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1.6二次函数中存在性问题七大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：二次函数中存在性问题之面积最大问题
【经典例题1】如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是，C点坐标是．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线的下方，试求的最大面积及E点的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为：
(2)的最大面积为，此时E点坐标为
【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数与一次函数的解析式，列图形面积的函数关系式，利用二次函数的性质求解面积的最大值，掌握利用二次函数的性质求解最值是解题的关键．
（1）把，代入，利用待定系数法求解即可；
（2）如图，过作轴交于，首先利用待定系数法求出直线的解析式为，求解，设，则，利用三角形的面积公式得到，再利用二次函数的性质可得答案．
【详解】（1）把，代入得：
解得：
抛物线的解析式为：；
（2）如图，过作轴交于，
设过，的直线为：
解得：
直线解析式为
当，则
解得：，
而
设，则
所以当时，的面积最大，
最大面积为：
此时：．
∴．
【变式训练1-1】如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点是直线上方抛物线上的一动点，当面积最大时，请求出点的坐标；
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题考查了二次函数的总和运用，待定系数法求解析式，面积问题；
（1）由一次函数的解析式可求出点和点坐标．再代入抛物线解析式中即可求出和的值，即得出抛物线解析式；
（2）过作轴，交直线于，设，，则，，则可用表示出的长，最后利用三角形面积公式即可求出的值，再利用二次函数的性质即得出答案；
【详解】（1）当时，，
，
当时，，
解得：，
，
把和代入抛物线中得：
，
解得：，
抛物线的解析式为： ；
（2）如图，过作轴，交直线于，
设，则，，
，
，
，
有最大值，此时；
【变式训练1-2】如图，一次函数的图象与坐标轴交于点、，抛物线的图象经过、两点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点为抛物线上一动点，在直线上方是否存在点使的面积最大？若存在，请求出面积的最大值及点的坐标，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)当时，面积的最大值为， 点的坐标是
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质，根据数形结合的思想解题时关键．
（）根据一次函数解析式求出点、的坐标，然后运用待定系数求二次函数解析式即可；
（）设的面积为，，则，列出关于的二次函数，利用二次函数的性质即可得解。
【详解】（1）解：在中，令得，令得
，，
二次函数的图象过、两点，
，
解得
二次函数的表达式为；
（2）解：过点作轴交于点，
设的面积为，，则，
∴
∵，，
∴
∴当时，面积的最大值为，，
点的坐标是
【变式训练1-3】有一长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为），围成中间隔着一道篱笆的长方形花圃，花圃的宽为，面积为．
(1)求S关于x的函数解析式；
(2)如果要围成面积为的花圃，的长是多少m？
(3)能围成面积比更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)花圃的长为
(3)能；围法：花圃的长为，宽为，这时有最大面积
【分析】（1）可先用篱笆的长表示出的长，然后根据矩形的面积长宽，得出S与x的函数关系式即可；
（2）根据（1）的函数关系式，将代入其中，求出x的值即可．
（3）可根据（1）中函数的性质和自变量的取值范围得出符合条件的方案．
【详解】（1）解：由题可知，花圃的宽为，则为，面积，
∵，墙的最大可用长度a为，
∴，
解得：，
∴，
∴．
（2）解：将代入得：，
化简得：，
解得，
∵，
不合题意，舍去，
答：花圃的宽为；
（3）解：
对称轴为，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
当时，S有最大值，
此时，
故能围成面积比45平方米更大的花圃
围法： (米)，即花圃的长为，宽为，这时有最大面积．
【变式训练1-4】如图，在中，，P点在上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为；Q点在上从C点运动到A点（不包括A点），速度为．若点P，Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程：
(1)经过多少时间后，P，Q两点的距离最短，最短距离是多少？
(2)经过多少时间后，的面积最大，最大面积是多少？
【答案】(1)经过秒后，P，Q两点的距离最短，最短距离是
(2)当时，的面积最大，最大面积是
【分析】（1）设运动时间为t秒，分别表示出，利用勾股定理的逆定理证明，进而利用勾股定理得到，据此利用二次函数的性质求解即可；
（2）设运动时间为t秒，利用三角形面积公式即可表示出的面积，然后配方，根据二次函数的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：设运动时间为t秒，
由题意得，，
∴
∵在中，，，
∴是直角三角形，即，
∴
，
∵，
∴当时，有最小值，最小值为，
∴经过秒后，P，Q两点的距离最短，最短距离是
（2）解：设运动时间为t秒，则，
∴，
∴，
，
∵，
∴当时，的面积最大，最大面积是．
【变式训练1-5】如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点为，其顶点为C，对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)判断的形状；
(3)已知点M为线段上方抛物线上的一个动点，请写出面积关系式，并求出当面积最大时点M的坐标．
【答案】(1)
(2)直角三角形
(3)，
【分析】（1）根据题意列出关于的方程组，解方程组即可解决问题；
（2）通过计算证明：利用勾股定理的逆定理即可判断；
（3）如图，设连接．根据，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；
【详解】（1）解：由题意得：，
解该方程组得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：∵，
∴顶点，
∵，，
∴，
∵
∴
∴，
∴是直角三角形．
（3）解：如图，设，连接．
∵，
∴，
∵，，
∴时，面积的最大值为．此时点M坐标．
题型二：二次函数中存在性问题之周长最小问题
【经典例题2】如图，抛物线交x轴于，，交y轴于点C，且．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点E是该抛物线对称轴上一点，且的周长最小，求点E的坐标；
(3)直线下方的抛物线上是否存在一点F，使得的面积最大？如果不存在，说明理由；如果存在，求点F的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点F的坐标为
【分析】此题考查了二次函数综合题，待定系数法求二次函数解析式，三角形周长和面积最大问题，
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）连接，首先求出对称轴为，然后得到当点A，E，C三点共线时，的周长最小，此时点E在直线上，然后求出直线的函数表达式为，将代入求解即可；
（3）如图所示，过F作y轴的平行线，交于点D，设点F的坐标为，则，然后表示出，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴将，，代入得，
，
解得，
∴；
（2）如图所示，连接，
∵，
∴抛物线的对称轴l是直线，
∵点A和点B关于对称轴对称，
∴，
∴的周长，
∴当点A，E，C三点共线时，的周长最小，
∴此时点E在直线上，
设直线的函数表达式为，
将，，代入得，，
解得，
∴直线的函数表达式为，
将代入，
∴点E的坐标为；
（3）存在．
如图所示，过F作y轴的平行线，交于点D，
设点F的坐标为，则，
∴，
，
当时，的面积最大，此时，
点F的坐标为．
【变式训练2-1】如图，抛物线与x轴交于，两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值．若没有，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在使得的周长最小
(3)存在使得面积最大，最大为
【分析】（1）根据题意可知，将点、代入函数解析式，列得方程组即可求得、的值，求得函数解析式；
（2）根据题意可知，边的长是定值，要想的周长最小，即是最小，所以此题的关键是确定点的位置，找到点的对称点，求得直线的解析式，求得与对称轴的交点即是所求；
（3）存在，设点的坐标，将的面积表示成二次函数，根据二次函数最值的方法即可求得点的坐标．
【详解】（1）解：将，代入中得，
．
抛物线解析式为：；
（2）解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，
连接，
由对称性可知，
∴的周长，
∵A、C为定点，
∴为定值，
∴当最小时，的周长最小，
∴当B、C、Q三点共线时，最小，即的周长最小，
在中，当时，
的坐标为，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为：，
在中，当时，
，
∴存在使得的周长最小；
（3）解：设，过点P作轴于E，
，
∴当有最大值时，有最大值，
，
，
∵，
当时，最大值，
最大，
当时，，
点坐标为，
∴存在使得面积最大，最大为．
【变式训练2-2】如图是二次函数的图象，其顶点坐标为．
(1)求出图象与x轴的交点A，B的坐标；
(2)在二次函数的图象上是否存在点P，使，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在y轴上存在一点Q，使得周长最小，求此时构成的的面积．
【答案】(1)，
(2)存在，或
(3)3
【分析】（1）把顶点坐标代入函数解析式，然后令，解关于的一元二次方程即可得到点、的坐标；
（2）在二次函数的图象上存在点，使，设，构建方程即可解决问题；
（3）存在．作关于轴对称点为，连接交轴于，此时的值最小．求出直线的解析式即可得到点Q的坐标，再利用割补法计算面积即可．
【详解】（1）解：是二次函数的顶点坐标，
，
令，解之得，，
，两点的坐标分别为，；
（2）在二次函数的图象上存在点，使，设，
则，
又，
，即，
二次函数的最小值为，
，
当时，，
解得：或．
故点坐标为或；
（3）如图，作关于轴对称点为，连接交轴于，
此时的值最小，即周长最小，
设直线的解析式为，，，
所以，
解之，，
直线的解析式为：，
令，，
所以，
此时的面积为：．
【变式训练2-3】如图，抛物线交轴于点，交轴于点，对称轴是．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】根据抛物线经过点，对称轴是直线列出方程组，解方程组求出、的值即可；
因为点与点关于对称，根据轴对称的性质，连接与直线交于点，则点即为所求，求出直线与直线的交点即可．
【详解】（1）由题意得，，
解得，，
抛物线的解析式为：；
（2）点与点关于直线对称，
连接与直线交于点，则点即为所求，
根据抛物线的对称性可知，点的坐标为，
与轴的交点为，
设直线的解析式为：，
