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第1章 三角形的初步知识 单元专题测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
2．如图，一块玻璃碎成三片，小智只带了第③块去玻璃店，就能配一块一模一样的玻璃，你能用三角形的知识解释，这是为什么？（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点B，E，C，F四点在同一条直线上，AC∥DF，AC =DF，添加一个条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．BE=CF B．AB=DE C．∠B=∠DEF D．∠A=∠D
4．根据下列条件能画出唯一的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两个锐角对应相等 B．一个锐角和斜边对应相等
C．两条直角边对应相等 D．一条直角边和斜边对应相等
6．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，AC＝7 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AC＝4 D．∠A＝∠B，AB＝6
7．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠ADC＋∠ABC＝180°，有下列结论：①CD＝CB；②AD＋AB＝2AE；③∠ACD＝∠BCE；④AB－AD＝2BE，其中正确的是（ ）
A．② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
8．如图，已知直线AB：y＝ 分别交x轴、y轴于点B、A两点，C（3，0），D、E分别为线段AO和线段AC上一动点，BE交y轴于点H，且AD＝CE．当BD+BE的值最小时，则H点的坐标为（ ）
A． B．（0，5） C．（0，4） D．
9．如图，在锐角△ABC中，∠BAC=45°，AB=2，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ）
A．1 B． C．1.5 D．
10．已知下列四个命题：
①已知三条线段的长为 、 、 ，且 ，则以这三条线段为三边可以组成三角形；②有两边和其中一边上的高线对应相等的两个三角形全等；③顶角相等的两个等腰三角形全等；④有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等．其中真命题是（ ）．
A．①②③ B．①③ C．②④ D．④
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．一个三角形的三边长都是整数，其中两边长分别为1，2，则这个三角形的第三边长为 ．
12．如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于 ．
13．如图， 的三边 的长分别为 ，其三条角平分线交于点O，则 = .
14．如图，在中，，AD是的平分线，延长AD至点E，使，连接BE，若的面积为9．则的面积是 ．
15．如图，在中，，以AC为边，作，满足，点E为BC上一点，连接AE，，连接DE．下列结论中正确的是 ．（填序号）
①；②；③若，则；④．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=5，PQ=AB，点P和点Q分别在AC和AC 垂线AD上移动，则当AP= 时，才能使△ABC和△APQ全等.
三、综合题（本大题共7小题，共66分）
17．如图，已知，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，∠A＝∠D.
（1）求证：AC∥DE；
（2）若BF＝21，EC＝9，求BC的长.
18．已知：如图，AB∥CD，E是AB的中点，CE=DE．求证：
（1）∠AEC=∠BED；
（2）AC=BD．
19．已知：如图，AB=AC，AE=AF，连结BF，CE，交于O，连结AO．求证：
（1）∠B=∠C
（2）AO平分∠BAC
20．如图，AD是△ABC中线，DE是△ADB的中线，
（1）图中有几对面积相等的三角形？把它们写出来；
（2）如果S△ADB＝12，求△ABC的面积.
21．如图，中，，，E点为射线上一动点，连结，作且．
（1）如图1，过F点作交于D点，求证：；
（2）如图2，连结交于G点，若，，求证：E点为中点．
（3）当E点在射线上，连结与直线交于G点，若，，则 ．（直接写出结果）
22．已知 的面积是 ，请完成下列问题：
（1）如图1所示，若 是 的 边上的中线，则 的面积 的面积．（填“ ”“ ”或“ ”）
（2）如图2所示，若 ， 分别是 的 ， 边上的中线，求四边形 的面积可以用如下方法：连接 ，由 得： ，同理： ，设 ， 则 ， ．由题意得： ， ，可列方程组为 ，解得 ，通过解这个方程组可得四边形 的面积为 ．
（3）如图3所示， ， ，请你计算四边形 的面积，并说明理由．
23．如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点E在BC上，AE的延长线交BD于点F．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）探究 的度数；
（3）探究EF、DF、CF之间的关系．
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第1章 三角形的初步知识 单元专题测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵13+11＞20，∴长度分别为13、11、20的三根木棍能摆成三角形，故此选项符合题意；
B、∵3+7=10，∴长度分别为3、7、10的三根木棍不能摆成三角形，故此选项不符合题意；
C、∵6+8＜16，∴长度分别为6、8、10的三根木棍不能摆成三角形，故此选项不符合题意；
D、∵3+3＜7，∴长度分别为3、3、7的三根木棍不能摆成三角形，故此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，故用长度较小的两个木棍的长度和与最长木棍的长度进行比较即可得出答案.
