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2024-2025九年级上册数学课堂同步练习【浙教版】
1.5 二次函数实际应用七大题型（一课一练）
1．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论：
①小球从抛出到落地需要；
②小球运动中的高度可以是；
③小球运动时的高度小于运动时的高度．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把和代入计算即可判断③．
【详解】解：令，则，解得：，，
∴小球从抛出到落地需要，故①正确；
∵，
∴最大高度为，
∴小球运动中的高度可以是，故②正确；
当时，；当时，；
∴小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误；
故选C．
2．某种正方形合金板材的成本y（元）与它的面积成正比，设边长为x厘米：当时，，那么当成本为元时，边长为（ ）
A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米
【答案】B
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式的运用，求出函数的解析式是解答本题的关键．设，由待定系数法就可以求出解析式，把代入函数解析式就可以求出结论．
【详解】解：设，
当时，，
，，
，
当成本为元时，
有，
，
．
故选：B．
3．运动员某次训练时，推出铅球后铅球在空中的飞行路线可以看作是抛物线的一部分（如图）．铅球在空中飞行的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似地满足函数关系（、、为常数，）．该函数的图象与轴交于点，顶点为，下列说法错误的是（ ）
A．
B．该铅球飞行到最高点时铅球离轴的水平距离是
C．铅球在运动过程中距离地面的最大高度是
D．此次训练，该铅球落地点离轴的距离小于
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的应用，根据“函数的图象与轴交于点，顶点为”，求出二次函数解析式，逐项分析判断即可，理解题意、熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：∵函数关系（、、为常数，），该函数的图象与轴交于点，顶点为，
∴铅球飞行到最高点时铅球离轴的水平距离是，B正确，
铅球在运动过程中距离地面的最大高度是，C正确，
函数关系可表示为，
把代入得：，
解得：，
∴A正确，
∴函数关系式为，
时，，
解得：（负值舍去），，
∴该铅球落地点离轴的距离大于，D错误，
综上所述，说法错误的是D，
故选：D．
4．“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度与飞行时间满足函数表达式．已知“水火箭”飞行和飞行时的升空高度相同，飞行时的升空高度为，则“水火箭”升空的最大高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的应用，先利用待定系数法求出函数表达式为：，再将其化为顶点式，问题随之得解．
【详解】根据题意有：，
解得：，
∴函数表达式为：，
将化为顶点式为：，
当时，函数有最大值，且为：，
即则“水火箭”升空的最大高度为，
故选：C．
5．据科学计算，运载“神十八”的“长征二号”火箭，在点火第一秒钟通过的路程为，第二秒时共通过了的路程，第三秒时共通过了的路程，在这一过程中路程与时间成二次函数关系，在达到离地面的高度时，火箭程序拐弯，则这一过程需要的时间大约是（ ）．
A．10秒钟 B．13秒钟 C．15秒钟 D．20秒钟
【答案】C
【分析】本题考查求二次函数的函数解析式，先根据题意利用待定系数法求出函数解析式，然后令求出x的值即可．
【详解】解：设二次函数的解析式为，
由题可得二次函数图象过，，，
∴，
解得，
∴，
当时，，
解得（舍去），
∴这一过程需要的时间大约是15秒钟，
故选C．
6．某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式，直接利用二月的研发资金为：，故三月份新产品的研发资金为：，再求和即可，正确表示出三月份的研发资金是解题关键．
【详解】解：根据题意可得二月的研发资金为：，故三月份新产品的研发资金为：，
今年一季度新产品的研发资金，
故选：B．
7．如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，在正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽米，则函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，以及解析式，先根据图象性质设函数表达式为，然后得出，，再代入进行列式计算，即可作答．
【详解】解：设函数表达式为，
∵
设点
∵当水位上升5米时，则水面宽米
∴
把，分别代入
得出
解得
∴函数表达式为，
故选：B．
8．如图，人民医院在某流感高发时段，用防护隔帘布临时搭建了一隔离区，隔离区一面靠长为的墙，隔离区分成两个区域，中间也用防护隔帘布隔开．已知整个隔离区所用防护隔帘布总长为，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为；小亮认为：隔离区的面积可能为．你认为他们俩的说法是（ ）