，
解得，，，
直线的解析式为：，
则直线与直线的交点坐标为：
点的坐标为：．
【变式训练2-4】如图，
(1)求二次函数的解析式．
(2)设二次函数与x轴的另一个交点为D，并在抛物线的对称轴上找一点P，使三角形的周长最小，求出点D和点P的坐标．
(3)在直线下方的抛物线上是否存在一点E，使得的面积最大，若有求出点E坐标及面积的最大值．
【答案】(1)
(2)，
(3)存在， ，面积的最大值为
【分析】（1）利用待定系数法即可解答；
（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得P在上，根据待定系数法，可得的解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标，可得D点坐标；
（3）根据平行于轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得最大面积，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，将、、点坐标代入函数解析式，得
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图1，
令，即，
解得或2（不符合题意，舍），即D点坐标为，
∵，
∴抛物线的对称轴为，
连接交对称轴于P点，
∵长为定值，，
∴当共线时，三角形的周长最小，
设的解析式为，将B、A点坐标代入，
得，
解得，
∴的解析式为，
当时，，
即；
（3）解：如图2，
，
设的解析式为，将C、D点坐标代入函数解析式，
得：，
解得，
∴的解析式为，
F在上，E在抛物线上，
设E点坐标为，则F点坐标为，
∴，
，
∵，
∴当时，，
当时，，
即E点坐标为．
【变式训练2-5】如图①，抛物线与x轴交与、两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设抛物线与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q．使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图②，P是线段上的一个动点．过P点作y轴的平行规交抛物线于E点，求线段长度的最大值：
【答案】(1)
(2)存在，
(3)
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求出C点坐标为：和抛物线可得其对称轴为：，利用待定系数法求出直线的解析式为：，连接，，，，利用勾股定理可得，则的周长为：，根据A、B两点关于抛物线对称轴对称，点Q在抛物线的对称轴上，可得，即，即当点、、三点共线时，可得到的周长最小，将代入直线的解析式中，即可求出点坐标；
（3）根据P是线段上的一个动点，设P点坐标为：，且，则可得点坐标为：，结合图象，根据题意有：，即，整理得：，则问题随之得解．
【详解】（1）解：将、代入中，
有：，
解得：；
即抛物线解析式为：；
（2）解：存在，理由如下：
令，即有：，则C点坐标为：，
由可得其对称轴为：，
设直线的解析式为：，
代入、有：
，解得：，
直线的解析式为：，
如图，连接，，，，
∵、，，
∴，
∴的周长为：，
∵A、B两点关于抛物线对称轴对称，点Q在抛物线的对称轴上，
∴，
∴，
即当点、、三点共线时，有最小，且为，
此时即可得到的周长最小，且为，
如图，
∵点Q在抛物线的对称轴上，
∴将代入直线的解析式中，
有：，
即Q点坐标为：；
（3）解：根据P是线段上的一个动点，设P点坐标为：，且，
∵轴，
∴点、的横坐标相同，均为m，
∵点在抛物线上，
∴点坐标为：，
结合图象，根据题意有：，
∴，
整理得：，
∵，且，
∴当时，，
即的最大值为：．
题型三：二次函数中存在性问题之三角形问题
【经典例题3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线经过B，C两点，已知，，且．
(1)试求出点B的坐标．
(2)分别求出直线和抛物线的解析式．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)存在，或或或
【分析】（1）由，，可由勾股定理求，进而得点B坐标；
（2）用待定系数法即可求解函数解析式；
（3）设点P坐标为，分三类讨论：①当时；②当时；③当时，分别建立勾股定理方程求解点P坐标即可．
【详解】（1）
解：∵点，即．
∵，
在中，根据勾股定理得，
即点B坐标为．
（2）
把分别代入中，
得，解得．
∴直线解析式为；
把、、分别代入得
，解得．
∴抛物线的解析式是．
（3）
在抛物线的对称轴上存在点P，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：
∵抛物线的解析式是，
∴抛物线对称轴为直线．
设点P坐标为．
①当时，有．
∵，，，
∴，
解得：，
故点；
②当时，有．
∵，，，
∴，
解得：，
故点；
③当时，有．
∵，，，
∴．
解得：，，
∴， ．
综上所述，使得为直角三角形的点P的坐标为或或或．
【变式训练3-1】如图，抛物线的顶点为D，其图象交x轴于A，B两点，交y轴于点，点B的坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以A，C，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出以为腰时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线解析式为
(2)存在，符合条件的点M有3个，其坐标分别为 或 或
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）设点M的坐标为，分两种情况讨论：① 当时；② 当时，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，，
∴代入得解得
∴抛物线解析式为．
（2）解：存在；
由（1）得：抛物线解析式为，
∴对称轴，
当时，解得或1，
∴点A的坐标为，
∵点C坐标为，
设点M的坐标为，
由勾股定理，得，
，
，
∵为等腰三角形的腰，
① 当时，即．解得，
∴，；
② 当时，即，解得，
∴；
综上，符合条件的点M有3个，其坐标分别为或或；
【变式训练3-2】如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴相交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在上点P，使得以点A、C、P为顶点的三角形是直角三角形，若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；或或或
【分析】（1）把，代入，再建立方程组求解即可；
（2）设点，由勾股定理得：；，，再分三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：由题意得：，解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）对于，令，则，即点，
抛物线的对称轴为直线，
设点，
由勾股定理得：；，，
当是斜边时，则，
解得：，
∴，
当是斜边时，则，
解得：；
∴，
如图，当是斜边时，
则，
整理得：，
解得：；
∴，，
即点P的坐标为或或或．
【变式训练3-3】如图，抛物线的图像过点A(3，0)，对称轴为直线，交y轴于点C，点C关于抛物线对称轴的对称点为B． 若点P(0，m)，在轴正半轴上运动，点Q为抛物线一动点，且在第四象限，连接PQ交x轴于点E，连接BE．
(1)求抛物线的解析式
(2)当m=1.5时，且满足以P、O、E三点构成三角形与BCP相似，求PBE的面积．
(3)当以点B、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形时，写出点P的坐标 ，点Q坐标 ．
【答案】(1)
(2)3或
(3)(0，2)，()
【分析】（1）用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）分两类：当△BCP∽△EOP时，当△BCP∽△POE，先由相似三角形的性质求出OE的长，再根据求出面积即可；
（3）分三种情况来讨论：若∠BPE=90°，PB=PE时；若∠PEB=90°，EP=EB时；若∠PBE=90°，BP=BE时，求出点P，Q的坐标即可．
【详解】（1）解：由对称轴为直线，得，，
把A(3，0)代入得9+3b+c=0，c=3，
∴；
（2）∵抛物线与y轴交于点C，
∴点C(0，3)，
∵点C关于抛物线对称轴的对称点为B，
∴点B（2，3），
当m=1.5时，CP=1.5，OP=1.5，BC=2，
①当△BCP∽△EOP，
∴，
∴，
∴OE=2，
∵，
∴=3；
②当△BCP∽△POE，
∴，
∴，
∴OE=，
∵，
∴=3；
（3）如图，过点B作BF⊥x轴于点F，则F(2，0)，BF=3，
∵点P(0，m)，在轴正半轴上运动，点Q为抛物线一动点，且在第四象限，连接PQ交x轴于点E，
∴点E只能在线段OA上运动（不包括端点），
①若∠BPE=90°，PB=PE时，
∴∠BPC+∠OPE=90°，
∵∠OPE+∠PEO=90°，
∴∠BPC=∠PEO，
∴△BCP≌△POE
∴PO=BC=2，OE=CP=OC-OP=1
∴P(0，2)，E(1，0)，
∴直线PE的解析式为y=-2x+2，
联立
解得或，
∴点Q()；
②若∠PEB=90°，EP=EB时，
同理可证：△POE≌△EFB，
∴OE=BF=3，
即点E与点A重合，不合题意舍去；
③若∠PBE=90°，BP=BE时，
同理可证：△BCP≌△BFE，
∴BC=BF=3，
而BC=2，不合题意舍去；
综上所述，P(0，2)，Q()．
故答案为：(0，2)，()．
【变式训练3-4】如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A(﹣3，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
(1)求抛物线的表达式；
(2)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点Q的坐标为(1，3)或
【分析】（1）将A（﹣3，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，求解即可；
（2）求得直线BC的解析式，设点M（m，0），则点Q（m，﹣m+4），再分三种情况分别求解即可．
【详解】（1）解：将A（﹣3，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为：；
（2）存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下：
令x＝0，则y＝4，
∴点C（0，4），
∵A（﹣3，0）、C（0，4），
∴AC＝5，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+4，
设点M（m，0），则点Q（m，﹣m+4），
①当AC＝CQ时，过点Q作QE⊥y轴于点E，连接AQ，
∵CQ2＝CE2+EQ2，即，
解得：舍去负值），
∴点；
②当AC＝AQ时，则AQ＝AC＝5，
在Rt△AMQ中，由勾股定理得：，
解得：m＝1或m＝0（舍去），
∴点Q（1，3）；
③当CQ＝AQ时，则，解得：舍去）；
综上所述，点Q的坐标为（1，3）或．
【变式训练3-5】如图，抛物线与x轴交于点A和，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴与x轴交于点M，与交于点F，点D是对称轴上一点，当点D关于直线的对称点E在抛物线上时，求点E的坐标；
