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【课课练轻松学】1.1认识三角形
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（ ）
A．59° B．60° C．56° D．22°
2．如果三角形的两边长分别为2和5，那么第三边长可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．7
3．已知△ABC的三边长为a，b，c，化简|a＋b－c|－|b－a－c|的结果是（ ）
A．2b－2c B．－2b C．2a＋2b D．2a
4．有两条高在三角形外部的三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
5．下列说法正确的是（ ）
A．三角形的三条中线交于一点
B．三角形的三条高都在三角形内部
C．三角形不一定具有稳定性
D．三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部
6．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A．AB=2BF B．∠ACE= ∠ACB
C．AE=BE D．CD⊥BE
7．在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边中垂线的交点 D．三边上高的交点
8．若a、b、c为三角形的三条边，则 +|b-a-c|=（ ）.
A．2b-2c B．2a C．2 D．2a-2c
9．如图，△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG：GD=2：1，若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图1， 是铁丝 的中点，将该铁丝首尾相接折成 ，且 ， ，如图2．则下列说法正确的是（ ）
A．点 在 上
B．点 在 的中点处
C．点 在 上，且距点 较近，距点 较远
D．点 在 上，且距点 较近，距点 较远
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．已知三角形的三边长分别是2、7、，且为奇数，则 ．
12．在 中， ，则 ．
13．如图所示，△ABC中，AB=AC=2，P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，若S△ABC=1，则PE+PF= .
14．将两张三角形纸片如图摆放，若，则 .
15．若三角形的周长为13，且三边均为整数，则满足条件的三角形有 种．
16．将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°，则∠5的度数为 .
三、综合题（本大题共7小题，共66分）
17．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°.
（1）则∠BAE＝ ；
（2）求∠DAE的度数.
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）若∠C＝40°，求∠BAD的度数；
（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F，求证：AE=FE．
19．等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.
（1）如图1，在中，，，，，，则长为 ；
（2）如图2，在中，，，则的高与的比是 ；
（3）如图3，在中，（），点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，.若，求的值.
20．如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线．
（1）若的面积为40，，求的长；
（2）若，，求的大小．
21．如图，直线l∥线段BC，点A是直线l上一动点.在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是∠BAC的角平分线.
（1）如图，若∠ABC＝65°，∠BAC＝80°，求∠DAE的度数；
（2）当点A在直线l上运动时，探究∠BAD，∠DAE，∠BAE之间的数量关系，并画出对应图形进行说明.
22．如图所示，在△ABC中，AE是角平分线，AD是高，∠B＝30°，∠C＝50°
（1）求∠DAE的度数；
（2）试写出∠DAE与∠C－∠B有何关系.
23．已知：a，b，c为 的三边长.
（1）若a，b，c满足 ，试判断 的形状；
（2）化简： .
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【课课练轻松学】1.1认识三角形
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（ ）
A．59° B．60° C．56° D．22°
【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：根据题意可得，在△ABC中， ，则 ，
又 AD为△ABC的角平分线，
又 在△AEF中，BE为△ABC的高
∴。
故答案为：A。
【分析】根据三角形的内角和得出∠CAB=62°，根据角平分线的定义得出，根据三角形高线的定义得出∠AEF=90°，从而根据直角三角形的两锐角互余算出∠EFA的度数，最后根据对顶角相等算出∠3的度数。
2．如果三角形的两边长分别为2和5，那么第三边长可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．7
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵三角形的两边长分别为2和5，
则3＜第三边长＜7.
故答案为：C.
【分析】根据三角形三边关系即可得出第三边的取值范围.
3．已知△ABC的三边长为a，b，c，化简|a＋b－c|－|b－a－c|的结果是（ ）
A．2b－2c B．－2b C．2a＋2b D．2a
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵a+b>c， b
则 |a＋b－c|－|b－a－c|
=a+b-c+b-a-c
=2b-2c ；
故答案为：A.
【分析】根据绝对值的非负性，结合三角形的两边之和大于第三边，脱绝对值，再化简即可得出结果。
4．有两条高在三角形外部的三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：有两条高在三角形外部的三角形是钝角三角形，
故答案为：C.
【分析】根据高线的定义可知，锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形一条高在三角形的内部，两条就是直角三角形的两条直角边；钝角三角形的一条高在三角形的内部，两条高在三角形的外部。据此即可求解.
5．下列说法正确的是（ ）
A．三角形的三条中线交于一点
B．三角形的三条高都在三角形内部
C．三角形不一定具有稳定性
D．三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部
【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：A、三角形三条中线相交于一点正确，故本选项符合题意；
B、只有锐角三角形三条高都在三角形内部，故本选项不符合题意；
C、三角形具有稳定性，故本选项不符合题意；
D、三角形的三条角平分线一定都在三角形内部，故本选项不符合题意．
故答案为：A.
