中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025九年级上册数学课堂同步练习【浙教版】
1.6 二次函数中存在性问题七大题型（一课一练）
1．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线解析式及点坐标；
(2)是平面直角坐标系内一点，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标；
(3)该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为．
(1)求的面积；
(2)在轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是第四象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，若，求出点D的坐标；
(3)若P为x轴上一动点，Q为抛物线上一动点，是否存在点P、Q，使得以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图①，直线与轴、轴分别交于，两点，抛物线与轴交于点，与轴正半轴交于点，设是点，间抛物线上的点（包括端点）．其横坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当为何值时，面积取得最大值？请说明理由；
(3)如图②，连接，抛物线上是否存在点，使得是以为底的等腰三角形，如果存在，请求出点的坐标，不存在，请说明理由．
5．如图1，抛物线与x轴交于点，，与轴交于点，顶点为，直线交轴于点．
(1)求抛物线的表达式．
(2)如图2，将沿直线平移得到．
①当点落在抛物线上时，求点的坐标．
②在移动过程中，存在点使为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当时，y的取值范围是，求t的值；
(3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
7．如图，抛物线的图象经过点，与轴交于点A，点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上；
(3)在轴上方的抛物线上，是否存在点，使是等腰直角三角形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)已知点在抛物线上，当时，直接写出的取值范围；
(3)抛物线的对称轴与轴交于点，点坐标为，试问在该抛物线上是否存在点，使与全等？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图1，抛物线与直线相交于，两点，与轴交于点．
(1)则抛物线的解析式为______；
(2)如图2，点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点C重合），过点P作直线轴于点D，交直线于点E，连接，，设点P的横坐标为m，
①当时，求点坐标；
②当点在抛物线上运动的过程中，存在点使得以点，，为顶点的等腰三角形，请求出此时的值．
10．如图，抛物线与直线相交于两点，与轴相交于另一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是直线上方抛物线上的一个动点（不与重合），过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标；
(3)抛物线上是否存在点使的面积等于面积的一半？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com) 同舟共理工作室中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025九年级上册数学课堂同步练习【浙教版】
1.6 二次函数中存在性问题七大题型（一课一练）
1．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线解析式及点坐标；
(2)是平面直角坐标系内一点，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标；
(3)该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)或或
(3)存在，
【分析】（1）根据待定系数法求出抛物线的解析式，然后即可求出抛物线与轴和轴的交点坐标；
（2）分三种情况，先确定四边形的对角线，找到对角线的中点，然后根据中点坐标公式即可求解；
（3）如图，作，使，连接，交对称轴于点，作轴于，即，点即为所求；证明，则，，待定系数法求直线的解析式为，将代入，计算求解，进而可得．
【详解】（1）解：将，代入解析式得，
，
抛物线的解析式为，
点的坐标为；
（2）解：由题意知，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况求解；
当为对角线，则为对角线，
设的中点为，则，
设，
∴，
解得，，
∴；
当为对角线，则为对角线，
设的中点为，则，
设，
∴，
解得，，
∴；
当为对角线，则为对角线，
设的中点为，则，
设，
∴，
解得，，
∴；
综上所述，点的坐标为或或；
（3）解：存在，理由如下；
如图，作，使，连接，交对称轴于点，作轴于，
∵，，
∴，即，点即为所求；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
由题意知，的对称轴为直线，
将代入得，，
∴，
∴存在，．
2．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为．
(1)求的面积；
(2)在轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在点，使是直角三角形，点坐标为或或或
【分析】（1）先求出，，，，求出直线的解析式为，作轴交于，则，，再根据，即可得解；
（2）设，则，，，分三种情况分别求出点的坐标即可．
【详解】（1）解：令，
解得或，
∴，，
