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2024-2025九年级上册数学课堂同步练习【浙教版】
1.3 二次函数的图像和性质（二）八大题型（一课一练）
1．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了求抛物线的顶点坐标；把解析式配方即可．
【详解】解：，
即抛物线的顶点坐标为；
故选：D．
2．已知是一元二次方程的一个根，则的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，二次函数的最值，先将代入一元二次方程，可得，则，根据二次函数的最值，求出结果即可．
【详解】解：将代入一元二次方程，得：
，
∴，
则，
设，则：
，
变形，得：．
∴当时，可以取得最小值，
∴的最小值为．
故选：D．
3．若反比例函数的图象如图所示，则抛物线的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，抛物线的顶点坐标，先用含k的式子写出抛物线的顶点坐标，再根据反比例函数图象判断出k的正负，即可求解．
【详解】解：，
抛物线的顶点坐标为，
反比例函数的图象在第二、四象限，
，
，，
抛物线的顶点在第三象限，
故选C．
4．已知二次函数的图象顶点在第四象限，则方程的根的情况是（ ）
A．此方程有两个不相等的实数根 B．此方程有两个相等的实数根
C．此方程没有实数根 D．以上说法均不正确
【答案】A
【分析】此题考查了二次函数图象和性质、一元二次方程根的判别式，先根据二次函数的图象顶点在第四象限得到，再求出方程的，得到，即可得到答案.
【详解】解：∵，
∴二次函数的图象顶点是，
∵在第四象限，
∴，
∴
在方程中，
，
∵
∴
∴
即
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A
5．已知二次函数，则函数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查的二次函数的定义和性质，题目比较简单，属于基础题，牢记二次函数的概念，进行求解；根据二次函数的解析式，进行行判断，得出y的取值范围．
【详解】解：
∵抛物线开口向下，
∴函数的取值范围是
故选：D．
6．关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．该抛物线的对称轴是直线
B．该抛物线的顶点坐标是
C．该抛物线与轴有两个交点
D．该抛物线在对称轴的左侧部分，随的增大而增大
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的图象和性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：
，
∴该抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，故A，B选项正确，不符合题意；
∵，
∴，该抛物线在对称轴的左侧部分，随的增大而增大，
∴该抛物线与轴没有交点，，故C选项错误，符合题意；D选项正确，不符合题意；
故选：C
7．若抛物线（m是常数）的顶点到x轴的距离为2，则m的值为（ ）
A． B． C．﹣或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的性质，关键是求出顶点坐标．
把二次函数解析式化为顶点式，再根据顶点到x轴的距离为2，得出顶点纵坐标的绝对值=2，解方程求出m的值即可．
【详解】解：，
∴抛物线（m是常数）的顶点坐标为，
∵顶点到x轴的距离为2，
∴，
即或，
解得或，
故选：D．
8．已知一次函数（）和二次函数（）的部分自变量和对应的函数值如下表：
… …
… …
… …
则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C．或 D．不能确定
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与不等式，通过表格先求出，，然后利用图象即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】由表格可知，过点，，
∴，解得，
∴，
同理过点，，，
∴，解得：，
∴，
画图，
当时，，即，
∴关于的不等式的解集为，
故选：．
9．函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数图象等知识．熟练掌握二次函数图象，一次函数图象是解题的关键．分别确定各选项中一次函数的的取值范围，然后判断各选项中对应的二次函数图象的正误即可．
【详解】解：A中的，此时的图象应该开口向下，此时矛盾，故不符合要求；
B中的，此时的图象应该开口向上，对称轴，故符合要求；
C中的，此时的图象应该开口向上，此时矛盾，故不符合要求；
D中的，此时的图象应该开口向下，对称轴，此时矛盾，故不符合要求；
故选：B．
10．如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查的是图象法求一元二次方程的近似值、抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数与方程的关系等知识点，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质逐个判断即可．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴,
∴，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在2、3之间，
∴与x轴的另一个交点在、0之间，
∴方程一定有一个根在和0之间，故②错误；
∵抛物线与直线有两个交点，
∴方程一定有两个不相等的实数根，故③正确；
