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【学完一课练透一课】1.1二次函数
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为y轴，且点P（2，6）在该抛物线上，则c的值为（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
2．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
4．下列函数中，y是x的二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若y＝（a﹣2）x2﹣3x+2是二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠2 B．a＞0 C．a＞2 D．a≠0
6．已知二次函数的图象经过原点，则a的值为（ ）
A．0或2 B．0 C．2 D．无法确定
7．某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝（x﹣40）（500﹣10x）
B．y＝（x﹣40）（10x﹣500）
C．y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]
D．y＝（x﹣40）[500﹣10（50﹣x）]
8．一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价位为y万元，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y=60（1﹣x）2 B．y=60（1﹣x2）
C．y=60﹣x2 D．y=60（1+x）2
9．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是( )
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．若抛物线 （ ）经过 ，则该抛物线的解析式为 ．
12．有下列函数：
①y=5x-4；②；③；④；⑤；
其中属于二次函数的是 （填序号）.
13．已知二次函数的图象与x轴的两个交点A，B关于直线对称，且，顶点在函数的图象上，则这个二次函数的表达式为 ．
14．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴为直线x=1，且与x轴的一个交点为（3，0），那么它对应的函数解析式是 ．
15．若抛物线y=ax2经过点A ( ，－9)，则其解析式为 。
16．记抛物线C1：y＝(x﹣2)2+3的顶点为A，抛物线C2：y＝ax2+1(a＜0)顶点是点B，且与x轴的正半轴交于点 C.当△ABC是直角三角形时，抛物线C2的解析式为 .
三、综合题（本大题共7小题，共66分）
17．若二次函数 的x与y的部分对应值如下表：
x -1 0 1 2 3 4
y 0 3 4 3 0 -5
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当x=﹣2时，y的值.
18．设二次函数是常数，，部分对应值如表：
-2 -1 0 1 2
5 0 -3 -4 -3
（1）试判断该函数图象的开口方向．
（2）根据你的解题经验，直接写出的解．
（3）当时，求函数的值．
19．已知二次函数的顶点坐标为，且过点．
（1）直接写出的值；
（2）求二次函数的解析式．
20．已知抛物线y＝ax2﹣ax﹣2a（a为常数且不等于0）与x轴的交点为A，B两点，且A点在B的右侧．
（1）当抛物线经过点（3，8），求a的值；
（2）求A、B两点的坐标；
（3）若抛物线的顶点为M，且点M到x轴的距离等于AB的3倍，求抛物线的解析式．
21．已知二次函数y=ax2+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3）
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为6，求点P的坐标．
22．
（1）解方程： ；
（2）已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，求该抛物线的顶点坐标．
23．如图①，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．
（1）求抛物线 的解析式；
（2）如图②，连接 ，点 是第三象限内抛物线上的动点，过点 作 于点 ， 轴交 于点 ，求 面积的最大值及此时点 的坐标；
（3）如图③，若抛物线的顶点坐标为点 ，点 是抛物线对称轴上的动点，在坐标平面内是否存在点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形 若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
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【学完一课练透一课】1.1二次函数
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为y轴，且点P（2，6）在该抛物线上，则c的值为（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为y轴，
∴b＝0，
∵点P（2，6）在该抛物线上，
∴6＝4+c，
解得：c＝2．
故答案为：C．
【分析】先求出b＝0，再求出6＝4+c，最后计算求解即可。
2．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A是一次函数，不符合题意；
B：，是一次函数，不符合题意：
C是二次函数，符合题意；
D不是二次函数，不符合题意.
故答案为：C
【分析】根据二次函数的定义即可求出答案.
3．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：降价x元，则售价为（60-x）元，销售量为（300+20x）件，
根据题意得，y=（60-x）（300+20x），
故答案为：B.【分析】根据降价x元，则售价为（60-x）元，销售量为（300+20x）件，由题意可得等量关系：总销售额为y=销量×售价，根据等量关系列出函数解析式即可求解.
