3.2直棱柱的侧面展开图

3.2 直棱柱的表面展开图
长兴实验初中 江卫华
[教学设计]
一、教学目标：
1、知识目标：了解直棱柱的表面展开图的概念. 会在简单情况下判断一个平面图形是不是直棱柱的表面展开图，并能根据展开图判断和制作立体模型.
2、能力目标：着力培养学生的空间想象能力.体验“立体问题平面解”的数学转化思想（即降维思想）.
3、情感目标：努力发展学生实践动手的潜力，培养学生的创新精神.
二、教学重点和难点：
本节教学的重点是会认和画直棱柱的表面展开图.
立方体的表面展开图的辨认是本节教学的难点.
三、课前准备：
每个学生准备一个边长为5厘米的小立方体纸盒和一个长方体盒子，并分好合作学习小组，确定组长、记录员、发言人.
四、教学过程：
（一）创设情境,设悬导课
1．想挑战世纪谜题吗？
【杜登尼(Dudeney,1857-1930年)是19世纪英国知名的谜题创作者．“蜘蛛和苍蝇”问题最早出现在1903年的英国报纸上，它是杜登尼最有名的谜题之一．它对全世界难题爱好者的挑战，长达四分之三个世纪．】
在一个长方形长、宽、高 分别为3米，2米，2米长方体房间内，一蜘蛛在一面的中间，离天花板0.1米处(A点)，苍蝇在对面墙的中间,离地面0.1米处(B点),试问:蜘蛛去捉苍蝇需要爬行的最短距离是多少
【设置悬念,并引导学生把三维问题转化为二维来解决】
(二) 合作学习,探索展图
1. 演示课件,形成概念:
将立方体沿某些棱剪开后铺平,且六个面连在一起，这样的图形叫立方体的表面展开图.
2. 小组合作,探索展图:
把你们小组所做的立方体纸盒沿着某些棱剪开，且使六个面连在一起,然后铺平,把你所得到的图形画出来,数一数剪了几刀 并比一比,有何异同
3. 展示风采,归纳规律:
A. 展开图规律之一:立方体的展开过程需要剪七刀.
B. 展开图规律之二: 异层 “日”字连,整体没有“田”
C. 展开图规律之三: 对面不相连.
D. 展开图规律之四: 立方体表面展开图的周长是小正方形边长的14倍.
4. 展示了立方体展开图的全部可能情况:
5. 总结归纳,形成五绝:
平面“七刀”现; 对面“不相连”;
“日”字异层见; 整体没有“田”;
（三）例题解析，学会识图：
1．等你来挑战：下面的图形都是立方体的展开图吗？
2．让想象力更充分一些：添上一个小正方形,使下图折叠后能围成一个立方体,共有几种添法？
3．让思维更活跃一点：如图，这是一个正方体的展开图，如果将它组成原来的正方体，哪些点与点P重合？
4．如图是一个正方体纸盒的展开图，图中的6个正方形中分别已填入了-1、7、 、a、b、c，使展开图沿虚线折叠成正方体后相对面上的两个数互为相反数,求:
5．要仔细看：根据下面几个表面展开图你能制作出这些立体图形吗？
6．将前、右、上三个面做有标记的立方体盒子展开，以下各示意图中是它的展开图的是（ ）
7．下列的三幅平面图都是三棱柱的表面展开图吗？
（四）合作学习，学以致用：
1．连连看：
2．合作游戏----争做小小数学家：
有一种牛奶包装盒如图所示。为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样。
（1）如图给出的三种纸样，它们都正确吗？
（2）从已知正确的纸样中选出一种，标注上尺寸；
（3）利用你所选的一种纸样，求出包装盒的侧面积和表面积（侧面积与两个底 面积的和）
（五）挑战谜题，揭示本质：
1．梯度变式，步步为营：
（1）热身探索一：
如图，有一边长4米立方体形的房间，一只蜘蛛在A处，一只苍蝇在B处。⑴试问，蜘蛛去抓苍蝇需要爬行的最短路程是多少？
⑵若苍蝇在C处，则最短路程是多少？
（2）热身探索二：
如图，有一长方体形的房间，地面为边长4米的正方形，房间高3米。一只蜘蛛在A处，一只苍蝇在C处。
试问，蜘蛛去抓苍蝇需要爬行的最短路程是多少？
（3）挑战谜题：
“蜘蛛和苍蝇”问题
在一个长方形长、宽、高 分别为3米，2米，2米长方体房间内，一蜘蛛在一面的中间，离天花板0.1米处(A点)，苍蝇在对面墙的中间,离地面0.1米处(B点),试问:蜘蛛去捉苍蝇需要爬行的最短距离是多少
探究活动：小组讨论并探究怎样利用表面展开图和两点间线段最短的原理解决节前图的著名迷题。
展开形式：以小组为单位，由组长分配好任务，先独立完成，再组内交流。
分析过程：
只要将1平面和3平面展开，根据两点之间线段最短，可知从A到B的最短路程就是线段AB=cm，则从A到C的最短路程就是线段AC=cm.本题还可以变换A，B，C的位置，从而使学生达到熟练的程度.
