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1.1二次函数七大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：二次函数的识别-解析式型
【经典例题1】下列函数中是二次函数的有（ ）
①；②；③；④
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练的掌握二次函数的定义.把关系式整理成一般形式，根据二次函数的定义判定即可解答．
【详解】①，是二次函数；
②，分母中含有字母，不是二次函数；
③，是二次函数；
④，不是二次函数.
则二次函数共2个，
故选：B
【变式训练1-1】下列函数解析式中，一定是的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的识别，形如的函数是二次函数，根据定义逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A，当时，，不是二次函数，不合题意；
B，，是的一次函数，不合题意；
C，，一定是的二次函数，符合题意；
D，中含有分式，不是二次函数，不合题意；
故选C．
【变式训练1-2】下列函数是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形如（、b、c为常数，）的函数叫二次函数．根据二次函数的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B、函数根号内含有x，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C、函数是二次函数，故本选项符合题意；
D、函数分母中含有x，不是二次函数，故本选项不符合题意．
故选：C．
【变式训练1-3】下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
本题考查的是二次函数定义，形如，这样的函数叫做二次函数，据此进行判断即可．
【详解】解：A、是一次函数，不符合题意；
B、不是二次函数，不符合题意；
C、是二次函数，符合题意；
D、化简后，不含二次项，不是二次函数，不符合题意；
故选：C．
【变式训练1-4】下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义“形如（是常数，且）的函数叫做二次函数”逐一判断即可．
【详解】A、，不是整式，不是二次函数，故该选项错误，不符合题意；
B、，不是整式，不是二次函数，故该选项错误，不符合题意；
C、是二次函数，故该选项正确，符合题意；
D、可整理为，是一次函数，不是二次函数，故该选项错误，不符合题意．
故选：C．
【变式训练1-5】下列函数关系式中，二次函数的个数有（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如为常数，的函数叫做二次函数．判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项)后，能写成为常数，的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是．
【详解】解：（1）是二次函数，故符合题意；
（2），不是二次函数，故不符合题意；
（3）是二次函数，故符合题意；
（4）不是二次函数，故不符合题意；
（5）不是二次函数，故不符合题意；
（6），不确定m是否为0，不一定是二次函数，故不符合题意；
综上所述，二次函数有2个．
故选：B．
【变式训练1-6】下列函数①；②；③；④；⑤．其中是二次函数的是 ．
【答案】②④/④②
【分析】根据二次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断．
【详解】解：①为一次函数；
②为二次函数；
③自变量次数为3，不是二次函数；
④为二次函数；
⑤函数式为分式，不是二次函数．
故答案为②④．
题型二：二次函数的识别-文字叙述型
【经典例题2】已知地面温度是，如果从地面开始每升高，气温下降，那么气温t与高度的函数关系是（ ）
A．正比例函数 B．反比例函数 C．二次函数 D．一次函数
【答案】D
【分析】本题考查了所学四种函数的识别，掌握各函数的特征是解题的关键，求出函数解析式，根据各函数概念进行判断即可．
【详解】解：由题意知，温度随高度的变化是均匀的，那么气温t与高度的函数关系是，这是一次函数关系；
故选：D．
【变式训练2-1】下面的三个问题中都有两个变量：
①扇形的圆心角一定，面积S与半径r；
②用长度为20的线绳围成一个矩形，矩形的面积S与一边长；
③汽车在高速公路上匀速行驶，行驶路程s与行驶时间t．
其中，两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义求解即可．