令，则，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式得，
解得：，
∴直线的解析式为，
作轴交于，
当时，，即，
∴，
∴；
（2）解：存在点E，使是直角三角形，理由如下：
设，
∴，，，
当为直角三角形的斜边时，，
解得，
∴或；
当为直角三角形的斜边时，，
解得，
∴；
当为直角三角形的斜边时，，
解得，
∴；
综上所述：点坐标为或或或．
3．如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是第四象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，若，求出点D的坐标；
(3)若P为x轴上一动点，Q为抛物线上一动点，是否存在点P、Q，使得以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)点的坐标为
(3)存在，P的坐标为、、、
【分析】（1）因为经过，两点，所以，再代，即可作答．
（2）先把、代入，并解出直线BC的解析式为，因为，所以，解得，得，即可作答．
（3）结合平行四边形的性质，要进行分类讨论，即①当为对角线；②当为对角线；③当为对角线，然后列出方程组解方程，即可作答．
【详解】（1）解：设抛物线为，
经过，两点，
，
把代入得：，
，
抛物线的解析式为．
（2）解：设直线的解析式为，
把、代入得：
直线的解析式为，
设，则，，
，，
，
，
，
解得（不符合，舍去），，
经检验：是方程的解
把代入，解得
点的坐标为．
（3）解：存在，过程如下：
依题意，设，且，，
∵以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形
∴①当为对角线时，则
，
；
②当为对角线时，则
，
，；
③当为对角线时，则
，
．
综上所述，P的坐标为、、、．
4．如图①，直线与轴、轴分别交于，两点，抛物线与轴交于点，与轴正半轴交于点，设是点，间抛物线上的点（包括端点）．其横坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当为何值时，面积取得最大值？请说明理由；
(3)如图②，连接，抛物线上是否存在点，使得是以为底的等腰三角形，如果存在，请求出点的坐标，不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当时，最大，理由见解析
(3)存在，或
【分析】本题考查了二次函数综合问题；待定系数法求解析式，面积问题，特殊三角形问题；
（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）连接，，过点作轴交于．过点作分别交直线，于、，求得直线的解析式为．得出点在运动过程中的长保持不变，要使的面积最大，则最大，即要使最大，进而根据二次函数的性质求得的最大值，即可求解；
（3）设，进而勾股定理求得，根据等腰三角形的定义，建立方程，解方程即可求解．
【详解】（1）把，代入抛物线解析
式中得：，
抛物线解析式为；
（2）如图所示，连接，，过点作轴交于．
过点作分别交直线，于、
设直线的解析式为，
直线过点，．
，
直线的解析式为．
直线与直线平行，
，
点在运动过程中的长保持不变，要使的面积最大，
则最大，即要使最大，
，
当最大时，最大，即此时的面积最大，
是点，间抛物线上的一点（包括端点）．其横坐标为．
，，
，
当时，最大，即此时的面积最大；
（3）设
，
∵是以为底的等腰三角形
解得：，
或
5．如图1，抛物线与x轴交于点，，与轴交于点，顶点为，直线交轴于点．
(1)求抛物线的表达式．
(2)如图2，将沿直线平移得到．
①当点落在抛物线上时，求点的坐标．
②在移动过程中，存在点使为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】(1)抛物线的表达式为
(2)①点的坐标为或；②点的坐标为或或或
【分析】（1）抛物线的表达式为：，即，解方程即可得到答案；
（2）①将点的坐标代入抛物线表达式，即可求解；②根据题意，分为直角、为直角、为直角三种情况，由勾股定理分别列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，，
∴设抛物线解析式为，
则，即，
解得，
故抛物线的表达式为；
（2）解：抛物线与x轴交于点，，
函数的对称轴为，故点；
设直线的表达式为：，
将点、的坐标代入得，解得，
直线的表达式为，
设点，
∵，则点，
①将点的坐标代入抛物线表达式得，
解得，
故点的坐标为或；
②点，点的坐标分别为、，则，，，
当为直角时，由勾股定理得，
解得，
故点的坐标为或；
当为直角时，由勾股定理得，
解得，
故点的坐标为；
当为直角时，由勾股定理得，
解得，
故点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或或或．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当时，y的取值范围是，求t的值；
(3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在点以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2
【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）分和，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可．
（3）分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称，
∴，解得：，
∴；
（2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小，
∵时，，
①当时，则：当时，函数有最大值，即：，
解得：或，均不符合题意，舍去；
②当时，则：当时，函数有最大值，即：，
解得：；
故；
（3）存在；
当时，解得：，当时，，
∴，，
设直线的解析式为，把代入，得：，
∴，
设，则：，
∴，，，
当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况：
