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【学完一课练透一课】1.3二次函数的性质
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象与x轴有两个交点 B．当时，y随x的增大而减小
C．函数值的最大值为－5 D．图象顶点坐标为
2．抛物线 与 轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3． 定义运算：，例如，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（ ）
A．b+c＞1 B．b＝2 C．b2+4c＜0 D．c＜0
5．二次函数 的最小值是0，那么c的值等于（ ）
A．4 B．2 C．-4 D．8
6．已知二次函数 的 与 的部分对应值如下表：
… -2 -1 0 1 2 …
… -1 2 3 2 -1 …
关于此函数的图象和性质有如下判断：
①抛物线开口向下．②当 时，函数图象从左到右上升．③方程 的一个根在-2与-1之间．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
7．关于 的方程 有两个不相等的实根 、 ，若 ，则 的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．2
8．已知抛物线y＝x2+（2m﹣6）x+m2﹣3与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，当x 2时，y值随x值的增大而增大.记抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，设M的纵坐标为t，若 ，则m的取值范围是（ ）
A．m≥ B． ≤m≤3 C．m≥3 D．1≤m≤3
9．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y＜n时，x的取值范围是t－3＜x＜1－t，且该二次函数的图象经过点M（3，m2＋3），N（d，2m）两点，则d的值不可能是（ ）
A．－3 B．－1 C．2 D．4
10． 已知抛物线y＝x2﹣bx+c，当x＝1时，y＜0；当x＝2时，y＜0．下列判断：
①b2＞2c；②若c＞1，则b＞；③已知点A（m1，n1），B（m2，n2）在抛物线y＝x2﹣bx+c上，当m1＜m2＜b时，n1＞n2；④若方程x2﹣bx+c＝0的两实数根为x1，x2，则x1+x2＞3．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．已知，，满足，，则二次函数的图像的对称轴为直线 ．
12．已知抛物线与x轴只有1个公共点，则m的值为 .
13．已知二次函数，当时，的取值范围为 .
14．抛物线与轴的两个交点之间的距离为 ．
15．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间不包括这两点，对称轴为直线下列结论：；；；；其中正确结论有 填写所有正确结论的序号．
16．如图，已知直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y= x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM﹣MC|的值最大，求出点M的坐标 .
三、综合题（本大题共7小题，共66分）
17．已知抛物线经过点.
（1）求该抛物线的对称轴.
（2）自变量x在什么范围内时，y随x的增大而减小？
18．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出关于x的不等式的解集；
（3）设D为线段AC上的一个动点（不包括A，C两点），过点D作轴交反比例函数的图象于点E，当△CDE的面积最大时，求点E的坐标，并求出面积的最大值．
19．已知抛物线.
（1）若抛物线与y轴的交点为，求抛物线的函数表达式和顶点坐标.
（2）已知抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，与x轴有交点.若点，在抛物线上，求c的取值范围及m的最大值.
20．二次函数（a、b为常数，且）的图象经过点.
（1）求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）已知点，若该函数图象与线段恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围.
21．已知抛物线的解析式为y= -3x2+6x+9.
（1）求它的对称轴；
（2）求它与x轴，y轴的交点坐标.
22．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）若点M在抛物线的对称轴上，且△MAC的周长最小，求点M的坐标；
（3）若点P在x轴上，且△PBC为等腰三角形，请求出所有符合条件的点P的坐标．
23．已知二次函数 (a为常数)
（1）若二次函数的图象经过点(2，3)，求函数y的表达式.
（2）若a 0，当 时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围.
（3）若二次函数在 时有最大值3，求a的值.
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【学完一课练透一课】1.3二次函数的性质
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象与x轴有两个交点 B．当时，y随x的增大而减小
C．函数值的最大值为－5 D．图象顶点坐标为
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】
函数图象与x轴没有交点，故A说法错误；
对称轴为直线a=-1<0，
当时，y随x的增大而减小，故B说法正确；
对称轴为直线a=-1<0，
函数有最大值，最大值为故C说法错误；
由对称轴和最大值可得顶点坐标为（-2，-1），故D说法错误；
故答案为：B.