【详解】解：①扇形的面积，扇形的圆心角n一定， 面积S与半径r两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示，符合题意，
②矩形的面积，矩形的面积S与一边长两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示，符合题意，
③行驶路程，行驶路程s与行驶时间t两个变量之间的函数关系可以利用一次函数表示，不符合题意，
则①②符合题意，
故选：A．
【变式训练2-2】下面问题中，与满足的函数关系是二次函数的是（ ）
①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系；
②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与医柱的高的关系；
③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件元出售，可卖出件．利润（元）与每件进价（元）的关系．
A．① B．② C．③ D．①③
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的定义，正比例函数的定义，反比例函数的定义，根据题意正确列出函数解析式并进行判断是解题的关键．
①根据矩形的面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可；
②根据圆柱的侧面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可；
③根据利润(售价进价)销售量列出关系式，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可．
【详解】解：①是的反比例函数，故题不符合题意；
是的正比例函数，故②不符合题意；
③，是的二次函数，故③符合题意；
故选：C．
【变式训练2-3】已知y是x的函数，下表是x与y的几组对应值：
x … 1 2 4 …
y … 4 2 1 …
y与x的函数关系有以下3个描述：
①可能是一次函数关系；
②可能是反比例函数关系；
③可能是二次函数关系，所有正确描述的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】C
【分析】本题考查了用列表法表示函数关系，函数关系的判定，根据表格数据的特点判断出三点不共线，且三个点的横坐标和纵坐标的积都为4是解题的关键．
根据图表数据可知，三个点不在同一直线上即可判断不是一次函数可能是二次函数，三个点的横坐标和纵坐标的积都为4，即可判断可能是反比例函数．
【详解】解：观察可知，三个点不在同一直线上，故①错误，③正确；
三个点的横坐标和纵坐标的积都为4，故都在反比例函数图象上，故②正确；
故选：C．
【变式训练2-4】如图，分别在正方形边上取点，并以的长分别作正方形．已知．设正方形的边长为，阴影部分的面积为，则与满足的函数关系是（ ）
A．一次函数关系 B．二次函数关系 C．正比例函数关系 D．反比例函数关系
【答案】A
【分析】本题考查函数关系的识别，完全平方公式，列函数关系式，根据题意表示出、的长度，再结合阴影部分的面积等于以的长的正方形的面积之差可得，理解题意，列出函数关系式是解决问题的关键．
【详解】解：由题意可得：，，
则阴影部分的面积为，
即：，为一次函数，
故选：A．
【变式训练2-5】下列变量具有二次函数关系的是（ ）
A．正方形的周长y与边长x B．速度v一定时，路程s与时间t
C．正方形的面积y与边长x D．三角形的高一定时，面积y与底边长x
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的定义，掌握形如的函数是二次函数是解题的关键．
【详解】解：A、，是一次函数，错误；
B、，v一定，是一次函数，错误；
C、，是二次函数，正确；
D、，h一定，是一次函数，错误；
故选C．
题型三：根据二次根式的定义求参数
【经典例题3-1】若是关于x的二次函数，则a的值是（ ）
A．1 B． C． D．或
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义等知识点，根据二次函数定义可得且，求解即可．
【详解】∵函数是关于x的二次函数，
∴且，
解得，
故选：B．
【经典例题3-2】已知是关于x的二次函数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般式为是解本题的关键是解题的关键．
【详解】解：∵是关于x的二次函数，
∴，
解得：，
故选C．
【变式训练3-1】若是关于的二次函数，则的值为( )
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据 是不为的常数是二次函数，可得答案．
【详解】解：若是关于的二次函数，则且．，
解得：或．
故选：C．
【变式训练3-2】函数是关于的二次函数，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．不存在
