3.2直棱柱的表面展开图

浙教版八上《3.2直棱柱的表面展开图》教学案例
——在直观操作中建立空间观念
衢州市兴华中学 刘 芳
[教学背景]
《直棱柱的表面展开图》是浙教版新教材八年级上册第三章第二节的学习内容.这节课的教学目标是四点：1. 了解直棱柱的表面展开图的概念；2. 会在简单情况下判断一个平面图形是否直棱柱的表面展开图，培养学生的空间想象能力；3. 会画简单直棱柱的表面展开图；4. 能根据展开图判断和制作立体模型. 教学重点是：直棱柱的表面展开图,包括会认和画展开图.教学难点是:立方体的表面展开图的辨认.
由于在这套教材体系里，学生是第一次接触空间立体图形与平面图形的相互转化，因此，考虑到本节内容自身的数学特点，以及学生学习数学的心理规律，我认为在教学中应该强调从学生已有的生活经验出发，充分重视数学过程，提供足够的操作与交流的空间，有利于学生经历观察、实验、猜测、尝试、推理、交流、反思等活动，从而帮助学生建立初步的空间观念，培养他们的空间想象能力.所以，我把这一节课定位于一节数学操作活动课.鉴于这样的定位,我给出了相应的教学设计.
[预设与生成]
（一）．教学准备
1．每个学生准备六个边长为8厘米的正方形，并用透明胶粘成一个立方体纸盒,便于进行课堂内的“剪与展”活动；
2．每个学生剪下印发的学案上的15种展开图，便于课堂内的动手操作验证；
3．分好四人学习小组；
4．教师准备六个边长为8厘米的正方形，以便上课时自由粘贴组合成不同的“六连块”；
5．多媒体课件，辅助演示教学.
（在第一个准备活动中，我原先的设计只是让学生做一个棱长为8厘米的立方体，结果在试教中发现学生先按课本例子画出一种展开图，然后粘合为立方体，最后在剪开的过程中“按图索骥”，得到的仅是最常有的几种“一四一”型.为了使学生能够自由地发挥想象并剪开立方体，得到尽可能完全多种的立方体表面展开图，我改变了设计，要求学生用单独的六个边长为8厘米的正方形做一个立方体模型，事实证明这个小小的改变可以避免上述问题的出现，学生在剪的过程中真正是边思考边操作，对展开的过程有了更细致和深入的体验，并且通过小组间的交流，得出了9种立方体的表面展开图，对展开图有了比较完整的认识.
第二个准备活动是为这节课的主线 “先想一想，再折一折”做好学具准备.）
（二）．教学过程
1．创设情境，导入新课
如图，有一长方体形的房间，地面为边长4米的正方形，
房间高3米.一只蜘蛛在A处，一只苍蝇在B处.
⑴试问，蜘蛛去抓苍蝇需要爬行的最短路程是多少？
⑵若苍蝇在C处，则最短路程是多少？
（设计这个引例的理由是：课本上的节前图是杜登尼的著名谜题“蛛蝇问题”，极具挑战性，提供了很好的问题情境，但要求偏高.而将谜题稍作改编，降低了对学生空间想象能力的要求，更有利于激发学生探究与学习的愿望.在课堂内，我依次呈现两个问题，并分别解决.对第二问，我的预设是部分学生能答出其中一种路线（由前侧面到上底面或由前侧面到右侧面），并不打算比较求解 “最短路程”，只是让学生感受到要解决此问，需要将空间立体的图形向平面图形转化，点明本节课的重要思想方法：立体（转化）————平面.学生确实答出了这两种路线，没有人提到第三种路线：由下底面到后侧面.也没有学生提出要进行比较.也许学生只停留于“两点之间线段最短”，还根本来不及思考“最短”的更深内涵，我便将课引入预设的轨道：在此时揭示课题.）
2．合作交流，探求新知
（1）形成概念
① 请同学们将事先准备好的立方体纸盒，沿某些棱剪开，且使六个面
连在一起，然后铺平.
你能得到怎样的图形 你一共剪了几刀
② 请同学们展示一下.
通过展示学生的作品，让学生直观感受由一个立方体展开得到的平面图形是不唯一的.
③ 电脑演示立方体展开的过程，使学生进一步直观感受和形成立方体表面展开图的概念.
（对立方体表面展开图以及直棱柱的表面展开图的概念，课本使用的是描述性的语句，所以这个概念应该是体验性的，应该由学生直观感受得到.因此，在这个环节，学生动手操作必不可少.在这个环节，原本我的设计是在得出概念之后，继续归纳立方体的11种表面展开图及其分类口诀.试教中发现时间花费很多，使整节课的教学目标发生了偏移.于是改变了第一次的设计，把这个环节的目标定位于直观感受和形成立方体表面展开图的概念.）
（2）例题解析
例1 下图是一个立方体的表面展开图吗？如果是，请分别用1，2，3，4，5，6中的同一个数字表示立方体和它的展开图中各对对应的面（只要求给出一种表示方法）.