(3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在直线上方的抛物线上，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)（，3），（，3）
(3)存在；(，)，(，)，(，)
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）设点M关于直线BC的对称点为点，连接，，则直线F为抛物线对称轴关于直线BC的对称直线，，证明△OBC是等腰直角三角形，求得点的坐标为（5，3），根据，解方程求解即可求解；
（3）设，，分三种情况讨论，分别为等腰直角三角形的顶点，分别作出图形，构造全等三角形，利用全等的性质，建立方程，解方程求解即可．
【详解】（1）解：∵点B(5，0)，C(0，5)在抛物线上，
∴，解得，，
∴抛物线的解析式为．
（2）设点M关于直线BC的对称点为点，连接，，
则直线F为抛物线对称轴关于直线BC的对称直线，
∵点E是点D关于直线BC的对称点，点E落在抛物线上，
∴直线F与抛物线的交点E1，E2为D1，D2落在抛物线上的对称点，
∵对称轴与x轴交于点M，与BC交于点F，
∴，
∴点M的坐标为（2，0）
∵点C的坐标为（0，5），点B的坐标为（5，0），
∴OB=OC，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°，
∴△MBF是等腰直角三角形，∴MB=MF，
∴点F的坐标为F(2，3)，
∵点M关于直线BC的对称点为点，
∴B=BM，=90°，
∴△是等腰直角三角形，∴B=BM =3，
∴点的坐标为（5，3），
∴FM′∥x轴，
∴，解得，，，
∴（，3），（，3）．
（3）存在，(，)，(，)，(，)．
设，
①如图，当时，作轴，过作轴，交于点，
，，
，
，
，
，
解得（舍去），
当时，，
(，)，
②当时，
同理可得，则，
，
解得（舍去），
当时，，
(，)，
如图，当时，
同理可得，
，
，
解得（舍），
当时，，
(，)．
设，，
综上所述，(，)，(，)，(，)．
题型四：二次函数中存在性问题之平行四边形问题
【经典例题4】如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在第二象限内的抛物线上确定一点P，使的面积最大，求出点P的坐标；
(3)在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q，使点P，B，M，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝－x2－2x＋3
(2)
(3)或或
【分析】（1）先利用勾股定理求出的长，进而得到的长，由此求出A、B、C的坐标，再把解析式设为交点式利用待定系数法求解即可；
（2）如图1，过点作轴交于点，利用待定系数法求出设直线解析式，设，则，求出，即可利用二次函数的性质求解即可；
（3）如图2，分两种情况：点在轴上方或点在轴下方．①当点在轴上方时，根据与纵坐标相等，建立方程求解即可；②当点在轴下方时，根据与纵坐标互为相反数，建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∴，，，
设抛物线解析式为，将代入，得：，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图1，过点作轴交于点，
设直线解析式为，将，代入，
得：，
解得：，
直线解析式为，
设，则，
，
，
，
，
当时，的面积最大，此时点的坐标为；
（3）解：存在．分两种情况：点在轴上方或点在轴下方．
①当点在轴上方时，∵，
∴与纵坐标相等，
，
解得：，（舍去），
，
②当点在轴下方时，∵为对角线，
∴的中点坐标相同，即它们的中点的纵坐标为0，
∴与纵坐标互为相反数，
，
解得：，，
或，
综上所述，点的坐标为或或．
【变式训练4-1】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)①如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值；
②如图2，若点为抛物线对称轴上一个动点，当时，求点的坐标；
(3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；
(3)存在；点的坐标为或或
【分析】（1）把点，点的坐标代入，求出，，即可；
（2）①过点作于点，过点作轴交于点，证明是等腰直角三角形，则；当最大时，有最大值；设的解析式为，求出的解析式，设点且，则点，求出，再根据二次函数的性质，即可；②根据函数解析式，求出点的坐标，则对称轴为：，设点，根据两点间的距离公式，即可；
（3）根据平行四边形的性质分类讨论：①当为平行四边形的对角线时；②当为平行四边形的对角线时；③当为平行四边形的对角线时，分别求解，即可．
【详解】（1）∵抛物线经过点，点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：．
（2）过点作于点，过点作轴交于点，
∵点，点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
∴当最大时，有最大值，
设的解析式为，
∴，
∴，
解得：，
∴设的解析式为，
设点且，
∴点，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，
∴；
②∵，
∴点，
∵点，
∴对称轴为：，
设点，
∵，，
∴，，
∴，
解得：，
∴．
（3）存在，理由如下：
由（2）得，对称轴为；
设点，，
①当为平行四边形的对角线时
∴，
解得：，
∴点，；
②当为平行四边形的对角线时；
∴，
解得：，
∴点，；
③当为平行四边形的对角线时，
∴，
解得：，
∴点，；
综上所述，点的坐标为或或．
【变式训练4-2】如图，抛物线与y轴交于A点，其顶点为D．直线分别与x轴、y轴交于B、C两点，与直线相交于E点．
(1)求A、D的坐标（用m的代数式表示）；
(2)将沿着y轴翻折，若点E的对称点P恰好落在抛物线上，求m的值；
(3)抛物线上是否存在一点P，使得以P、A、C、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查二次函数综合题、一次函数、对称、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会用配方法确定抛物线顶点坐标，学会分类讨论，知道可以利用方程组求两个函数图象交点坐标，属于中考压轴题．
（1）利用配方法求出顶点D坐标，令，可以求出点A坐标；
（2）求出直线解析式，利用方程组求出点E坐标，再求出点E关于y轴对称点坐标，利用待定系数法即可解决问题；
（3）分为边，为对角线两种情形分别讨论即可解决问题．
【详解】（1）∵，
∴顶点，
令，则，
∴点，
∴；
（2）设直线为，则，解得，
∴直线解析式为，
由，解得，
∴点E坐标为，
∴点关于y轴的对称点，
∵点在抛物线上，
∴，
∴或，
∵，
∴；
（3）如图，
①当为边时，，，
令，则，
∴点C的坐标为，
∴
根据平移可以得到点P坐标，
∴，
∴或(舍弃)，
②当为对角线时，为边，
根据平移可得点坐标，
∴，
∴或(舍弃)
∴抛物线解析式为或．
【变式训练4-3】如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过两点，与x轴交于另一点A，点E是直线上方抛物线上的一动点，过E作轴交x轴于点F，交直线于点M．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求线段的最大值；
(3)在（2）的条件下，连接，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出P点坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)最大值为
(3)存在，点坐标为：，或者
【分析】(1)先根据一次函数求出点的坐标，再用待定系数即可求解；
(2) 设点的横坐标为，则有，进而有，即可得：，化简得：，利用二次函数的性质即可求解；
(3)根据(2)的结论可知：当时，有的坐标为：，令，可得坐标为：，设的坐标为：，的坐标为：，以，为顶点的四边形为平行四边形，此时分类讨论：第一种情况：以为对角线时，另一条对角线为，第二种情况：以为对角线时，另一条对角线为，第三种情况：以为对角线时，另一条对角线为，再结合平行四边形的对角线互相平分和中点坐标公式列出方程即可求解．
【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点，
当时，，即的坐标为，
当时，，解得，即的坐标为，
将代入抛物线中，
有，解得 ，
故抛物线的解析式为；
（2）解：设点的横坐标为，
∵点是直线上方拋物线上的一动点，
，
轴，且点在直线上，直线解析式为，
∴点和点的横坐标相同，则，
则有：，
，
∴当时，有最大值，最大值为，此时；
即最大值为；
（3）解：存在，理由如下：
解：根据(2)的结论可知：当时，有的坐标为：，
∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为：，
令，解得或者，即可得坐标为：，
根据点是抛物线对称轴上的动点，设的坐标为：，
根据点是抛物线上的点，设的坐标为：，
以为顶点的四边形为平行四边形，此时分类讨论：
第一种情况：以为对角线时，另一条对角线为，
根据平行四边形的对角线互相平分和中点坐标公式可得： ，解得： ，则可得点坐标为：；
第二种情况：以为对角线时，另一条对角线为，
根据平行四边形的对角线互相平分和中点坐标公式可得： ，解得： ，则可得点坐标为：；
第三种情况：以为对角线时，另一条对角线为，
根据平行四边形的对角线互相平分和中点坐标公式可得： ，解得： ，则可得点坐标为：；
综上：点坐标为：，或者．
【变式训练4-4】在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于O，A两点，过点A的直线与y轴交于点C，交抛物线于点D．
(1)直接写出点A，C，D的坐标；
(2)如图1，点B是直线上方第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值；
(3)如图2，若点M在抛物线上，点N在x轴上，当以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)，，
【分析】（1）令，，分别求出二次函数图形和坐标轴的交点，再联立二次函数和一次函数求出交点，即可得到交点；
（2）过点B作轴于点F，交AC于点E，过点D作轴于点H，交于点G，利用面积求，将三角形的面积转化为二次函数，求最值即可；
（3）当点M在x轴上方时，当点M在x轴下方，分两种情况讨论，利用平行四边形的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
解得：，
∴，
当时，，
∴，
联立二次函数和一次函数解析式，
得：，
整理得：，
解得：，
当时，，
∴；
（2）解：如图1，过点B作轴于点F，交AC于点E，过点D作轴于点H，交于点G，
设，则，
∴，
∴
，
当时，有最大值为；
（3）解：①当点M在x轴上方时，如图2，以A，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形，
则，
由对称性得到，即，故，
∴，；
②当点M在x轴下方时，如图3：
过点M作轴于点P，过点D作轴于点Q，
则：，
∵以A，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
将代入抛物线解析式得：，
解得：或，
∴或，
∴或，
符合条件的N点有：，，．
【变式训练4-5】如图，抛物线经过点，，点是直线上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点．设点的横坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点在第一象限，连接，当线段最长时，求的面积；
