中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2024-2025学年八年级上数学培优 专题一：全等三角形辅助线
考试时间：150分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，BE平分∠ABC，AD⊥BE的延长线于点D，若AD=2，则△ABE的面积为（ ）．
A．4 B．6 C．2 D．2
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题）
2．如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，，交于点F．则下列说法正确的有（ ）
①；②；③若，则；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图所示，在△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于点D，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有下列结论：①DE=DF；②DE+DF=AD；③DM平分∠EDF；④AB+AC=2AE.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②PF＝PA；③AH+BD＝AB；④S四边形ABDE＝S△ABP，其中正确的是（ ）
A．①③ B．①②④ C．①②③ D．②③
5．如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：①；②；③；④和都是等腰三角形．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（第5题） （第6题） （第7题） （第8题）
6．如图，已知中，，直角的顶点P是的中点，两边分别交于点E，F，给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④的最小值为1．上述结论正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，在中，，点是上一点，交延长线于点，连接交于点，已知，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，任意画一个的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，以下结论：①；②AP平分∠BAC；③；④；⑤，正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
9．如图，过边长为的等边三角形的边上一点，作于点为延长线上一点，当时，交于，则的长为（ ）
A． B． C． D．不能确定
10．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC、BM是AC边的中线，有AD⊥BM；垂足为点E交BC于点D．且AH平分∠BAC交BM于N．交BC于H．连接DM．则下列结论：①∠AMB＝∠CMD；②HN＝HD；③BN＝AD；④∠BNH＝∠MDC；错误的有（ ）个．
A．0 B．1 C．3 D．4
（第9题） （第10题） （第11题） （第12题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在四边形中，对角线平分，，则 ．
12．如图，在等腰三角形中，，D为延长线上一点，且，垂足为C，连接，若，则的面积为 ．
13．如图，中，，于点，平分，交与点，于点，且交于点，若，，则 ．
（第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，连接DE，EF，FD，已知点B和点F关于直线DE对称.若D为AB中点，AB＝13，BC＝10，求CE＝ ，AF＝ .
15．如图，中，，点D在边上，连接，，点E、点F在线段上，.若，则 .
16．如图，中，，点D在BC上，，且，过E作，EF交AD于点F，若，，，则DF的长 .
三、解答题（本题有8小题，每题9分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，∠BCD＝90°，BC＝CD，CD⊥AD，AC、BD交于点E，DA＝DE，BN平分∠DBC，交AC于点M，交DC于点N．
（1）求∠ACD的度数；
（2）求证：DB＝DA+DC；
（3）求证：AE＝2MN．
18． 在△ABC中，AB＜AC，AD为△ABC的角平分线，点E是BC边的中点．过点E作AD延长线的垂线，垂足为点G，交AC于点F，交AB的延长线于点H．
（1）求证：∠AHF＝∠AFH；
（2）探究：在线段EH上是否能找到一点P，使得△BEP≌△CEF．如果能够，请找出并证明之；
（3）证明：BH＝CF．
19．如图，在四边形中，，交于点，交的延长线于点，点为的中点．
（1）求证：点也是的中点；
（2）若，且，，，求的长；
（3）在（2）的条件下，若线段上有一点，使得是等腰三角形，求的长．
20．在中，，点是边上一点，连接，过点作直线的垂线，垂足为点
（1）如图1，若于点，求证：；
（2）如图2，在线段上截取，连接交于点，求证：；
（3）如图3，若点为的中点，点是线段延长线上的一点，连接，求，，的数量关系
21．在中，，是上一点，且．
（1）如图，延长至，使，连接求证：；
（2）如图，在边上取一点，使，求证：；
（3）如图，在（2）的条件下，为延长线上一点，连接，，若，猜想与的数量关系并证明．
22．在中，，．点是所在平面内一点，且．
图1 图2 图3
（1）如图1，当点在边上，求证；
（2）如图2，当点在外部，连接，若，，求线段的长；
（3）如图3，当点在内部，连接，若，，求点到的距离．
23．在中，，，点为上一点，点为上一点，线段，交于点．
（1）若为的角平分线．
①如图，已知，求证：；
②如图，已知，求证：；
（2）如图，若为的中线，且，试探究，，三条线段的数量关系是 .