∵抛物线与x轴的另一个交点在，0之间，
∴，
∵图象与y轴交点的纵坐标是2，
∴，
∴，
∴．故④错误．
综上，①③正确，共2个．
故选：B．
11．若二次函数 顶点在轴上，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，轴上点的坐标特征，先把二次函数的解析式转化为顶点式，求出顶点坐标，再根据轴上点的坐标特征即可求解，利用配方法把二次函数的解析式转化为顶点式求出顶点坐标是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴二次函数的顶点坐标为，
∵二次函数的顶点在x轴上，
∴，
故答案为：．
12．将二次函数化成形式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数化为顶点式：；利用配方法整理即可得解．
【详解】解：，
所以，．
故答案为：．
13．若点，，在抛物线上，则，，的大小关系为 （用“＞”连接）．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，利用对称性得点C关于对称轴的对称点D的坐标，这样A、B、D三点均在抛物线对称轴的左侧，由二次函数的性质即可判断，，的大小关系．
【详解】解：抛物线解析式为，则抛物线的对称轴为直线，
故点C关于对称轴的对称点D的坐标为，
而，且，
所以当时，函数值随自变量的增大而减小，
故，
故答案为：．
14．如图，将抛物线在轴下方部分沿轴翻折，其余部分保持不变，得到图像当直线与图像恰有两个公共点时，的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数 (a,b,c是常数，)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，也考查了抛物线与直线的交点问题．解决本题的关键是利用数形结合的思想的运用．通过解方程得到A、B的坐标，利用二次函数的性质得到顶点的坐标，可写出图象沿x轴翻折所得图象的解析式为，然后求出直线与相切b的值，直线过A和过B点所对应的b的值，再利用图象可判断直线与此图象有且只有两个公共点时b的取值范围．
【详解】解：当时，，解得，则，
，
则顶点坐标为，
把图象沿x轴翻折所得图象的解析式为，
如图，
当直线与相切时，直线与新函数图象有三个交点，此时有两个相等的实数解，
方程整理得，，
解得，
∴当时，直线与图像恰有两个公共点，
当直线过时，，解得，
当直线过时，，解得，
所以，当时，直线与此图象有且只有两个公共点．
综上可知，当直线与图像恰有两个公共点时，的取值范围是或．
故答案为：或．
15．如图，抛物线与轴相交于点、与轴相交于点，点在该抛物线上，点的坐标为，则点的横坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，由题意得出，从而得出抛物线的对称轴为直线，设点的坐标为，根据对称性得出，求解即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：在中，当时，，即，
点的坐标为，
抛物线的对称轴为直线，
设点的坐标为，则，
解得：，
点的横坐标是，
故答案为：．
16．如果二次函数的图象的一部分是下降的，那么的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据函数解析式可得抛物线开口向上，则当在对称轴左侧时，函数图象下降，所以求出函数的对称轴即可求解．
【详解】解：，又抛物线开口向上，
当时，随的增大而减小，图像下降；当时，随的增大而增大，图像上升；
二次函数的图像的一部分是下降的，
，
故答案为：．
17．在二次函数中，与的部分对应值如下表：
则下列结论：
①图像经过原点；②图像开口向下；③图像经过点；④当时，随着的增大而增大；⑤方程有两个不相等的实数根．其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③⑤
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，进而根据解析式逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：由图表可以得出当或时，，时，，
解得：
，
，
图象经过原点，故①正确；
＞，
抛物线开口向上，故②错误；
把代入得，，
图象经过点（），故③正确；
抛物线的对称轴是，
＞时，随的增大而增大，＜时，随的增大而减小，故④错误；
抛物线与轴有两个交点（）、（）
有两个不相等的实数根，故⑤正确；
故答案为：①③⑤．
18．在平面直角坐标系中，已知点，若抛物线与线段有两个不同的交点，则a的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】本题考查二次函数图象与性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与二次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
先求出线段的表达式为：，当抛物线与线段有两个不同交点，则，由得，当抛物线经过点A时，满足两个交点，代入可得，故；当时，且抛物线经过点，代入解得：，故满足题意．
【详解】解：设直线的表达式为，代入，
得，
解得：，
∴线段的表达式为：，
当，
化简得：，
则，
解得：，
当抛物线经过点A时，满足两个交点，代入得：，
解得：，
如图示：
∴当符合题意；
当时，且抛物线经过点，代入得：，
解得：，
如图示：
∴当时符合题意，
综上所述：当或满足题意．
故答案为：或．
19．二次函数的图象经过点A．
(1)求二次函数的对称轴；
(2)当A为时，求此时二次函数的表达式，并求出顶点坐标．
【答案】(1)直线
(2)，
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
