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浙教版2024-2025学年八年级上数学 专题三：等腰三角形共顶角全等三角形
解析版
解答题（本题有8小题，每题15分，共120分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
1．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，BD⊥AE交AE延长线于点D，连接CD，过点C作CF⊥CD交AD于F．
（1）如图1，①求∠EBD的度数；②求证：AF＝BD；
（2）如图2，DM⊥AC交AC的延长线于点M，请直接写出AB，AC，AM之间的数量关系为 ．
【答案】（1）①解：∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵AE平分∠BAC，
∴，
∵BD⊥AD，
∴∠ADB=90°，
∴∠EBD=180°-∠ADB-∠DAB-∠CBA=180°-90°-22.5°-45°=22.5°；
②证明：∵CF⊥CD，
∴∠FCD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACF+∠FCE=∠BCD+∠FCE，
即∠ACF=∠BCD，
由①得∠EBD=∠CAE=22.5°，
在△ACF和△BCD中，，
∴△ACF≌△BCD（ASA），
∴AF=BD.
（2）AB+AC＝2AM
【解析】【解答】解：（2）如图所示，过点D作DH⊥AB于点H，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AC，DH⊥AB，
∴DM=DH，
∵△ACF≌△BCD，
∴CF=CD，
又∵CF⊥CD，
∴，
∵∠CAE=22.5°，
∴∠FCA=∠CFD-∠CAE=45°-22.5°=22.5°，
即∠FCA=∠CAE，
∴AF=CF，
由②得AF=BD，
∴DC=DB，
在Rt△CDM和Rt△BDH中，
，
∴Rt△CDM≌Rt△BDH（HL），
∴CM=BH，
在Rt△ADM和Rt△ADH中，
，
∴Rt△ADM≌Rt△ADH（HL），
∴AM=AH，
∴AB+AC=AH+BH+AC=AM+CM+AC=AM+AM=2AM．
∴AB、AC、AM之间的数量关系为AB+AC=2AM；
故答案为：AB+AC=2AM.
2．如图，点C为线段上一点，是等边三角形，与相交于点E．
（1）求证：；
（2）求证：平分；
（3）若，求点E到直线的距离．
【答案】（1）证明：∵是等边三角形，
∴.
∴.
∴.
∴.
∴．
（2）证明：过点C作，垂足分别为H，I，
∵，
∴
∴．
∴．
∴平分．
（3）解：如图，，
∵，
∴.
∵，
，
∴．
∴．
∵，
由（2）平分，
∴，．
∴．
∴．
∴点E到直线的距离为．
3．在中，，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作，使，，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段CB上，且时，证明；
（2）设，．
①如图2，当点D在线段CB上，时，请你直接写出与之间的数量关系；（无需证明）
②如图3，当点D在线段CB的延长线上，时，写出此时与之间的数量关系并证明．
【答案】（1）解：证明：∵，，
∴．
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：
①由（1）同理可得，
∴，即，
∵，
∴；
②和（1）同理可得，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴．
4．如图，直线AM⊥AN，AB平分∠MAN，过点B作BC⊥BA交AN于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以2cm/s的速度沿射线AN方向运动，动点D以1cm/s的速度沿直线AM上运动；已知AC=6cm，设动点D，E的运动时间为t.
（1）试求∠ACB的度数；
（2）若S△ABD：S△BEC＝2：3，试求动点D，E的运动时间t的值；
（3）试问当动点D，E在运动过程中，是否存在某个时间t，使得△ADB与△BEC全等？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说出理由．
【答案】（1）解：∵AM⊥AN，AB平分∠MAN，
∴∠BAC＝45°，
∵BC⊥BA，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝45°
（2）解：作BF⊥AM，BG⊥AC，
∵S△ABD：S△BEC＝2：3，
∴AD：CE＝2：3，
当E点在C点左侧时，
∵AD＝t，CE＝6－2t，
3t＝2（6－2t），
解得：；
当E点在C点右侧时，CE＝2t－6，
∴3t＝2（2t－6），解得t＝12．
（3）解：∵AB＝BC，∠BAF＝∠BCA＝45°，
∴当AD＝CE时，△ADB≌△BEC（SAS），
即t＝6-2t，
解得t=2s，
当点D在AM的延长线上时，2t-6=t，
解得t=6s，
故满足 △ADB与△BEC全等 时的t的值为2s或6s.
5．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一动点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE，设∠BAC＝α，∠BCE＝β。
（1）当点D在线段BC上，如图1，如果α＝90°，则β＝ 度
当点D在线段BC上，如图2，如果α＝60°，则β＝ 度
当点D在线段BC上，如图3，α，β之间的数量关系是：
（2）当点D在线段CB延长线上时，如图4，猜想α，β之间的数量关系并证明
（3）当点D在线段BC延长线上时，如图5，猜想α，β之间的数量关系并证明
【答案】（1）90；120；互补
（2）解：
证明：
在 和 中
（3）解：
证明：
在 和 中
【解析】【解答】解：（1）当点D在线段BC上，∠α=90°
∴∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC
∴∠BAD=∠CAE
∴在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE
∴∠B=∠ACE
∵∠BAC=90°
∴∠B+∠ACB=90°
∴∠ACB+∠ACE=90°
∴∠BCE=∠β=90°
当点D在线段BC上，∠α=60°
∴∠BAC=∠DAE=60°
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC
∴∠BAD=∠CAE
∴在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE
∴∠B=∠ACE
∵∠BAC=60°
∴∠B+∠ACB=120°
∴∠ACB+∠ACE=120°
∴∠BCE=∠β=120°
当点D在线段BC上时，∠α+∠β=180°
即α，β之间的数量关系为：互补
故填：90，120，互补
6．
（1）如图1，已知和为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连结BE.