A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确
C．两人均正确 D．两人均错误
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．设垂直于墙的一边为，则隔离区的另一边为，根据矩形的面积公式列出面积关于的函数解析式，再根据题意求出的取值范围，然后分别令和，解方程求出，取在取值范围内的值即可．
【详解】解：设垂直于墙的一边为，则隔离区的另一边为，
；
根据题意，得不等式组，
解得：，
当时，，
解得（不合题意，舍去）；
当时，，
解得，（不合题意，舍去），
故小亮说法正确．
故选：B．
9．如图，排球运动员站在点O处练习发球，球从点O正上方2m的A处发出，其运行的高度y（m）与水平距离x（m）满足关系式．已知球网与点O的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距点O的水平距离为18m．下列判断正确的是（ ）
A．球运行的最大高度是2.43m B．球不会过球网
C．球会过球网且不会出界 D．球会过球网且会出界
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．根据顶点式的特点可知球运行的最大高度为，由此即可判断A；求出当时，y的值，再与进行比较即可判断B；求出当时，y的值，再与0比较即可判断C、D．
【详解】解：∵抛物线解析式为，
∴球运行的最大高度为，故A说法错误，不符合题意；
在中，当时，，
∴球会过球网，故B说法错误，不符合题意；
在中，当时，则，
∴球会过球网且会出界，故C说法错误，不符合题意，D说法正确，符合题意；
故选D．
10．如图，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，设点，的运动时间为秒，连接，当的面积为时，的值为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题考查了图形运动问题及二次函数，熟练掌握三角形面积公式及二次函数的求解是解题的关键．先由题意可得，，故可得，当的面积为时，带入数值可得，解得，即可选出正确选项．
【详解】解：由题意可得，，
，
，
当的面积为时，可得，
解得，
故选．
11．如图是一款抛物线型落地灯简示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面2.25米，最高点C距灯柱的水平距离为1.5米，灯柱米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离为 米．
【答案】
【分析】本题考查了将二次函数的实际应用转化为二次函数图象的抽象能力以及用待定系数法求函数解析式与点的坐标的能力，解题的关键是建立坐标系，将实际问题转化为数学问题．以所在直线为轴、所在直线为轴建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出函数解析式，再求出时的值，即可得出答案．
【详解】解：如图所示，以所在直线为轴、所在直线为轴建立平面直角坐标系，
则点C坐标，点B坐标
设抛物线的解析式为，
将点B代入得：，
解得：，
抛物线的解析式为，
当时，，
解得：（舍去）或，
茶几到灯柱的距离为米，
故答案为：．
12．如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，设抛物线为，把点，代入即可求出解析式；当时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离．
【详解】解：以点O为坐标原点，射线方向为x轴正半轴，射线方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，
∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．
设抛物线解析式为：，
把点代入得：，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
当时，，
解得，（舍去），，
即此次实心球被推出的水平距离为．
故答案为：
13．廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为6米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是 米．
【答案】
【分析】此题考查了二次函数在实际生活中的应用，将代入函数解析式求出x的值即可得到答案
【详解】解：当时，则，
解得
∴(米）
故答案为
14．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出10顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为 元．
【答案】75
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意列出式子是解题关键．设降价x元，利润为W，根据题意得出方程，然后求出取最大值时的x值即可得到售价．