，
①师生共同解析例1
（对这个问题我预设了两种情形的教学，一种是学生在前一环节得出过这种“二二二”型的表面展开图，那么第一问就很显然；第二种是学生没有见识过这个展开图，那么第一问的回答就要进行引导分析.无论哪种情形，都应让学生明白：要判断一个平面六连块的图形是否立方体的表面展开图，可以利用折叠来验证，体会到“展开与折叠”之间的对应转化关系.
在验证之后再让学生对照填写各对对应面的数字.不同的折叠方法对应了不同的填写结果.例题的原本要求是“只要求给出一种表示方法”，而通过各小组组内及组间的交流，我们的学生可以自然得到多种不同的表示.这里通过3位学生代表向全班同学演示自己折叠的过程以及填数过程，引导学生体会和提炼折叠的方法：可先选定一个面作为起始面，这个面不妨看作原立方体的下底面，然后依次折叠成立方体.在折叠的过程中，先想一想，当思维有困难时，再折一折.这个环节是学生建立空间观念的关键之处.因此，提供足够的操作与交流的时间，显得尤其必要.惟有如此，学生才能在自己独立的思维空间里进行“想一想”，并借助于学具“折一折”，在想象与操作的交互中，空间想象的思维能力得以提升.这样的直接经验是任何老师的教都无法取代的.）
② 完成练习：判断下列平面图形是否立方体的表面展开图.
（教师利用课前准备的六个边长为8厘米的正方形，自由粘贴组合成上面八种不同的“六连块”，进一步让学生在“先想一想，再折一折”的活动过程中，体会“展开与折叠”的对应转化，积累经验，建立自己的空间观念.）
例2 包装盒如图所示.为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样.
（1）如图给出的三种纸样，它们都正确吗？
（2）从已知正确的纸样中选出一种，标注上尺寸；
（3）利用你所选的一种纸样，求出包装盒的侧面积和表面积
（侧面积与两个底面积的和） .
（由特殊的直四棱柱——立方体的表面展开图，到一般的直四棱柱——长方体的表面展开图，学生的认知自然地有正迁移，所以第一问的解决对学生而言是容易的.第二问的解决要求学生先独立分析“应该标注哪些尺寸” ，然后电脑演示标注过程，强调标注应做到规范合理.）
（3）巩固练习
下图中的哪些图形可以沿虚线折叠成长方体包装盒
下列平面图形能围成怎样的几何体？
（通过抢答完成上面两组练习，继续熟悉简单直棱柱的表面展开图，在体会展开与折叠的对应转化中，进一步增强学生的空间想象力.）
（4）探究活动——破解谜题
Ａ在前侧面
Ａ在左侧面
Ａ在底面
（利用长方体的表面展开图解决引课的谜题，首尾呼应.我原先的预设是按照分类思想讨论出所有情形，归纳为三类六种路线，其实最后路程长度即两种类型：底+侧，侧+侧，然后比较得到“最短路程”.接着将谜题条件改为 ①“蜘蛛和苍蝇都在屋子外面”，那么共有几种路线？最短路程是多少？②“屋子的长、宽、高分别是3米、4米、5米”，那么共有几种路线？最短路程是多少？而实际授课中只是匆匆分析了第一类，其余的蜻蜓点水般带过，没有效果.）
3．小结回顾，反思提高
基本概念：立方体的表面展开图——长方体的表面展开图（特殊到一般）
基本结论：同一个几何体的表面展开图并不唯一
基本方法：先想一想 再折一折
基本思想：立体 平面, 体现转化思想；谜题的解决,体现分类和转化思想
（本环节的预设是回顾重点、概念，反思提升方法；而课堂实践中却因时间关系被跳过了，使整节课草草收场，实为憾事.）
4．作业布置
必做题：课本第61页3、4、5；操作题：课本第61页1、2
选做题：如图所示的纸板上有10个无阴影的正方形，从中选出一个，与图中5个有阴影的正方形一起折一个正方体的包装盒，有多少种不同的选法.
（ 作业分层布置，让学生有一定的自主选择能力和自我发展的空间.）
[教学反思]
回顾整个备课过程，从拿到教材，首先想到的就是定目标、定主题.我把这节课的主题定位为操作活动课，既然是操作活动课，本课的侧重点自然就放在学生的动手操作，亲自体验上.
