中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025九年级上册数学课堂同步练习【浙教版】
1.2 二次函数的图像和性质（一）七大题型（一课一练）
1．若二次函数的图象过点，则必在该图象上的点还有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数解析式的求法，以及二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
把代入得的值，然后把各点坐标代入二次函数解析式判断是否在图像上即可得到答案．
【详解】解：把代入得，
解得：
所以二次函数解析式：．
A．当时，，故在函数图像上，但因题目中已给出，重复，故不符合题意；
B． 当时，，故不在函数图像上；
C． 当时，，故在函数图像上；
D． 当时，，故不在函数图像上；
故选C．
2．下列各函数中，随的增大而增大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数、一次函数、反比例函数的增减性．根据一次函数的时，随的增大而增大，时，随的增大而减小；二次函数的，在对称轴的左侧，随的增大而减小、在对称轴的右侧，随的增大而增大，，在对称轴的左侧，随的增大而增大、在对称轴的右侧，随的增大而减小；反比例函数的时，随的增大而减小，时，随的增大而增大进行判断即可求解．
【详解】解：A、中，在每一象限内，随的增大而减小，A不符合题意；
B、中，随的增大而减小，B不符合题意；
C、中，在对称轴的左侧，随的增大而增大、在对称轴的右侧，随的增大而减小，C不符合题意；
D、中，随的增大而增大，D符合题意．
故选：D．
3．二次函数的的最大值是（ ）
A．7 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的最值，根据二次函数的性质解答即可．
【详解】解：，
∴函数有最大值7．
故选A．
4．若抛物线（m是常数）的图象只经过第一、二、四象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质；
将抛物线解析式化成顶点式，可得抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，然后根据题意得出关于m的不等式组，求解即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
∵抛物线（m是常数）的图象只经过第一、二、四象限，
∴，
∴，
故选：C．
5．已知点，，，在二次函数的图象上，点，是该函数图象与正比例函数为常数且的图象的交点．若，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了二次函数的性质，正比例函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．首先确定在第三象限，、在第一象限，利用正比例函数的性质以及二次函数的性质判断即可．
【详解】解：，
正比例函数的图象经过一、三象限，
点，是该函数图象与正比例函数为常数且的图象的交点，且，
在第三象限，在第一象限，
由二次函数可知抛物线开口向下，对称轴为轴，
当时，随的增大而减小，
在第一象限，
，，
．
故选：D．
6．对于二次函数的图象，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上 B．顶点坐标是
C．当时，随的增大而增大 D．对称轴是直线
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，掌握顶点式及抛物线的性质是解题的关键．
【详解】解：A、，开口向上，故A说法正确，不合题意；
B、顶点坐标为，故B说法正确，不合题意；
C、当时，抛物线右侧部分，随的增大而增大，故C说法正确，不合题意；
D、抛物线对称轴为，故D说法错误，符合题意；
故选：D．
7．已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．
C． D．或
【答案】D
【分析】本题考查二次函数与不等式的解集，解题的关键是当函数图象在轴的上方时，，即可得到答案．
【详解】由函数图象可知，当或时，函数图象在轴的上方，即，
∴的解集为：或，
故选：D．
8．已知二次函数，如果当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，没有最小值
C．没有最大值，有最小值 D．没有最大值，也没有最小值
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质和一次函数的性质．利用二次函数的性质表示出的代数值，从而转化为一次函数的性质求解．
【详解】解：由题意得二次函数，开口向下，且对称轴为，
当时，y随x增大而增大，，
即是m的一次函数，
∵，则，
∴一次函数呈上升趋势．
则有最小值，没有最大值．
故选：C．
9．如图，在平面直角坐标系中，经过的一次函数的图象与经过的一次函数的图象相交于点C．若点C的纵坐标为3，则函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了函数图象判别，求一次函数解析式，解题的关键是设点，一次函数的解析式为，一次函数的解析式为，求出，，然后再求出，最后进行判断即可．
【详解】解：设点，一次函数的解析式为，一次函数的解析式为，
把分别代入两个函数解析式得：
，，
解得：，，
∴，，
∴，
∵，
∴的图象为开口向下，顶点为的抛物线，
所以C选项符合题意．
故选：C．
