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【课课练轻松学】1.3证明
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1． 如图，AD⊥BD，∠3+∠2=180°，∠1=55°，那么∠2的度数是（ ）．
A．35° B．45° C．55° D．25°
2．下列说法正确的是（ ）
A．同位角相等
B．若三条线段的长a、b、c满足，则以a、b、c为边一定能组成三角形
C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D．三角形的三条高至少有一条在三角形内
3．如图，AB∥CD，BF平分∠ABE，且BF⊥DE，垂足为F，则∠ABE与∠EDC的数量关系是（ ）
A．∠EDC－ ∠ABE＝90° B．∠ABE＋∠EDC＝180°
C．∠ABE＝ ∠EDC D．∠ABE＋ ∠EDC＝90°
4．我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝50°，当∠MAC为（ ）度时，AM∥BE．
A．15 B．65 C．70 D．115
5．如图，直线m∥n，∠1=100°，∠2=30°，则∠3 的度数为 （ ）
A．70° B．110° C．130° D．150°
6．如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝15°，∠2＝25°，则∠ABC的大小为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
7．已知AB∥CD，将一副直角三角板如图摆放，∠GEF=60°，∠MNP=45°.下列结论：①GE∥MP；②∠EFN=150°；③∠BEF=75°；④∠AEG=∠PNM.其中正确的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
8．下列说法中：①若，，则；②两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行；③若，则或；④已知二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则a的值是0.5；其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
9．下列说法中正确的个数为（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
③经过两点有一条直线，并且只有一条直线；
④在同一平面内，不重合的两条直线不是平行就是相交．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，AB∥CD，CF平分∠ECD，HC⊥CF交直线AB于H，AG平分∠HAE交HC于G，EJ∥AG交CF于J，∠AEC＝80°，则下列结论正确的有（ ）个．
①∠BAE+∠ECD＝80°；②CG平分∠ICE；③∠AGC＝140°；④∠EJC﹣∠AGH＝90°．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3= °。
12．如图，∠1＝∠2，∠ADC＝115°，则∠A＝ ．
13．如图，已知，过点B作交AG于点C，E为AG上一点，过点E作，点F为AB上一点，连接CF，BD．若，，BC平分，则的度数为 ．
14．如图，AB//CD，∠A=25°，∠E=80°，则∠C的度数是 ．
15．如果∠α与∠β的两边分别平行，∠α比∠β的3倍少36°，则∠α的度数是 .
16．如图，已知，的平分线与的平分线的反向延长线相交于点，设，则
三、综合题（本大题共7小题，共66分）
17．已知：如图，BC∥AD，∠A＝∠B．
（1）试说明BE∥AF；
（2）若∠DOB＝135°，求∠A的度数．
18．如图，点B，C在线段的异侧，点E，F分别是线段上的点，已知，．
（1）求证：；
（2）若，且，求的度数．
19．如图，已知点B、C在线段的异侧，连接，点E、F分别是线段上的点，连接，分别与交于点G，H，且，．
（1）求证：；
（2）若，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，求的度数．
20．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，EF⊥CD于点G，∠ADE=∠EFC．
（1）请说明∠B=∠EFC的理由；
（2）若∠A=60°，∠ACB=76°，求∠CDE的度数．
21．如图，已知，.
（1）判断与的位置关系，并说明理由
（2）若，求的度数
22．如图，已知点E，F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C=∠EFG，∠CED=∠GHD.
（1）求证：CE∥GF；
（2）试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由；
（3）若∠EHF=70°，∠D=30°，求∠AEM的度数.
23．如图1，直线EF与直线AB，CD分别交于点E，F，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，若M为线段EF上一定点，P是直线CD上的一个动点（点P不与点F重合）．当点P在射线FC上移动时，求证：∠FMP+∠FPM＝∠AEF；
（3）如图3，当点P在射线FD上移动时，求证：∠FPM+∠AEF＝∠EMP．
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【课课练轻松学】1.3证明
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1． 如图，AD⊥BD，∠3+∠2=180°，∠1=55°，那么∠2的度数是（ ）．
A．35° B．45° C．55° D．25°
【答案】A
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质
【解析】【解答】 ∠3+∠2=180°，
即
AD⊥BD，
∠1=55°，
故答案为：A.
【分析】先根据平行线的判定得到再由平行线的性质得到结合垂直的性质将已知条件代入计算即可求解.