①当为边时，则：，即，
解得：（舍去）或，
此时菱形的边长为；
②当为对角线时，则：，即：，
解得：或（舍去）
此时菱形的边长为：；
综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2．
7．如图，抛物线的图象经过点，与轴交于点A，点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上；
(3)在轴上方的抛物线上，是否存在点，使是等腰直角三角形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，点在抛物线上
(3)存在，点的坐标为：或
【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数与几何的综合、二次函数图像的平移等知识点，灵活利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来成为解题的关键．
（1）将点D的坐标代入抛物线表达式，求得a的值即可；
（2）由题意得：，当x=1时，，即可判断点是否在抛物线上；
（3）分为直角、为直角、为直角三种情况，分别运用全等三角形的判定与性质，进而确定点E的坐标，进而确定点P的坐标．
【详解】（1）解：将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，
则抛物线的表达式为：．
（2）解：由题意得：，
当时，，
故点在抛物线上．
（3）解：存在，理由如下：
①当为直角时，如图1，过点作且，则为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
∴，，
∴点，
当时，，即点在抛物线上，
∴点即为点；
②当为直角时，如图2，
同理可得：，
∴，，
∴点，
当时，，
∴点在抛物线上，
∴点即为点；
③当为直角时，如图3，
设点，
同理可得：，
∴且，解得：且，
∴点，
当时，，
即点不在抛物线上；
综上，点的坐标为：或．
8．如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)已知点在抛物线上，当时，直接写出的取值范围；
(3)抛物线的对称轴与轴交于点，点坐标为，试问在该抛物线上是否存在点，使与全等？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为或
【分析】本题考查了二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键．
（1）将，两点的坐标代入解析式可得抛物线的解析式；
（2）根据二次函数的性质可求的取值范围；
（3）在x轴上方的不存在，点只可能在轴的下方，按照题意，分别求解即可．
【详解】（1）解：将、代入抛物线得：
，
解得：，
抛物线的函数解析式为：；
（2）令，
解得：或，即、，
抛物线的对称轴为，
∵，
∴当时，，
当时，函数的最小值为顶点纵坐标的值：，
故的取值范围为；
（3）存在
到轴的距离为，由图象可知，
则点在轴下方，点到轴的距离为，
当时，，
解得：或，
点的坐标为或．
∵关于x轴对称
∴与全等，
∵关于抛物线的对称轴对称
∴与全等
9．如图1，抛物线与直线相交于，两点，与轴交于点．
(1)则抛物线的解析式为______；
(2)如图2，点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点C重合），过点P作直线轴于点D，交直线于点E，连接，，设点P的横坐标为m，
①当时，求点坐标；
②当点在抛物线上运动的过程中，存在点使得以点，，为顶点的等腰三角形，请求出此时的值．
【答案】(1)
(2)①点坐标为或；②存在，的值为或或或
【分析】（1）由、、三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式：
（2）①可得出点坐标，则可表示出、的坐标，从而可表示出和的长，由条件可知到关于点坐标的方程，则可求得点坐标；
②由，，三点坐标可表示出，和的长，由等腰三角形的性质可得到关于m的方程，即可求解．
【详解】（1）解：把，，，代入抛物线解析式得：
，解得 ，
∴抛物线解析式为；
（2）①∵点的横坐标为，
∴，则，，
则，，
∵，
∴，
当时，解得或，但当时，与重合不合题意，舍去，
∴；
当时，解得或，但当时，与重合不合题意，舍去，
∴；
综上可知P点坐标为或；
②∵，，，，
∴，
，
，
当为等腰三角形时，则有、或三种情况，
当时，则，
解得；
当时，则，解得或；
当时，则，
解得或（舍去）：
综上可知，存在点P使得以点B，E，C为顶点的等腰三角形，此时m的值为或或或．
10．如图，抛物线与直线相交于两点，与轴相交于另一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是直线上方抛物线上的一个动点（不与重合），过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标；
(3)抛物线上是否存在点使的面积等于面积的一半？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)的坐标为
(3)的坐标为或或或
【分析】（1）把代入求出，再用待定系数法可得抛物线的解析式为；
（2）设，则，，由，可得，解出的值可得的坐标为；
（3）过作轴交直线于，求出，知，故，设，则，可得，，根据的面积等于面积的一半，有，可得，即或，解出的值可得答案．
【详解】（1）解：把代入得：，
，
把，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：设，则，，
，
，
解得或（此时不在直线上方，舍去）；
的坐标为；
（3）解：抛物线上存在点，使的面积等于面积的一半，理由如下：
过作轴交直线于，过点B作，延长交x轴于点F，如图：
在中，令得，
解得或，
，，
，
，
，
设，则，
，
∵
，
的面积等于面积的一半，
，
，
或，
解得或，
的坐标为或或或．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com) 同舟共理工作室
