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2024-2025九年级上册数学课堂同步练习【浙教版】
1.4 二次函数的图像和性质（三）七大题型（一课一练）
1．将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线解析式为（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解答此题的关键．
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，向上平移1个单位得到的抛物线解析式是：，即．
故选：C．
2．如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A．二次函数图象的对称轴是直线
B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C．当时，y随x的增大而减小
D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称性，增减性判断选项A、B、C，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y轴的交点坐标即可判定选项D．
【详解】解∶ ∵二次函数的顶点坐标为，
∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误；
∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是，对称轴是直线，
∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误；
∵抛物线开口向下， 对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而增大，故选项C错误；
设二次函数解析式为，
把代入，得，
解得，
∴，
当时，，
∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确，
故选D．
3．已知二次函数，当y＝0时，x的值是（ ）
A．2或 B．或6 C．或1 D．或
【答案】B
【分析】此题考查了抛物线与轴的交点，列出关于的方程是解本题的关键．令得到关于的一元二次方程，求出方程的解即可得到的值．
【详解】解：令，得到，
即，
解得：或6．
故选：B
4．下表给出了二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值：
x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 …
y … 0.14 0.62 …
那么关于x的方程的一个根的近似值可能是（ ）
A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.37
【答案】C
【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，通过表中数据确定抛物线与x轴的交点横坐标的范围，从而得到一元二次方程的根(由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的)．
【详解】解：由表可知当时，，
当时，，
抛物线，与x轴的一个交点在点与之间，更靠近点，
方程的一个根的近似值约为，
故选：C．
5．下列函数的图象与x只有一个交点的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数（，，是常数，）的交点与一元二次方程根之间的关系，根据各个选项中的函数解析式可以计算出的值，然后即可判断与轴的交点情况．
【详解】选项A中，与x轴有2个交点；
选项B中，与x轴没有交点；
选项C中，与x轴没有交点；
选项D中，所以选项D的函数图象与x轴只有一个交点，
故选：D．
6．已知二次函数，当时，函数的最大值是，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数的性质，依据题意，由，可得当时，取最大值是，又当时，函数的最大值是，故，进而计算可以得解．
【详解】解：由题意，，
当时，取最大值是．
又当时，函数的最大值是，
．
．
故选：C．
7．若二次函数的图象经过点，则下列说法错误的是（ ）
A． B．当，随的增大而减小
C．顶点坐标为 D．图象有最低点
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数解析式的求解以及二次函数的图形与性质，解题的关键在于利用经过的点代入求出解析式．求出解析式，根据二次函数的性质对选项一一进行判断即可．
【详解】解：把点代入可得，
∴，故A正确
，
∴对称轴为y轴，顶点坐标为，故C错误，
∴当，随的增大而减小，故B正确，
∵抛物线开口向上，
∴图象有最低点，故D正确．
故选：C
8．已知某函数图象经过点和，则其大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据题意得到对称轴，再根据增减性即可得到答案．
【详解】解：∵函数图象经过点，
∴图象关于直线对称，
∴可排除选项A、选项B，
∵，
∴在对称轴右侧，y随着x的增大而增大，
∴选项D错误，选项C正确，
故选：C．
9．如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】设抛物线与轴的另一个交点为，连接，，根据解析式求得的坐标，根据轴对称的性质得出，继而得出取得最小值，最小值为的长，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，设抛物线与轴的另一个交点为，连接，，
∵，令，
即，
解得：，
∴,
令，解得，
∴，
∵点是对称轴上的一个动点，
∴，