2．如图，一块玻璃碎成三片，小智只带了第③块去玻璃店，就能配一块一模一样的玻璃，你能用三角形的知识解释，这是为什么？（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：第③块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，
则可以根据ASA来配一块一样的玻璃，故应带③去.
故答案为：A.
【分析】直接根据全等三角形的判定定理进行判断.
3．如图，点B，E，C，F四点在同一条直线上，AC∥DF，AC =DF，添加一个条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．BE=CF B．AB=DE C．∠B=∠DEF D．∠A=∠D
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】∵AC∥DF ∴∠ACB=∠F 且 AC =DF，
A项 BE=CF 则BE+EC=CF+EC，即BC=EF， 根据SAS判定 △ABC≌△DEF ；
B项 AB=DE，SSA并不能判定全等；
C项 ∠B=∠DEF ，根据AAS判定 △ABC≌△DEF；
D项 ∠A=∠D ，根据ASA判定 △ABC≌△DEF.
故答案为：B.
【分析】根据 AC∥DF ，得到∠ACB=∠F，根据选项逐一分析即可.
4．根据下列条件能画出唯一的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A.，不满足三边关系，本选项不合题意；
B.边边角三角形不是唯一确定的，本选项不合题意；
C.角角角不能唯一确定三角形，本选项不合题意；
D.边角边，能唯一确定三角形，本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据三角形全等的判定方法对每个选项一一判断即可。
5．下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两个锐角对应相等 B．一个锐角和斜边对应相等
C．两条直角边对应相等 D．一条直角边和斜边对应相等
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、两个锐角对应相等，没有边之间的关系，不能判定两个直角三角形全等，故A符合题意；
B、一个锐角和斜边对应相等，利用AAS可以判定两个直角三角形全等，故B不符合题意；
C、两条直角边对应相等，利用SAS可以判定两个直角三角形全等，故C不符合题意；
D、一条直角边和斜边对应相等，利用HL可以判定两个直角三角形全等，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据全等三角形的判定“①三边对应相等的两个三角形全等；②两边及夹角对应相等的两个三角形全等；③两角及夹边对应相等的两个三角形全等；④两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；⑤斜边和直角边分别对应相等的两个直角三角形全等”对各选项分别判断即可.
6．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，AC＝7 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AC＝4 D．∠A＝∠B，AB＝6
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、3+4＜7，不符合三角形的三边关系定理，不能画出三角形，故本选项不符合题意；
B、AB＝4，BC＝3，∠A＝30°，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意；
C、∠A＝60°，∠B＝45°，AC＝4，符合全等三角形的判定定理AAS，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意；
D、∠A＝∠B，AB＝6，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据三角形的三边关系可判断A；根据全等三角形的判定定理可判断B、C、D.
7．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠ADC＋∠ABC＝180°，有下列结论：①CD＝CB；②AD＋AB＝2AE；③∠ACD＝∠BCE；④AB－AD＝2BE，其中正确的是（ ）
A．② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：在EA上截取EF=BE，连接CF，
∵CE⊥AB，
∴CF=CB，
∴∠CFB=∠B，
∵∠AFC+∠CFB=180°，∠ADC+∠ABC=180°，
∴∠D=∠AFC，
∵AC平分∠BAD，
即∠DAC=∠FAC，
在△ACD和△ACF中，
，
∴△ACD≌△ACF（AAS），
∴CD=CF，
∴CD=CB，
故①正确；
∴AD=AF，
∴AD+AB=AF+AE+BE=AF+EF+AE=AE+AE=2AE.
故②正确；
根据已知条件无法证明∠ACD=∠BCE，
故③错误；
AB-AD=AB-AF=BF=2BE，
故④正确.
其中正确的是①②④.
故答案为：C.
【分析】在EA上截取EF=BE，连接CF，根据“AC平分∠BAD”和“∠ADC＋∠ABC＝180°”证明出△ACD≌△ACF，故①正确；由①可知，AD=AF，再根据线段间的和差关系可得：AD＋AB＝2AE，AB－AD＝2BE，故②④正确.