10．已知函数，若则下列说法正确的是（ ）
A．当时，有最小值 B．当时，无最大值
C．当时，有最小值 D．当时，有最大值
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，画出函数图象，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解即可．
【详解】解：画出函数图象如图：
由图可知：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
当时，，
当时，即：，
∴，
∴，当的值越小，越小，无限接近0，但不等于0，即没有最小值，
当时，，
当时，，
当时，，
时，，当，时，的值最大，为，
综上：当时，有最大值，无最小值，
故选项A，B错误；
当时，，
当时，即：，
∴当越小时，的值越大，即没有最大值，
当时，，
当时，；
当时，，
当时，和的函数值相同时，的值最小，
综上：当，有最小值，无最大值；
故选项C正确，D错误．
故选C．
11．下列4个函数，①；②；③；④，其中图象是中心对称图形，且对称中心在原点的共有 个．
【答案】1
【分析】本题考查函数图象与性质，涉及函数的中心对称性等知识，根据一次函数图象与性质、反比例函数图象与性质、二次函数图象与性质、正比例函数图象与性质逐项验证即可得到答案，熟记初中四类函数图象与性质是解决问题的关键．
【详解】解：①的图象是中心对称图形，但对称中心不是原点，故①不符合题意；
②的图象是中心对称图形，且对称中心在原点，故②符合题意；
③的图象不是中心对称图形，故③不符合题意；
④的图象不是关于原点对称的中心对称图形，故④不符合题意；
综上所述，其中图象是中心对称图形，且对称中心在原点的共有1个，
故答案为：1．
12．抛物线的顶点坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据二次函数 的顶点坐标是，即可求出．
【详解】解：
顶点坐标为,
故答案为 ．
13．已知关于x的二次函数，当时，函数y的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，能够根据二次函数解析式判断出抛物线的开口方向、对称轴，并熟练运用数形结合思想是解题的关键．根据函数解析式得出抛物线的对称轴，抛物线开口向上，当时，函数有最小值，距离对称轴越远，函数值越大，由此可解．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴抛物线开口向上，对称轴为，
∴在范围内，当时，函数有最小值，最小值为1，
当时，函数有最大值，最大值为：，
∴的取值范围为，
故答案为：．
14．已知，若抛物线与线段没有交点，则m取值范围为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一次函数交点问题，由可得抛物线随m值的变化，抛物线顶点在直线上移动，分抛物线对称轴在点A左侧，在点A右侧，两种情况讨论即可．
【详解】解：由可得抛物线的对称轴直线为，顶点坐标为，图象开口向上，
如图，随m值的变化，抛物线顶点在直线上移动，
当对称轴在点A左侧时，，
把代入得，
解得或 (舍去)，
时，抛物线与线段没有交点，
当对称轴在点A右侧时，，
设线段所在直线的解析式为，
将代入，得：，
解得：，
线段所在直线的解析式为，
联立，得：，
抛物线与线段没有交点，
，
，
综上，当或，抛物线与线段没有交点，
故答案为：或．
15．一条抛物线的顶点坐标为，则该二次函数的函数表达式可以为 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了抛物线的顶点式，熟练掌握其顶点式是解题的关键．设抛物线解析式为，根据抛物线的顶点坐标为，得，于是抛物线解析式为，取的值即可.
【详解】解：设抛物线解析式为，
抛物线的顶点坐标为，
，
抛物线解析式为，
取，此时二次函数的函数表达式为．
故答案为：（答案不唯一）．
16．已知，是抛物线上的两点，则的大小关系是 .（用“”、“”或“”填空）
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，先求出抛物线的对称轴，再根据开口方向向上，可得抛物线上的点离对称轴的水平距离越近，函数值越小，反之越大，据此即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：由二次函数可得，抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴的水平距离越近，函数值越小，反之越大，
∵，
∴，
故答案为：．
17．在同一个平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则的大小关系为 ．
【答案】#
【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线的开口方向和开口大小由的值决定的，越大，开口越小，掌握抛物线的开口方向和开口大小由的值决定是解题的关键．
【详解】解：由抛物线开口方向可知，为正数，
又由开口大小可得，，
故答案为：．
18．我们把对称轩和开口方向都相同的抛物线称作“同向共轴抛物线”．例如抛物线与的对称轴都是直线，且开口方向都向下，则这两条抛物线称作“同向共轴抛物线”．若抛物线与是“同向共轴抛物线”，且两抛物线的顶点相距3个单位长度，则该抛物线的解析式为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了的图象和性质，对于二次函数，其顶点坐标为，对称轴为直线，据此及可求解．