(3)是否存在这样的点，使以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当时，最长为，此时
(3)存在点，使以点为顶点的四边形为平行四边形，坐标为或
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）根据题意求出的解析式，设，则，根据点在抛物线上，可用含的式子表示出的长，根据二次函数的特点即可求解；
（3）根据平行四边形的性质，结合图形，抛物线的性质即可求解．
【详解】（1）解：将点，，代入，
∴，解得，
∴．
（2）解：如图所示，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴，
∵，则，
∴，
当时，最长为，此时．
（3）解：存在点，使以点为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：
由（2）知，，，
∴
∵，且使以点为顶点的四边形为平行四边形，
∴，
∴，
①，解得：或，
∴或；
②，此时t无解；
综上所述：点坐标为或．
题型五：二次函数中存在性问题之菱形问题
【经典例题5】如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于点，两点，交轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点，求周长的最大值及此时点的坐标；
(3)在(2)中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】(1)
(2)周长的最大值，此时点
(3)以点，，，为顶点的四边形是菱形时或或
【分析】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，相似三角形的性质与判定，菱形的性质及应用，中点坐标公式等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度．
（1）把、代入计算即可；
（2）延长交轴于，可得，进而得到，，求出的最大值即可；
（3）先求出平移后的解析式，再设出，的坐标，最后根据菱形的性质和判定计算即可．
【详解】（1）把、代入得，，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）延长交轴于，
过点P作于点，过点作轴的平行线交直线于点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴当最大时周长的最大
∵抛物线的表达式为，
∴，
∴直线解析式为，
设，则
∴，
∴当时最大，此时
∵周长为，
∴周长的最大值为，此时，
即周长的最大值，此时点；
（3）∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，可以看成是向右平移2个单位长度再向下平移一个单位长度，
∴平移后的解析式为，此抛物线对称轴为直线，
∴设，
∵，
∴，，，
当为对角线时，此时以点，，，为顶点的四边形是菱形
∴与互相平分，且
∴，解得
∵中点坐标为，中点坐标为，
∴，解得，
此时；
当为边长且和是对角线时，此时以点，，，为顶点的四边形是菱形
∴与互相平分，且
∴，解得
∵中点坐标为，中点坐标为，
∴，解得，
此时或；
同理，当为边长且和是对角线时，此时以点，，，为顶点的四边形是菱形
∴和互相平分，且
，此方程无解；
综上所述，以点，，，为顶点的四边形是菱形时或或；
【变式训练5-1】如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的动点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点P在直线的上方运动时，连接，交直线于点D，交y轴于点E．
①若的面积是面积的3倍，求点P的坐标；
②当时，求的长．
(3)过点P作轴交直线于点F，在y轴上是否存在点Q，使得以P、F、C、Q为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)存在，或或
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）①连接，过点P作轴交于点M，过点A作轴交于点N，设，由，则，建立方程求t的值即可；
②设，先求出直线的解析式为，则，再求出，根据，建立方程求出m的值即可求解；
（3）设，则，求出，，；分三种情况进行讨论：①当时，②当时，③当时，分别求出结果即可．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
将点C代入可得，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：①连接，
∵的面积是面积的3倍，
∴，
过点P作轴交于点M，过点A作轴交于点N，
设，
设直线的解析式为，
把，代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
∴，
∴，，
∴，
∴，
解得，
∴；
②设，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∴，
∴，
当时，解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴；
（3）解：存在点Q，使得以P、F、C、Q为顶点的四边形是菱形，理由如下：
设，则，
∵，
∴，
，
；
①当时，，
解得：或
当时，P、F、C、Q四个点都在y轴上，不符合题意；
当时，P、F两个点重合，不符合题意；
②当时，，
解得：或或，
当时，P、F、C、Q四个点都在y轴上，不符合题意；
∵，
∴当时，点在点的下方，
∵，，为菱形的边，
∴此时点Q在点C下方，如图所示：
∵，
∴，
∴点Q的纵坐标为，
∴此时点Q的坐标为；
∵，
∴当时，点在点的上方，
∵，，为菱形的边，
∴此时点Q在点C上方，如图所示：
∵，
∴，
点Q的纵坐标为，
∴此时点Q的坐标为；
③当时，，
解得：或，
当时，P、F、C、Q四个点都在y轴上，不符合题意；
∵，
∴当时，点在点的上方，
∵，，为菱形的边，
∴此时点Q在点C下方，如图所示：
∵，
∴，
点Q的纵坐标为，
∴此时点Q的坐标为；
综上所述：Q点坐标为或或．
【变式训练5-2】如图，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)P是直线上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为t，P到的距离为h，求h与t的函数关系式，并求出h的最大值；
(3)设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出所有符合条件的点N坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)存在，，，，
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由，而，则，即可求解；
（3）当为对角线时，由中点坐标公式和列出方程组，即可求解；当或为对角线，同理可解．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
又过，
则，
则．
即，
即；
（2）解：如图1，过点作轴于点，交于点，作 于点，连接、，
、，
则，，
由点、的坐标得，直线解析式为，
，，
．
，
又，
．
，
则，
当 时，；
（3）解：存在，理由：
设点、点，
当为对角线时，由中点坐标公式和得：
，解得：，
即点的坐标为：；
当或为对角线，由中点坐标公式和或得：
或，
解得：或，
即点的坐标为：，或；
综上，或或或．
【变式训练5-3】如图①，在平面直角坐标系中．抛物线与轴交于，两点点在点右侧，，与轴交于点．直线经过点，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图②，点为上方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，求周长的最大值；
(3)在(2)的条件下，若点是轴上的动点，点为平面内一点，是否存在点，，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当时，周长的最大值为
(3)存在，点的坐标为，或，或，或，或，
【分析】（1）求出点，的坐标，由可得点的坐标，利用待定系数法即可求解；
（2）设点，，可得、的坐标，利用勾股定理求出，，，根据二次函数的最值即可求解；
（3）分三种情况画出图形，根据菱形的性质即可求解．
【详解】（1）解：直线，令得，
令得，解得．
，，，，
，
，，
将，， ，，，代入得，
，解得，
抛物线的解析式为；
（2）设点，
轴，
，
，
，
轴，
，，
，
，
，
点为上方抛物线上一点，
，
，
的周长
，
当时，周长的最大值为；
（3）存在，
由（2）知时，，
，
设，，
①线段为菱形的边，四边形为菱形时，如图，
，
，
，
，或，，
四边形为菱形，点的坐标可由点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到，
点可由点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到，
，或，；
②线段为菱形的边，四边形为菱形时，如图，
，
，
，
，或，，
四边形为菱形，点的坐标可由点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到，
点可由点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到，
，或，；
③线段为菱形的对角线，四边形为菱形时，如图，
，
，
，
设，，
，解得，
，解得，
，．
综上所述，存在，点的坐标为，或，或，或，或，．
【变式训练5-4】如图，已知抛物线经过点和点，与轴交于点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点是直线下方的抛物线上一动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为．
①用含的代数式表示线段的长．
②连接，，求的面积最大时点的坐标．
(3)设抛物线的对称轴与交于点，点是抛物线的对称轴上一点，为轴上一点，是否存在这样的点和点，使得以点为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②点P的坐标为
(3)存在，点M的坐标为或或
【分析】（1）利用待定系数法，将和点代入抛物线，求解即可；
（2）①设，先求出点坐标，再利用待定系数法，将点、代入直线BC解析式，求解得到BC解析式，即可得到，用点纵坐标减去点纵坐标即可得的关于的表达式；②根据及三角形面积公式，求得，可得当时，有最大值，将 代入计算，即可求得点坐标；
（3）存在这样的点和点，使得以点为顶点的四边形是菱形，先求出点坐标为点，过点作轴，交轴于点，则，利用勾股定理求出的长为，然后分情况讨论以点为顶点的四边形是菱形时点的坐标情况，当为菱形对角线时，则，此时点与点重合，根据，即可求出点的坐标；当为菱形边长时，则，分点在点上方和点在点下方的情况即可求出的坐标，列出点的所有坐标即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点，与轴交于点，
，解得，
∴抛物线解析式为．
（2）解：如图，在直线下方的抛物线上取一点，连接，，
①设，解析式，
抛物线解析式为，
时，，
点坐标为，
将点、代入直线BC解析式，
得，解得，
所以直线解析式为，
过点作轴的平行线交直线于点，则，
，
答：用含的代数式表示线段的长为；
②
，
当时，有最大值，
当时，，
，
答：的面积最大时点的坐标为．