4．下列函数中，y是x的二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】
A：，y不是x的二次函数，x的二次项还要开方，不符合题意；
B：，y不是x的二次函数，去括号后x没有二次项了，不符合题意；
C：，y是x的二次函数，符合题意；
D： ，y不是x的二次函数，y2是x的二次函数，不符合题意。
故答案为 ：C
【分析】 y是x的二次函数，与y存在对应关系的x的多项式中，最高次数应该是2次，据此只有C符号题意。
5．若y＝（a﹣2）x2﹣3x+2是二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠2 B．a＞0 C．a＞2 D．a≠0
【答案】A
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得： ，则．
故答案为：A．
【分析】形如y=ax2+bx+c（a≠0），利用已知函数解析式，可知a-2≠0，可求出a的取值范围.
6．已知二次函数的图象经过原点，则a的值为（ ）
A．0或2 B．0 C．2 D．无法确定
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解： 的图象经过原点，
把代入函数解析式可得：
或
或
又由二次函数可得：
故答案为：
【分析】先求出再求出或 最后求解即可。
7．某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝（x﹣40）（500﹣10x）
B．y＝（x﹣40）（10x﹣500）
C．y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]
D．y＝（x﹣40）[500﹣10（50﹣x）]
【答案】C
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】设销售单价为每千克x元，此时的销售数量为 ，每千克赚的钱为
则 .
故答案为：C.
【分析】设销售单价定为每千克x元,获得利润为y元,则可以根据成本,求出每千克的利润.以及按照销售价每涨1元,月销售量就减少10千克,可求出销量.从而得到总利润关系式.
8．一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价位为y万元，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y=60（1﹣x）2 B．y=60（1﹣x2）
C．y=60﹣x2 D．y=60（1+x）2
【答案】A
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：二年后的价格是为：
60×（1﹣x）×（1﹣x）=60（1﹣x）2，
则函数解析式是：y=60（1﹣x）2．
故选A．
【分析】原价为60，一年后的价格是60×（1﹣x），两年后的价格是为：60×（1﹣x）×（1﹣x）=60（1﹣x）2，则函数解析式求得．
9．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由图知道，抛物线的顶点坐标是（1，3），且过（0，0）点，
设二次函数y=a（x-1）2+3，
把（0，0）代入得0=a+3
解得a=-3．
故二次函数的解析式为y=-3（x-1）2+3．
故答案为：A
【分析】由图可知二次函数的顶点，故可将二次函数设为顶点式。二次函数图象过原点，将（0，0）代入函数的解析式即可。
10．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列二次函数关系式；三角形全等的判定；勾股定理的应用
【解析】【分析】作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，
∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE
∴∠BAC=∠DAE
又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°
∴△ABC≌△ADE（AAS）
∴BC=DE，AC=AE，
设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，
CF=AC-AF=AC-DE=3a，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，
CF2+DF2=CD2，即（3a）2+（4a）2=x2，
解得：，
∴y=S四边形ABCD=S梯形ACDE=×（DE+AC）×DF
=×（a+4a）×4a=10a2=．
故选C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．若抛物线 （ ）经过 ，则该抛物线的解析式为 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线 （ ）经过 ，
∴ ，
解得：a=3，
则抛物线的解析式为 ．
故答案为： ．
【分析】将点A的坐标代入计算即可得到a的值。
12．有下列函数：
①y=5x-4；②；③；④；⑤；
其中属于二次函数的是 （填序号）.
【答案】②④
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：②y=；④y=-1符合二次函数的定义，属于二次函数；
①y=5x-4是一次函数，不属于二次函数；
③y=自变量的最高次数是3，不属于二次函数；
⑤y=的右边不是整式，不属于二次函数.
综上所述，其中属于二次函数的是②④.
故答案为：②④.
【分析】形如“y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）”的函数就是二次函数，据此一一判断得出答案.
13．已知二次函数的图象与x轴的两个交点A，B关于直线对称，且，顶点在函数的图象上，则这个二次函数的表达式为 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵对称轴为直线x=-1，且图象与x轴交于A、B两点，AB=6，
∴抛物线与x轴交于(-4，0)，(2，0)，顶点的横坐标为-1，
∵抛物线顶点在函数y=2x的图象上，
当x=-1代入y=2x得y=-2，
∴抛物线顶点坐标为(-1，-2)，
设二次函数的解析式为y=a(x+1)2-2，
把(-4，0)代入得，
0=9a-2，
解得，a=，
∴这个二次函数的表达式为 .
故答案为：.