在整个教学过程中，从立方体表面展开图概念的直观感知到判断一个平面六连块是否立方体、长方体的表面展开图，我始终以学生“想一想，再折一折”为学习活动的开展形式，给学生以充分的时间思考、观察、动手和验证，关注学生“你是怎么想的”，充分暴露他们的思维过程，给予肯定和点拨.在整个课堂里，我真正做到了是“学生活动的组织者，问题的澄清者，思维的激发者”，引导、参与了学生的整个学习过程.
比较遗憾的地方是整节课的“放”过于“收”，所以时间的把握上有所欠缺，以至最后呼应的谜题解决匆匆而过，未能充分体现价值.甚至连小结都没有进行，草草收课.
在备课和教学的过程中，也遇到了许多困惑.在这里和大家探讨五个问题：
问题一：在动手操作展开立方体之后，学生给出了很多种图形，前两位老师都给出了“口诀”，归纳了11种展开图.在第一次试教时，我也给出了类似的口诀.现在我的思考是：初始课上，是否有必要归纳11种？停留于记忆层面的口诀要不要给？11种之外还有很多规律怎么探索？在此进行合适吗？为什么只有11种？解决得了吗？我的策略和认识是：不进行归纳分类，学生能给几种是几种，只要能感知概念即可；更不给口诀，现成的口诀会妨碍学生实际的想象与操作，贪图快捷反而失去了培养、建立空间观念的好时机.
问题二：例1是一个看似普通，却很有价值的问题.怎么来展开，才能不浪费这个素材？这个问题的解决方法，是沟通“展开”与“折叠”的桥梁.选定一个基本面，然后依次折回，这是解决“是否是立方体表面展开图”的良好思路和策略.要舍得给时间学生去折叠思考.由此展开的变式练习，更是帮助学生建立空间观念的良好时机.如果将折叠的演示由教师或电脑包办，那么“惊鸿一瞥”里学生得到的体验远不如自己亲自借助学具折叠、想象来得直接与深刻，所积累的解决问题的经验也不可能更有个性化.所以在此阶段处理“放”与“收”尤其需要教师具备艺术.遗憾的是这节课里我没有做好，从而使此环节显得冗长.
问题三：例2是遵循了从“特殊到一般”的体系来编排的.学生很容易解决第一问.对（2）、（3）两问的安排，我的思考是：为什么在这里出现了“算图、用图”？对数据线的标注，是学生的难点，如果不花笔墨，解决不了，如果花时过多，这节的重点与主题“展开与折叠”是否被冲淡？
问题四：作为解决节前图的一个铺垫，也是为了与引课相呼应，谜题的解决感觉是势在必行.对此题的解决很多老师的认识停留于“立体到平面”的转化.其实，此问还有一个价值在于分类思想的渗透.可以把A点看作在前侧面、左侧面和底面，这样路线共有六种.而再归纳一下，又可以归结为“侧加侧”、“底加侧”两大类，所以在底面为正方形的情况下只有两种情形的结果.如果将此问拓展，可以继续从这两方面提问：若两只小虫子都飞到了屋外，那么路线有几种？（有4种，和底面相关的路线不再有了）.若把底面改为长方形，那么路线有几种？结果有几个？（六条路线，三个结果）.我的思考又来了：此问适合在此解决吗？此问价值怎样完全体现？引课的例子不是它是否更合理
问题五：本课有四个目标，其中一个是“会画简单直棱柱的表面展开图”.那么，在这么紧张的时间里，何时画图？目标是否过多？
反思中的这些不足和遗憾，是我进一步追求完美的动力.
[专家点评]
怎样的课堂教学是有效的？我们认为：适合的就是有效的；参与度高的就是有效的；有序的就是有效的.从这三个角度我们来审视本节课，我们会有这样一些启发和借鉴：
1.本节课的每一个环节，均紧紧围绕着教学目标进行，提供给学生充分的动手操作与思考、交流的时间、空间，学生的参与度高，教师的主导作用和学生的主体地位把握地恰当、到位.
2．本节课采取的教学组织形式，以学生操作活动为主，从概念的建立形成到体验展开与折叠之间的对应转化，总是将学生自主的想象与操作贯穿始终，重视学生自我经验的积累和丰富，把学生初步的空间观念的建立落实到每一个“先想一想，再折一折”活动中，这种学习方式和节奏，符合学生的认知心理和规律，适合初次学习将空间立体图形与平面图形互相转化的学生.
3．本节的遗憾在于时间的把握上与预设有较大差距.纵观整个课堂教学的组织，我们可以发现本节课里小组活动的组织并不到位.小组活动的有序性和有效性值得反思和改进.如对平面展开图展示的环节，基本是学生单个的回答，若能组织好组内的交流，那么组间的交流可以更高效；又如对例2之后安排的练习1的处理，要求学生组内交流，显得没有必要.
B
C
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4
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