【详解】解：设降价x元，利润为W，
由题意得：，
整理得：，
∴当时，可获得最大利润，
此时每顶头盔的售价为：（元），
故答案为：75．
15．已知抛物线，交y轴交于点，则 ，抛物线与x轴正半轴交于点B，点M为抛物线对称轴l上的一点，点N为抛物线上的一点，当直线垂直平分时，点M的坐标为 ．
【答案】 ，
【分析】先把代入，即可求得；得抛物线解析式为，得到抛物线对称轴为直线和点，再用待定系数法求得直线的解析式为，设，直线与对称轴的交于点H，与交于G，证明是等腰直角三角形，从而可求得，再根据直线垂直平分，得G点是的中点，利用中点坐标公式求得，然后代入抛物线解析式得，求解即可．
【详解】解：把代入，得
，解得：，
∴，
∴抛物线对称轴为直线，
令，则，
解得：，，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入，得
，解得：，
∴直线的解析式为，
设，直线与对称轴的交于点H，与交于G，
令时，则，
∴，
，
，当直线垂直平分时，
是等腰直角三角形，
∵，，
∴点G的纵坐标为，
∵点G过直线，
∴，解得，
则，
直线垂直平分，
点是的中点，
，
∵点N为抛物线上，
，
解得或．
故答案为：；或．
16．如图，一建筑物外墙上嵌有一排一模一样的垂直于墙壁的钢管，这些钢管的下面有一个一边靠墙的长方体水池，水从钢管流出的水都成抛物线，若以钢管的出水口点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，且抛物线的函数表达式都为．若露在墙壁外面的钢管的长度米（钢管的直径长度忽略不计），钢管离水池水面的高度米．要使钢管中流出的水都落在水池里，那水池宽至少是 米．
【答案】2.2
【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意得，令，则，求出，从而得出，由此即可得出答案．
【详解】解：由题意得，
令，则，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴，
∴，
∴水池宽至少是米，
故答案为：．
17．《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因是当公路上行驶的汽车遇到紧急情况刹车时，由于惯性的作用，汽车还会滑行一段距离才能停下来．经测试，在急刹车时，汽车刹车距离与滑行时间的满足函数关系式为：．则急刹车时汽车最远要滑行 m才能停下．
【答案】15
【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据二次函数的性质，求出二次函数的最值即可．
【详解】解：，
∴当时，汽车滑行的距离最远为；
故答案为：15．
18．如图，在，，，，点在边上，从点向点移动，点在边上，从点向点移动．若点，均以的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接，则线段的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的最值，勾股定理，设移动时间为，用含的代数式表示出，，在中，根据勾股定理，列出关于的代数式，应用配方的方法，即可求出线段的最小值，解题的关键是：熟练应用配方法，求二次函数的最值．
【详解】解：设移动时间为，则，，，
在中，，
整理得：，
当时，取得最小值，此时，
故答案为：．
19．昆明的蓝花楹在4月中下旬陆续绽放，引来众多游客踏青观赏，拍照留念：某超市购进了蓝花楹创意雪糕，进价为每支8元，在销售过程中发现销售量（支）与售价（元）之间存在一次函数关系（其中，且为整数），当每支创意雪糕的售价为9元时，每天的销售量为105支：当每支创意雪糕的售价是11元时，每天的销售量为95支．
(1)求与之间的函数关系式：
(2)设该商店销售该创意雪糕每天获利（元），当每支创意雪糕的售价为多少元时，每天获取的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)当每支创意雪糕的售价为19元时，每天获取的销售利润最大，最大利润是605元．
【分析】本题主要考查可用待定系数法求一次函数解析式，二次函数的应用等知识．
（1）用待定系数法求一次函数解析式即可．
（2）利用每天的利润每支雪糕的利润每天的销量，即可得出w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质即可得出结果．
【详解】（1）解：售量（支）与售价（元）之间存在一次函数关系为：
将，代入可得：
解得：，
故y与x之间的函数关系式为．
（2）根据题意有：
∵，且x为整数，
∴当时，w有最大值，最大值为605，
答：当每支创意雪糕的售价为19元时，每天获取的销售利润最大，最大利润是605元．
20．根据以下素材，探索完成任务.
运用二次函数研究电缆架设问题
素材1 电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都可以近似的看成抛物线的形状.如图，在一个斜坡BD上按水平距离间隔90米架设两个塔柱，每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为20米（米），按如图建立坐标系（x轴在水平方向上）.点A、O、E在同一水平线上，经测量，米，斜坡BD的坡比为1：10（即）．.