8．如图，已知直线AB：y＝ 分别交x轴、y轴于点B、A两点，C（3，0），D、E分别为线段AO和线段AC上一动点，BE交y轴于点H，且AD＝CE．当BD+BE的值最小时，则H点的坐标为（ ）
A． B．（0，5） C．（0，4） D．
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：由题意A（0， ），B（0﹣3，0），C（3，0），
∴AB＝AC＝8，
取点F（3，8），连接CF，EF，BF．
∵C（3，0），
∴CF∥OA，
∴∠ECF＝∠CAO，
∵AB＝AC，AO⊥BC，
∴∠CAO＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠ECF，
∵CF＝AB＝8，AD＝EC，
∴△ECF≌△DAB（SAS），
∴BD＝EF，
∴BD+BE＝BE+EF，
∵BE+EF≥BF，
∴BD+BE的最小值为线段BF的长，
∴当B，E，F共线时，BD+BE的值最小，
∵直线BF的解析式为：y＝ x+4，
∴H（0，4），
∴当BD+BE的值最小时，则H点的坐标为（0，4），
故答案为：C．
【分析】根据题意，首先证明AB=AC=8，取点F（3，8），证明得到△ECF≌△DAB，即可得到BD=EF，即BD+BE的最小值为BF的长度，得到答案即可。
9．如图，在锐角△ABC中，∠BAC=45°，AB=2，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ）
A．1 B． C．1.5 D．
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过B作BF'⊥AC交AC于F'，交AD于M'，过M'作M'N'⊥AB，
∵AD平分∠BAC，
以M为圆心，以MN为半径画弧交AC于F点，
则BM+MN=BM+MF，BM'+M'N'=BF'，
∴BF'AB2=AF'2+BF'2，
∵∠A=45°，
【分析】根据垂线段最短，结合AD是∠BAC的平分线， 当BF垂直于AC时，BM+MN是最小值，即BF取最小值，然后结合∠BAC=45°，利用勾股定理即可求出最短距离.
10．已知下列四个命题：
①已知三条线段的长为 、 、 ，且 ，则以这三条线段为三边可以组成三角形；②有两边和其中一边上的高线对应相等的两个三角形全等；③顶角相等的两个等腰三角形全等；④有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等．其中真命题是（ ）．
A．①②③ B．①③ C．②④ D．④
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定
【解析】【解答】说法①只考虑了两边之和大于第三边，未考虑两边之差小于第三边，所以错误；说法②错误；说法③顶角相等的两个等腰三角形不一定全等，错误；说法④正确.
故答案为：D.
【分析】三角形两边之和大于第三边，同时两边之差小于第三边，对于答案①只考虑了两边之和大于第三边，未考虑两边之差小于第三边；②有两边和其中一边上的高线对应相等的两个三角形，当其中一个的高线在三角形内部，一个在三角形的外部的时候，它们是不全等的；③顶角相等的两个等腰三角形只能保证三个角对应相等，即只能保证两个三角形的形同，不能保证两个三角形的大小一致；④有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形利用SAS可以判断出它们全等。
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．一个三角形的三边长都是整数，其中两边长分别为1，2，则这个三角形的第三边长为 ．
【答案】2
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设这个三角形的第三边长为x，
根据题意可得：2-1∴1∵三角形的三边长都是整数，
∴x=2，
故答案为：2.
【分析】设这个三角形的第三边长为x，利用三角形三边的关系求出112．如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于 ．
【答案】2
【知识点】点到直线的距离；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作PE⊥OA于E，
∵CP∥OB，
∴∠OPC=∠POD，
∵P是∠AOB平分线上一点，
∴∠POA=∠POD=15°，
∴∠ACP=∠OPC+∠POA=30°，
∴PE= PC=2，
∵P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PD=PE=2，
故答案为2．
【分析】根据题意求出∠OPC=∠POD，再求出PE=2，最后根据角平分线的性质求解即可。
13．如图， 的三边 的长分别为 ，其三条角平分线交于点O，则 = .
【答案】4：5：6
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，
∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，
∴OD=OE=OF，
∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=（ AB OD）：（ BC OF）：（ AC OE）
=AB：BC：AC=40：50：60= .
故答案为： .
【分析】过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，根据角平分线的性质得出OD=OE=OF，然后根据三角形面积公式列比例式，再化简，即可得出结果.
14．如图，在中，，AD是的平分线，延长AD至点E，使，连接BE，若的面积为9．则的面积是 ．
【答案】12
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC交AC的延长线于点F，作DG⊥AB垂足为G，
∵ AD是的平分线，
∴DF=DG，
∵AB=3AC，
∴S△ABD=3S△ACD，
∵AD=DE，
∴S△ABD=S△EBD=9，
∴S△ACD=3，
∴的面积=3+9=12.
故答案为：12.
【分析】过点D作DF⊥AC交AC的延长线于点F，作DG⊥AB垂足为G，由角平分线的性质可得DF=DG，结合AB=3AC可得S△ABD=3S△ACD，由AD=DE，根据等底同高可得S△ABD=S△EBD=9，从而求出S△ACD=3，根据的面积=S△ACD+S△ABD即可求解.
