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2024-2025九年级上册数学课堂同步练习【浙教版】
二次函数七大题型（一课一练）
1．二次函数的一次项系数为（ ）
A． B．1 C．3 D．6
2．抛物线经过原点，那么a的值等于（ ）
A．0 B．1 C． D．35
3．下列函数是关于x的二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若 是二次函数，则 m 的值为（ ）
A．1 B． C．1 或 D．0
5．已知和时，多项式的值相等，且，则当时，多项式的值等于( )
A．7 B．9 C．3 D．5
6．下面两个问题中都有两个变量：
①矩形的周长为20，矩形的面积y与一边长x；
②矩形的面积为20，矩形的宽y与矩形的长x．
其中变量y与变量x之间的函数关系表述正确的是（ ）
A．①是反比例函数，②是二次函数 B．①是二次函数，②是反比例函数
C．①②都是二次函数 D．①②都是反比例函数
7．对于关于x的函数，下列说法错误的是( )
A．当时，该函数为正比例函数 B．当时，该函数为一次函数
C．当该函数为二次函数时，或 D．当该函数为二次函数时，
8．用一根长的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积与它的一边长之间的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
9．王老师在上函数复习课时，利用列表法给出了变量x，y 的三组对应值如下表，你觉得这三点可以同时位于（ ）的图象上．
1 2 4 …..
A．一次函数和反比例函数 B．二次函数和反比例函数
C．一次函数和二次函数 D．一次函数和二次函数和反比例函数
10．若用（1）、（2）、（3）、（4）四幅图分别表示变量之间的关系，将下面的（a）、（b）、（c）、（d）对应的图象排序（ ）
（1） （2） （3） （4）
（a）面积为定值的矩形（矩形的相邻两边长的关系）
（b）运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系）
（c）一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物（弹簧长度与所挂重物质量的关系）
（d）某人从A地到B地后，停留一段时间，然后按原速返回（离开A地的距离与时间的关系）
A．（3）（4）（1）（2） B．（3）（2）（1）（4）
C．（4）（3）（1）（2） D．（3）（4）（2）（1）
11．若函数是关于的二次函数．则常数的值是 ．
12．标准大气压下，质量一定的水的体积与温度之间的关系满足二次函数，则当温度为时，水的体积为 ．
13．若二次函数的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则 ， ， ．
14．若是关于的二次函数，则一次函数的图象不经过第 象限．
15．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放2000辆单车，计划三个月共投放单车辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为，那么与的函数表达式为 ．
16．已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：
则代数式的值是 ．
17．二次函数的概念：一般的，形如 (是常数，)的函数叫做二次函数．其中 是自变量，分别是函数解析式的 、 、常数项．
18．如图，，，，四边形是的内接矩形，如果的长为，矩形的面积为，则与的函数关系式为 ．
19．已知函数．
(1)当m为何值时，这个函数是二次函数？
(2)当m为何值时，这个函数是一次函数？
20．关于x的函数，甲说：此函数不一定是二次函数；乙说：此函数一定是二次函数，你认为谁的说法正确？为什么？
21．下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
22．判断下列函数是否是二次函数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
23．某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多．
（1）长方体的长和宽用表示，长方体的表面积的表达式是什么？
（2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y（元）表示，那么y的表达式是什么？
24．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，点P是AB边上一个动点，过点P作AB的垂线交AC边与点D，以PD为边作∠DPE=60°，PE交BC边与点E.
（1）当点D为AC边的中点时，求BE的长；
（2）当PD=PE时，求AP的长；
（3）设AP 的长为，四边形CDPE的面积为，请直接写出与的函数解析式及自变量的取值范围.
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2024-2025九年级上册数学课堂同步练习
二次函数七大题型（一课一练）
【浙教版】
1．二次函数的一次项系数为（ ）
A． B．1 C．3 D．6
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的基本概念，属于应知应会题型，熟知二次函数的基本知识是关键. 根据二次函数的相关概念即可得.
【详解】解：函数的一次项系数是6；
故选：D.