素材2 若电缆下垂的安全高度是13.5米，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于13.5米时，符合安全要求，否则存在安全隐患． （说明：直线轴分别交直线和抛物线于点H、G.点G距离坡面的铅直高度为的长）
任务1 明确山坡位置 求点D的坐标．
任务2 确定电缆形状 求出下垂电缆的抛物线表达式．
任务3 判断电缆安全 上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由．
【答案】任务1：；任务2：；任务3：不符合安全要求，理由见解析
【分析】本题考查二次函数的应用．
任务1．易得四边形是矩形，米，那么可得矩形各边的长，根据的长度可得的长度；根据斜坡的坡比为1：10可得的长，进而可得的长，即可求得点D的坐标；
任务2．易得的长度，即可求得点C的坐标，根据抛物线经过点O、A、C可得抛物线的解析式；
任务3．求得直线的解析式，设电缆与坡面的铅直高度为h，表示出h的函数关系式，求得h的最小值与13.5比较即可判断这种电缆的架设是否符合安全要求．
【详解】解：任务1．
由题意得：四边形是矩形，米，
∴米，米．
∵，米，
∴米，米．
∴米．
∴点D的坐标为．
任务2．
∵米，
∴点A的坐标为．
∵，米，
∴点C的坐标为．
∵抛物线经过点O、A、C，
∴设下垂电缆的抛物线表达式为：．
∴．
解得：
∴下垂电缆的抛物线表达式为：
任务3．
解：这种电缆的架设不符合安全要求．
理由如下：
由题意得：点B的坐标为．
设直线的解析式为：．
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：
设电缆与坡面的铅直高度为h，
∴
∴电缆距离坡面铅直高度的最小值为13.25米．
∵，
∴这种电缆的架设不符合安全要求．
21．一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以为直径的半圆O，下部是一个矩形．
(1)当米时，求隧道截面上部半圆O的面积；
(2)已知矩形相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米．
①求隧道截面的面积关于半径r（m）的函数关系式（不要求写出r的取值范围）；
②若2米3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值．（取3.14，结果精确到0.1米）
【答案】(1)（米）
(2)①；②26.1
【分析】（1）根据面积公式计算即可；
（2）①根据几何图形的面积公式可求关于面积的函数解析式；
②利用二次函数的有关性质，在自变量的取值范围内确定面积的最大值．
本题主要考查圆形面积，二次函数的性质等知识，先利用几何图形的面积公式，写出图形的面积与边长之间的关系，再用配方法或公式法求顶点坐标，结合二次函数性质与自变量的取值范围确定最大面积．
【详解】（1）
（米）；
（2）①∵，
∴，
∴．
②由①知，，
又∵2米米，
∴，
∴．
由①知，．
∵，
∴函数图象为开口向下的抛物线，函数图象对称轴，
又，由函数图象知，在对称轴左侧S随r的增大而增大，
故当时，S有最大值．
（米）．
22．学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为．
(1)求与与的关系式．
(2)围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值．
(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值．
【答案】(1)；
(2)能，
(3)的最大值为800，此时
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用：
（1）根据可求出与之间的关系，根据墙的长度可确定的范围；根据面积公式可确立二次函数关系式；
（2）令，得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可 ；
（3）根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可．
【详解】（1）解：∵篱笆长，
∴，
∵
∴
∴
∵墙长42m，
∴，
解得，，
∴；
又矩形面积
；
（2）解：令，则，
整理得：，
此时，，
所以，一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴围成的矩形花圃面积能为；
∴
∴
∵，
∴；
（3）解：
∵
∴有最大值，
又，
∴当时，取得最大值，此时，
即当时，的最大值为800
23．如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表：
x 0 1 2 m 4 5 6 7 …
y 0 6 8 n …
(1)①______，______；
②小球的落点是A，求点A的坐标．
(2)小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系．
①小球飞行的最大高度为______米；
②求v的值．
【答案】(1)①3，6；②；
(2)①8，②
【分析】本题主要考查二次函数的应用以及从图象和表格中获取数据，
（1）①由抛物线的顶点坐标为可建立过于a，b的二元一次方程组，求出a，b的值即可；②联立两函数解析式求解，可求出交点A的坐标；
（2）①根据第一问可知最大高度为8米；
②将小球飞行高度与飞行时间的函数关系式化简为顶点式即可求得v值．
【详解】（1）解：①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知：抛物线顶点坐标为，
∴，
解得：，
∴二次函数解析式为，
当时，，
解得：或（舍去），
∴，
当时，，
故答案为：3，6．
②联立得：，
解得：或 ，
∴点A的坐标是，
（2）①由题干可知小球飞行最大高度为8米，
故答案为：8；
②，
则，
解得（负值舍去）．
24．如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决．
(1)如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为______；
(2)如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称．
①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式；