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得且即可，解题的关键是熟记二次函数的定义：形如的函数叫做二次函数．
【详解】解：由题意得，解得：，
故选：．
【变式训练3-3】如果函数是二次函数，则k的值为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【分析】本题侧重考查知识点二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c为常数，且）的函数叫二次函数，掌握其定义是解决此题的关键．
二次函数中，自变量最高此项的次数的值是2．二次函数中，自变量最高此项的系数不为0．
【详解】解：根据二次函数的定义，得，
解得或．
，
，
当时，这个函数是二次函数．
故选：A．
【变式训练3-4】若函数是关于的二次函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的定义，将二次函数化为一般式，从而得出，求解即可得出答案，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键．
【详解】解：，
函数是关于的二次函数，
，
，
故选：C．
【变式训练3-5】若关于的函数是二次函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据形如，这样的函数叫做二次函数，得到，求解即可．
【详解】解：∵是二次函数，
∴，
∴，
故选：B．
【变式训练3-6】已知函数，回答下列问题：
(1)m取什么值时，此函数是二次函数？
(2)m取什么值时，此函数是一次函数？
【答案】(1)
(2)或或或或
【分析】本题考查了一次函数的定义，二次函数的定义；
（1）由二次函数的定义得，即可求解；
（2）由一次函数的定义得①当时，②当时，③当时，进行求解，即可求解；
理解二次函数的定义：“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数．”，能根据一次函数的定义进行分类讨论是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得
，
解得：；
故时，此函数是二次函数；
（2）解：①当时，
解得：；
②当时，
解得：，；
③当时，
解得：，；
综上所述：取或或或或，此函数为一次函数．
题型四：二次函数的一般形式
【经典例题4】若二次函数的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则 ， ， ．
【答案】 0
【分析】本题主要考查了二次函数有关概念．熟练掌握二次函数各项系数的概念，是解决问题的关键．
根据二次函数各项的系数填空．
【详解】∵二次函数为，
∴二次项系数为，一次项系数为0，常数项为，
∴，，．
故答案为：，0，．
【变式训练4-1】二次函数的一般式为 ．
【答案】
【分析】二次函数的一般形式为，据此即可获得答案．
【详解】解：二次函数的一般式为．
故答案为：．
【变式训练4-2】已知二次函数，则二次项系数 ，一次项系数 ．
【答案】 3 -5
【分析】根据二次函数的定义即可求解．
【详解】解：二次函数的二次项系数，一次项系数，
故答案为：3；-5．
【变式训练4-3】已知二次函数y＝1﹣5x＋3x2，则二次项系数a＝ ，一次项系数b＝ ，常数项c＝ ．
【答案】 3 -5 1
【分析】形如：这样的函数是二次函数，其中二次项系数为 一次项系数为 常数项为 根据定义逐一作答即可．
【详解】解：二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝3，一次项系数b＝﹣5，常数项c＝1，
故答案为：3，﹣5，1．
【变式训练4-4】已知是关于的二次函数，求出它的解析式，并写出其二次项系数、一次项系数及常数项．
【答案】当时，二次函数为，其二次项系数为，一次项系数为，常数项为；
当时，二次函数为，其二次项系数为，一次项系数为，常数项为．
【分析】根据二次函数定义可得，解之可得m的值，从而可得函数解析式及各项系数、常数项。
【详解】解：根据题意可得
解之得：或，
当时，二次函数为，其二次项系数为，一次项系数为，常数项为；
当时，二次函数为，其二次项系数为，一次项系数为，常数项为．
【变式训练4-5】一正方形的边长为，把此正方形的边长增加的正方形面积为，则是的二次函数，其函数式为________，其中________是二次项系数，一次项系数为________，常数项为________．
【答案】s=x2+4x+4，1，4，4.
【分析】根据新正方形的面积=新边长2，以及二次项系数，一次项系数，常数项的定义，即可求解．
【详解】由题意函数方程式为：S=x2+4x+4，
则x2是二次项，x是一次项，4是常数项.
则1是二次项系数，一次项系数为4，常数项为4.
故填空分别为：s=x2+4x+4，1，4，4.