2．下列说法正确的是（ ）
A．同位角相等
B．若三条线段的长a、b、c满足，则以a、b、c为边一定能组成三角形
C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D．三角形的三条高至少有一条在三角形内
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系；同位角的概念
【解析】【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，A错误；
B、当a=3，b=4，c=1时，满足， 但以a、b、c为边的三条线段不能组成三角形，B错误；
C、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，C错误；
D、三角形的三条高至少有一条在三角形内，正确.
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质、三角形三边的关系、三角形的高逐项判断即可.
3．如图，AB∥CD，BF平分∠ABE，且BF⊥DE，垂足为F，则∠ABE与∠EDC的数量关系是（ ）
A．∠EDC－ ∠ABE＝90° B．∠ABE＋∠EDC＝180°
C．∠ABE＝ ∠EDC D．∠ABE＋ ∠EDC＝90°
【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点E作EG∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EG，
∴∠ABE=∠BEG，∠GEF=∠EDC，
又∵BF⊥DE，
∴∠BFE=90°，
∴∠GEF-∠BEG+∠EBF=90°，
∴∠EDC-∠ABE+∠ABE=90°，
∴∠EDC-∠ABE=90°.
故答案为：A.
【分析】过点E作EG∥CD，则有AB∥CD∥EG，由平行线性质得∠ABE=∠BEG，∠GEF=∠EDC，再结合∠BFE=90°，从而得到∠GEF-∠BEG+∠EBF=90°，进而得到∠EDC-∠ABE=90°，即可求解.
4．我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝50°，当∠MAC为（ ）度时，AM∥BE．
A．15 B．65 C．70 D．115
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：AB∥L，CD∥L，
AB∥CD，
∠BCD＝∠ABC=60°，
∠BAC＝50°，
∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=70°，
当∠MAC=∠ACB=70°时，AM∥BE．
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质可得∠BCD＝∠ABC=60°，再利用三角形的内角和定理求得∠ACB=70°，最后根据两直线平行的判定定理即可求解.
5．如图，直线m∥n，∠1=100°，∠2=30°，则∠3 的度数为 （ ）
A．70° B．110° C．130° D．150°
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：作l∥m，如图，
∵ l∥m，m∥n，
∴ l∥n，∠4=∠1，
∴ ∠3=∠4+∠2，
∴ ∠3=∠1+∠2=130°.
故答案为：C.
【分析】作l∥m，由平行于同一直线的两条直线互相平行得l∥n，根据二直线平行，同位角相等可得∠3=∠4+∠2，∠4=∠1，即可求得.
6．如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝15°，∠2＝25°，则∠ABC的大小为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，作CK∥a．
∵a∥b，CK∥a，
∴CK∥b，
∴∠1＝∠3，∠4＝∠2，
∴∠ACB＝∠1+∠2＝15°+25°＝40°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣40°＝50°，
故答案为：C．
【分析】作CK∥a．证明∠ACB＝∠1+∠2，又因为∠CAB＝90°即可求出∠ABC度数．
7．已知AB∥CD，将一副直角三角板如图摆放，∠GEF=60°，∠MNP=45°.下列结论：①GE∥MP；②∠EFN=150°；③∠BEF=75°；④∠AEG=∠PNM.其中正确的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：①由题意可得：∠G=∠MPN=90°，
∴∠G=∠MPG=90°，
∴GE//MP，
∴结论①正确；
②由题意可得：∠EFG=30°，
∴EFN=180°-∠EFG=150°，
∴结论②正确；
③过点F作FH//AB，如下图所示：
∵AB//CD， FH//AB，
∴∠BEF +∠EFH=180°，FH//CD，
∴∠HFN=MNP=45°，
∴∠EFH=∠EFN-∠HFN=105°，
∴∠BEF=180°-∠EFH=75°，
∴结论③正确；
∵∠GEF=60°，∠BEF=75°，
∴∠AEG=180°-∠GEF-∠BEF=45°，
∵∠MNP=45°，
∴∠AEG=∠PNM，
∴结论④正确，
综上所述：正确的个数是4个，
故答案为：D.
【分析】结合图形，利用平行线的判定与性质证明求解即可。
8．下列说法中：①若，，则；②两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行；③若，则或；④已知二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则a的值是0.5；其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；零指数幂；二元一次方程组的解；平行线的判定与性质；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①∵am=6，an=3，∴am-n=am÷an=6÷3=2，故此小题正确；
②如图，当AB∥CD时，
∵AB∥CD，
∴∠CMP=∠BPM，
∵PQ平分∠BPM，MN平分∠CMP，
∴∠QPM=∠BPM，∠NMP=∠CMP，
∴∠QPM=∠NMP，
∴MN∥PQ；
当AB不平行CD时，∠CMP≠∠BPM，当然∠QPM≠∠NMP，当然MN就不平行PQ，故此小题错误；
③∵（t-2）2t=1，∴2t=0或t-2=±1，解得：t=0或3或1，故此小题错误；
④∵的解也是二元一次方程x-3y=-2的解，
∴的解也是ax+y=4的解，
解
得，
∴是ax+y=4的解，
∴4a+2=4，
解得a=0.5，故此小题正确，
综上正确的有①④.