设计说明：
有了前面的良好的铺垫和热身，学生知道了解决问题的方法是由特殊到一般的科学方法。此时可以大胆的放手给学生，通过合作学习来完成本道题目，当然，教师必须在最后给出小结。以完善学生的知识结构。
(六)小结回顾，反思提高:
1. 本节课我们主要学习了什么
2. 通过这节课的学习你有哪些收获？ 还有哪些疑惑？
教师小结:
1.立方体的平面展开图的口诀:
平面“七刀”现; 对面“不相连”;
“日”字异层见; 整体没有“田”;
2.培养学生空间问题平面解的意识,体现转化思想.
[教学反思]:
1．兴趣是最好的老师。学生对数学的兴趣究竟来源于何处？联系学生的生活经验、社会事件和趣闻轶事，创设现实情境显然是一种有效方法，本节课中的“挑战世纪谜题”就充分的体现了这一点。然而，“问题是数学的心脏”，根据学科特点创设问题情境应是一种更有效的激趣手段。可以看出，学生对本节课的立方体的平面展开图产生了浓厚兴趣,这不仅来源于极具现实意义的学习素材，更在于问题中开放性、多样性的不同展开图所给的暇想空间、处理例题时步步追问能紧扣思维脉博，最后引伸的问题带来了挑战性的悬念。提出问题是知识之母，是由已知通向未知的桥梁。只有让学生在探索问题之中学会提出问题，才能最终体验到数学的抽象美、严谨美等内在魅力，形成稳定的、内在的学习兴趣。
2．学生是学习的主人。新课标强调，让学生在自主探索与合作交流中学会学习，提高数学素养。本节课充分体现了这一理念，学生有足够的自主探索时间，有与同学合作互动的空间，有与老师交流表达的机会。学生不是从老师那里获取知识，而是在数学活动的过程中发现规律、体验成功。而我校这几年一直在倡导“互助式合作学习模式”，目的在于通过组内交流，组外沟通，师生互动来充分培养学生的合作意识、团队精神、沟通能力。
3．教师是课堂的主导。教师是学生数学学习的组织者、引导者和合作者。然而，组织、引导本身就强调了教师必须是一个特殊的“合作者”，而不是撒手不管的“非主导者”。教师的主导作用不是体现在“主宰”课堂，而应体现在为学生提供鲜活的学习素材，体现在对学习团体的严密组织，体现在对交流活动的精心策划，体现在处理反馈信息的及时有效。例如：在开始教师巧妙的设置了一个悬念，但在最后必须通过本课所学来引导学生揭开谜题；又如在放手让学生动手剪开立方体时，教师应做好时间的控制、尽可能多的让学生展示、查漏补缺工作、及时总结等组织工作。这不仅需要教师透彻领会教材实质，更需要教师准确把握学生动向。
[专家点评]（杭州市文澜中学 王亚权）
应该说，在提高课堂教学的有效性方面，江卫华老师为我们作了一些很好的示范。有以下几点借鉴之处：
1、重视教学情境的创设
在实施新课程以来，课堂教学情境的创设已越来越受到重视，因为它不仅关系到学生学习兴趣的高低、学习积极性的调动程度，还直接影响到课堂教学效率的高低、影响到学生学习是否能主动生动地进行。从铁丝——到世纪迷题；从剪纸到展示、归纳；从例题到解答；每个环节都有所体现。这里我想说的是：课堂导入创设的问题情境，不应局限于实际的生活情境，从知识体系、前后联系等角度的引入也不失为一种好的选择。问题情境的创设不应只是在课前，可以贯穿在课堂的每个环节，另外还应该选准知识的立足点和生长点，创设情境的作用，有时不能为了情境而去创设情境，要为学习服务。
2、重视学生动手能力的培养，并较好地处理了动手与动脑的关系。
这是本节课的一个特点，也是今天最明显的一个特点，无论是概念的形成过程，还是概念的应用过程，教师都安排了一定量、一定时间的动手操作。有教（学）具演示的，有学生折纸、剪纸的，有课件展示的。同时，教师较好地处理了实验探索、实验验证与培养学生空间想象能力之间的关系。比如要判断一些图形是不是立方体的表面展开图，教师先让学生凭想象作出判断，对个别较难的则借助模型或纸片。