题型五：列二次函数关系式-增长率问题
【经典例题5】某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式．根据题意得到二月的研发资金为：，三月份新产品的研发资金为：，再求和即可，正确表示出三月份的研发资金．
【详解】解：根据题意可得二月的研发资金为：，三月份新产品的研发资金为：，
今年一季度新产品的研发资金，
故选：C．
【变式训练5-1】一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（ ）
A．B． C． D．
【答案】B
【分析】根据两次降价后的价格等于原价乘以（每次降价的百分率），列出函数关系式，即可求解．
【详解】解：∵每次降价的百分率都是x，
∴两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是．
故选：B
【变式训练5-2】据省统计局公布的数据，合肥市2023年第一季度总值约为2.6千亿元人民币，若我市第三季度总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】第二季度总值为，第三季度为，得解；
【详解】解：第三季度总值为；
故选：C
【变式训练5-3】某件商品原价为100元，经过两次涨价后的价格为元，如果每次涨价的百分率都是，那么关于的函数关系式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据现在的价格等于原价乘以（1+涨价的百分率）的平方，即可得解．
【详解】由题意得：，
故答案为：．
【变式训练5-4】某工厂本年度的产值为100万元，若在今后两年里产值的年增长率均为x，两年后的产值为y万元．那么y关于x的函数解析式是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数，掌握二次变化的关系式是解决本题的关键．两年后的产值=本年度的产值增长率，把相关数值代入即可．
【详解】解：第一年度的产值为，
∴第二年度的产值为，
∴．
故答案为：
【变式训练5-5】某种商品的价格是2元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y（单位：元）与x之间的函数关系式为 ．
【答案】
【分析】根据题意可得第一次降价后的价格为，第二次降价后价格为，进而可得与之间的关系式．
【详解】解：每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格，
则，
故答案为：．
题型六：列二次函数关系式-利润问题
【经典例题6】已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】利用这种产品每天的销售利润等于每千克的销售利润乘以每天的销售量，即可得出w与x之间的函数表达式．
【详解】解：根据题意得，，
即，
故选：A．
【变式训练6-1】某商店购进某种商品的价格是7.5元/件，在一段时间里，单价是13.5元，销售量是500件，而单价每降低1元就可多售出200件，当销售价为元/件（）时，获取利润元，则与的函数关系为（ ）
A． B．
C． D．以上答案都不对
【答案】D
【分析】当销售价为元件时，每件利润为元，销售量为，根据利润每件利润销售量列出函数关系式即可．
【详解】解：由题意得，
故选：D．
【变式训练6-2】某商店从厂家以每件元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品的售价为元，则可卖出件，那么卖出商品所赚钱元与售价元之间的函数关系为 ．
【答案】
【分析】由题意分析出每件商品的盈利为：元，再根据：总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量，再化简即可.
【详解】解：由题意得：每件商品的盈利为：元，
所以：
故答案为：
【变式训练6-3】某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数，且当时，时，．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元．
(1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
(2)求该公司销售该原料日获利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式．
【答案】(1)()；
(2)()
【分析】（1）根据与写成一次函数解析式，设为，把与的两对值代入求出与的值，即可确定出与的解析式，并求出的范围即可；
（2）根据利润=单价销售量列出关于的二次函数解析式即可．
【详解】（1）设与的函数关系式为
．
时，，
时，，
，
解得，
，
根据部门规定，得．
（2）
【变式训练6-4】某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数，且当时，时，．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元．
(1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
(2)求该公司销售该原料日获利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式．
【答案】(1)()；
(2)()
【分析】（1）根据与写成一次函数解析式，设为，把与的两对值代入求出与的值，即可确定出与的解析式，并求出的范围即可；
（2）根据利润=单价销售量列出关于的二次函数解析式即可．
【详解】（1）设与的函数关系式为
．
时，，
时，，
，
解得，
，
根据部门规定，得．
（2）
【变式训练6-5】荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x元．
(1)降价后平均每天可以销售荔枝 千克（用含x的代数式表示）．
(2)设销售利润为y，请写出y关于x的函数关系式．
(3)该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？
【答案】(1)
(2)
(3)24元/千克
【分析】（1）根据“当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克”可直接得出结论；
（2）利用利润=（售价-成本）×销售量可得出结论；
（3）令y=480，求出x的值，再根据题意对x的值进行取舍即可．