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的除法法则的逆用可判断①小题，根据平行线的性质及判断可判断②小题；根据0指数幂性质（任何一个不为0的数的0次幂都等于1），有理数的乘方运算法则（1的任何次幂都等于1，-1的偶数次幂等于1）可判断③；根据方程组的解可判断④.
9．下列说法中正确的个数为（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
③经过两点有一条直线，并且只有一条直线；
④在同一平面内，不重合的两条直线不是平行就是相交．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】直线、射线、线段；两点确定一条直线；垂线的概念；平行线的判定与性质；平面中直线位置关系；同位角的概念
【解析】【解答】解：①平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故①不符合题意；
②两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，如果两条直线不平行，被第三条直线所截，同位角不相等，故②不符合题意；
③经过两点有一条直线，并且只有一条直线，故③符合题意；
④在同一平面内，不重合的两条直线不是平行就是相交，故④符合题意．
故答案为：B．
【分析】平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。（注意：前题条件两直线平行）两点确定一条直线。在同一平面内，不重合的两条直线不是平行就是相交。
10．如图，AB∥CD，CF平分∠ECD，HC⊥CF交直线AB于H，AG平分∠HAE交HC于G，EJ∥AG交CF于J，∠AEC＝80°，则下列结论正确的有（ ）个．
①∠BAE+∠ECD＝80°；②CG平分∠ICE；③∠AGC＝140°；④∠EJC﹣∠AGH＝90°．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：作ET∥BH，如图1，
则∠BAE＝∠AET，
∵DC∥BH，
∴ET∥CD，
∴∠ECD＝∠CET，
∴∠AEC＝∠AET+∠CET＝∠BAE+∠ECD＝80°，故①符合题意；
∵HC⊥CF，
∴∠ECH+∠ECF＝90°，∠FCD+∠HCI＝90°，
∵∠ECF＝∠FCD，
∴∠ECH＝∠HCI，
∴CH平分∠ECI，故②符合题意；
同①的方法可证：∠AGC＝∠GAH+∠GCI＝ （∠EAH+∠ECI）＝ （360°﹣∠BAE﹣∠ECD）＝ （360°﹣80°）＝140°，故③符合题意；
延长HC交EJ的延长线于R，如图2，
∵AG∥ER，
∴∠AGH＝∠R，
∵∠EJC＝∠R+∠RCJ，∠RCJ＝90°，
∴∠EJC﹣∠AGH＝90°，故④符合题意．
故答案为：D．
【分析】①作ET∥BH，根据平行线的性质可得∠BAE＝∠AET，∠ECD＝∠CET，从而得出∠AEC＝∠AET+∠CET＝∠BAE+∠ECD，据此判断即可；②根据等角的余角相等可得∠ECH＝∠HCI，利用角平分线的定义即证结论，据此判断即可；③同①可求出∠AGC＝∠GAH+∠GCI＝（∠EAH+∠ECI）＝ （360°﹣∠BAE﹣∠ECD），计算出结果即可判断；④延长HC交EJ的延长线于R，根据平行线的性质及三角形外角的性质得出∠AGH＝∠R，∠EJC＝∠R+∠RCJ，据此即可判断.
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3= °。
【答案】20
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如下图：
∵a∥b，∠1=30°，∠2=50°，
∴∠4=∠2=50°，
又∵∠4=∠1+∠3，
∴∠3=∠4-∠1=50°-30°=20°.
故答案为：20.
【分析】直尺的两对边是互相平行的，由平行线的性质可求得∠4，再根据三角形外角的性质求得∠3. 掌握平行线的判定和性质是解题的关键.
12．如图，∠1＝∠2，∠ADC＝115°，则∠A＝ ．
【答案】65°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠1＝∠2
∴AB//CD
∴∠A+∠ADC＝180°
∵∠ADC＝115°
∴∠A＝180°-∠ADC=65°．
故填65°．
【分析】先证明AB//CD，再利用平行线的性质可得∠A+∠ADC＝180°，结合∠ADC＝115°，即可得到∠A的度数。
13．如图，已知，过点B作交AG于点C，E为AG上一点，过点E作，点F为AB上一点，连接CF，BD．若，，BC平分，则的度数为 ．
【答案】57
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
故答案为：57；
【分析】先根据平行线的性质和判定证出，，再根据角平分线的定义求出∠2，进而求出∠ACF即可.