【详解】解：由题得抛物线的顶点为，抛物线的对称轴为直线
两抛物线为“同向共轴抛物线”，且顶点相距3个单位长度，
的顶点为或，且
∴该抛物线的解析式为或．
故答案为：或
19．下列函数在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①；②；③；④．根据图象回答下列问题：
(1)这些函数的图象都是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？
(2)图象有最高点或最低点吗？如果有，最高点或最低点的坐标是什么？
【答案】(1)这四个函数的图象都是轴对称图形，对称轴都是y轴
(2)函数和的图象有最低点，函数和的图象有最高点，这些最低点和最高点的坐标都是
【分析】本题考查了对称轴的性质，二次函数的图形和性质，解题的关键是画出二次函数的图像；（1）画出二次函数的图像，根据轴对称的性质，即可求解；（2）根据图像可以观察出函数的二次函数的最低点和最高点．
【详解】（1）要画出已知四个函数的图象，需先列表，因为在这些函数中，自变量的取值范围是全体实数，故应以原点O为中心，对称地选取x的值，列出函数的对应值表．
解：列表：
4
描点、连线，函数图象如图所示．
这四个函数的图象都是轴对称图形，对称轴都是轴；
（2）函数和的图象有最低点，函数和的图象有最高点，这些最低点和最高点的坐标都是．
20．已知函数是关于x的二次函数．
(1)求m的值；
(2)当m为何值时，该函数图像的开口向下？
(3)当m为何值时，该函数有最小值？
(4)试说明函数的增减性．
【答案】(1)或
(2)当时，该函数图像的开口向下
(3)当时，原函数有最小值
(4)见解析
【分析】(1)由二次函数的定义可得故可求m的值．
(2)图像的开口向下，则，结合（1）中的结果，即可得m的值；
(3)函数有最小值，则，结合（1）中的结果，即可得m的值；；
(4)根据（1）中求得的m的值，先求出抛物线的解析式，函数的增减性由函数的开口方向及对称轴来确定．
【详解】（1）根据题意，得，
解得，
∴当或时，原函数为二次函数．
（2）∵图像开口向下，
∴，
∴，
∴，
∴当时，该函数图像的开口向下．
（3）∵函数有最小值，
∴，
则，
∴，
∴当时，原函数有最小值．
（4）当时，此函数为，开口向下，对称轴为y轴，
当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；
当时，此函数为，开口向上，对称轴为y轴，
当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大．
21．观察二次函数的图象，并填空．
(1)图象与x轴的交点也是它的________，这个点的坐标是________；
(2)二次函数的图象是一条________，它的开口向________，它的对称轴为________；
(3)当时，随着x值的增大，y的值________；当时，随着x值的增大，y的值________．
【答案】(1)顶点，
(2)抛物线，上，y轴（或直线）
(3)减小，增大
【分析】此题主要考查了二次函数的图象性质，掌握的性质是解题关键．
（1）根据的图象得出顶点位置及坐标；
（2）根据的图象得出其形状、开口方向及对称轴；
（3）根据的图象得出其性质．
【详解】（1）图象与x轴的交点也是它的顶点，这个点的坐标是．
故答案为：顶点，
（2）二次函数的图象是一条抛物线，它的开口向上，它的对称轴为y轴（或直线）．
故答案为：抛物线，上，y轴（或直线）
（3）当时，随着x值的增大，y的值减小；当时，随着x值的增大，y的值增大．
故答案为：减小，增大
22．已知二次函数．
(1)该抛物线的对称轴是______，顶点坐标______；
(2)补充下列表格，并在下图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；
… …
… …
(3)若该抛物线上两点，的横坐标满足，则_____（比较大小）．
【答案】(1)轴，；
(2)，，图象见解析；
(3)．
【分析】（）根据表格中得数据可得对称轴，根据解析式可求出顶点坐标；
（）把的值代入解析式，即可得到的值；
（）根据性质即可得出结论；
本题考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵时，；时，，
∴抛物线的对称轴为直线，即轴，
当时，，
∴抛物线的顶点坐标为，
故答案为：轴，；
（2）当时，；
当时，；
故答案为：，；
利用描点法作出的函数图象如下所示：
（3）∵，
∴抛物线开口向下，在轴的右侧，随的增大而减小，
∵，
∴，
故答案为：．
23．如图所示，已知直线与抛物线交于A，B两点．
(1)求A，B两点的坐标．
(2)观察图象，直接写出当时的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了抛物线与一次函数的交点问题：
（1）因为直线与抛物线交于A，B两点．则联立式子，得，解得的值，即可作答；
（2）由（1）知，，结合图象，即可知道当时的取值范围；
正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）解：依题意，
得
则，
解得，，
所以，；
（2）解：由（1）知直线与抛物线交于，，
故结合图象，当时，则，
所以当时的取值范围为．
24．已知一次函数的图象与二次函数的图象相交于点．
(1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
(2)根据函数图象，直接写出不等式的解集；
(3)当时，直线与直线只有一个交点，求n的取值范围；