【详解】（1）根据题意得，降价后平均每天可以销售荔枝：（40+10x）千克，
故答案为：（40+10x）．
（2）根据题意得，
整理得
（3）令，代入函数得，
解方程，得，
因为要尽可能地清空库存，所以舍去取
此时荔枝定价为（元/千克）
答：应将价格定为24元/千克．
题型七：列二次函数关系式-几何问题
【经典例题7】在一个边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为，那么关于的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出y与x的函数关系式即可．
【详解】解：设剩下部分的面积为y，则：
y=-x2+4（0＜x＜2），
故选：C．
【变式训练7-1】如图，一个正方体的边长为，它的表面积为，则y与x的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】正方体有6个面，每一个面都是边长为x的正方形，这6个正方形的面积和就是该正方体的表面积．
【详解】解：∵正方体有6个面，每一个面都是边长为x的正方形，
∴表面积．
故选：C．
【变式训练7-2】如图，正方形的边长是，是上一点，是延长线上的一点，．四边形是矩形，矩形的面积与的长的函数关系是 ．
【答案】/
【分析】由已知图形可以分析得到矩形的长为cm，宽为cm，由面积公式即可计算得到正确答案．
【详解】解：∵正方形的边长是，且
∴矩形的长的长为cm，宽的长为cm
∴矩形的面积为：
故答案为：
【变式训练7-3】如下图所示，在一幅长、宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为，金色纸边的宽为，则y与x之间的函数关系式是 ．
【答案】
【分析】由于整个挂画为长方形，用x分别表示新的长方形的长和宽，然后根据长方形的面积公式即可确定函数关系式．
【详解】解：由题意可得：
．
故答案为：．
【变式训练7-4】长方形的周长为，其中一边长为（其中），面积为，则这样的长方形中y与x的关系可以写成 ．
【答案】
【分析】利用周长公式可得另一边长为，再利用长方形的面积公式即可求解．
【详解】解：其中一边长为，则另一边长为：，
y与x的关系可以写成：，
故答案为：．
【变式训练7-5】相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长，宽，相框边的宽为，相框内的面积是，则y与x之间的函数关系式为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意列出函数整理并求出的取值范围即可．
【详解】解：根据题意，得
展开得：
整理得：
根据题意，得
解得：．
∴y与x之间的函数关系式为，
故答案为：
【变式训练7-6】如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为便于进出，开了3道宽均为1米的门．设花圃的一边为米，面积为平方米，求与之间的函数解析式，并求自变量的取值范围．
【答案】
【分析】注意实际场景中数量间关系，得，且，求解得自变量取值范围，根据矩形面积公式求函数关系式．
【详解】解：由题意，，，且，解得，，
于是 ，
∴．
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1.1二次函数七大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：二次函数的识别-解析式型
【经典例题1】下列函数中是二次函数的有（ ）
①；②；③；④
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式训练1-1】下列函数解析式中，一定是的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】下列函数是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-4】下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-5】下列函数关系式中，二次函数的个数有（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练1-6】下列函数①；②；③；④；⑤．其中是二次函数的是 ．
题型二：二次函数的识别-文字叙述型
【经典例题2】已知地面温度是，如果从地面开始每升高，气温下降，那么气温t与高度的函数关系是（ ）
A．正比例函数 B．反比例函数 C．二次函数 D．一次函数
【变式训练2-1】下面的三个问题中都有两个变量：
①扇形的圆心角一定，面积S与半径r；
②用长度为20的线绳围成一个矩形，矩形的面积S与一边长；
③汽车在高速公路上匀速行驶，行驶路程s与行驶时间t．
其中，两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【变式训练2-2】下面问题中，与满足的函数关系是二次函数的是（ ）
①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系；
②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与医柱的高的关系；
③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件元出售，可卖出件．利润（元）与每件进价（元）的关系．
A．① B．② C．③ D．①③
【变式训练2-3】已知y是x的函数，下表是x与y的几组对应值：
x … 1 2 4 …
y … 4 2 1 …
y与x的函数关系有以下3个描述：
①可能是一次函数关系；
②可能是反比例函数关系；
③可能是二次函数关系，所有正确描述的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【变式训练2-4】如图，分别在正方形边上取点，并以的长分别作正方形．已知．设正方形的边长为，阴影部分的面积为，则与满足的函数关系是（ ）
A．一次函数关系 B．二次函数关系 C．正比例函数关系 D．反比例函数关系
【变式训练2-5】下列变量具有二次函数关系的是（ ）
A．正方形的周长y与边长x B．速度v一定时，路程s与时间t
C．正方形的面积y与边长x D．三角形的高一定时，面积y与底边长x
题型三：根据二次根式的定义求参数
【经典例题3-1】若是关于x的二次函数，则a的值是（ ）
A．1 B． C． D．或