②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；
(3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．
【答案】(1)
(2)①此人腾空后的最大高度是米，解析式为；②此人腾空飞出后的落点D在安全范围内，理由见解析
(3)这条钢架的长度为米
【分析】（1）根据题意得到水滑道所在抛物线的顶点坐标为，且过点，设水滑道所在抛物线的解析式为，将代入，计算求出a的值即可；
（2）①根据题意可设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为，由抛物线的顶点为，即可得出结果；②由①知人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：，令，求出的值，即点的坐标，即可得出结论；
（3）根据题意可得点的纵坐标为4，令中，求出符合实际的x值，得到点M的坐标，求出所在直线的解析式为，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H，根据这条钢架与平行，设该钢架所在直线的解析式为，由该钢架与水滑道有唯一公共点，联立，根据方程组有唯一解，求出，即该钢架所在直线的解析式为，点H与点O重合，根据，，，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得到水滑道所在抛物线的顶点坐标为，且过点，
设水滑道所在抛物线的解析式为，
将代入，得：，即，
，
水滑道所在抛物线的解析式为；
（2）解：①人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称，
则设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为，
人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标与抛物线的顶点坐标关于点成中心对称，
，
人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标为，即，
∴此人腾空后的最大高度是米，人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：；
由①知人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：，
令，则，即
或（舍去，不符合题意），
点，
，
，
，
此人腾空飞出后的落点D在安全范围内；
（3）解：根据题意可得点的纵坐标为4，
令，即，
（舍去，不符合题意）或，
，
设所在直线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
所在直线的解析式为，
如图，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H，
这条钢架与平行，
设该钢架所在直线的解析式为，
联立，即，
整理得：，
该钢架与水滑道有唯一公共点，
，
即该钢架所在直线的解析式为，
点H与点O重合，
，，，
，
这条钢架的长度为米．
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2024-2025九年级上册数学课堂同步练习【浙教版】
1.5 二次函数实际应用七大题型（一课一练）
1．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论：
①小球从抛出到落地需要；
②小球运动中的高度可以是；
③小球运动时的高度小于运动时的高度．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．某种正方形合金板材的成本y（元）与它的面积成正比，设边长为x厘米：当时，，那么当成本为元时，边长为（ ）
A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米
3．运动员某次训练时，推出铅球后铅球在空中的飞行路线可以看作是抛物线的一部分（如图）．铅球在空中飞行的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似地满足函数关系（、、为常数，）．该函数的图象与轴交于点，顶点为，下列说法错误的是（ ）
A．
B．该铅球飞行到最高点时铅球离轴的水平距离是
C．铅球在运动过程中距离地面的最大高度是
D．此次训练，该铅球落地点离轴的距离小于
4．“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度与飞行时间满足函数表达式．已知“水火箭”飞行和飞行时的升空高度相同，飞行时的升空高度为，则“水火箭”升空的最大高度为（ ）
A． B． C． D．
5．据科学计算，运载“神十八”的“长征二号”火箭，在点火第一秒钟通过的路程为，第二秒时共通过了的路程，第三秒时共通过了的路程，在这一过程中路程与时间成二次函数关系，在达到离地面的高度时，火箭程序拐弯，则这一过程需要的时间大约是（ ）．
A．10秒钟 B．13秒钟 C．15秒钟 D．20秒钟
6．某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，在正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽米，则函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，人民医院在某流感高发时段，用防护隔帘布临时搭建了一隔离区，隔离区一面靠长为的墙，隔离区分成两个区域，中间也用防护隔帘布隔开．已知整个隔离区所用防护隔帘布总长为，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为；小亮认为：隔离区的面积可能为．你认为他们俩的说法是（ ）
A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确
C．两人均正确 D．两人均错误
9．如图，排球运动员站在点O处练习发球，球从点O正上方2m的A处发出，其运行的高度y（m）与水平距离x（m）满足关系式．已知球网与点O的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距点O的水平距离为18m．下列判断正确的是（ ）
A．球运行的最大高度是2.43m B．球不会过球网
C．球会过球网且不会出界 D．球会过球网且会出界