【答案】(1)一次函数的表达式为，画图见解析
(2)或
(3)或
【分析】（1）将点A，B坐标代入二次函数中求的值，进而可得点坐标，然后将点坐标代入一次函数解析式中求的值，进而可得一次函数解析式，最后描点连线即可；
（2）根据不等式的解集是一次函数图象在二次函数图象下方所对应的的取值范围求解即可；
（3）求时的二次函数的函数值为，然后结合图象，可知在顶点以及上方，下方时，只有一个交点，确定取值范围即可；
【详解】（1）∵二次函数二次函数的图象相交于点，
∴，；
∴，
∵一次函数的图象过A点和B点，
∴，解得，
∴一次函数的表达式为，
描点作图如下：
（2）由（1）中的图象可得，
不等式的解集为：或；
（3）把代入得
∵，
由图象可知，当时，抛物线与直线只有一个交点，则n的取值范围是或；
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com) 同舟共理工作室中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025九年级上册数学课堂同步练习【浙教版】
1.2 二次函数的图像和性质（一）七大题型（一课一练）
1．若二次函数的图象过点，则必在该图象上的点还有（ ）
A． B． C． D．
2．下列各函数中，随的增大而增大的是（ ）
A． B． C． D．
3．二次函数的的最大值是（ ）
A．7 B． C．2 D．
4．若抛物线（m是常数）的图象只经过第一、二、四象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知点，，，在二次函数的图象上，点，是该函数图象与正比例函数为常数且的图象的交点．若，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
6．对于二次函数的图象，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上 B．顶点坐标是
C．当时，随的增大而增大 D．对称轴是直线
7．已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．
C． D．或
8．已知二次函数，如果当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，没有最小值
C．没有最大值，有最小值 D．没有最大值，也没有最小值
9．如图，在平面直角坐标系中，经过的一次函数的图象与经过的一次函数的图象相交于点C．若点C的纵坐标为3，则函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，若则下列说法正确的是（ ）
A．当时，有最小值 B．当时，无最大值
C．当时，有最小值 D．当时，有最大值
11．下列4个函数，①；②；③；④，其中图象是中心对称图形，且对称中心在原点的共有 个．
12．抛物线的顶点坐标是 ．
13．已知关于x的二次函数，当时，函数y的取值范围为 ．
14．已知，若抛物线与线段没有交点，则m取值范围为 ．
15．一条抛物线的顶点坐标为，则该二次函数的函数表达式可以为 ．
16．已知，是抛物线上的两点，则的大小关系是 .（用“”、“”或“”填空）
17．在同一个平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则的大小关系为 ．
18．我们把对称轩和开口方向都相同的抛物线称作“同向共轴抛物线”．例如抛物线与的对称轴都是直线，且开口方向都向下，则这两条抛物线称作“同向共轴抛物线”．若抛物线与是“同向共轴抛物线”，且两抛物线的顶点相距3个单位长度，则该抛物线的解析式为 ．
19．下列函数在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①；②；③；④．根据图象回答下列问题：
(1)这些函数的图象都是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？
(2)图象有最高点或最低点吗？如果有，最高点或最低点的坐标是什么？
20．已知函数是关于x的二次函数．
(1)求m的值；
(2)当m为何值时，该函数图像的开口向下？
(3)当m为何值时，该函数有最小值？
(4)试说明函数的增减性．
21．观察二次函数的图象，并填空．
(1)图象与x轴的交点也是它的________，这个点的坐标是________；
(2)二次函数的图象是一条________，它的开口向________，它的对称轴为________；
(3)当时，随着x值的增大，y的值________；当时，随着x值的增大，y的值________．
22．已知二次函数．
(1)该抛物线的对称轴是______，顶点坐标______；
(2)补充下列表格，并在下图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；
… …
… …
(3)若该抛物线上两点，的横坐标满足，则_____（比较大小）．
23．如图所示，已知直线与抛物线交于A，B两点．
(1)求A，B两点的坐标．
(2)观察图象，直接写出当时的取值范围．
24．已知一次函数的图象与二次函数的图象相交于点．
(1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
(2)根据函数图象，直接写出不等式的解集；
(3)当时，直线与直线只有一个交点，求n的取值范围；
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com) 同舟共理工作室