①求证：AD=BE.
②∠AEB的度数为 ▲ .
（2）如图2，若和为等腰三角形，且，点A，D，E在同一直线上，于点，连结BE.
①计算∠AEB的度数.
②写出线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）①证明，如图：
∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE；
∵AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE.
②60°.
（2）解：①在题图2中，
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACD=∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB=∠BCE；
∵CA=CB，∠ACD=∠BCE，CD=CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC.
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°.
∵点A，D，E在同一直载上，
∴∠ADC=135°，
∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°.
②AE=BE+2CM；理由如下：
∵CD=CE，CM⊥DE于M，
∴DM=ME；
∵∠DCE=90°，
∴DM=ME=CM，
∴AE=AD+DE=BE+2CM.
【解析】【解答】解：（1）②解：∵△ACD≌△BCE
∴∠ADC=∠BEC；
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°；
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=120°，
∴∠BEC=120°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°.
故答案为：60°.
7．如图1，和均为等腰三角形，，，，且点A、D、E在同一直线上，连结
（1）求证：.
（2）如图2，若，于.若，，试求的长.
（3）如图3，若，于，于，，，直接写出的值（用，的代数式表示）.
【答案】（1）证明：∵，∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：设AE交BC于点H，如图2所示：
由（1）得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）
【解析】【解答】解：（3）∵和均为等腰三角形，且，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∴，
∴．
连接．
由（1）知，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
8．如图，是等腰直角三角形，，，在线段上，是线段的一点．现以为直角边，为直角顶点，在的下方作等腰直角，连接．
（1）如图，求证：≌．
（2）当、、三点共线时，如图，若，求的长．
（3）如图，若，连接，当运动到使得时，求的面积．
【答案】（1）证明：如图1，
，都是等腰三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌；
（2）解：如图2，
，，
，
≌，
，
，
，
．
（3）解：如图3，作于．
，
，
≌，
，，
，，
，，
，，，
，，
是等边三角形，
，
．
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浙教版2024-2025学年八年级上数学 专题三：等腰三角形共顶角全等三角形
考试时间：60分钟 满分：120分
解答题（本题有8小题，每题15分，共120分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
1．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，BD⊥AE交AE延长线于点D，连接CD，过点C作CF⊥CD交AD于F．
（1）如图1，①求∠EBD的度数；②求证：AF＝BD；
（2）如图2，DM⊥AC交AC的延长线于点M，请直接写出AB，AC，AM之间的数量关系为 ．
2．如图，点C为线段上一点，是等边三角形，与相交于点E．
（1）求证：；
（2）求证：平分；
（3）若，求点E到直线的距离．
3．在中，，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作，使，，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段CB上，且时，证明；
（2）设，．
①如图2，当点D在线段CB上，时，请你直接写出与之间的数量关系；（无需证明）
②如图3，当点D在线段CB的延长线上，时，写出此时与之间的数量关系并证明．
4．如图，直线AM⊥AN，AB平分∠MAN，过点B作BC⊥BA交AN于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以2cm/s的速度沿射线AN方向运动，动点D以1cm/s的速度沿直线AM上运动；已知AC=6cm，设动点D，E的运动时间为t.
（1）试求∠ACB的度数；
（2）若S△ABD：S△BEC＝2：3，试求动点D，E的运动时间t的值；
（3）试问当动点D，E在运动过程中，是否存在某个时间t，使得△ADB与△BEC全等？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说出理由．
5．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一动点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE，设∠BAC＝α，∠BCE＝β。
（1）当点D在线段BC上，如图1，如果α＝90°，则β＝ 度
当点D在线段BC上，如图2，如果α＝60°，则β＝ 度
当点D在线段BC上，如图3，α，β之间的数量关系是：
（2）当点D在线段CB延长线上时，如图4，猜想α，β之间的数量关系并证明
（3）当点D在线段BC延长线上时，如图5，猜想α，β之间的数量关系并证明
6．
（1）如图1，已知和为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连结BE.
①求证：AD=BE.
②∠AEB的度数为 ▲ .
（2）如图2，若和为等腰三角形，且，点A，D，E在同一直线上，于点，连结BE.
①计算∠AEB的度数.
②写出线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由.
7．如图1，和均为等腰三角形，，，，且点A、D、E在同一直线上，连结
（1）求证：.
（2）如图2，若，于.若，，试求的长.
（3）如图3，若，于，于，，，直接写出的值（用，的代数式表示）.
8．如图，是等腰直角三角形，，，在线段上，是线段的一点．现以为直角边，为直角顶点，在的下方作等腰直角，连接．
（1）如图，求证：≌．
（2）当、、三点共线时，如图，若，求的长．
（3）如图，若，连接，当运动到使得时，求的面积．
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