24．已知，，，为射线上一点，连接，将绕点逆时针旋转，点落在点处，连接交射线于点．
（1）如图，当点与点重合时，求的长；
（2）如图，当点在线段上时，连接，在点的运动过程中，请问的面积是否会发生变化？如果不会，求出它的面积；如果会，请说明理由；
（3）当时，求的长．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2024-2025学年八年级上数学培优 专题一：全等三角形辅助线
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，BE平分∠ABC，AD⊥BE的延长线于点D，若AD=2，则△ABE的面积为（ ）．
A．4 B．6 C．2 D．2
【答案】A
【解析】延长AD与BC的延长线交于点G，过点E作 于F，
易得 是等腰直角三角形，∴
∵BE平分∠ABC，EC⊥BC， ，
∴EF=EC，，
∴
设
则 ， ，
∵AD⊥BE，
∴ ，
∵在△ABD和△GBD中，
∴△ABD≌△GBD（ASA）
∴DG=AD=2，
∴AG=4，
∵在直角△ACG中， ACG=90°， ，AG=4， ，
∴
∴
∴ =4.
故答案为：A.
2．如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，，交于点F．则下列说法正确的有（ ）
①；②；③若，则；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】①在中，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴
，
故①正确，符合题意；
②若，
∴，
∴，
∴，
而由已知条件无法证明，
故②错误，不符合题意；
③如图，延长至G，使，连接，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵为角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故③正确，符合题意；
④如图，作的平分线交于点G，
由①得，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故④正确，符合题意；
故答案为：C．
3．如图所示，在△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于点D，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有下列结论：
①DE=DF；②DE+DF=AD；③DM平分∠EDF；④AB+AC=2AE.
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】AD平分∠BAC，DE⊥AB ， DF⊥AC ，
DE=DF，
故①正确，符合题意；
∠BAC=60°， AD平分∠BAC，
DE⊥AB ， DF⊥AC ，
，
故 ② 正确，符合题意；
由题意可得
设DM平分∠EDF，则可得∠ADM=30°，∠EDM=60°，
∠E=∠BMD=90°，
∠EBM=120°，
∠ABC=60°，
由于不知道∠ABC是否为60°，
不能判定DM平分∠EDF，故③ 错误，不符合题意；
连接BD、DC，如图，
DM垂直平分BC，
BD=CB，
DE=FD，
BE=FC，
AB+AC=AE-BE+AF+FC，
又AE=AF，BE=FC，
AB+AC=2AE，
故④ 正确，符合题意；
故答案为：C.
4．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②PF＝PA；③AH+BD＝AB；④S四边形ABDE＝S△ABP，其中正确的是（ ）
A．①③ B．①②④ C．①②③ D．②③
【答案】C
【解析】∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=180°-∠ACB=90°，
∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴，，
∴，
∴∠APB=180°-∠BAD-∠ABE=135°，①正确；
∴∠BPD=180°-∠APB=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠APH=∠FPD=90°，
∴∠FPB=∠FPD+∠BPD=135°，
∴∠APB=∠FPB，
∵∠ABP=∠FBP，BP=BP，∠APB=∠FPB，
∴△ABP≌△FBP，
∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，②正确；
∵∠DAB=∠CAD，
∴∠PAH=∠BFP，
∵∠APH=∠FPD，PA=PF，∠PAH=∠BFP，
∴△APH≌△FPD，
∴AH=FD，
又∵AB=FB，
∴AB=FD+BD=AH+BD；③正确；
连接HD，ED，如图：
∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，
∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD，
∵∠HPD=90°，PH=PD，
∴∠HDP=∠DHP=45°
∴∠HDP=∠BPD，
∴HD∥EP，
∴S△EPH=S△EPD，
∵S四边形ABDE=S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD
=S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD
=S△ABP+S△APH+S△PBD
=S△ABP+S△FPD+S△PBD
=S△ABP+S△FBP
=2S△ABP，④不正确；
故正确的有①②③；
故答案为：C.