3、重视知识发生发展过程的展示
对于立方体表面展开图这个概念的形成，由于很难下一个简洁明了的定义，所以课本先安排了一个合作学习的栏目，让学生把一个立方体纸盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，得到一些平面图形，然后再通过体例、练习和作业题来理解概念，进一步迁移到其他直棱柱的表面展开图。教师能很好地理解了教材的编写意图，并且处理地自然、有效。另外，在讲展开图的同时，不忘了讲折叠的关系，这都是一种知识的发生和发展。
4、重视合作学习的设计
合作学习不仅可以体现在形式上，也可以体现在过程中，不仅可以学生之间的一种合作，也可以体现在师生之间的一种交流。学生的分组、分工、展示反馈、相互补充、师生小结都在体现着新课程合作学习的理念。
江老师的亮点是对展开图的充分展示、归纳，课堂教学的气氛，情知性教学（杭州的孙迪如老师），整体的教学设计。
课堂教学是一门艺术，也是一门科学，这样就不可能、也不会有十全十美，只要是真实的，就会是有遗憾的，也正因为有遗憾的，才能促进我们为之不断的完善和努力。这三节课我认为还有一些改进之处，提出来和大家商榷：
1、关于课前准备的立方体的问题
学生的立方体纸盒是怎样做出来的，做立方体的过程是不是本身就是一个先有展开图，再有立方体？教学的问题情境的创设或课堂小结是否可以安排，或应该点一下？
2、关于展开和折叠的关系问题
多种——唯一的关系。
3、关于课堂小结
是课堂教学中的一个重要环节。江老师相对做得比较好：有学生的归纳、教师的归纳、教师对学生的评价（包括小组的评价）；
4、课堂生成问题
新课程理念倡导数学教学应结合具体的教学内容，采用“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的模式展开，强调让学生经历数学知识的形成过程，更好地理解数学知识的意义，培养学生发现数学问题，探索数学关系的能力，同时培养学生良好的数学情感态度。应该说这一理念的提出是有针对性的，即从以往过分追求严谨、系统和形式化，在不同程度上存在“繁、难、偏、旧”，与社会实际脱离的封闭的数学教学中走出来，加强数学与现实的联系，注重数学从实践中来到实践中去，回归数学知识的本原和数学知识发生的原本。
反映出我们数学教学中的一个严重不足，即教师缺乏课程意识，并且不善于开发和利用课程资源。可以说，我们的数学教师往往还囿于“教材”来确定课堂教学的课题和内容，忽视了教材只是课程资源的来源之一，教师和学生都是重要的课程资源；教材是教学的手段而非目的、是工具而非枷锁；课程是在师生的交流、互动中生成的；教学从根本上说就是一个课程不断生成和创建的过程（邝孔秀，湖南师大教科院，《中学数学教学参考》2006、9）。从本节课的情况来看，这方面还是比较欠缺的，也是太顺利的，也有的是被老师忽视的。
具体地说：对展开图的11种方法要求把握问题，是不是有点高？值得思考。课堂容量大，难免就存在一些环节的走过场问题，不够展开。
对一堂课的挖掘可以从不同的角度和层面进行，由于水平有限，挖掘得不够，上课教师的许多优点没有一一点明，难免也有不当之处，敬请批评指正。谢谢！
2006、9、27
A
B
二个三型
三个二型
一四一型
一三二型
a
b
-1
7
c
C
D
B
A
4
甲
丙
乙
2
3
6
5
1
a
a
b
b
b
b
h
a
2
3
6
4
5
1
B
C
A
C
A
B
A