（1）根据二次函数的性质进行解答即可；
（2）用待定系数法求出二次函数解析式，然后求出二次函数的顶点坐标即可．
【详解】（1）解：由题意得：二次函数的对称轴为：
直线．
（2）解：将点代入二次函数得：，
解得：，
二次函数的表达式为：．
上式变形得：，
顶点坐标为：．
20．已知一次函数的图像上有两点，它们的横坐标分别是2、，若二次函数的图像经过两点．
(1)求一次函数解析式并在平面直角坐标系内画出两个函数的图像；
(2)若，两点都在二次函数的图像上，试比较与的大小．
【答案】(1)，见详解
(2)当，即时，；当，即时，；当，即时，
【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质、待定系数法求一次函数解析式、画一次函数和二次函数图像等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）首先确定点的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式即可；结合函数解析式，在坐标系中绘制一次函数和二次函数图像即可；
（2）根据题意，可知，，可得，然后分情况讨论，即可获得答案．
【详解】（1）解：对于二次函数，
令，可得，即，
令，可得，即，
将点，代入一次函数，
可得，解得，
∴该一次函数解析式为；
在平面直角坐标系内画出两个函数的图像，如下图所示：
（2）∵，两点都在二次函数的图像上，
∴，，
∴，
当，即时，；
当，即时，；
当，即时，．
21．如图，顶点的抛物线与直线相交于A，B两点，且点A在x轴上，连接，．
(1)求点A的坐标和这个抛物线所表示的二次函数的表达式；
(2)求点B的坐标．
【答案】(1)点A的坐标是，
(2)点B的坐标为
【分析】本题考查了一次函数与抛物线的交点问题，用待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图像上点的坐标问题，二次函数图像上点的坐标特征等知识点，能求出点A的坐标是解此题的关键．
（1）先根据一次函数的解析式求出点A的坐标，设顶点为的抛物线的解析式为，把点A的坐标代入求出a即可；
（2）解两函数解析式组成的方程组，即可求出点B的坐标．
【详解】（1）由，
得当时，，
所以点A的坐标是，
设顶点为的抛物线的解析式为，
点在抛物线上，，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）联立，
得：，，
点A的坐标是，
点B的坐标为．
22．如图，二次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点．
(1)求这两个函数的表达式；
(2)当随的增大而增大且时，直接写出x的取值范围；
(3)平行于轴的直线与函数的图象相交于点、（点在点的左边），与函数的图象相交于点．若与的面积相等，求点的坐标．
【答案】(1)二次函数的解析式为，反比例函数的解析式为
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法即可求解．
（2）利用函数的性质结合图象即可求解．
（3）根据点和点的坐标得出三角形等高，再根据面积相等得出，进而确定点是抛物线对称轴和反比例函数的交点，进而可求解．
【详解】（1）解：∵二次函数的图像与反比例函数的图像相交于点，
∴，，
解得，，
∴二次函数的解析式为，反比例函数的解析式为．
（2）∵二次函数的解析式为，
∴对称轴为直线，
由图象知，当随的增大而增大，且时，
（3）∵当时，，
∴，
∵，
∴的边上的高与的边上的高相等，
∵与的面积相等，
∴，
即点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点，
当时，，
∴．
23．已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1．
(1)求b的值；
(2)点在抛物线上，点在抛物线上．
（ⅰ）若，且，，求h的值；
（ⅱ）若，求h的最大值．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）3；（ⅱ）
【分析】题目主要考查二次函数的性质及化为顶点式，解一元二次方程，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
（1）根据题意求出的顶点为，确定抛物线（b为常数）的顶点横坐标为2，即可求解；
（2）根据题意得出， ，然后整理化简；（ⅰ）将代入求解即可；（ⅱ）将代入整理为顶点式，即可得出结果．
【详解】（1）解：，
∴的顶点为，
∵抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1，
∴抛物线（b为常数）的顶点横坐标为2，
∴，
∴；
（2）由（1）得
∵点在抛物线上，点在抛物线上．
∴， ，
整理得：
（ⅰ）∵，
∴，
整理得：，
∵，，
∴，
∴；
（ⅱ）将代入，
整理得，
∵，
∴当，即时，h取得最大值为．
24．【定义与性质】
如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和．
定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线．
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上．
【理解与运用】
（1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______．
【思考与探究】
（2）设函数的图象为抛物线．
①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值；
②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）2；；（2）①；②或