5．如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：①；②；③；④和都是等腰三角形．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】
①；
故①结论正确
②；
故②结论正确
③；
∴
∴
∴
故③结论正确
④和都是等腰三角形．
同理
故④结论正确
其中正确的结论有：①②③④
故答案为：D
6．如图，已知中，，直角的顶点P是的中点，两边分别交于点E，F，给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④的最小值为1．上述结论正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】∵，P是的中点，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，在和中，，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，故②正确；
∵，
∴，
∴，故③正确；
∵当的值最小时，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确．
故答案为：D
7．如图，在中，，点是上一点，交延长线于点，连接交于点，已知，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】，
，
，
，①故正确；
，
，
，即，
，
，故②正确；
，即，
，
，
，故③正确；
，
，
，
，故④错误，
正确的结论有①②③，共3个，
故选：C
8．如图，任意画一个的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，以下结论：
①；②AP平分∠BAC；③；④；⑤，
正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【解析】①∵BE、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∠BAC=60°
∴∠PBC+∠PCB=×（180°-∠BAC）=×（180°-60°）=60°，
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=120°，
故①正确，符合题意；
②过点P分别作出PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，如图所示：
∵BE、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴PF=PG=PH，
∴AP是∠BAC的角平分线，
故②正确，符合题意；
③∵假设AP=PC，则∠PAC=∠PCA，
∴∠BAC=∠BCA=60°，
∴△ABC是等边三角形，这与题干中任意画一个∠BAC=60°的△ABC不符合，
故③不正确，不符合题意；
④∵∠BAC=60°，∠AFP=∠AGP=90°，
∴∠FPG=120°，
∴∠DPF=∠EPG，
在△PFD和△PGE中，，∴△PFD≌△PGE（ASA），
∴PD=PE，
在Rt△BHP和Rt△BFP中，
，
∴Rt△BHP≌Rt△BFP（HL），
同理可得：Rt△CHP≌Rt△CGP，
∴BH=BD+DF，CH=CE-GE，
两式相加可得：BH+CH=BD+DF+CE-GE，
∵DF=EG，
∴BC=BD+CE，
故④正确，符合题意；
⑤∵AP是∠BAC的角平分线，
∴点P到AB和AC的距离相等，
∴S△ABP：S△ACP=AB：AC，
故⑤正确，符合题意；
综上，正确的结论是①②④⑤，共4个，
故答案为：B.
9．如图，过边长为的等边三角形的边上一点，作于点为延长线上一点，当时，交于，则的长为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【解析】过点Q作AD的延长线的垂线于点F，如图所示：
是等边三角形，
=，
，
=，
，
，
∵，
(AAS) ，
AE=CF，PE=QF，
同理可证 ，
DE=DF，
AC=AE+DE+CD=DE+CD+CF=DE+DF=2DE，
DE= ．
故答案为：B
10．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC、BM是AC边的中线，有AD⊥BM；垂足为点E交BC于点D．且AH平分∠BAC交BM于N．交BC于H．连接DM．则下列结论：①∠AMB＝∠CMD；②HN＝HD；③BN＝AD；④∠BNH＝∠MDC；错误的有（ ）个．
A．0 B．1 C．3 D．4
【答案】A
【解析】如图，作KC⊥CA交AD的延长线于K．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AH平分∠BAC，∴AH⊥BC，BH＝CH，
∴AH＝BH＝CH，
∵AD⊥BM，∴∠BHN＝∠AEN＝∠AHD＝90°，
∵∠BNH＝∠ANE，
∴∠HBN＝∠DAH，∴△BHN≌△AHD（ASA），
∴HN＝DH，BN＝AD，∠BNH＝∠ADH＝∠CDK，故②③正确，
∵∠BAM＝∠ACK＝90°，
∴∠BAE+∠CAK＝90°，
∴∠BAE+∠ABM＝90°，
∴∠ABM＝∠CAK，
∵AB＝AC，
∴△ABM≌△CAK（ASA），
∴∠AMB＝∠K，AM＝CK＝CM，
∵∠DCM＝∠DCK＝45°，CD＝CD，
∴△CDM≌△CDK（SAS），
∴∠CDK＝∠CDM，∠K＝∠CMD，
∴∠AMB＝∠CMD，∠BNH＝∠MDC，故①④正确．
故选：A．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在四边形中，对角线平分，，则 ．
【答案】50°
【解析】过点D作点DE⊥AB，DF⊥BC，DG⊥AC分别交BA延长线、BC延长线、AC与点E、F、G，如图所示，
∵ 对角线BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴ ∠FBD=∠EBD，DE=DF，
∵ ∠BCD=140°，∠ACD=40°，
∴ ∠DCF=40°，∠ACB=100°，
∴ ∠ACD=∠DCF，
又∵ DF⊥CB，DG⊥AC，
∴ DF=DG，
∴DE=DG，
又DE⊥AB，DG⊥AC，
∴ AD平分∠CAE，
∴ ∠DAE=∠CAE，
∴ ∠ADB=∠DAE-∠EBD，
=∠CAE-∠EBF，
=（∠EBF+∠ACB）-∠EBF，
=∠ACB=50°.
故答案为：50°.