15．如图，在中，，以AC为边，作，满足，点E为BC上一点，连接AE，，连接DE．下列结论中正确的是 ．（填序号）
①；②；③若，则；④．
【答案】②③④
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：延长至，使，设与交于点，如图所示：
，
，
垂直平分，
，，
，
，
，
，
（SAS），
，，②正确；
，
，
平分，
当时，，则，
当时，，则无法说明，①不正确；
设，则，
，
，
，
，
，
，③正确；
，
，
，
，
，
，④正确，
故答案为：②③④
【分析】延长至，使，设与交于点，先根据垂直平分线的性质得到，，进而结合题意得到，再运用三角形全等的判定与性质证明（SAS）即可得到，，从而即可判断②；先根据等腰三角形的性质得到，进而结合题意即可判断①；设，则，根据三角形内角和定理即可得到，进而运用平行线的性质得到，再结合题意即可判断③；运用三角形全等的性质得到，进而结合题意运用边的转化即可判断④。
16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=5，PQ=AB，点P和点Q分别在AC和AC 垂线AD上移动，则当AP= 时，才能使△ABC和△APQ全等.
【答案】5或10
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：当AP=5或10时，△ABC和△PQA全等.
理由：∵∠C=90°，AD⊥AC
∴∠C=∠QAP=90°
①当AP=5=BC时，
在Rt△ACB和Rt△QAP中
∴Rt△ACB≌Rt△QAP（HL）；
②当AP=10=AC时，
在Rt△ACB和Rt△PAQ中
∴Rt△ACB≌Rt△PAQ（HL）.
【分析】当AP=5或10时，△ABC和△PQA全等，利用“HL”即可说明理由。
三、综合题（本大题共7小题，共66分）
17．如图，已知，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，∠A＝∠D.
（1）求证：AC∥DE；
（2）若BF＝21，EC＝9，求BC的长.
【答案】（1）证明：在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SAS），
∴∠ACB=∠DEF，
∴AC∥DE.
（2）解：∵△ABC≌△DFE，
∴BC=EF，
∴BE=CF，
∵BF=21，EC=9，
∴BE+CF=12，
∴BE=CF=6，
∴BC=BE+CE=6+9=15.
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）首先根据SAS判断出△ABC≌△DFE ，根据全等三角形的对应角相等得 ∠ACB=∠DEF， 进而根据内错角相等，两直线平行得出AC∥DE；
（2）根据全等三角形的对应边相等得BC=EF，则BE=CF，进而根据线段的和差即可求出BC的长.
18．已知：如图，AB∥CD，E是AB的中点，CE=DE．求证：
（1）∠AEC=∠BED；
（2）AC=BD．
【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠AEC=∠ECD，∠BED=∠EDC，
∵CE=DE，
∴∠ECD=∠EDC，
∴∠AEC=∠BED；
（2）证明：∵E是AB的中点，
∴AE=BE，
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（SAS），
∴AC=BD
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据CE=DE得出∠ECD=∠EDC，再利用平行线的性质进行证明即可；（2）根据SAS证明△AEC与△BED全等，再利用全等三角形的性质证明即可．
19．已知：如图，AB=AC，AE=AF，连结BF，CE，交于O，连结AO．求证：
（1）∠B=∠C
（2）AO平分∠BAC
【答案】（1）证明：在△AEC与△AFB中，∵AE=AF，∠EAF=∠EAF，AC=AB，∴△AEC≌△AFB（SAS），∴∠C=∠B；
（2）证明：∵AB=AC，AE=AF，∴BE=CF．
在△BEO和△CFO中，∵∠B=∠C，∠EOB=∠FOC，BE=CF，∴△BEO≌△CFO，∴BO=CO．
在△AOB和△AOC中，∵AB=AC，AO=AO，OB=OC，∴△AOB≌△AOC，∴∠BAO=∠CAO，∴AO平分∠BAC．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）由SAS证得△AEC≌△AFB，即可得出结论；（2）先证△EBO≌△FCO，得出OB=OC，再由SSS证明△AOB≌△AOC，即可得出结论．
20．如图，AD是△ABC中线，DE是△ADB的中线，
（1）图中有几对面积相等的三角形？把它们写出来；
（2）如果S△ADB＝12，求△ABC的面积.
【答案】（1）解：图中有2对面积相等的三角形，
它们为：S△ABD＝S△ACD；S△EBD＝S△EAD；
（2）解：S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝2S△ABD＝2×12＝24.
【知识点】三角形的面积
【解析】【分析】（1）利用“三角形的中线把这个三角形分成两个面积相等的三角形”这一性质，即可得到答案（2）利用“三角形的中线把这个三角形分成两个面积相等的三角形”这一性质，即可求得答案.