【分析】题目主要考查二次函数的综合应用及新定义理解，熟练掌握二次函数的性质结合图象求解是解题关键．
（1）根据题意确定点在的伴随抛物线上，代入求解即可；
（2）①根据题意确定顶点坐标为：，然后代入解析式得出，即可求解；
②根据题意得出顶点坐标在图像上滑动，然后分情况分析即可得出结果．
【详解】解：（1）二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，
∴点在的伴随抛物线上，
代入得：，，
解得：，，
故答案为：2；；
（2）①，
∴顶点坐标为：，
∵函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，
∴，
整理得：，
∴；
②∵与x轴有两个不同的交点，，
由①得：函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，
∴顶点坐标在图像上滑动，
顶点为，
当时，
解得：或，
抛物线与x轴交两个点，
当顶点在下方时，抛物线有两个交点，，
∵若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上．
∴在 上，
当顶点在下方时，；
综上可得：或．
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1.3 二次函数的图像和性质（二）八大题型（一课一练）
1．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．已知是一元二次方程的一个根，则的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．
3．若反比例函数的图象如图所示，则抛物线的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．已知二次函数的图象顶点在第四象限，则方程的根的情况是（ ）
A．此方程有两个不相等的实数根 B．此方程有两个相等的实数根
C．此方程没有实数根 D．以上说法均不正确
5．已知二次函数，则函数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．该抛物线的对称轴是直线
B．该抛物线的顶点坐标是
C．该抛物线与轴有两个交点
D．该抛物线在对称轴的左侧部分，随的增大而增大
7．若抛物线（m是常数）的顶点到x轴的距离为2，则m的值为（ ）
A． B． C．﹣或 D．或
8．已知一次函数（）和二次函数（）的部分自变量和对应的函数值如下表：
… …
… …
… …
则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C．或 D．不能确定
9．函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．若二次函数 顶点在轴上，则的值为 ．
12．将二次函数化成形式为 ．
13．若点，，在抛物线上，则，，的大小关系为 （用“＞”连接）．
14．如图，将抛物线在轴下方部分沿轴翻折，其余部分保持不变，得到图像当直线与图像恰有两个公共点时，的取值范围是 ．
15．如图，抛物线与轴相交于点、与轴相交于点，点在该抛物线上，点的坐标为，则点的横坐标是 ．
16．如果二次函数的图象的一部分是下降的，那么的取值范围是 ．
17．在二次函数中，与的部分对应值如下表：
则下列结论：
①图像经过原点；②图像开口向下；③图像经过点；④当时，随着的增大而增大；⑤方程有两个不相等的实数根．其中所有正确结论的序号是 ．
18．在平面直角坐标系中，已知点，若抛物线与线段有两个不同的交点，则a的取值范围是 ．
19．二次函数的图象经过点A．
(1)求二次函数的对称轴；
(2)当A为时，求此时二次函数的表达式，并求出顶点坐标．
20．已知一次函数的图像上有两点，它们的横坐标分别是2、，若二次函数的图像经过两点．
(1)求一次函数解析式并在平面直角坐标系内画出两个函数的图像；
(2)若，两点都在二次函数的图像上，试比较与的大小．
21．如图，顶点的抛物线与直线相交于A，B两点，且点A在x轴上，连接，．
(1)求点A的坐标和这个抛物线所表示的二次函数的表达式；
(2)求点B的坐标．
22．如图，二次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点．
(1)求这两个函数的表达式；
(2)当随的增大而增大且时，直接写出x的取值范围；
(3)平行于轴的直线与函数的图象相交于点、（点在点的左边），与函数的图象相交于点．若与的面积相等，求点的坐标．
23．已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1．
(1)求b的值；
(2)点在抛物线上，点在抛物线上．
（ⅰ）若，且，，求h的值；
（ⅱ）若，求h的最大值．
24．【定义与性质】
如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和．
定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线．
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上．
【理解与运用】
（1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______．
【思考与探究】
（2）设函数的图象为抛物线．
①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值；
②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围．
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