12．如图，在等腰三角形中，，D为延长线上一点，且，垂足为C，连接，若，则的面积为 ．
【答案】9
【解析】如图过点A作AM⊥BC于点M，过点E作EN⊥BC于点N
∵AB=AC，AM⊥BC ∴
∵AM⊥BC，EN⊥BC，EC⊥AC ∴∠AMC=∠ACE=∠CNE=90°
∴∠MAC+∠ACM=∠NCE+∠ACM=90°
∴∠MAC=∠NCE
∵∠MAC=∠NCE，∠AMC=∠CNE，
∴ ∴CM=EN=3
∴
故答案为：9.
13．如图，中，，于点，平分，交与点，于点，且交于点，若，，则 ．
【答案】
【解析】如图，连接，
∵，，
由等腰三角形的性质可得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
，
即，
解得：，
在中，由勾股定理得：．
故答案为：
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，连接DE，EF，FD，已知点B和点F关于直线DE对称.若D为AB中点，AB＝13，BC＝10，求CE＝ ，AF＝ .
【答案】5；
【解析】连接BF，如下图，
∵点B和点F关于直线DE对称，
∴
∵D为AB中点，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
在中，
∵
∴
解得：
故答案为：.
15．如图，中，，点D在边上，连接，，点E、点F在线段上，.若，则 .
【答案】2
【解析】设，，
，
已知，
，
，
，
由三角形外角性质得：，
在，由三角形内角和定理得：，即，
，
，
延长至，使，连接，
，
由题意得是等腰三角形，，，
，
，
，
，
，，
已知，
，
，
，
故答案为：．
16．如图，中，，点D在BC上，，且，过E作，EF交AD于点F，若，，，则DF的长 .
【答案】2
【解析】如图，作∠DAC的平分线AM，交CD于点M，
则∠1=∠2=∠CAD，
又∵∠CAD=2∠3，
∴∠3=∠1=∠2．
∵EF∥BC，
∴∠4=∠3，
∴∠4=∠1，∠3=∠2，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵BD=AB=AC，
∴△BED≌△CMA（ASA），
∴DE=AM，BE=CM，
∵EF∥BC，
∴∠EFD=∠ADM，
∴△FED≌△DAM（AAS），
∴DF=DM，EF=AD．
设DF=DM=x，
∴BE=CM=CD-DM=5-x，
∵BD=AB，
∴∠BAD=∠BDA，
∵EF∥BC，
∴∠EFA=∠BDA，
∴∠EAF=∠EFA．
∴EF=EA，
∴EA=AD=4+x，
∴AB=AE+BE=4+x+5-x=9，
∴BD=AB=AC=9，
∵S△ABD=S△EFD=S△ADM，
∴BD=DM=x，
∴x=9，
解得：x=2，
∴DF=2.
故答案为：2．
三、解答题（本题有8小题，每题9分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，∠BCD＝90°，BC＝CD，CD⊥AD，AC、BD交于点E，DA＝DE，BN平分∠DBC，交AC于点M，交DC于点N．
（1）求∠ACD的度数；
（2）求证：DB＝DA+DC；
（3）求证：AE＝2MN．
【答案】（1）解：∵∠BCD＝90°，BC＝CD，
∴BC⊥CD，∠DBC＝∠BDC＝45°，
∵BN平分∠DBC，
∴∠NBC＝∠DBC＝22.5°，
∴∠BNC＝90°﹣∠NBC＝67.5°，
∵CD⊥AD，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵DA＝DE，
∴∠DAC＝∠AED，
∴∠AED＝∠BCA，
∵∠AED＝∠BEC，
∴∠BEC＝∠BCA，
∴BE＝BC，
∵BN平分∠DBC，
∴BN⊥AC，
∴∠ACD＝90°﹣∠BNC＝22.5°
（2）证明：由（1）得，BE＝BC＝CD，
∵BD＝BE+DE，
∴DB＝DA+DC；
（3）证明：如图，过点D作DH⊥AE于点H，
在△BCN和△CDA中，，∴△BCN≌△CDA（ASA），
∴CN＝DA，
∵DA＝DE，DH⊥AE，
∴DE＝CN，AE＝2HE，∠HDE＝∠ADE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DBC＝45°，
∴∠HDE＝22.5°＝∠NCM，
在△HDE和△MCN中，，∴△HDE≌△MCN（AAS），
∴HE＝MN，
∴AE＝2MN．
18． 在△ABC中，AB＜AC，AD为△ABC的角平分线，点E是BC边的中点．过点E作AD延长线的垂线，垂足为点G，交AC于点F，交AB的延长线于点H．
（1）求证：∠AHF＝∠AFH；
（2）探究：在线段EH上是否能找到一点P，使得△BEP≌△CEF．如果能够，请找出并证明之；
（3）证明：BH＝CF．
【答案】（1）证明：∵AD为△ABC的角平分线，∴∠HAG＝∠FAG，
∵FH⊥AD，
∴∠AGH＝∠AGF＝90°，
在△AHG和△AFG中，，∴△AHG≌△AFG（ASA），
∴∠AHF＝∠AFH．
（2）解：在线段EH上能找到一点P，使得△BEP≌△CEF，理由如下：
作BP∥AC，交EH于点P，则△BEP≌△CEF，
证明：∵点E是BC边的中点，
∴BE＝CE，