21．如图，中，，，E点为射线上一动点，连结，作且．
（1）如图1，过F点作交于D点，求证：；
（2）如图2，连结交于G点，若，，求证：E点为中点．
（3）当E点在射线上，连结与直线交于G点，若，，则 ．（直接写出结果）
【答案】（1）解：证明：∵FD⊥AC，
∴∠FDA=90°，
∴∠DFA+∠DAF=90°，
同理，∠CAE+∠DAF=90°，
∴∠DFA=∠CAE，
在△AFD和△EAC中，
，
∴△AFD≌△EAC（AAS），
∴DF=AC，
∵AC=BC，
∴FD=BC；
（2）证明：作FD⊥AC于D，
由（1）得，FD=AC=BC，AD=CE，
在△FDG和△BCG中，
，
∴△FDG≌△BCG（AAS），
∴DG=CG=1，
∴AD=2，
∴CE=2，
∵BC=AC=AG+CG=4，
∴E点为BC中点；
（3）或
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（3）当点E在CB的延长线上时，过F作FD⊥AG的延长线交于点D，
BC=AC=4，CE=CB+BE=7，
由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，
∴CG=GD，AD=CE=7，
∴CG=DG=1.5，
∴，
同理，当点E在线段BC上时，.
故答案为：或.
【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠DFA=∠CAE，由垂直的概念可得∠ADF=∠ECA=90°，结合AF=AE，利用AAS证明△AFD≌△EAC，得到DF=AC，然后结合AC=BC可得结论；
（2）作FD⊥AC于D，由（1）得：FD=AC=BC，AD=CE，证明△FDG≌△BCG，得到DG=CG=1，则AD=2，CE=2，BC=AC=AG+CG=4，据此证明；
（3）当点E在CB的延长线上时，过F作FD⊥AG的延长线交于点D，BC=AC=4，CE=CB+BE=7，根据全等三角形的性质可得CG=GD，AD=CE=7，则CG=DG=1.5，据此求解；同理可得当点E在线段BC上时对应的值.
22．已知 的面积是 ，请完成下列问题：
（1）如图1所示，若 是 的 边上的中线，则 的面积 的面积．（填“ ”“ ”或“ ”）
（2）如图2所示，若 ， 分别是 的 ， 边上的中线，求四边形 的面积可以用如下方法：连接 ，由 得： ，同理： ，设 ， 则 ， ．由题意得： ， ，可列方程组为 ，解得 ，通过解这个方程组可得四边形 的面积为 ．
（3）如图3所示， ， ，请你计算四边形 的面积，并说明理由．
【答案】（1）＝
（2）；40
（3）解：如图3，连结 ，
，
∴ ，
，
∴ ，
设 ， ，则 ， ，
由题意得： ， ，
可列方程组为： ，
解得： ，
．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：（1）如图1，过A作 于H，
是 的 边上的中线，
，
， ，
∴ ，
故答案为： ；（2）解方程组得 ，
，
，
故答案为： ，40；
【分析】（1）根据等底等高的两个三角形面积相等，三角形的中线把三角形的面积分为相等的两部分，所以 ；（2）根据三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积的比等于底的比，即可得到结果；（3）连结 ，由 ，得到 ，同理可得 ，设 ， ，则 ， ，由题意得列方程组即可得到结果．
23．如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点E在BC上，AE的延长线交BD于点F．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）探究 的度数；
（3）探究EF、DF、CF之间的关系．
【答案】（1）证明：∵△ABC和△CDE都为等边三角形，
∴∠ACE=∠BCD=60°，AC=BC，CE=CD，
在△ACE和△BCD中
，
∴△ACE≌△BCD；
（2）解：延长AF到Q，使FQ=DF，连接DQ，
∵△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠CBD，
又∵∠AEC=∠BEF，
∴∠AFB=∠ACB=60°．
∴∠DFQ=60°，
∴△DFQ是等边三角形，
∴∠FDQ=∠FQD=60°，DF=DQ，
∴∠CDF=∠EDQ，
在△CDF和△EDQ中
，
∴△CDF≌△EDQ，
∴∠CFD=∠DQF=60°；
（3）解：∵△CDF≌△EDQ，
∴CF=EQ，
∵EQ=DF+FQ=EF+DF，
∴CF=EF+DF．
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质和“SAS”即可证明△ACE≌△BCD；（2）延长AF到Q，使FQ=DF，连接DQ，先证明△DFQ是等边三角形，再根据“SAS”证明△CDF≌△EDQ，即可求出∠CFD的度数；（3）由△CDF≌△EDQ，可得CF=EQ，进而可得到EF、DF、CF之间的关系．
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