【分析】根据二次函数的对称轴为直线x=-1，且图象与x轴交于A、B两点，AB=6，利用抛物线的对称性可求A、B两点的坐标，由顶点在函数y= 2x的图象上，求得顶点坐标，然后设顶点式，利用待定系数法求得解析式即可.
14．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴为直线x=1，且与x轴的一个交点为（3，0），那么它对应的函数解析式是 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由题意得：
=1，解得b=2；
代入点坐标（3，0），则0=-9+6+c，解得c=3；
故答案为： ．
【分析】利用二次函数的顶点式求解即可。
15．若抛物线y=ax2经过点A ( ，－9)，则其解析式为 。
【答案】y=-3x2
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：把点A 代入： 得， ，解得： ，
∴该抛物线的解析式为： y=-3x2
【分析】利用待定系数法将点A的坐标代入函数解析式，求解可得出函数解析式。
16．记抛物线C1：y＝(x﹣2)2+3的顶点为A，抛物线C2：y＝ax2+1(a＜0)顶点是点B，且与x轴的正半轴交于点 C.当△ABC是直角三角形时，抛物线C2的解析式为 .
【答案】y＝﹣x2+1或y＝﹣ x2+1
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理
【解析】【解答】由抛物线C1：y＝(x﹣2)2+3的顶点为A，抛物线C2：y＝ax2+1(a＜0)顶点是点B，可知：A(2，3)、B(0，1)，
∴AB2＝(2﹣0)2+(3﹣1)2＝8.
设点C坐标为(c，0)，
∴AC2＝(2﹣c)2+32＝c2﹣4c+13，BC2＝c2+1.
∵△ABC是直角三角形，
则：①当∠ABC＝90°时，AC2＝BC2+AB2，
即c2﹣4c+13＝(c2+1)+8，解得：c＝1
∴C1(1，0)，
将点C1坐标代入y＝ax2+1得：a+1＝0；解得：a＝﹣1，
∴抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+1，
②当∠BAC＝90°时，BC2＝AC2+AB2，
即c2+1＝(c2﹣4c+13)+8，解得：c＝5，
∴C2(5，0)，
将点C2坐标代入y＝ax2+1得：25a+1＝0，解得：a＝﹣ ，
∴抛物线C2的解析式为：y＝﹣ x2+1，
综上，当△ABC为直角三角形时，抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+1或y＝﹣ x2+1.
故答案是：y＝﹣x2+1或y＝﹣ x2+1.
【分析】根据题意分别求出点A、点B的坐标，继而可得AB2的值，设点C坐标为(c，0)，表示出AC2和BC2，根据△ABC是直角三角形，分∠ABC＝90°和∠BAC＝90°两种情况分别讨论求解即可得.
三、综合题（本大题共7小题，共66分）
17．若二次函数 的x与y的部分对应值如下表：
x -1 0 1 2 3 4
y 0 3 4 3 0 -5
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当x=﹣2时，y的值.
【答案】（1）解：把（﹣1，0）、（0，3）、（1，4）代入 ，得
，解得： ，
∴这个二次函数的解析式是 ；
（2）解：把x=﹣2代入 ，得 .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）从表格中选取三对数值，然后根据待定系数法求解即可；
（2）把x=﹣2代入（1）题中的解析式计算即可.
18．设二次函数是常数，，部分对应值如表：
-2 -1 0 1 2
5 0 -3 -4 -3
（1）试判断该函数图象的开口方向．
（2）根据你的解题经验，直接写出的解．
（3）当时，求函数的值．
【答案】（1）解：将，代入得，
解得，
，
抛物线开口向上．
（2）-1或3
（3）解：将代入得．
【知识点】函数值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（2），
，
解得x1=-1，x2=3．
【分析】（1）将（1，-4）、（2，-3）代入求出a、b的值，进而可得二次函数的解析式以及开口方向；
（2）根据a、b的值可得方程为x-2x-3=0，求解可得x的值；
（3）将x=4代入（1）所求的关系式中进行计算可得y的值.