∵
∴当三点共线时，取得最小值，最小值为的长，
即，
故选：D．
10．已知图中抛物线的顶点的坐标为，，与轴的一个交点位于0和1之间，小明同学观察后得出以下结论：①；②；③若图象经过点，，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，①利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；②利用抛物线的对称轴求出，根据图象可得当时，，即可判断；③利用抛物线的对称轴，设，两点横坐标与对称轴的距离为、，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断；④根据根的判别式即可判断
【详解】解：①∵抛物线的顶点A的坐标为，
∴，
∴，即，
由图可知，抛物线开口方向向下，即，
∴，
当时，，
∴，故①正确，符合题意；
②∵直线是抛物线的对称轴，
∴，
∴，
∴，
由图象可得：当时，，
∴，故②正确，符合题意；
③∵直线是抛物线的对称轴，
设，两点横坐标与对称轴的距离为、，
则，，
∴，
根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，
∴，故③正确，符合题意；
④∵关于x的一元二次方程无实数根，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故④正确，符合题意．
故选：D．
11．已知一条抛物线的形状与抛物线形状相同，与另一条抛物线的顶点坐标相同，这条抛物线的表达式为 ．
【答案】或
【分析】根据抛物线的图象与系数之间的关系得出，，，即可得出结果．
【详解】解：设这条抛物线的解析式为：，
∵这条抛物线与抛物线的顶点坐标相同，
∴，，
又∵这条抛物线与抛物线形状相同，
∴，即，
∴这条抛物线的解析式为：或，
故答案为：或．
12．已知二次函数的对称轴是直线，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的对称性，求出二次函数图象与x轴的两个交点坐标，利用抛物线的对称性即这两个交点关于对称轴对称，即可求得．
【详解】解：令，解得：，
即抛物线与x轴的两个交点坐标为，
由于抛物线的对称轴是直线，即，
解得：
故答案为：．
13．已知点，，在抛物线（）上．若点A在对称轴左侧，则，，的大小关系是 ．（用“>”，“<”或“=”连接）
【答案】/
【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数图像的对称性，根据二次函数的性质和二次函数图像上点的坐标特征即可得到答案．
【详解】解：抛物线，其中
抛物线的开口向下，对称轴为：直线，当时，随的增大而增大，当时， 随的增大而减小，
点、、都在抛物线（）上，
关于抛物线对称轴的对称点为，
，
故答案为：．
14．如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时点的坐标为 ．
【答案】
【分析】将对称至，连接，与对称轴的交点即为，再根据直线的解析式与对称轴求解的坐标即可．
【详解】解：根据对称轴公式，可得：，解得：，
即抛物线的解析式为：，
将代入得：，
抛物线的解析式为：；
顶点坐标 ；
连接交直线于点，
此时 最小，点即为所求 ，
由，，
设直线的解析式为，将点代入得，
，
解得：，
∴直线：
当时：，
．
15．某个函数同时满足两个条件：①图象过点、；②当时，随的增大而减小．这个函数表达式可以是 ．（只要写出一个符合愿意的答案即可）
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式．设此函数的解析式为，再把点，代入求出、的值即可．
【详解】解：设此函数的解析式为，
图象过点、，
，
解得，
这个函数表达式可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
16．关于x的二次函数，当 时，y的值为0；当 时，y的值等于9．
【答案】 3 0或6
【分析】令即可得到关于x的一元二次方程，求出x的值即可；令即可得到关于x的一元二次方程，求出x的值即可．
【详解】解：∵当的函数值为0，
∴，
解得，
当的函数值为9，
∴，
解得，，
故答案为：3；0或6．
17．将抛物线沿直线方向平移个单位后的解析式为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．沿直线方向平移个单位，相当于向上平移2个单位，再向左平移2个单位，或向下平移2个单位，再向右平移2个单位，然后根据平移规律得出答案．
【详解】解：对于，当时，，当时，，
即：直线经过，，
则，
由此可知抛物线沿直线方向平移个单位，
相当于抛物线向上平移2个单位，再向左平移2个单位，
此时平移后的解析式为；
或抛物线向下平移2个单位，再向右平移2个单位，
此时平移后的解析式为；
综上：或．
18．如图，在中，轴，轴，点A在抛物线上，点在轴正半轴上，点在抛物线上，过点A平行于轴的直线交抛物线于点，交抛物线于点，则的值为 ．
【答案】
【分析】设点，根据二次函数和直角坐标系的性质，分别求出点A横坐标、点D横坐标、点E横坐标，通过计算即可完成求解．
【详解】解：设点，
根据题意，得点C纵坐标为，点E纵坐标为
∵点在抛物线上
∴点C横坐标
∴点A横坐标
∵点A在抛物线上，
∴点A纵坐标
∴点D纵坐标
∵点在抛物线上
∴点D横坐标
∴
∵点E纵坐标为，点E在抛物线上，
∴点E横坐标
∴
∴
故答案为：．
19．如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点．
(1)求的值；
(2)若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）运用待定系数法即可求解；
（2）根据题意设，结合几何图形面积计算方法可得点的纵坐标，代入后解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：二次函数的图像与轴交于，两点，