【分析】利用可判断A说法错误；利用对称轴和开口方向可判断B说法正确；利用对称轴和开口方向可判断C说法错误；根据对称轴和最大值可判断D说法错误；从而得出结论.
2．抛物线 与 轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：令 ，
则
=
∴抛物线 与 轴的交点坐标是（0，-3），
故答案为：A.
【分析】由题意令x=0可得y的值，则抛物线与y轴的交点坐标可求解.
3． 定义运算：，例如，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解： =（x+1+4）（x+1-2）=（x+5）（x-1）
∴y=x2+4x-5=（x+2）2-9，
∵a=1＞0，
∴当x=-2时y的最小值为-9.
故答案为：B.
【分析】利用定义新运算，可得到y=（x+2）2-9，再利用二次函数的图象及性质，可得y的最小值.
4．抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（ ）
A．b+c＞1 B．b＝2 C．b2+4c＜0 D．c＜0
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于两点，分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，
∴x1-1＜0，x2-1＞0，
∴（x1-1）（x2-1）＜0，
∴x1x2-(x1+x2)+1＜0，
由一元二次方程根与系数的关系得：-c-b+1＜0，
∴b+c＞1.故选项A正确，符合题意；
无法确定b和c的值，故B和D错误；
因为函数与x轴有两个交点，
∴b2-4ac=b2+4c>0，故选项C错误；
故答案为：A.
【分析】抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于两点，分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，根据题意可得（x1-1）（x2-1）＜0，再结合一元二次方程根与系数的关系可判断求解.
5．二次函数 的最小值是0，那么c的值等于（ ）
A．4 B．2 C．-4 D．8
【答案】B
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵二次函数 的最小值是0，
又∵二次项系数a=2＞0，图象开口向上
∴其顶点的纵坐标是其最小值，
即 ，解得：c=2.
故答案为：B.
【分析】二次项系数a=2＞0，图象开口向上，故其顶点的纵坐标是其最小值，据此列出方程，求解可得c的值.
6．已知二次函数 的 与 的部分对应值如下表：
… -2 -1 0 1 2 …
… -1 2 3 2 -1 …
关于此函数的图象和性质有如下判断：
①抛物线开口向下．②当 时，函数图象从左到右上升．③方程 的一个根在-2与-1之间．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：根据表格可知：①函数的对称轴为 ，在对称轴右侧 ，y随x的增大而减小，故函数图象是抛物线，且开口向下，符合题意；
②函数对称轴为 ，当 ，y随x的增大而减小，所以函数图象从左至右下降，不符合题意；
③当 时， ，当 时， ，所以方程 的一个根在-2与-1之间，符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的解析式，再结合表格中的数据一一判断即可。
7．关于 的方程 有两个不相等的实根 、 ，若 ，则 的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数的最值
【解析】【解答】解：由方程 有两个不相等的实根 、
可得， ， ，
∵ ，可得 ， ，即
化简得
则
故 最大值为
故答案为：D
【分析】由根与系数的关系可得x1+x2=-，x1x2=，结合x2=2x1可得9ac=2b2，然后代入待求式中并结合二次函数的性质可得最大值.
8．已知抛物线y＝x2+（2m﹣6）x+m2﹣3与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，当x 2时，y值随x值的增大而增大.记抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，设M的纵坐标为t，若 ，则m的取值范围是（ ）
A．m≥ B． ≤m≤3 C．m≥3 D．1≤m≤3
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当对称轴在y轴的右侧时，
，
由①得： ＜
由②得：
由③得：
解得： ＜3，
当对称轴是y轴时，
m＝3，符合题意，
当对称轴在y轴的左侧时，
解得m＞3，
综上所述，满足条件的m的值为 .
故答案为：A.
【分析】由题意可得：x=≤2，≥-3，然后分对称轴在y轴左侧、对称轴在y轴右侧、y轴为对称轴三种情况进行解答.
9．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y＜n时，x的取值范围是t－3＜x＜1－t，且该二次函数的图象经过点M（3，m2＋3），N（d，2m）两点，则d的值不可能是（ ）
A．－3 B．－1 C．2 D．4
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵ 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y＜n时，x的取值范围是t－3＜x＜1－t，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x==-1，
∵ 该二次函数的图象经过点M（3，m2＋3），N（d，2m）两点 ，
∴点M（3，m2＋3）关于对称轴的对称点为（-5，m2＋3），
∴-5＜d＜3，
∴d不可能为4.