【分析】根据三角形的性质、角平分线、高和中线的定义判断即可．
6．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A．AB=2BF B．∠ACE= ∠ACB
C．AE=BE D．CD⊥BE
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，
∴CD⊥BE，∠ACE= ∠ACB，AB=2BF，无法确定AE=BE．
故选C．
【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．依此即可求解．
7．在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边中垂线的交点 D．三边上高的交点
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】∵三角形的三条垂直平分线的交点到中间的凳子的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当．
故答案为：C．
【分析】若凳子到A、B的距离相等，则凳子应该位于线段AB的垂直平分线上；同理，若凳子到B、C的距离相等，则凳子应该位于线段BC的垂直平分线上；若凳子到C、A的距离相等，则凳子应该位于线段CA的垂直平分线上；综上所述，凳子在三角形的三条垂直平分线的交点处。
8．若a、b、c为三角形的三条边，则 +|b-a-c|=（ ）.
A．2b-2c B．2a C．2 D．2a-2c
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】根据三角形的三边关系可知，
∴
∴
故答案为：B
【分析】根据三角形的三边关系可知， ，再利用算术平方根和绝对值非负性进行化简即可解答.
9．如图，△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG：GD=2：1，若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，
∴
∵
∴
∴阴影部分面积为：2+2=4，
故答案为：B.
【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，进而可知：△ABC为阴影部分面积的三倍，即可求解.
10．如图1， 是铁丝 的中点，将该铁丝首尾相接折成 ，且 ， ，如图2．则下列说法正确的是（ ）
A．点 在 上
B．点 在 的中点处
C．点 在 上，且距点 较近，距点 较远
D．点 在 上，且距点 较近，距点 较远
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】∵∠C=100°，∴AB＞AC，
如图，取BC的中点E，
则BE=CE，∴AB+BE＞AC+CE，
由三角形三边关系，AC+BC＞AB，
∴AB＜ AD，
∴AD的中点M在BE上，
即点M在BC上，且距点B较近，距点C较远，
故答案为：C．
【分析】根据大边对大角得出AB＞AC，如图，取BC的中点E，根据中点的定义得出BE=CE，根据不等式的性质得出AB+BE＞AC+CE，根据三角形三边的关系得出AC+BC＞AB，故AB＜ AD，所以AD的中点M在BE上，即点M在BC上，且距点B较近，距点C较远，
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．已知三角形的三边长分别是2、7、，且为奇数，则 ．
【答案】7
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形三边之间的关系可得：7-2＜x＜7+2，即5＜x＜9，
又∵x为奇数，
∴x=7.
故答案为：7.
【分析】根据三角形三边之间的关系可得出x的取值范围，再根据x为奇数，即可得出x的值。
12．在 中， ，则 ．
【答案】72°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵
∴∠B=∠C，
∵ ，
∴∠B= ，
故答案为：72°．
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理求解即可。
13．如图所示，△ABC中，AB=AC=2，P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，若S△ABC=1，则PE+PF= .
【答案】1
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】由题可得：
AB=AC=2，
PE+PF= 1，
故答案为：1.
【分析】根据PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，结合S△ABC=1， 利用，代入数据计算即可求解.
14．将两张三角形纸片如图摆放，若，则 .
【答案】40°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】如图所示：
∵∠1+∠2+∠6=180°，∠3+∠4+∠7=180°，
∴∠1+∠2+∠6+∠3+∠4+∠7=360°，
∵，
∴∠6+∠7=360°-220°=140°，
∵∠5+∠6+∠7=180°，
∴∠5=180°-（∠6+∠7）=180°-140°=40°，
故答案为：40°.
【分析】先利用三角形的内角和求出∠6+∠7=360°-220°=140°，再求出∠5=180°-（∠6+∠7）=180°-140°=40°即可.
15．若三角形的周长为13，且三边均为整数，则满足条件的三角形有 种．
【答案】5
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设三边长分别为a≤b≤c，则a+b=13-c>c≥，
∴≤c<，
∴c=5或6，
当①当c=5时， b=4 ， a=4或b=3 ， a=5 ；
②当c=6时，b=4，a=3或b=6，a=1或b=5 ， a=2 ；
∴满足条件的三角形的个数为5.
故答案为：5.
【分析】在三角形的三边中，除等边三角形三边相等外，必有一边是最长边；先确定最长边的取值范围，然后分类讨论，结合三角形的三边关系，即可解答.
16．将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°，则∠5的度数为 .
【答案】
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，
∠A=180°-（∠1+∠2），
∠B=180°-（∠3+∠4），
∴∠A+∠B=180°-（∠1+∠2）+180°-（∠3+∠4），
=360°-（∠1+∠2+∠3+∠4），
=360°-220°=140°，
则∠5=180°-（∠A+∠B）=180°-140°=40°.
【分析】根据三角形内角和定理，分别把∠A和∠B用 ∠1、∠2、∠3和∠4 表示出来，两式结合从而求出∠A与∠B之和，在三角形ABC中利用三角形内角和定理即可求出∠5的度数。
三、综合题（本大题共7小题，共66分）
17．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°.
（1）则∠BAE＝ ；
（2）求∠DAE的度数.