（3）解：存在这样的点和点，使得以点为顶点的四边形是菱形．
抛物线的对称轴为，
将代入解析式得，
点坐标为，
如图，过点作轴，交轴于点，则，
，，
， ，
当为菱形对角线时，则，此时与重合，
，
，解得，
点坐标为，
当为菱形边长时，则，
或，
解得或，
点坐标为或，
综上所述得以点为顶点的四边形是菱形时，点的坐标为或或．
【变式训练5-5】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．
(1)求这个二次函数的表达式．
(2)连接、，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)当点运动到什么位置时，使的面积最大，求出点的坐标和的面积最大值．
【答案】(1)
(2)存在，点的坐标为
(3)点的坐标为，的面积的最大值为
【分析】（1）利用待定系数法可直接求出二次函数的解析式；
（2）先设出点的坐标，再求出的坐标，利用菱形的对角线互相垂直且邻边相等即可求出点的坐标；
（3）先设出点的坐标，然后作平行轴交与点，将三角形和三角形的面积表示出来，再求出最大值的条件和最大值．
【详解】（1）解：把点，点的坐标代入，
得，
解得，
二次函数得表达式为；
（2）解：存在点，使四边形为菱形，
设，交于点，
若四边形是菱形，则，
连接，则，，
，
解得，不合题意，舍去，
点的坐标为；
（3）解：如图，过点作轴的平行线与交于点，
设，
设直线的解析式为，
则有，
解得：，
∴直线的解析式为，
则，
，
当时，的面积最大，
将代入，得，
点的坐标为，的面积的最大值为．
题型六：二次函数中存在性问题之矩形问题
【经典例题6】综合与探究
如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点、两点，且点的坐标为，与轴交于点，
(1)求抛物线解析式及顶点坐标；
(2)点为抛物线上一点，且，则点的坐标为______；
(3)点为线段上任意一点，过点作轴于点，直线交抛物线于点，求线段的最大值；
(4)点是抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)或
(3)最大值为
(4)存在，
【分析】（1）先由题意得出的坐标，再用待定系数法求出解析式即可；
（2）先设出的坐标，然后将的面积表示出来，根据题意列出方程，解方程即可求解；
（3）表示出，根据二次函数的性质，即可求解．
（4）根据对角线的情况分三种讨论，再由矩形的性质求出点的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A、B两点，且A点的坐标为，与y轴交于点，
∴
设抛物线解析式为
将代入得，
解得：
∴抛物线解析式为
当时，
∴,
（2）解：∵
∴
∴
∵点为抛物线上一点，且
设，
∴
∵
∴
∵为顶点，
∴
∴
解得：
∴或
（3）解：设直线的解析式为，代入
∴
解得：
∴
设，则
∴
当时，线段的最大值为
（4）存在，
∵抛物线对称轴为直线，设，，又
当为对角线时，
∴
∴
∵
∴
∴
解得：；
∴
∴
当为对角线时，
∴
∴
∵
∴
∴
解得：，
∴
∴
当为矩形的对角线，
∴
∴
∵
∴
∴
解得：或；
∴或；
∴
综上所述，
【变式训练6-1】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于、两点，交轴于点．
(1)求点、、的坐标；
(2)将抛物线向右平移1个单位，得到新抛物线，点在坐标平面内，在新抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)存在，点的坐标为或
【分析】（1）分别令和，求解即可；
（2）先求得平移后的抛物线的解析式，再分情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，根据矩形的性质求解即可．
【详解】（1）解：令，则，
解得，，
，
令，则，
．
（2），
，
对称轴为．
当为边时，分两种情况：
当为对角线时，连接，过点作的垂线，交于点，交轴于点，
，，
，
，
．
设所在直线解析式为，
将，代入得，，
解得，
所在直线解析式为，
当时，．
．
当为边时，同理过点作的垂线，交于点，交轴于点，
易得所在直线解析式为，则与对称轴l的交点坐标为．
当为对角线时，也为对角线，易得，由图可知此时点不可能在上，
此种情况不存在．
综上，在新抛物线的对称轴上存在点，使得以、、、为顶点的四边形是矩形，点的坐标为或．
【变式训练6-2】如图所示，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于B、C两点，抛物线经过B、C两点，且交x轴于另一点．点D为抛物线在第一象限内的一点，过点D作，交于点P，交x轴于点Q．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点P的横坐标为m，在点D的移动过程中，存在，求出m值；
(3)在抛物线上取点E，在平面直角坐标系内取点F，问是否存在以C、B、E、F为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，此时点的坐标为或
【分析】（1）根据一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得；
（2）先根据求出，从而可得，再根据平行线的判定可得，从而可得点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3，由此即可得；
（3）设点的坐标为，分两种情况：①四边形是矩形，②四边形是矩形，先联立二次函数和一次函数的解析式求出点的坐标，再根据矩形的性质求解即可得．
【详解】（1）解：一次函数，
当时，，即，
当时，，解得，即，
把，代入得，
解得，
则抛物线的解析式为．
（2）解：，，
，
，
，
，
，
点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3，
当时，，解得或（舍去），
则．
（3）解：存在，求解如下：
设点的坐标为，
①当四边形是矩形时，则，
∵直线的解析式为，
∴设直线的解析式为，
把点代入得，
直线的解析式为，
联立，解得或（即为点，舍去），
，
四边形是矩形，且，，，
，解得，
则此时点的坐标为；
②当四边形是矩形时，则，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
联立，解得或（即为点，舍去），
，
四边形是矩形，且，，，
，解得，
则此时点的坐标为，
综上，存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或．
【变式训练6-3】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于C点，且OC＝3OB，连接OD．
(1)求抛物线解析式；
(2)P点为抛物线上AD部分上一动点，过P点作PF∥DE交AC于F点，求四边形DPAF面积的最大值及此时P点坐标．
(3)在（2）问的情况下，把抛物线向右平移两个单位长度，在平面内找一个点N，使以D、P、M、N为顶点的四边形为矩形
【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3
(2)面积的最大值为，P（，）．
(3)N（）或N（）
【分析】（1）先确定点C的坐标，利用待定系数法可求函数的解析式；
（2）利用转化的思想，将四边形DPAE的面积用三角形APE的面积表示，设出点P的坐标，用m的代数式表示三角形APE的面积，利用二次函数的性质可得面积的最大值，并得到m的取值，P点坐标可得；
（3）首先求出平移后的抛物线的解析式，得到抛物线的对称轴为直线x=3；然后分类讨论解答：①当四边形DPNM为矩形时，过D作DE⊥x轴于E，过P作PF⊥x轴于F，PK⊥DE于K，过N作NH⊥y轴于H，则DK，KP可求，利用△DKP≌△MHN求得NH，MH的长；通过求得DM的解析式，得到线段MG，HG的长度，从而点N的坐标可求；②当四边形DPNM为矩形时，同①的方法可得N点坐标．
【详解】（1）解：∵点A（3，0），B（﹣1，0），
∴OA＝3，OB＝1．
∵OC＝4OB，
∴OC＝3．
∴C（0，6）．
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，由题意得：
解得：．
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：∵y=-x2+2x=3=-（x-1）2+4，
∴D（1，4）．
过点E作EM⊥OA于M，过点P作PN⊥OA于N，连接EP，如图，
∵DE∥PF，
∴S△DPF=S△EPF．
∴S四边形DPAF=S△APF+S△DPF=S△APF+S△EPF=S△APE．
设点P（m，-m2+2m+3），
则ON=m，PN=-m2+2m+3．设直线AC的解析式为y=kx+n，
∴．
解得：．
∴直线AC的解析式为：y=-x+3．
设直线OD的解析式为：y=dx，
∴d=4．
∴直线OD的解析式为：y=4x．
∴．
解得：．
∴E（，）．
∴OM=，ME=．
∴MN=，NA=3-m．
∵S△APE=S四边形EMPN+S△ANP-S△AME，
∴S△APE=(PN+EM)×MN+AN PN AM ME
=( m2+2m+3+)×(m )+(3 m)×( m2+2m+3)×(3 )×
=
=．
∵，
∴当m=时，S△APE有最大值．
∴四边形DPAF面积的最大值为．
此时点P的坐标为：（，）．
（3）解：∵y=-x2+2x=3=-（x-1）2+4，
∴平移后的抛物线的解析式为y=-（x-3）2+4，对称轴为x=3．
①当四边形DPNM为矩形时，如图，
过D作DE⊥x轴于E，过P作PF⊥x轴于F，PK⊥DE于K，过N作NH⊥MG于H，
则DK=DE-PF==，KP=OF-OE==．
易证△DKP≌△MHN．
∴NH=KP=，MH=DK=．
设DP的解析式为y=ex+f，
∴．
解得：．
∴y=．
∴设直线DM的解析式为y=2x+n，
∴4=1×2+n．
∴n=2．
∴直线DM的解析式为y=2x+2．
当x=3时，y=2×3+2=8．
∴MG=8，
∴HG=MGMH=．
∴N（，）．
②当四边形DPNM为矩形时，如图，
过D作DE⊥x轴于E，过P作PF⊥x轴于F，PK⊥DE于K，过N作NH⊥MG于H，
则DK=DE-PF=，KP=OF-OE=．
易证△DKP≌△MHN．
∴NH=KP=，MH=DK=．
则DP的解析式为．
∴设直线PM的解析式为y=2x+h，
∴．
∴h=．
∴直线PM的解析式为y=2x+．
∴当x=3时，y=2×3+=．
∴MG=．
∴GH=MG+MH=7．
∴N（，7）．
综上，N点的坐标为：（，）或（，7）．
【变式训练6-4】如图1，若二次函数y＝﹣x2+3x+4的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接AC、BC．
（1）求三角形ABC的面积；
（2）若点P是抛物线在一象限内BC上方一动点，连接PB、PC，是否存在点P，使四边形ABPC的面积为18，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图2，若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，BC为边的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）10；（2）存在，P(2，6)；（3）存在，K(﹣6，﹣2)或(6，2)
【分析】（1）令x＝0，求C（0，4），令y＝0，求A（﹣1，0），B（4，0），再求S△ABC即可；
（2）由已知可得△BCP的面积为8，求出直线BC的解析式为y＝﹣x+4，过P点作PM⊥x轴，交BC于点M，设P（t，﹣t2+3t+4），则M（t，﹣t+4），根据面积列出方程即可；