2．抛物线经过原点，那么a的值等于（ ）
A．0 B．1 C． D．35
【答案】C
【分析】本题考查了抛物线与点的关系，熟练掌握把代入函数解析式，求解关于a的一元一次方程是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线经过原点，
∴，解得：，
故选C．
3．下列函数是关于x的二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据形如 (为常数，）的函数是二次函数，判断即可，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键．
【详解】解：A、的分母含有自变量，不是关于的二次函数，故A不符合题意；
B、，是关于的二次函数，故B符合题意；
C、，不是关于的二次函数，故C不符合题意；
D、，当时不是二次函数，故D不符合题意；
故选：．
4．若 是二次函数，则 m 的值为（ ）
A．1 B． C．1 或 D．0
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数的定义以及直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义求解即可．
【详解】解：由于 是二次函数，
且，
且，
．
故选B．
5．已知和时，多项式的值相等，且，则当时，多项式的值等于( )
A．7 B．9 C．3 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质及多项式求值，难度中等．将和时，多项式的值相等理解为和时，二次函数的值相等是解题的关键．
【详解】解：∵和时，多项式的值相等，
∴二次函数的对称轴为直线，
又∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
∴，，
∴当时，
．
故选：C．
6．下面两个问题中都有两个变量：
①矩形的周长为20，矩形的面积y与一边长x；
②矩形的面积为20，矩形的宽y与矩形的长x．
其中变量y与变量x之间的函数关系表述正确的是（ ）
A．①是反比例函数，②是二次函数 B．①是二次函数，②是反比例函数
C．①②都是二次函数 D．①②都是反比例函数
【答案】B
【分析】先根据矩形的周长和面积公式列出函数关系式，然后根据反比例函数和二次函数的定义即可解答．
【详解】解：①∵矩形的周长为20，一边长x
∴另一边长为
∴为二次函数；
②∵矩形的面积为20，矩形的长x
∴是反比例函数．
故选B．
7．对于关于x的函数，下列说法错误的是( )
A．当时，该函数为正比例函数 B．当时，该函数为一次函数
C．当该函数为二次函数时，或 D．当该函数为二次函数时，
【答案】C
【分析】根据正比例函数、一次函数、二次函数的定义判断即可．
【详解】、当时，该函数为正比例函数，故不符合题意；
、当时，，即，该函数为一次函数，故不符合题意；
、当时，该函数为正比例函数，故符合题意；
、当该函数为二次函数时，，故不符合题意；
故选：C．
8．用一根长的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积与它的一边长之间的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由矩形另一边长为周长的一半减去已知边长求得另一边的长，进一步根据矩形的面积等于相邻两边长的积列出关系式即可．
【详解】由题意得：矩形的另一边长=60÷2-x=30-x，
矩形的面积y（cm2）与它的一边长x（cm）之间的函数关系式为y=x（30-x）=-x2+30x（0＜x＜30）．
故选：C．
9．王老师在上函数复习课时，利用列表法给出了变量x，y 的三组对应值如下表，你觉得这三点可以同时位于（ ）的图象上．
1 2 4 …..
A．一次函数和反比例函数 B．二次函数和反比例函数
C．一次函数和二次函数 D．一次函数和二次函数和反比例函数
【答案】B
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征，分两种情况讨论：若点和在一次函数的图象上，利用待定系数法求得一次函数的解析式，把代入求得函数值，若函数值与可以相等，则这三点可以同时位于一次函数的图象上，否则这三点不可以同时位于一次函数的图象上，这三点可以同时位于二次函数的图象上；若点和在反比例函数的图象上，利用待定系数法求得，把代入求得函数值，函数值与值相等，故这三点可以同时位于反比例函数的图象上．
【详解】解：若点和在一次函数的图象上，
设一次函数为，则，解得，
，
把代入得，
令，整理得，
，
存在的值使，
故这三不可以同时位于一次函数的图象上和二次函数的图象上，
若点和在反比例函数的图象上，
设反比例函数为，则，
解得，
，
把代入得，，
故当时，
故这三点可以同时位于二次函数的图象上和反比例函数的图象上．
故选：B．
10．若用（1）、（2）、（3）、（4）四幅图分别表示变量之间的关系，将下面的（a）、（b）、（c）、（d）对应的图象排序（ ）
（1） （2） （3） （4）
（a）面积为定值的矩形（矩形的相邻两边长的关系）
（b）运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系）
（c）一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物（弹簧长度与所挂重物质量的关系）
（d）某人从A地到B地后，停留一段时间，然后按原速返回（离开A地的距离与时间的关系）
A．（3）（4）（1）（2） B．（3）（2）（1）（4）
C．（4）（3）（1）（2） D．（3）（4）（2）（1）
【答案】A
【分析】根据每个类别的数量关系，判断函数图象的变化规律，选择正确结论．
【详解】解：根据题意分析可得：
（a）面积为定值的矩形，其相邻两边长的关系为反比例关系，对应图象为（3）；
（b）运动员推出去的铅球，铅球的高度随时间先增大再减小，对应图象为（4）；
（c）一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物，弹簧长度随所挂重物质量增大而增大；对应图象为（1）；
（d）某人从A地到B地后，停留一段时间，然后按原速返回，对应图象为（2）．
故选：A．
11．若函数是关于的二次函数．则常数的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次函数的定义，列出关于的方程和不等式，是解题的关键．
根据二次函数的定义即可得出关于的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：∵是关于的二次函数，
∴，
解得：．
故答案为：
12．标准大气压下，质量一定的水的体积与温度之间的关系满足二次函数，则当温度为时，水的体积为 ．
【答案】106