故答案为：D.
【分析】由y＜n时，x的取值范围是t－3＜x＜1－t， 可确定抛物线开口向上及对称轴，再根据二次函数的性质求解即可.
10． 已知抛物线y＝x2﹣bx+c，当x＝1时，y＜0；当x＝2时，y＜0．下列判断：
①b2＞2c；②若c＞1，则b＞；③已知点A（m1，n1），B（m2，n2）在抛物线y＝x2﹣bx+c上，当m1＜m2＜b时，n1＞n2；④若方程x2﹣bx+c＝0的两实数根为x1，x2，则x1+x2＞3．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵a=>0，
∴抛物线开口向上，
∵当x=1时，y<0，当x=2时，y<0，
∴抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴Δ=b2-4ac=b2-2c>0，
∴b2>2c，
故①正确；
∵当x=1时，y<0，当x=2时，y<0，
∴+b+c<0，
∴b>+c，
∴当c>1时，则b>，
∴②正确，
抛物线的对称轴为直线x=，且开口向上，
∴当x∴当m1n2，
∴③正确，
∵方程x2-bx+c=0的两实数根为x1，x2，
∴x1+x2==2b，
由②可知，当c>1时，则b>，
∵c不一定大于1，
∴x1+x2不一定大于3，
∴④错误.
综上，正确的有①②③，共3个.
故答案为：C.
【分析】由题意可知△>0，可判断①，由当x=1时y<0可判断②，由二次函数的性质可判断③，由韦达定理可判断④.
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．已知，，满足，，则二次函数的图像的对称轴为直线 ．
【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：，，
c=-4a-b=a-2b，
5a=b，
二次函数的图像的对称轴为直线
故答案为： .
【分析】根据，，得到5a=b，再根据抛物线的对称轴为直线，代入即可求解.
12．已知抛物线与x轴只有1个公共点，则m的值为 .
【答案】±1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴只有1个公共点，
∴ =0，
∴，
解得.
故答案为：±1.
【分析】根据抛物线与x轴只有一个交点可得 =b2-4ac=0，代入求解可得m的值.
13．已知二次函数，当时，的取值范围为 .
【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵
∴二次函数开口向下，
∵对称轴为，
当时，y取的最大值为：，
根据二次函数的性质，离对称轴距离越远，函数值越小，
即当时，y取的最小值为：
∴当时，的取值范围为．
故答案为：．
【分析】由题意得二次函数开口向下，且对称轴为，进而根据二次函数的性质求解即可．
14．抛物线与轴的两个交点之间的距离为 ．
【答案】5
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】将y=0代入可得，
解得：x1=1，x2=6，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标为（1，0）和（6，0），
∴两点之间的距离为6-1=5，
故答案为：5.
【分析】先求出抛物线与x轴的交点坐标，再利用两点之间的距离公式求解即可.
15．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间不包括这两点，对称轴为直线下列结论：；；；；其中正确结论有 填写所有正确结论的序号．
【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：函数开口方向向上，
；
对称轴在轴右侧
异号，
抛物线与轴交点在轴负半轴，
，
，
故正确；
图象与轴交于点，对称轴为直线，
图象与轴的另一个交点为，
当时，，
，
故错误；
二次函数的图象与轴的交点在的下方，对称轴在轴右侧，，
最小值：，
，
；
正确；
图象与轴的交点在和之间，
，
；
故错误
，
，即；
故正确．
综上所述，正确的有，
故答案为：
【分析】先根据二次函数图象与性质即可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据二次函数与坐标轴的交点问题结合题意求出图象与轴的另一个交点为，进而即可判断②；根据二次函数的最值得到函数的最小值为，从而即可判断③；根据方程的两根为，可得，进而即可判断④⑤。
16．如图，已知直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y= x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM﹣MC|的值最大，求出点M的坐标 .