【经典例题3-2】已知是关于x的二次函数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】若是关于的二次函数，则的值为( )
A． B． C．或 D．或
【变式训练3-3】如果函数是二次函数，则k的值为（ ）
A． B． C．或 D．
【变式训练3-4】若函数是关于的二次函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-5】若关于的函数是二次函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-6】已知函数，回答下列问题：
(1)m取什么值时，此函数是二次函数？
(2)m取什么值时，此函数是一次函数？
题型四：二次函数的一般形式
【经典例题4】若二次函数的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则 ， ， ．
【变式训练4-1】二次函数的一般式为 ．
【变式训练4-2】已知二次函数，则二次项系数 ，一次项系数 ．
【变式训练4-3】已知二次函数y＝1﹣5x＋3x2，则二次项系数a＝ ，一次项系数b＝ ，常数项c＝ ．
【变式训练4-4】已知是关于的二次函数，求出它的解析式，并写出其二次项系数、一次项系数及常数项．
【变式训练4-5】一正方形的边长为，把此正方形的边长增加的正方形面积为，则是的二次函数，其函数式为________，其中________是二次项系数，一次项系数为________，常数项为________．
题型五：列二次函数关系式-增长率问题
【经典例题5】某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-1】一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（ ）
A．B． C． D．
【变式训练5-2】据省统计局公布的数据，合肥市2023年第一季度总值约为2.6千亿元人民币，若我市第三季度总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-3】某件商品原价为100元，经过两次涨价后的价格为元，如果每次涨价的百分率都是，那么关于的函数关系式为 ．
【变式训练5-4】某工厂本年度的产值为100万元，若在今后两年里产值的年增长率均为x，两年后的产值为y万元．那么y关于x的函数解析式是 ．
【变式训练5-5】某种商品的价格是2元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y（单位：元）与x之间的函数关系式为 ．
题型六：列二次函数关系式-利润问题
【经典例题6】已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（ ）
A．B．C． D．
【变式训练6-1】某商店购进某种商品的价格是7.5元/件，在一段时间里，单价是13.5元，销售量是500件，而单价每降低1元就可多售出200件，当销售价为元/件（）时，获取利润元，则与的函数关系为（ ）
A． B．
C． D．以上答案都不对
【变式训练6-2】某商店从厂家以每件元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品的售价为元，则可卖出件，那么卖出商品所赚钱元与售价元之间的函数关系为 ．
【变式训练6-3】某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数，且当时，时，．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元．
(1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
(2)求该公司销售该原料日获利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式．
【变式训练6-4】某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数，且当时，时，．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元．
(1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
(2)求该公司销售该原料日获利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式．
【变式训练6-5】荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x元．
(1)降价后平均每天可以销售荔枝 千克（用含x的代数式表示）．
(2)设销售利润为y，请写出y关于x的函数关系式．
(3)该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？
题型七：列二次函数关系式-几何问题
【经典例题7】在一个边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为，那么关于的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练7-1】如图，一个正方体的边长为，它的表面积为，则y与x的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-2】如图，正方形的边长是，是上一点，是延长线上的一点，．四边形是矩形，矩形的面积与的长的函数关系是 ．
【变式训练7-3】如下图所示，在一幅长、宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为，金色纸边的宽为，则y与x之间的函数关系式是 ．
【变式训练7-4】长方形的周长为，其中一边长为（其中），面积为，则这样的长方形中y与x的关系可以写成 ．
【变式训练7-5】相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长，宽，相框边的宽为，相框内的面积是，则y与x之间的函数关系式为 ．
【变式训练7-6】如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为便于进出，开了3道宽均为1米的门．设花圃的一边为米，面积为平方米，求与之间的函数解析式，并求自变量的取值范围．
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