∴，
解得，，
∴；
（2）解：由（1）可知二次函数解析式为：，，，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，无解，不符合题意，舍去；
当时，，；
∴．
20．将二次函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到新的抛物线，写出新抛物线的表达式，并求出这条抛物线的对称轴．
【答案】，对称轴为直线
【分析】本题考查了二次函数图象的平移及对称轴，先把二次函数转化为顶点式，再根据平移规律“左加右减，上加下减”求出新抛物线的表达式，最后根据对称轴公式即可求出新抛物线的对称轴，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．
【详解】解：
∵二次函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，
∴新抛物线的表达式为，
∴新抛物线的对称轴为直线．
21．设二次函数（，b，c是实数），其图象上有两点，且图象的对称轴为直线．
(1)当时，求二次函数图象与y轴交点的坐标及t的值．
(2)点在函数图象上，若，求t的取值范围及的取值范围．
【答案】(1)；2
(2)的取值范围为，的取值范围为
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）当时，，可得抛物线与y轴交点的坐标；再根据题意可得点关于对称轴为对称，可得t的值，即可求解；
（2）抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为，根据抛物线的图象和性质可得当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，然后分两种情况讨论：当点，点，点均在对称轴的右侧时；当点在对称轴的左侧，点，均在对称轴的右侧时，即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
∴当时，，
∴抛物线与y轴交点的坐标为；
∵，
∴点关于对称轴对称，
∴；
（2）解：当时，，
∴抛物线与y轴交点坐标为，
∴抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为，
∵，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
当点，点，均在对称轴的右侧时， ，
∵，
∴，即（不合题意，舍去），
当点在对称轴的左侧，点，均在对称轴的右侧时，点在对称轴的右侧，，
此时点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
∴，解得：，
∵，，
∴，即，
∴，
∵，，对称轴为，
∴，
∴，解得：，
∴的取值范围为，的取值范围为．
22．已知二次函数（为常数，且）.
(1)求证：该函数的图象与轴总有两个公共点；
(2)若点，在函数图象上，比较与的大小；
【答案】(1)见解析
(2)当或时，；当时，；当时，．
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，比较二次函数值大小，掌握二次函数图象与轴的交点的横坐标即为相关一元二次方程的解和二次函数图象上的点的坐标满足其解析式是解题关键．
（1）令，则，可求出，，再根据，即得出方程有两个不相等的解，即说明该函数的图象与轴总有两个公共点；
（2）将，代入，得：，，从而可求出，最后分类讨论解答即可．
【详解】（1）证明：令，即，
或，
∴，，
，
，
方程有两个不相等的实数根，
该函数的图象与轴总有两个公共点；
（2）解：点，在函数图象上，
当时，，
当时，，
，
当或时，；
当时，；
当时，．
23．如图，二次函数的图象与x轴交于和两点，交y轴于点，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B，D．
(1)求二次函数解析式；
(2)求出顶点坐标和点D的坐标；
(3)二次函数的对称轴上是否存在的一点M，使的周长最小？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)顶点坐标为，点D的坐标为
(3)存在，
【分析】此题主要考查了二次函数几何综合题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）由抛物线与x轴的交点坐标和，设抛物线的解析式为，将点代入求得a的值，即可得到答案；
（2）由，得到顶点坐标，由抛物线的对称轴为直线，得到点D的坐标；
（3）要使的周长最小，只需最小即可，点A和B关于直线对称，连接交直线于点M，求出直线的解析式，求得交点M的坐标即可．
【详解】（1）解：由抛物线与x轴的交点坐标和，设抛物线的解析式为，
将点代入，得：，
解得：，
则抛物线的解析式为；
（2）解：∵，
∴顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线，
∴点关于对称轴的对称点D的坐标为；
（3）解：存在，要使的周长最小，只需最小即可，
∵点A和B关于直线对称，连接交直线于点M，
，
则，
∴点M满足题意，
设直线的解析式为，把点和代入得，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
设点M的坐标是，则，
即点为所求．
24．已知二次函数的函数值y和自变量x的部分对应值如下表所示：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 3 3 …
(1)若，
① 求二次函数的表达式．
② 求不等式的解．
(2)若在中只有一个为负数，求a的取值范围．
【答案】(1)；
(2)或