14．如图，AB//CD，∠A=25°，∠E=80°，则∠C的度数是 ．
【答案】55°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠AEF＝∠A＝25°，∠CEF＝∠C，
又∵∠AEC＝80°，
∴∠C＝∠CEF＝80° 25°＝55°．
故答案为：55°．
【分析】过点E作EF∥AB，根据两直线平行，内错角相等可得∠AEF＝∠A，∠CEF＝∠C，据此计算即可得解．
15．如果∠α与∠β的两边分别平行，∠α比∠β的3倍少36°，则∠α的度数是 .
【答案】18°或126°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ∠α与∠β 的两边分别平行，
∴ ∠α与∠β 相等或互补。
分两种情况：
①如图1，
当 ∠α+∠β =180°时，∠α=3∠β 36°，
解得：∠α=126°；
②如图2，
当∠α=∠β，∠α=3∠β 36°，
解得：∠α=18°。
故答案为： ∠α =18°或126°。
【分析】如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角相等或互补，故需要分类讨论：①如图1， ∠α与∠β 互补的时候，由于∠α=3∠β 36°，从而列出关于∠β的方程，求解算出∠β的值，进而得出∠α；②如图2，当 ∠α与∠β 相等的时候，由于∠α=3∠β 36°，从而列出关于∠β的方程，求解算出∠β的值，进而得出∠α，综上所述就可得出答案。
16．如图，已知，的平分线与的平分线的反向延长线相交于点，设，则
【答案】
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】如图，过点E作EG∥AB，记∠BEP为∠1，∠CEP为∠2，∠ECF为∠3，∠DCF为∠4
∵EG∥AB，
∴EG∥AB∥CD
∴∠ABE=∠BEG=80°，∠CEG+∠ECD=180°
∵EP平分∠BEC，CF平分∠ECD
∴，
设∠1=∠2=x，则∠CEG=∠BEG-（∠1+∠2）=80°-2x
∴∠ECD=180°-∠CEG=180°-(80°-2x)=100°+2x
∴∠3=∠4=50°+x
∴∠ECP=180°-∠3=130°-x
∴∠P=180°-∠2-∠ECP=180°-x-(130°-x)=50°
故答案为：50°.
【分析】本题考查拐点模型，需要在拐点处添加平行线，利用平行线的性质进一步解题，计算过程中可以设元利用代数式进行计算得到答案.
三、综合题（本大题共7小题，共66分）
17．已知：如图，BC∥AD，∠A＝∠B．
（1）试说明BE∥AF；
（2）若∠DOB＝135°，求∠A的度数．
【答案】（1）解：∵BC∥AD，
∴∠B＝∠DOE，
∵∠A＝∠B，
∴∠DOE＝∠A，
∴BE∥AF．
（2）解：∵∠DOB＝∠EOA＝135°，
又∵BE∥AF，
∴∠EOA+∠A＝180°，
∴∠A＝45°.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠B＝∠DOE，再结合∠A＝∠B，可得∠DOE＝∠A，从而得到BE∥AF；
（2）根据平行线的性质可得∠EOA+∠A＝180°，再结合∠DOB＝∠EOA＝135°，即可得到∠A＝45°。
18．如图，点B，C在线段的异侧，点E，F分别是线段上的点，已知，．
（1）求证：；
（2）若，且，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，，，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可得
∵，
∴，
∴，
∴，即①，
又∵②
∴①②联立可得，．
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）由已知条件可知∠1=∠2，∠3=∠C，由对顶角的性质可得∠2=∠3，则∠1=∠C，然后根据平行线的判定定理进行证明；
（2）由（1）可得∠1=∠2=∠3=∠C，由已知条件可知∠2+∠4=180°，则∠3+∠4=180°，推出BF∥EC，由平行线的性质可得∠BFC+∠1=180°，然后结合∠BFC-30°=2∠1就可求出∠BFC的度数.
19．如图，已知点B、C在线段的异侧，连接，点E、F分别是线段上的点，连接，分别与交于点G，H，且，．
（1）求证：；
（2）若，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（3）解：由（2）得 ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）由对顶角相等及已知，可得 ，根据内错角相等，两直线平行即证结论；
（2）根据补角的性质可得 ，根据平行线的判定可得BF∥CE，利用平行线的性质可得 ，由（1）知，利用等量代换即得结论；
（3）由平行线的性质可得 ， ，结合 ，可求出∠C的度数，即得结论.