（3）设Q（m，﹣m2+3m+4），当m＞0时，过点Q作QH⊥y轴交H点，过K作KG⊥x轴交G点，证明△CHQ≌△BGK（AAS），得到m＝﹣m2+3m+4﹣4；当m＜0时，设KC与x轴的交点为F，BQ与y轴的交点为H，过点Q作QG⊥y轴交G点，过K作KE⊥x轴交E点，证明△QHG≌△KFE（AAS），则有﹣m＝﹣4﹣（﹣m2+3m+4），分别解方程即可．
【详解】解：（1）令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
令y＝0，则﹣x2+3x+4＝0，
解得x＝4或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
∴AB＝5，
∴S△ABC＝×5×4＝10；
（2）存在，理由如下：
∵四边形ABPC的面积为18，S△ABC＝10，
∴△BCP的面积为8，
设直线BC的解析式为y＝kx+4，将点B（4，0）代入，得k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
过P点作PM⊥x轴，交BC于点M，
设P（t，﹣t2+3t+4），则M（t，﹣t+4），
∴S△BCP＝×4×PM＝2（﹣t2+3t+4+t﹣4）＝2（﹣t2+4t）＝8，
∴t＝2，
∴P（2，6）；
（3）存在，理由如下：
设Q（m，﹣m2+3m+4），
当m＞0时，如图1，
∵矩形是以BC为边，
∴QK∥BC，CQ⊥BC，KB⊥BC，
过点Q作QH⊥y轴交H点，过K作KG⊥x轴交G点，
∵CQ＝BK，∠OCB＝∠OBC＝45°，
∴∠HCQ＝∠GBK＝45°，
∴△CHQ≌△BGK（AAS），
∴HC＝HQ＝BG＝GK，
∴m＝﹣m2+3m+4﹣4，
∴m＝2或m＝0（舍），
∴HQ＝BG＝GK＝2，
∴K（6，2）；
当m＜0时，如图2，
∵矩形是以BC为边，
∴QK∥BC，KC⊥BC，BQ⊥BC，
设KC与x轴的交点为F，BQ与y轴的交点为H，
过点Q作QG⊥y轴交G点，过K作KE⊥x轴交E点，
∵∠OCB＝∠OBC＝45°，
∴∠OBH＝∠OHB＝45°，∠FCO＝∠CFO＝45°，
∴OF＝OC＝OB＝OH＝4，∠HQG＝∠EFK＝45°，
∵KC＝BQ，CF＝HB，
∴FK＝QH，
∴△QHG≌△KFE（AAS），
∴QG＝HG＝EF＝EK，
∴﹣m＝﹣4﹣（﹣m2+3m+4），
∴m＝﹣2或m＝4（舍），
∴GQ＝EF＝EK＝2，
∴K（﹣6，﹣2）；
综上所述，K点的坐标为（﹣6，﹣2）或（6，2）．
【变式训练6-5】如图，二次函数y=-x2 +2x+m的图象与x轴的一个交点为A(3，0)，另一个交点为B．且与y轴交于点C．
（1）求m的值；
（2）求点B的坐标；
（3）该二次函数图象上有一点D(x，y)(其中x>0，y>0)，且，求点D的坐标；
（4）若点P在直线AC上，点Q是平面内一点，是否存在点Q，使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）m=3；（2）B（-1，0）；（3）点D的坐标为（2，3）；（4）点Q的坐标为（3，4）或（1，-2）．
【分析】（1）直接将点A的坐标代入到二次函数的解析式即可求出m的值，写出二次函数的解析式；
（2）分别计算当x=0和y=0时的值，写出B、C两点的坐标；
（3）因为S△ABD=S△ABC，则根据同底等高的两个三角形的面积相等，所以只要高与OC的长相等即可，因此要计算y=3时对应的点即可；
（4）分AB是矩形的边、AB是矩形的对角线两种情况，通过画图，利用数形结合即可求解．
【详解】解：（1）把A（3，0）代入二次函数y=-x2+2x+m得：
-9+6+m=0，
∴m=3；
（2）由（1）可知，二次函数的解析式为：y=-x2+2x+3；
当x=0时，y=3，
∴C（0，3），
当y=0时，-x2+2x+3=0，
x2-2x-3=0，
（x+1）（x-3）=0，
∴x=-1或3，
∴B（-1，0）；
（3）∵S△ABD=S△ABC，
当y=3时，-x2+2x+3=3，
-x2+2x=0，
x2-2x=0，
x（x-2）=0，
x=0或2，
∴只有（2，3）符合题意．
综上所述，点D的坐标为（2，3）；
（4）存在，理由：
①当AB是矩形的边时，此时，对应的矩形为ABP′Q′，
∵AO=OC=3，故∠PAB=45°，
∴矩形ABP′Q′为正方形，
故点Q′的坐标为（3，4）；
②当AB是矩形的对角线时，此时，对应的矩形为APBQ，
同理可得，矩形APBQ为正方形，
故点Q的坐标为（1，-2），
故点Q的坐标为（3，4）或（1，-2）．
题型七：二次函数中存在性问题之正方形问题
【经典例题7】综合与探究
如图，抛物线经过点和点，点是线段上一动点（不与重合），直线是抛物线的对称轴，设点的横坐标为．
(1)求抛物线的函数表达式及直线的函数表达式．
(2)当点在直线右侧的线段部分上运动时，过点作轴的垂线交抛物线于点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为，求四边形周长的最大值．
(3)若点是抛物线上一点，平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是正方形时，若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标．若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的函数表达式为，直线的函数表达式为；
(2)最大值为；
(3)点的坐标为或或．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设点的坐标为，点的坐标为，得到四边形周长为，利用二次函数的性质求解即可；
（3）分三种情况讨论，利用正方形的性质求解即可．
【详解】（1）解：将点和点代入得
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
设直线的函数表达式为，
∴，
解得，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点的横坐标为，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
∴四边形周长为，
∵，
∴当时，四边形周长有最大值，
最大值为；
（3）解：当为正方形时，如图，
∵点和点，
∴，
∴点与点关于对称轴对称，
∴点，
∴点，
∴点的坐标为；
当为正方形时，如图，设正方形的中心为点，
∵，，
∴，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
∵，
∴，即，解得，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴点的坐标为；
当为正方形时，如图，设正方形的中心为点，
显然点与点关于对称轴对称，
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或或．
【变式训练7-1】如图，抛物线与x轴交于、两点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点N在坐标平面内，请问在抛物线上是否存在点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点H，使得四边形是正方形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在的坐标为或时，使得四边形是正方形
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象及性质、二次函数综合问题．
（1）利用将、代入，利用待定系数法即可求解；
（2）由题意，设，四边形是正方形，可知，得则，分两种情况：当时，当时，分别求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，将、代入，
得：，解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）存在的坐标为或时，使得四边形是正方形，理由如下：
由题意，设，
∵，四边形是正方形，轴，则，
∴，
则，
即：，
当时，
解得：，（舍去），
则，即；
当时，
解得：，（舍去），
则，即；
综上，存在的坐标为或时，使得四边形是正方形．
【变式训练7-2】如图，某一次函数与二次函数的图象交点为，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为抛物线对称轴上一动点，当与的和最小时，求点的坐标；
(3)在（2）条件下，点为轴上一点，点为直线上一点，点为平面直角坐标系内一点，若以点，，，为顶点的四边形是正方形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)
(3)或或或
【分析】本题考查用等定系数法求函数解析式，二次函数与正方形综合，二次函数与一次函数综合．熟练掌握二次函数的图象性质和正方形的性质是解题的关键．
（1）用待定系数法求解即可；
（2）先用待定系数法求出直线的解析式为，根据当点、三点共线时，的最小值为的长，再根据抛物线的对称轴为，把 代入，求得，即可求解．
（3）分三种情况：当为对角线时，此时四边形是正方形；当为边时，若点在的上方，四边形是正方形；当若点在点的下方时，四边形是正方形．分别求解即可．
【详解】（1）解：将，代入得
抛物线的解析式为．
（2）解：设直线的函数解析式为，
，
，
直线的解析式为．
，
当点、三点共线时，的最小值为的长，
抛物线的对称轴为，
当时，，
（3）解：当为对角线时，此时四边形是正方形，如图，
令，则，
∴，
∵四边形是正方形，点为轴上一点，
∴轴，
∵，
；
当为边时，若点在的上方，四边形是正方形，如图，
此时 ，
轴
是等腰直角三角形，
，
；
当点在点的下方时，四边形是正方形，如图，
是等腰直角三角形，
∴点F在的垂直平分线上，
∵点为轴上一点，，
∴点F的横坐标为，
把代入，得，
∴
∵四边形是正方形，
∴点F与点N关于对称，
∴；
当点在点的下方时，如图，四边形是正方形，
∵四边形是正方形，点为轴上一点，
∴点N与点C关于y轴对称，
∵
∴；
综上：点的坐标为或或或．
【变式训练7-3】如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于，两点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点是第二象限抛物线上的动点，轴，交直线于点，点在轴上，点在坐标平面内，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在点，点的坐标为或
【分析】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，学会用分类讨论的思想思考问题．
（1）将、两点坐标代入到中，利用待定系数法求函数解析式．
（2）由题意和可得点坐标，与点坐标代入一次函数，中解出解析式，从而得出点坐标，再分两种情况：①当为正方形的一条边时，②当为正方形的对角线时，根据正方形的性质，即可求解．
【详解】（1）将，代入中，
得，
解得：
抛物线的函数表达式为．
（2）由题意和可得，
，
可设直线的函数表达式为：，
将代入得：，
，
直线的函数表达式为.
设（），分两种情况：
①当为边时，如图1，四边形是正方形（点、可互换位置）.
则，
故的纵坐标与的纵坐标相等为，
将代入中，可得的横坐标为，
则点E的坐标为，
，即，
解得（，要舍）或，
点的坐标为．
②当为对角线时，如图2，连接，过点作轴于点H，
，，
易得，
则，
则的纵坐标为，
点的坐标为．
点在直线上，
，
解得或2（，要舍），
点的坐标为．
综上可得：存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形，点的坐标为或．
【变式训练7-4】如图，已知抛物线的图像与坐标轴分别交于三点，连接，点M是的中点，抛物线的对称轴交x轴于点F，作直线．