【分析】本题考查二次函数的应用，细心计算是解题的关键．
将代入解析式求值即可．
【详解】解：，
当时，，
水的体积为．
故答案为：106．
13．若二次函数的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则 ， ， ．
【答案】 0
【分析】本题主要考查了二次函数有关概念．熟练掌握二次函数各项系数的概念，是解决问题的关键．
根据二次函数各项的系数填空．
【详解】∵二次函数为，
∴二次项系数为，一次项系数为0，常数项为，
∴，，．
故答案为：，0，．
14．若是关于的二次函数，则一次函数的图象不经过第 象限．
【答案】四
【分析】本题主要考查二次函数的性质以及一次函数的图像，由二次函数的定义得出即可得到答案．
【详解】解：由于是关于的二次函数，
且，
，
故一次函数的解析式为，
故一次函数过一、二、三象限，
故答案为：四．
15．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放2000辆单车，计划三个月共投放单车辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为，那么与的函数表达式为 ．
【答案】
【分析】根据第一个月投放2000辆单车，第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为，得到第二个月投放单车的数量为，第三个月投放单车的数量为，根据计划三个月共投放单车辆，得出函数关系式即可．
【详解】解：由题意，得：；
故答案为：．
16．已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：
则代数式的值是 ．
【答案】
【分析】根据表格得出时，；时，，然后计算的值即可．
【详解】解：由表格可知，当时，；当时，；
∴，
故答案为：．
17．二次函数的概念：一般的，形如 (是常数，)的函数叫做二次函数．其中 是自变量，分别是函数解析式的 、 、常数项．
【答案】 x 二次项系数 一次项系数
【分析】根据二次函数的概念可直接得出答案．
【详解】解：二次函数的概念：一般的，形如 (是常数，)的函数叫做二次函数．其中x是自变量，分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项．
故答案为：x，二次项系数，一次项系数．
18．如图，，，，四边形是的内接矩形，如果的长为，矩形的面积为，则与的函数关系式为 ．
【答案】
【分析】根据题意可得是等腰直角三角形，得出，进而根据矩形的面积即可求解．
【详解】，，
．
四边形 是 的内接矩形，
，，，
，
．
，，
∴，
，
．
故答案为：．
19．已知函数．
(1)当m为何值时，这个函数是二次函数？
(2)当m为何值时，这个函数是一次函数？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的概念，掌握一次函数和二次函数的结构特征是解题关键．
（1）根据二次函数的二次项系数不为0列方程求解即可；
（2）根据一次函数的自变量系数不为0，次数为1，列方程求解即可．
【详解】（1）解：当函数为二次函数时，
则，
即．
（2）解：当函数为一次函数时，
则，
解得：．
20．关于x的函数，甲说：此函数不一定是二次函数；乙说：此函数一定是二次函数，你认为谁的说法正确？为什么？
【答案】乙的说法对．理由见解析
【分析】
本题考查二次函数的定义，配方法的应用．只需要判断含x的二次项的系数是否为0即可．
【详解】解：乙的说法对．理由如下：
对配方可得，
因为无论a取何值，，
所以，
故无论a取何值，该函数一定是二次函数．
21．下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)是，二次项是、一次项系数是、常数项是；
(2)不是；
(3)是，二次项是、一次项系数是、常数项是；
(4)不是
【分析】根据二次函数的概念求解即可．
【详解】（1）是二次函数，二次项是、一次项系数是、常数项是；
（2），不含二次项，故不是二次函数；
（3）是二次函数，二次项是、一次项系数是、常数项是；
（4）中不是整式，故不是二次函数．
22．判断下列函数是否是二次函数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)不是
(2)是
(3)不是
(4)是
(5)是
(6)不是
【分析】根据二次函数的概念求解即可．
【详解】（1），没有二次项，故不是二次函数；
（2），符合，故是二次函数；
（3），不是整式，故不是二次函数；
（4），符合，故是二次函数；
（5），符合，故是二次函数；
（6），没有二次项，故不是二次函数．
23．某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多．
（1）长方体的长和宽用表示，长方体的表面积的表达式是什么？
（2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y（元）表示，那么y的表达式是什么？
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）长方体有6个面，然后根据长方形的面积公式即可得到，再去括号整理即可；
（2）把（1）中的除以5即可得到．
【详解】解：（1）
；
（2）．
24．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，点P是AB边上一个动点，过点P作AB的垂线交AC边与点D，以PD为边作∠DPE=60°，PE交BC边与点E.
（1）当点D为AC边的中点时，求BE的长；
（2）当PD=PE时，求AP的长；
（3）设AP 的长为，四边形CDPE的面积为，请直接写出与的函数解析式及自变量的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长，从而求出BP的长，然后求出BE的长；
（2）设AP= ，则BP=4—，根据含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出PD和PE的长，再根据PD=PE列出方程即可.
（3）分别用AP表示PD、PE、BE,再根据即可求出.
【详解】
（1）在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，
∵点D为AC边的中点
,
∵∠DPE=60°，过点P作AB的垂线交AC边与点D，
∴∠EPB=30°，∴EB
（2）设AP= ，则BP=4—，在两个含有30°的中得出：
AD=2DP，BP=2BE，由勾股定理解得：，
∵PD=PE，∴解得 即有AP=
（3）由（2）知：AP= ，
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