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形三边关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】（1）将A（0，1）、B（1，0）坐标代入y=x2+bx+c，
得，
解得，
∴抛物线的解折式为y=x2-x+1；
∴抛物线的对称轴为x=，
∵B、C关于x=对称，
∴MC=MB，
要使|AM-MC|最大，即是|AM-MB|最大，
由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时|AM-MB|的值最大．
易知直线AB的解析式为y=-x+1
∴由，
得，
∴M（，-）．
【分析】将A（0，1）、B（1，0）代入解析式中求出b、c值，即得y=x2-x+1，可得抛物线的对称轴为x=，根据抛物线的对称性可得MC=MB，要使|AM-MC|最大，即是|AM-MB|最大，可知
当A、B、M在同一直线上时|AM-MB|的值最大，求出此时直线AB的解析式，再求出x=时y值，即得点M坐标.
三、综合题（本大题共7小题，共66分）
17．已知抛物线经过点.
（1）求该抛物线的对称轴.
（2）自变量x在什么范围内时，y随x的增大而减小？
【答案】（1）解：把（-1，0），（3，0）代入抛物线解析式得：，
解得：b=-2，c=-3，
则抛物线解析式为y=x2-2x-3，
∴抛物线的对称轴为直线x==1；
（2）解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，a＞0，开口向上，
则x＜1时，y随x的增大而减小.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）把（-1，0），（3，0）代入抛物线 y=x2+bx+c可得关于字母b、c的方程组，求解可得b、c的值，从而即可得出抛物线的解析式；
（2）由抛物线的对称性可得其对称轴直线为x=1，又二次项系数a=1＞0，故开口向上，则x＜1时，y随x的增大而减小.
18．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出关于x的不等式的解集；
（3）设D为线段AC上的一个动点（不包括A，C两点），过点D作轴交反比例函数的图象于点E，当△CDE的面积最大时，求点E的坐标，并求出面积的最大值．
【答案】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为．
∵点在反比例函数的图象上，
，解得，
，．
，在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数的解析式为．
（2）解：关于x的不等式的解集为或．
（3）解：由（1）可知．
设点D的坐标为，则点，
，
，
当时，的最大值为4，
此时点E的坐标为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的最值
【解析】【分析】（1）利用待定系数法及已知点B先求出反比例函数关系式，从而计算出A点坐标，最后再利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）根据图形关系及交点A、B坐标分析得出不等式的解集即可；
（3）设点表示目标三角形的面积，进而利用配方法得出其最值即可。
19．已知抛物线.
（1）若抛物线与y轴的交点为，求抛物线的函数表达式和顶点坐标.
（2）已知抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，与x轴有交点.若点，在抛物线上，求c的取值范围及m的最大值.
【答案】（1）解：抛物线与y轴的交点为，
，
抛物线的函数表达式为，
，
顶点坐标为；
（2）解：抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，
，
抛物线与x轴有交点，
有实数解，
，
由图象法解一元二次不等式，得：或（舍），
c的取值范围为，
抛物线，
对称轴为，
点，在抛物线上，
，
，
，
m的最大值为1.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）根据抛物线与y轴的交点坐标可得c的值，代入可得抛物线的解析式，然后将其化为顶点式，进而可得顶点坐标；
（2）由题意可得c>0，根据抛物线与x轴有两个交点可得△≥0，代入求解可得c的范围，根据解析式可得对称轴为直线x=-c，由点A、B在抛物线上可得m+(m-4)=-2c，结合c的范围就可求出m的范围，进而可得m的最大值.
20．二次函数（a、b为常数，且）的图象经过点.
（1）求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）已知点，若该函数图象与线段恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围.
【答案】（1）证明：∵二次函数 的图象经过点 .
∴ ，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ，
当 时， ，
∵
∴ ，
解得： ，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）解：a的取值范围为 或 或
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：（2）解：由（1）抛物线与x轴的交点为 ， ，
当 时， ，
∴抛物线与y轴的交点为 ，
∵ ，
∴抛物线的顶点坐标为 ，
当 时， ，
当抛物线的顶点在线段BC上时，如图，
∵点 ，
∴ ，
解得： ；
当 时，如图，
此时有 ，解得： ；
当 时，如图，
此时有 ，解得： ；
综上所述，a的取值范围为 或 或 .