20．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，EF⊥CD于点G，∠ADE=∠EFC．
（1）请说明∠B=∠EFC的理由；
（2）若∠A=60°，∠ACB=76°，求∠CDE的度数．
【答案】（1）解：∵CD⊥AB于点D，EF⊥CD于点G，
∴AB∥EF，
∴∠B=∠EFC
（2）解：∵∠A=60°，∠_ACB=76°，
∴∠B=44°，
∵CD⊥ AB，
∴∠BCD=90°-∠B=46°，
∵AB∥EF，
∴∠ADE=∠DEF，
∵∠ADE=∠EFC，
∴∠DEF=∠EFC，
∴DE∥BC，
∴∠CDE=∠BCD，
∴∠CDE=46°
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）利用在同一个平面内同垂直与一条直线的两直线互相平行，可证得AB∥EF，利用两直线平行，同位角相等，可证得结论.
（2）利用三角形的内角和定理求出∠B的度数，利用垂直的定义和和三角形的内角和定理求出∠BCD的度数，再利用平行线的性质去证明∠DEF=∠EFC，利用内错角相等，两直线平行，可推出DE∥BC，利用平行线的性质可求出∠CDE的度数.
21．如图，已知，.
（1）判断与的位置关系，并说明理由
（2）若，求的度数
【答案】（1）解：，理由如下：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴.
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）由对顶角的性质可得∠1=∠FNM，由已知条件可知∠1=∠2，则∠FNM=∠2，推出DF∥AE，由平行线的性质可得∠D=∠AEC，结合∠A=∠D可得∠A=∠AEC，然后根据平行线的判定定理进行证明；
（2）由平行线的性质可得∠BFD=∠D，∠D=∠MEC，则∠MEC=∠D=∠BFD，据此求解.
22．如图，已知点E，F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C=∠EFG，∠CED=∠GHD.
（1）求证：CE∥GF；
（2）试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由；
（3）若∠EHF=70°，∠D=30°，求∠AEM的度数.
【答案】（1）证明：∵∠CED＝∠GHD，
∴CE∥GF
（2）解：∵CE∥GF，
∴∠C＝∠FGD，
∵∠C＝∠EFG，
∴∠FGD＝∠EFG，
∴AB∥CD，
∴∠AED+∠D＝180°
（3）解：∵∠DHG＝∠EHF＝70°，∠D＝30°，
∴∠CGF＝70°+30°＝100°，
∵CE∥GF，
∴∠C＝180°﹣100°＝80°，
∵AB∥CD，
∴∠AEC＝80°，
∴∠AEM＝180°﹣80°＝100°.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据同位角相等，两直线平行，可证CE∥GF；(2)根据平行线的性质可得∠C＝∠FGD，根据等量关系可得∠FGD＝∠EFG，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥CD，再根据平行线的性质可得∠AED与∠D之间的数量关系；(3)根据对顶角相等可求∠DHG，根据三角形外角的性质可求∠CGF，根据平行线的性质可得∠C，∠AEC，再根据平角的定义可求∠AEM的度数.
23．如图1，直线EF与直线AB，CD分别交于点E，F，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，若M为线段EF上一定点，P是直线CD上的一个动点（点P不与点F重合）．当点P在射线FC上移动时，求证：∠FMP+∠FPM＝∠AEF；
（3）如图3，当点P在射线FD上移动时，求证：∠FPM+∠AEF＝∠EMP．
【答案】（1）证明：如图1，
∵∠2+∠EFD＝180°，∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝∠EFD，
∴AB∥CD；
（2）解：如图2，过点M作MH∥AB，
由（1）得，AB∥CD，
∴MH∥AB∥CD，
∴∠HMF＝∠AEF，∠HMP＝∠FPM，
∵∠HMF＝∠HMP+∠FMP，
∴∠FMP+∠FPM＝∠FMP+∠HMP＝∠HMF＝∠AEF；
（3）解：过点M作MK∥AB，
由（1）得，AB∥CD，
∴MK∥AB∥CD，
∴∠EMK＝∠AEF，∠KMP＝∠FPM，
∵∠EMP＝∠EMK+∠KMP，
∴∠FPM+∠AEF＝∠KMP+∠EMK＝∠EMP．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1） 由∠2+∠EFD＝180°，∠1+∠2＝180°， 根据同角的补角相等可得∠1＝∠EFD，根据平行线的判定定理即证；
（2）如图2，过点M作MH∥AB，结合（1）可得MH∥AB∥CD， 利用平行的性质即可求解；
（3）过点M作MK∥AB， 可得 MK∥AB∥CD， 根据平行线的性质即可求解.
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