10．如图，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，设点，的运动时间为秒，连接，当的面积为时，的值为（ ）
A． B．
C．或 D．或
11．如图是一款抛物线型落地灯简示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面2.25米，最高点C距灯柱的水平距离为1.5米，灯柱米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离为 米．
12．如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则 ．
13．廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为6米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是 米．
14．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出10顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为 元．
15．已知抛物线，交y轴交于点，则 ，抛物线与x轴正半轴交于点B，点M为抛物线对称轴l上的一点，点N为抛物线上的一点，当直线垂直平分时，点M的坐标为 ．
16．如图，一建筑物外墙上嵌有一排一模一样的垂直于墙壁的钢管，这些钢管的下面有一个一边靠墙的长方体水池，水从钢管流出的水都成抛物线，若以钢管的出水口点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，且抛物线的函数表达式都为．若露在墙壁外面的钢管的长度米（钢管的直径长度忽略不计），钢管离水池水面的高度米．要使钢管中流出的水都落在水池里，那水池宽至少是 米．
17．《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因是当公路上行驶的汽车遇到紧急情况刹车时，由于惯性的作用，汽车还会滑行一段距离才能停下来．经测试，在急刹车时，汽车刹车距离与滑行时间的满足函数关系式为：．则急刹车时汽车最远要滑行 m才能停下．
18．如图，在，，，，点在边上，从点向点移动，点在边上，从点向点移动．若点，均以的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接，则线段的最小值是 ．
19．昆明的蓝花楹在4月中下旬陆续绽放，引来众多游客踏青观赏，拍照留念：某超市购进了蓝花楹创意雪糕，进价为每支8元，在销售过程中发现销售量（支）与售价（元）之间存在一次函数关系（其中，且为整数），当每支创意雪糕的售价为9元时，每天的销售量为105支：当每支创意雪糕的售价是11元时，每天的销售量为95支．
(1)求与之间的函数关系式：
(2)设该商店销售该创意雪糕每天获利（元），当每支创意雪糕的售价为多少元时，每天获取的销售利润最大？最大利润是多少元？
20．根据以下素材，探索完成任务.
运用二次函数研究电缆架设问题
素材1 电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都可以近似的看成抛物线的形状.如图，在一个斜坡BD上按水平距离间隔90米架设两个塔柱，每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为20米（米），按如图建立坐标系（x轴在水平方向上）.点A、O、E在同一水平线上，经测量，米，斜坡BD的坡比为1：10（即）．.
素材2 若电缆下垂的安全高度是13.5米，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于13.5米时，符合安全要求，否则存在安全隐患． （说明：直线轴分别交直线和抛物线于点H、G.点G距离坡面的铅直高度为的长）
任务1 明确山坡位置 求点D的坐标．
任务2 确定电缆形状 求出下垂电缆的抛物线表达式．
任务3 判断电缆安全 上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由．
21．一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以为直径的半圆O，下部是一个矩形．
(1)当米时，求隧道截面上部半圆O的面积；
(2)已知矩形相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米．
①求隧道截面的面积关于半径r（m）的函数关系式（不要求写出r的取值范围）；
②若2米3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值．（取3.14，结果精确到0.1米）
22．学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为．
(1)求与与的关系式．
(2)围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值．
(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值．
23．如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表：
x 0 1 2 m 4 5 6 7 …
y 0 6 8 n …
(1)①______，______；
②小球的落点是A，求点A的坐标．
(2)小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系．
①小球飞行的最大高度为______米；
②求v的值．
24．如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决．
(1)如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为______；
(2)如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称．
①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式；
②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；
(3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．
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