【分析】本题主要考查了二次函数图像的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
（1）①根据题意，根据表格数据可得对称轴是直线，设二次函数表达式为，再代数求值即可；
②根据题意得到的解就是函数的图像在轴下方对应的自变量取值范围，即可得到答案；
（2）根据题意，对称轴是直线，故可分和两种情况进行分析．
【详解】（1）解：根据表格数据可得对称轴是直线，
①设二次函数表达式为，
又过，，
，
，
二次函数的表达式为；
②由①令，
，
或，
抛物线与轴交于，又抛物线开口向上，
不等式的解就是函数的图像在轴下方对应的自变量取值范围．
等式的解为；
（2）解：由题意得，对称轴是直线，
①当时，当时，随的增大而增大，
，
，
在中只有一个为负数，
，
且，
对称轴，即，
，且，
；
②当时，当时，随的增大而减小，
，
，
在中只有一个为负数，
，
且，
对称轴，即，
，且，
；
综上，或．
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2024-2025九年级上册数学课堂同步练习【浙教版】
1.4 二次函数的图像和性质（三）七大题型（一课一练）
1．将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线解析式为（ ）
A．B． C． D．
2．如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A．二次函数图象的对称轴是直线
B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C．当时，y随x的增大而减小
D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
3．已知二次函数，当y＝0时，x的值是（ ）
A．2或 B．或6 C．或1 D．或
4．下表给出了二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值：
x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 …
y … 0.14 0.62 …
那么关于x的方程的一个根的近似值可能是（ ）
A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.37
5．下列函数的图象与x只有一个交点的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知二次函数，当时，函数的最大值是，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
7．若二次函数的图象经过点，则下列说法错误的是（ ）
A． B．当，随的增大而减小
C．顶点坐标为 D．图象有最低点
8．已知某函数图象经过点和，则其大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
10．已知图中抛物线的顶点的坐标为，，与轴的一个交点位于0和1之间，小明同学观察后得出以下结论：①；②；③若图象经过点，，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．已知一条抛物线的形状与抛物线形状相同，与另一条抛物线的顶点坐标相同，这条抛物线的表达式为 ．
12．已知二次函数的对称轴是直线，则的值为 ．
13．已知点，，在抛物线（）上．若点A在对称轴左侧，则，，的大小关系是 ．（用“>”，“<”或“=”连接）
14．如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时点的坐标为 ．
15．某个函数同时满足两个条件：①图象过点、；②当时，随的增大而减小．这个函数表达式可以是 ．（只要写出一个符合愿意的答案即可）
16．关于x的二次函数，当 时，y的值为0；当 时，y的值等于9．
17．将抛物线沿直线方向平移个单位后的解析式为 ．
18．如图，在中，轴，轴，点A在抛物线上，点在轴正半轴上，点在抛物线上，过点A平行于轴的直线交抛物线于点，交抛物线于点，则的值为 ．
19．如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点．
(1)求的值；
(2)若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标．
20．将二次函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到新的抛物线，写出新抛物线的表达式，并求出这条抛物线的对称轴．
21．设二次函数（，b，c是实数），其图象上有两点，且图象的对称轴为直线．
(1)当时，求二次函数图象与y轴交点的坐标及t的值．
(2)点在函数图象上，若，求t的取值范围及的取值范围．
22．已知二次函数（为常数，且）.
(1)求证：该函数的图象与轴总有两个公共点；
(2)若点，在函数图象上，比较与的大小；
23．如图，二次函数的图象与x轴交于和两点，交y轴于点，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B，D．
(1)求二次函数解析式；
(2)求出顶点坐标和点D的坐标；
(3)二次函数的对称轴上是否存在的一点M，使的周长最小？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．
24．已知二次函数的函数值y和自变量x的部分对应值如下表所示：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 3 3 …
(1)若，
① 求二次函数的表达式．
② 求不等式的解．
(2)若在中只有一个为负数，求a的取值范围．
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