【分析】（1）将点A（-1，0）代入y=ax2+bx-3a可得b=-2a，故函数解析式为y=ax2-2ax-3a，令解析式中的y=0，求解可得有两个不相等的值，从而即可得出结论；
（2）由（1）得抛物线与x轴的交点为（-1，0）与（3，0），令解析式中的x=0算出对应的y的值可得抛物线与y轴的交点为（0，-3a），将抛物线的解析式配成顶点式可得顶点坐标为（1，-4a），
算出当x=5时，对应的函数值为y=12a，然后分类讨论：①当抛物线的顶点在线段BC上时，由于B、C两点的纵坐标相同，故顶点的纵坐标也是4，据此建立方程求出a的值；②当a＞0时，x=5时的函数值就应该≥4，据此建立不等式求解可得a的取值范围；③当a＜0时，抛物线与y轴交点的纵坐标应该＞4，据此建立不等式，求解可得a的取值范围，综上即可得出答案.
21．已知抛物线的解析式为y= -3x2+6x+9.
（1）求它的对称轴；
（2）求它与x轴，y轴的交点坐标.
【答案】（1）解：∵x＝﹣ ＝1，∴对称轴为直线x＝1
（2）解：令x＝0，得y＝9；
令y＝0，得x＝﹣1或3，
故与x轴的交点为（﹣1，0）（3，0），与y轴的交点为（0，9）.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）直接代入对称轴的公式即可求解；
（2）令x=0求出y的值，得出抛物线与y轴的交点坐标，令y=0求出x的值，得出抛物线与x轴的交点坐标.
22．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）若点M在抛物线的对称轴上，且△MAC的周长最小，求点M的坐标；
（3）若点P在x轴上，且△PBC为等腰三角形，请求出所有符合条件的点P的坐标．
【答案】（1）解：令
解得，
∴A ， B
令，得，
∴C
∴点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为
（2）解：如图，过点C作对称轴l，与抛物线交于点E，连接AE交l于点M
∵点C与点E关于直线l对称，点M在对称轴l上
∴，
∴△MAC的周长
∴当且仅当E、M、A三点共线时，△MAC的周长最小
设直线AE的解析式为，
将坐标代入得
解得
∴直线AE的解析式为
令，得
∴点M坐标为．
（3）解：设P点的坐标为
∵，
∴，，
当△PBC是等腰三角形时，分三种情况求解：
①当时，由题意可得
解得
∴P的坐标为；
②当时，由题意可得
解得或
∴P的坐标为或；
③当时，由题意可得
解得或（不合题意，舍去）
∴P的坐标为；
综上所述，P点的坐标为 或 或 或．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；等腰三角形的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）由，可求出x=0时y值，y=0时x的值，继而得出A、B、C的坐标；
（2）过点C作对称轴l，与抛物线交于点E，连接AE交l于点M，可得MC=ME，由△MAC的周长，可知当且仅当E、M、A三点共线时，△MAC的周长最小 ，求出直线AE的解析式，并求出x=-1时y值，即得点M坐标；
（3）分三种情况：①当时 ， ②当时 ， ③当时， 据此分别解答即可.
23．已知二次函数 (a为常数)
（1）若二次函数的图象经过点(2，3)，求函数y的表达式.
（2）若a 0，当 时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围.
（3）若二次函数在 时有最大值3，求a的值.
【答案】（1）解：把(2，3)代入 得，
解得：
二次函数解析式为： ；
（2）解：∵抛物线的对称轴为直线 ， ，
∴抛物线开口向上，当 时，二次函数y随x的增大而减小
∵ 时，此二次函数y随x的增大而减小
∴ ，
解得： ；
（3）解：将二次函数化为顶点式得：
∵二次函数在 时有最大值3
①当 时，开口向上，
∴当 时，y有最大值，最大值为8a，
∴ ，
∴ ，
②当 时，开口向下
∴当 时，y有最大值，最大值为 ，
∴ ，
∴ ，
综上， 或 .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）把点 (2，3) 代入解析式可得a的值，从而即可得出结果；
（2）根据抛物线对称轴和开口向上可得， 当 x＜-2 时，二次函数y随x的增大而减小，可得结果；
（3）根据抛物线对称轴分类讨论开口向上、向下可得结果.
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