【答案】（1）40°
（2）解：∵AD⊥BC，
，
∴∠DAC＝90°-∠C＝60°，
∴∠DAE＝∠DAC-∠EAC＝20°.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：（1）∵∠B＝70°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°-∠B-∠C＝80°，
又∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠EAC＝∠BAC＝40°；
故答案为：40°；
【分析】（1）根据三角形的内角和定理可算出∠BAC的度数，根据角平分线的定义即可得出∠BAE的度数；
（2）根据垂直的定义及三角形的内角和算出∠DAC的度数，进而根据∠DAE=∠DAC-∠EAC即可算出答案.
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）若∠C＝40°，求∠BAD的度数；
（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F，求证：AE=FE．
【答案】（1）解：∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD，∠ADC=90°，
又∠C=40°，
∴∠BAD=∠CAD=90°-40°=50°；
（2）解：∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD，
∵EF∥AC，
∴∠F=∠CAD，
∴∠BAD=∠F，
∴AE=FE．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理，结合等边对等角，求出答案即可；
（2）根据等边对等角以及平行线的性质，求出AE=FE。
19．等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.
（1）如图1，在中，，，，，，则长为 ；
（2）如图2，在中，，，则的高与的比是 ；
（3）如图3，在中，（），点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，.若，求的值.
【答案】（1）
（2）1：2
（3）解：∵，，，，
∴，
又，
∴，
即.
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴；
（2）解：根据题意得：，
∴，
∴
【分析】（1）利用等面积法可得AC×BC=AB×CD，代入计算可得CD的长；
（2）利用等面积法可得AE×BC=AB×CD，进而将等积式根据比例的性质转化为比例式即可得出答案；
（3）由 及三角形面积的计算公式即可得出答案.
20．如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线．
（1）若的面积为40，，求的长；
（2）若，，求的大小．
【答案】（1）解：是的中线，，
．
，，
，
；
（2）解：在中，为它的一个外角，且，，
．
是的角平分线，
．
，
，
在中，.
【知识点】角的运算；三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【分析】（1）根据中线的性质可得，再利用三角形的面积公式可得，最后求出AF=8即可；
（2）先求出，再利用角的运算求出即可。
21．如图，直线l∥线段BC，点A是直线l上一动点.在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是∠BAC的角平分线.
（1）如图，若∠ABC＝65°，∠BAC＝80°，求∠DAE的度数；
（2）当点A在直线l上运动时，探究∠BAD，∠DAE，∠BAE之间的数量关系，并画出对应图形进行说明.
【答案】（1）解：∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE＝∠BAC＝40°，
∵AD是△ABC的高线，
∴∠BDA＝90°，
∴∠BAD＝90°－∠ABD＝25°，
∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝40°－25°＝15°.
（2）解：①当点D落在线段CB的延长线时，如图所示：
此时∠BAD＋∠BAE＝∠DAE；
②当点D在线段BC上，且在E点的左侧时，如图所示：
此时∠BAD＋∠DAE＝∠BAE；
③当点D在线段BC上，且在E点的右侧时，如图所示：
此时∠BAE＋∠DAE＝∠BAD；
④当点D在BC的延长线上时，如图所示：
∠BAE＋∠DAE＝∠BAD.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得∠BAE的度数，根据垂直定义得∠BDA的度数，进而根据直角三角形两锐角互余得∠BAD的度数，最后根据∠DAE＝∠BAE－∠BAD算出答案；
（2）分类讨论： ①当点D落在线段CB的延长线时， ②当点D在线段BC上，且在E点的左侧时， ③当点D在线段BC上，且在E点的右侧时， ④当点D在BC的延长线上时， 分别画出图形，结合图形即可得出几个角之间的关系.
22．如图所示，在△ABC中，AE是角平分线，AD是高，∠B＝30°，∠C＝50°
（1）求∠DAE的度数；
（2）试写出∠DAE与∠C－∠B有何关系.
【答案】（1）解：∵∠B=30°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠CAE= ∠BAC=50°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
∵∠C=50°，
∴∠CAD=90°-∠C=40°，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=50°-40°=10°
（2）解：∠DAE= （∠C-∠B），
理由是：∵∠B+∠C+∠CAB=180°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠CAE= ∠BAC= （180°-∠B-∠C）=90°- （∠B+∠C），
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
∵∠C=50°，
∴∠CAD=90°-∠C，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD
=[90°- （∠B+∠C）-（90°-∠C）]
= （∠C-∠B）.
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线定义求出∠CAE，求出∠ADC=90°，根据三角形内角和定理求出∠CAD，进而根据角的的和差即可得出答案；
（2）根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线定义求出∠CAE，根据垂直求出∠ADC=90°，根据三角形内角和定理求出∠CAD，进而根据角的的和差及等量代换，由 ∠DAE=∠CAE-∠CAD 即可得出答案.
23．已知：a，b，c为 的三边长.
（1）若a，b，c满足 ，试判断 的形状；
（2）化简： .
【答案】（1）解：由题意得： 或
∴ 或
∴ 为等腰三角形；
（2）
【知识点】三角形三边关系；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：（2）∵a，b，c为 的三边长
∴ ， ，
∴原式
故填： .
【分析】（1）根据题意得出 或 即可判断 的形状；（2）根据三角形的三边关系先去掉绝对值，然后合并同类项即可.
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