(1)直接写出下列各点的坐标：F______，M______；
(2)若点P为直线下方抛物线上动点，过点P作轴，交直线于点Q，当为直角三角形时，求点P的坐标；
(3)若点N是x轴上一动点，则在坐标平面内是否存在点E，使以点为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点E的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)点P的坐标为：（），
(3)存在，或
【分析】（1）由二次函数表达式和坐标轴上点的特点即可得出答案；
（2）由点的坐标求出直线解析式，并分类讨论直角顶点即可得出答案；
（3）分类讨论对角线的情况，结合正方形的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：的对称轴为：，
，
当时，
或，
，
当时，，
，
点M是的中点，
；
（2）由（1）可得直线的表达式为：，
轴，
，
故点不可能是直角顶点，
若，如图，
则轴，
把代入得
，
解得：（舍去），，
，
若，如图过点作，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
与点关于直线对称，
设直线的表达式为，
把代入得
，
直线的表达式为，
，
解得：（舍去），，
把代入得
，
，
综上所述，点的坐标为，；
（3），，
，
设，，
当时，
直线的表达式为：，
则设直线的表达式为：，
把代入得，
则直线的表达式为：，
把代入得，
则，
，
，
当为顶点的四边形是正方形时，
则解得，
，
当时，
直线的表达式为：，
则设直线的表达式为：，
把代入得，
则直线的表达式为：，
把代入得，
则与重合，舍去不符合题意；
当时，则，
则可设，同理可得
则解得，
，
综上所述，满足条件的点的坐标为或．
【变式训练7-5】如图，抛物线经过，两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点E，连接．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点Q在该抛物线的对称轴上，若是以为腰的等腰三角形，求点Q的坐标；
(3)若P为的中点，过点P作轴于点F，G为抛物线上一动点，轴于点M，N为直线上一动点，当以F、M、G、N为顶点的四边形是正方形时，直接写出点M的坐标．
【答案】(1)
(2)或或
(3)或或或
【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）分、两种情况，利用等腰三角形腰相等求解即可；
（3）计算出，，当以F、M、G、N为顶点的四边形是正方形时，则，即可求解．
【详解】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得:
，解得，
故抛物线的表达式为；
（2）由抛物线的表达式知，点，函数的对称轴为直线，
则设点Q的坐标为，
由点A、C、Q的坐标得：，
同理可得：，，
当时，则，解得；
当时，同理可或0（舍去），
故点Q的坐标为或或；
（3）∵，故点D的坐标为，
由点B、D的坐标得，点，
则点，
设点M的坐标为，则点，
则，，
当以F、M、G、N为顶点的四边形是正方形时，则，
即，
当时，解得，
当时，解得，
故点M的坐标为或或或．
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1.6二次函数中存在性问题七大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：二次函数中存在性问题之面积最大问题
【经典例题1】如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是，C点坐标是．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线的下方，试求的最大面积及E点的坐标．
【变式训练1-1】如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点是直线上方抛物线上的一动点，当面积最大时，请求出点的坐标；
【变式训练1-2】如图，一次函数的图象与坐标轴交于点、，抛物线的图象经过、两点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点为抛物线上一动点，在直线上方是否存在点使的面积最大？若存在，请求出面积的最大值及点的坐标，请说明理由．
【变式训练1-3】有一长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为），围成中间隔着一道篱笆的长方形花圃，花圃的宽为，面积为．
(1)求S关于x的函数解析式；
(2)如果要围成面积为的花圃，的长是多少m？
(3)能围成面积比更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
【变式训练1-4】如图，在中，，P点在上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为；Q点在上从C点运动到A点（不包括A点），速度为．若点P，Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程：
(1)经过多少时间后，P，Q两点的距离最短，最短距离是多少？
(2)经过多少时间后，的面积最大，最大面积是多少？
【变式训练1-5】如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点为，其顶点为C，对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)判断的形状；
(3)已知点M为线段上方抛物线上的一个动点，请写出面积关系式，并求出当面积最大时点M的坐标．
题型二：二次函数中存在性问题之周长最小问题
【经典例题2】如图，抛物线交x轴于，，交y轴于点C，且．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点E是该抛物线对称轴上一点，且的周长最小，求点E的坐标；
(3)直线下方的抛物线上是否存在一点F，使得的面积最大？如果不存在，说明理由；如果存在，求点F的坐标．
【变式训练2-1】如图，抛物线与x轴交于，两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值．若没有，请说明理由．
【变式训练2-2】如图是二次函数的图象，其顶点坐标为．
(1)求出图象与x轴的交点A，B的坐标；
(2)在二次函数的图象上是否存在点P，使，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在y轴上存在一点Q，使得周长最小，求此时构成的的面积．
【变式训练2-3】如图，抛物线交轴于点，交轴于点，对称轴是．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练2-4】如图，
(1)求二次函数的解析式．
(2)设二次函数与x轴的另一个交点为D，并在抛物线的对称轴上找一点P，使三角形的周长最小，求出点D和点P的坐标．
(3)在直线下方的抛物线上是否存在一点E，使得的面积最大，若有求出点E坐标及面积的最大值．
【变式训练2-5】如图①，抛物线与x轴交与、两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设抛物线与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q．使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图②，P是线段上的一个动点．过P点作y轴的平行规交抛物线于E点，求线段长度的最大值：
题型三：二次函数中存在性问题之三角形问题
【经典例题3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线经过B，C两点，已知，，且．
(1)试求出点B的坐标．
(2)分别求出直线和抛物线的解析式．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练3-1】如图，抛物线的顶点为D，其图象交x轴于A，B两点，交y轴于点，点B的坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以A，C，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出以为腰时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练3-2】如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴相交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在上点P，使得以点A、C、P为顶点的三角形是直角三角形，若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练3-3】如图，抛物线的图像过点A(3，0)，对称轴为直线，交y轴于点C，点C关于抛物线对称轴的对称点为B． 若点P(0，m)，在轴正半轴上运动，点Q为抛物线一动点，且在第四象限，连接PQ交x轴于点E，连接BE．
(1)求抛物线的解析式
(2)当m=1.5时，且满足以P、O、E三点构成三角形与BCP相似，求PBE的面积．
(3)当以点B、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形时，写出点P的坐标 ，点Q坐标 ．
【变式训练3-4】如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A(﹣3，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
(1)求抛物线的表达式；
(2)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练3-5】如图，抛物线与x轴交于点A和，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴与x轴交于点M，与交于点F，点D是对称轴上一点，当点D关于直线的对称点E在抛物线上时，求点E的坐标；
(3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在直线上方的抛物线上，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
题型四：二次函数中存在性问题之平行四边形问题
【经典例题4】如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在第二象限内的抛物线上确定一点P，使的面积最大，求出点P的坐标；
(3)在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q，使点P，B，M，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练4-1】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)①如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值；
②如图2，若点为抛物线对称轴上一个动点，当时，求点的坐标；
(3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练4-2】如图，抛物线与y轴交于A点，其顶点为D．直线分别与x轴、y轴交于B、C两点，与直线相交于E点．
(1)求A、D的坐标（用m的代数式表示）；