∵BP∥AC，
∴∠EBP＝∠C，
在△BEP和△CEF中，，
∴△BEP≌△CEF（ASA）；
（3）证明：∵△BEP≌△CEF，
∴BP＝CF，
∵BP∥AC，
∴∠BPH＝∠AFH，
∵∠AHF＝∠AFH，
∴∠BPH＝∠AHF，
∴BH＝BP，
∴BH＝CF．
19．如图，在四边形中，，交于点，交的延长线于点，点为的中点．
（1）求证：点也是的中点；
（2）若，且，，，求的长；
（3）在（2）的条件下，若线段上有一点，使得是等腰三角形，求的长．
【答案】（1）证明：，
，，
点为的中点，
，
在和中，，
，
，
点也是的中点；
（2）解：，，
，
在中，，
由（1）得：，
在中，；
（3）解：①当时，；
②当时，过点作于，如图1所示：
则，
，
即，
，
在中，，
；
③当时，如图2所示：
，
，
，，
，
，
，
；
综上所述，是等腰三角形，的长为4或或．
20．在中，，点是边上一点，连接，过点作直线的垂线，垂足为点
（1）如图1，若于点，求证：；
（2）如图2，在线段上截取，连接交于点，求证：；
（3）如图3，若点为的中点，点是线段延长线上的一点，连接，求，，的数量关系
【答案】（1）证明：，
，
又，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：如图2，过点A作交的延长线于点F，
同（1）可证，
，，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
又，
；
（3）解：，理由如下：
如图3，过点D作交的延长线于点H，连接，，
，点为的中点，
，，
，，
，，
在和中，
，
，
，，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
．
21．在中，，是上一点，且．
（1）如图，延长至，使，连接求证：；
（2）如图，在边上取一点，使，求证：；
（3）如图，在（2）的条件下，为延长线上一点，连接，，若，猜想与的数量关系并证明．
【答案】（1）证明：，
，
，
即，
在和中
，
，
；
（2）证明：延长至点，使得，连接，
由得，
，
是等边三角形，
，
，，
是等边三角形，
由（1）可 得，
，
，
，
即；
（3）解：，
证明如下：
在上截取，连接，
由可知，均为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又为等边三角形，
，
，
，
．
22．在中，，．点是所在平面内一点，且．
图1 图2 图3
（1）如图1，当点在边上，求证；
（2）如图2，当点在外部，连接，若，，求线段的长；
（3）如图3，当点在内部，连接，若，，求点到的距离．
【答案】（1）解：连接，
∵，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
（2）解：过点作交，垂足为点，
∵
∴（三线合一）
∵
∴
∵
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
在中，
∴
∴
（3）解：过点作，垂足为点，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
又∵
∴
∴，
∵，，
∴
∴
∴
∴
∴
在中，
∴
∴
设点到的距离为
∴
∴即
即点到的距离为
23．在中，，，点为上一点，点为上一点，线段，交于点．
（1）若为的角平分线．
①如图，已知，求证：；
②如图，已知，求证：；
（2）如图，若为的中线，且，试探究，，三条线段的数量关系是 .
【答案】（1）解：①证明：∵为的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
②证明：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴（），
∴，，
∴垂直平分线段，
∴．
（2）
【解析】（2），，三条线段的数量关系是．如图中，作交的延长线于，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为∶．
24．已知，，，为射线上一点，连接，将绕点逆时针旋转，点落在点处，连接交射线于点．
（1）如图，当点与点重合时，求的长；
（2）如图，当点在线段上时，连接，在点的运动过程中，请问的面积是否会发生变化？如果不会，求出它的面积；如果会，请说明理由；
（3）当时，求的长．
【答案】（1）解：∵将绕点A逆时针旋转，
∴，
∵点D与点C重合，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴
（2）解：的面积不会变化，理由如下：
如图，过点E作于H，
∵将绕点A逆时针旋转，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）解：当点D在线段上时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
当点D在线段的延长线时，过点E作直线于H，
∵，
∴，
同理可证，
∴，
∴，
同理可证：，
∴，
∴，
综上所述：的长为或．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