19．已知二次函数的顶点坐标为，且过点．
（1）直接写出的值；
（2）求二次函数的解析式．
【答案】（1）解：4
（2）解：设二次函数的解析式为：，代入点可得：，
解得：，
∴二次函数的解析式为：．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（1）∵二次函数经过点（-1，4），
∴当，，
∴；
【分析】（1）根据题意先求出当，，再求解即可；
（2）利用待定系数法求函数解析式即可。
20．已知抛物线y＝ax2﹣ax﹣2a（a为常数且不等于0）与x轴的交点为A，B两点，且A点在B的右侧．
（1）当抛物线经过点（3，8），求a的值；
（2）求A、B两点的坐标；
（3）若抛物线的顶点为M，且点M到x轴的距离等于AB的3倍，求抛物线的解析式．
【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2﹣ax﹣2a经过点（3，8），∴8＝a（9﹣3﹣2），∴a＝2；
（2）解：∵方程a（x2﹣x﹣2）＝0，a≠0，∴x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1，∴A（2，0），B（﹣1，0）；
（3）解：∵抛物线 ，∴顶点M的坐标为（ ）．
∵A（2，0），B（﹣1，0），∴AB＝3，由题意得： ，∴a＝±4，∴抛物线为y＝4x2﹣4x﹣8或y＝﹣4x2+4x+8．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）抛物线y＝ax2﹣ax﹣2a经过点（3，8），则8＝a（9﹣3﹣2），即可求解；
（2）令a（x2﹣x﹣2）＝0，即可求解；
（3）AB＝3，顶点M的坐标为（ ），则 ，即可求解。
21．已知二次函数y=ax2+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3）
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为6，求点P的坐标．
【答案】（1）解：设抛物线的解析式为y=a(x 1)(x+3)，
把C(0， 3)代入得a×( 1)×3= 3，
解得a=1，
所以这个二次函数的解析式为y=(x 1)(x+3)=x2+2x 3.
（2）解：∵A(1，0)，B( 3，0)，
∴AB=4，
设P(m，n)，
∵△ABP的面积为6，
∴ AB |n|=6，
解得：n=±3，
当n=3时，m2+2m 3=3，
解得：m= 1+7√或 1 7√，
∴P( 1+ ，3)或P( 1 ，3)；
当n= 3时，m2+2m 3= 5，
解得m=0或m= 2，
∴P(0， 3)或P( 2， 3)；
故P( 1+ ，3)或P( 1 ，3)或(0， 3)或P( 2， 3).
【知识点】公式法解一元二次方程；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】（1）由于已知了抛物线与x的两交点坐标，则可设交点式y=a（x+1）（x-3），然后把C点坐标代入计算出a即可．（2）首先算出AB的长，再设P（m，n），根据△ABP的面积为6可以计算出n的值，然后再利用二次函数解析式计算出m的值即可得到P点坐标．
22．
（1）解方程： ；
（2）已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，求该抛物线的顶点坐标．
【答案】（1）解：∵
（2）解：∵抛物线 y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
∴ ，解得： ，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）
【知识点】因式分解法解一元二次方程；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)根据分解因式法，直接写出答案即可；（2）先用待定系数法，确定函数解析式，然后再化成顶点式，即可完成解答.
23．如图①，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．
（1）求抛物线 的解析式；
（2）如图②，连接 ，点 是第三象限内抛物线上的动点，过点 作 于点 ， 轴交 于点 ，求 面积的最大值及此时点 的坐标；
（3）如图③，若抛物线的顶点坐标为点 ，点 是抛物线对称轴上的动点，在坐标平面内是否存在点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形 若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将 ， 代入抛物线 得
解得
抛物线的解析式为：
（2）解：令 代入抛物线 得
设直线 的解析式为
将 ， 代入得 解得
直线 的解析式为
设 ，
，
是等腰直角三角形
轴，
，
是等腰直角三角形
在 中，
，
当 最大时， 的面积最大．
当 时， 的最大值为
的最大面积
此时，
（3）解：存在．
抛物线
顶点 的坐标为
，
设 ，则 ，
以 ， ， ， 为顶点的四边形为菱形，有以下三种情况：
①当 时，则
，
②当 时，则
解得
③当 时，则
解得 ， （与点 重合，舍去）
综上所述，满足条件的点 有4个，坐标分别为：
， ， ，
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出
，即可作答；
（2）利用待定系数法求出
，再求出直线BC的解析式，最后利用三角形的面积公式进行计算求解即可；
（3）先求出点D的坐标为
，再利用两点间的距离公式求出BD的长度，最后分类讨论，求解即可。
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