(2)将沿着y轴翻折，若点E的对称点P恰好落在抛物线上，求m的值；
(3)抛物线上是否存在一点P，使得以P、A、C、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
【变式训练4-3】如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过两点，与x轴交于另一点A，点E是直线上方抛物线上的一动点，过E作轴交x轴于点F，交直线于点M．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求线段的最大值；
(3)在（2）的条件下，连接，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出P点坐标；如果不存在，请说明理由．
【变式训练4-4】在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于O，A两点，过点A的直线与y轴交于点C，交抛物线于点D．
(1)直接写出点A，C，D的坐标；
(2)如图1，点B是直线上方第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值；
(3)如图2，若点M在抛物线上，点N在x轴上，当以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标．
【变式训练4-5】如图，抛物线经过点，，点是直线上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点．设点的横坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点在第一象限，连接，当线段最长时，求的面积；
(3)是否存在这样的点，使以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
题型五：二次函数中存在性问题之菱形问题
【经典例题5】如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于点，两点，交轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点，求周长的最大值及此时点的坐标；
(3)在(2)中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点的坐标．
【变式训练5-1】如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的动点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点P在直线的上方运动时，连接，交直线于点D，交y轴于点E．
①若的面积是面积的3倍，求点P的坐标；
②当时，求的长．
(3)过点P作轴交直线于点F，在y轴上是否存在点Q，使得以P、F、C、Q为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练5-2】如图，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)P是直线上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为t，P到的距离为h，求h与t的函数关系式，并求出h的最大值；
(3)设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出所有符合条件的点N坐标，若不存在，说明理由．
【变式训练5-3】如图①，在平面直角坐标系中．抛物线与轴交于，两点点在点右侧，，与轴交于点．直线经过点，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图②，点为上方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，求周长的最大值；
(3)在(2)的条件下，若点是轴上的动点，点为平面内一点，是否存在点，，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练5-4】如图，已知抛物线经过点和点，与轴交于点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点是直线下方的抛物线上一动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为．
①用含的代数式表示线段的长．
②连接，，求的面积最大时点的坐标．
(3)设抛物线的对称轴与交于点，点是抛物线的对称轴上一点，为轴上一点，是否存在这样的点和点，使得以点为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【变式训练5-5】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．
(1)求这个二次函数的表达式．
(2)连接、，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)当点运动到什么位置时，使的面积最大，求出点的坐标和的面积最大值．
题型六：二次函数中存在性问题之矩形问题
【经典例题6】综合与探究
如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点、两点，且点的坐标为，与轴交于点，
(1)求抛物线解析式及顶点坐标；
(2)点为抛物线上一点，且，则点的坐标为______；
(3)点为线段上任意一点，过点作轴于点，直线交抛物线于点，求线段的最大值；
(4)点是抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练6-1】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于、两点，交轴于点．
(1)求点、、的坐标；
(2)将抛物线向右平移1个单位，得到新抛物线，点在坐标平面内，在新抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练6-2】如图所示，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于B、C两点，抛物线经过B、C两点，且交x轴于另一点．点D为抛物线在第一象限内的一点，过点D作，交于点P，交x轴于点Q．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点P的横坐标为m，在点D的移动过程中，存在，求出m值；
(3)在抛物线上取点E，在平面直角坐标系内取点F，问是否存在以C、B、E、F为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．
【变式训练6-3】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于C点，且OC＝3OB，连接OD．
(1)求抛物线解析式；
(2)P点为抛物线上AD部分上一动点，过P点作PF∥DE交AC于F点，求四边形DPAF面积的最大值及此时P点坐标．
(3)在（2）问的情况下，把抛物线向右平移两个单位长度，在平面内找一个点N，使以D、P、M、N为顶点的四边形为矩形
【变式训练6-4】如图1，若二次函数y＝﹣x2+3x+4的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接AC、BC．
（1）求三角形ABC的面积；
（2）若点P是抛物线在一象限内BC上方一动点，连接PB、PC，是否存在点P，使四边形ABPC的面积为18，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图2，若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，BC为边的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练6-5】如图，二次函数y=-x2 +2x+m的图象与x轴的一个交点为A(3，0)，另一个交点为B．且与y轴交于点C．
（1）求m的值；
（2）求点B的坐标；
（3）该二次函数图象上有一点D(x，y)(其中x>0，y>0)，且，求点D的坐标；
（4）若点P在直线AC上，点Q是平面内一点，是否存在点Q，使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
题型七：二次函数中存在性问题之正方形问题
【经典例题7】综合与探究
如图，抛物线经过点和点，点是线段上一动点（不与重合），直线是抛物线的对称轴，设点的横坐标为．
(1)求抛物线的函数表达式及直线的函数表达式．
(2)当点在直线右侧的线段部分上运动时，过点作轴的垂线交抛物线于点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为，求四边形周长的最大值．
(3)若点是抛物线上一点，平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是正方形时，若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标．若不存在，请说明理由．
【变式训练7-1】如图，抛物线与x轴交于、两点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点N在坐标平面内，请问在抛物线上是否存在点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点H，使得四边形是正方形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练7-2】如图，某一次函数与二次函数的图象交点为，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为抛物线对称轴上一动点，当与的和最小时，求点的坐标；
(3)在（2）条件下，点为轴上一点，点为直线上一点，点为平面直角坐标系内一点，若以点，，，为顶点的四边形是正方形，请直接写出点的坐标．
【变式训练7-3】如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于，两点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点是第二象限抛物线上的动点，轴，交直线于点，点在轴上，点在坐标平面内，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练7-4】如图，已知抛物线的图像与坐标轴分别交于三点，连接，点M是的中点，抛物线的对称轴交x轴于点F，作直线．
(1)直接写出下列各点的坐标：F______，M______；
(2)若点P为直线下方抛物线上动点，过点P作轴，交直线于点Q，当为直角三角形时，求点P的坐标；
(3)若点N是x轴上一动点，则在坐标平面内是否存在点E，使以点为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点E的坐标：若不存在，请说明理由．
【变式训练7-5】如图，抛物线经过，两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点E，连接．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点Q在该抛物线的对称轴上，若是以为腰的等腰三角形，求点Q的坐标；
(3)若P为的中点，过点P作轴于点F，G为抛物线上一动点，轴于点M，N为直线上一动点，当以F、M、G、N为顶点的四边形是正方形时，直接写出点M的坐标．
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