，其中正确的结论是（ ）
A﹒①② B﹒①②③
C﹒①④ D﹒①②④
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11.在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（3，0），⊙A的半径为1，若直线y＝mx－m（m≠0）与⊙A相切，则m的值为_______________.【来源：21·世纪·教育·网】
12.已知：在RtABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点O和M分别为RtABC的外心和内心，则线段OM的长为_____________.21·世纪*教育网
13.如图，AB是⊙O的直径，OA＝1，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D.若BD＝－1，则∠ACD＝__________.www-2-1-cnjy-com
第13题图 第14题图 第16题图
14.如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，使BD＝OB，DC切⊙O于点C，点B是 的中点，弦CF交AB于点E.若⊙O的半径为2，则CF＝__________.
15.已知：点P是半径为1的⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且PA＝1，AB是⊙O的弦，AB＝，连结PB，则PB＝_______________.【来源：21cnj*y.co*m】
16.如图，正方形ABCD的边长为1，以AB为直径作半圆，点P是CD的中点，BP与半圆相交于点Q，连结DQ，给出如下结论：①DQ＝1；②＝；③S△PDQ＝；④cos∠ADQ＝，其中正确结论是_________________.（只填写序号）【版权所有：21教育】
三、解答题（本题有7小题，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17.(6分)如图，以线段AB为直径作⊙O，CD与⊙O相切于点E，交AB的延长线于点D，连结BE，过点O作OC∥BE交切线DE于点C，连结AC.21教育名师原创作品
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BD＝OB＝4，求弦AE的长.
18.(8分)如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于点B.21*cnjy*com
（1）当AD是多少时，四边形BCOE是平行四边形？
（2）试判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由.
19.(8分)如图，已知直线y＝－x+3分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P是反比例函数y＝（x＜0）图象上的一动点，PH⊥x轴于点H，若以点P为圆心，PH为半径作⊙O，当⊙O与直线AB恰好相切时，求此时OH的长.21世纪教育网版权所有
20.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，以BC边上一点O为圆心的半圆与AB切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD＝2，AE＝3，tan∠BOD＝.
（1）求⊙O的半径OD长；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）求图两部分阴影面积的和.
21.(10分)已知，AB是⊙O的直径，点P在线段AB的延长线上，BP＝OB＝2，点Q在⊙O上，连结PQ.21cnjy.com
（1）如图1，线段PQ所在的直线与⊙O相切，求线段PQ的长；
（2）如图2，线段PQ与⊙O还有一个公共点C，且PC＝CQ，连结OQ，交AC于点D.
①判断OQ与AC的位置关系，并说明理由；
②求线段PQ的长.
图1 图2
22.(12分)如图，已知AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC.
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：CE2＝EHEA；
（3）若⊙O的半径为5，sinA＝，求BH的长.
23.(12分)如图，⊙E的圆心E（3，0），半径为5，⊙E与y轴相交于A、B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y＝x+4，与x轴相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B.21教育网
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；
（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时，求出点P的坐标及最小距离.
