中小学教育资源及组卷应用平台
1.2二次函数的图像和性质（一）七大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：二次函数的图像和性质
【经典例题1】抛物线的共同性质是（ ）
A．开口向上 B．都有最大值 C．对称轴都是轴 D．顶点都是原点
【变式训练1-1】在同一坐标系内，，，的图象，它们的共同特点是（ ）
A．都是关于原点对称，抛物线的开口方向向上
B．都是关于轴对称，随增大而增大
C．都是关于轴对称，随增大而减少
D．都是关于轴对称，抛物线顶点都是原点
【变式训练1-2】若抛物线的开口向下，则m的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．1或
【变式训练1-3】下列4个函数，①；②；③；④，其中图像是中心对称图形，且对称中心在原点的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练1-4】关于二次函数和的图象，以下说法正确的有（ ）
①两图象都关于轴对称；②两图象都关于轴对称；③两图象的顶点相同；④两图象的开口方向不同；⑤点在抛物线上，也在抛物线上．
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式训练1-5】关于抛物线，给出下列说法：
①抛物线开口向下，顶点是原点；
②当时，随的增大而减小；
③当时，；
④若、是该抛物线上的两点，则．
其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练1-6】已知一个二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，请你写出一个符合条件的表达式： ．
题型二：二次函数的图像和性质
【经典例题2】下列图象中，函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-1】下列函数中，能同时满足以下三个特征的是（ ）
①函数图像经过点；②图像经过第二象限；③当时，随的增大而增大．
A． B． C． D．．
【变式训练2-2】如图，二次函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-3】抛物线与的图像的不同之处是（ ）
A．开口方向 B．对称轴 C．顶点坐标 D．形状
【变式训练2-4】下列关于函数的结论中，正确的是（ ）
A．随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大
C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小
【变式训练2-5】已知抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．关于y轴对称
C．顶点是 D．y有最大值
【变式训练2-6】已知二次函数．
x … 0 1 2 …
y … …
(1)填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象．
(2)
由图可知抛物线开口方向为______，对称轴为______，顶点坐标为______，当时，y随x的增大而______．
(3)利用图象写出当时，y的取值范围是______．
题型三：二次函数的图像和性质
【经典例题3】对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大
【变式训练3-1】关于x的二次函数与的性质中，下列说法错误的是（ ）
A．开口方向相同
B．对称轴相同
C．开口大小相同
D．当时，随x的增大而减小，随x的增大而增大
【变式训练3-2】关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下 B．对称轴为直线
C．该函数有最大值，最大值是0 D．当时，随的增大而减小
【变式训练3-3】有一个二次函数，三位同学分别说出了它的一些特点：
A：函数图像的顶点在x轴上；
B：当时，y随x的增大而减小；
C：该函数图像的形状与函数的图像相同．
已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数关系式： ．
【变式训练3-4】将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表．
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
【变式训练3-5】写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(1)
(2)
(3)．
【变式训练3-6】已知函数，和．
(1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象；
(2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标；
(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象；
(4)分别说出各个函数的性质．
题型四：二次函数的图像和性质
【经典例题4】下列对二次函数的图像描述不正确的是（ ）
A．开口向下 B．顶点坐标为
C．与轴相交于点 D．当时，函数值随的增大而减小
【变式训练4-1】抛物线的开口方向、顶点坐标分别是（ ）
A．开口向下，顶点坐标为 B．开口向下，顶点坐标为
C．开口向上，顶点坐标为 D．开口向上，顶点坐标为
【变式训练4-2】下列说法不正确的是（ ）
A．函数的图象必过原点
B．函数的图象不经过第二象限
C．函数的图象位于第一、三象限
D．函数的图象中，当时，随增大而增大
【变式训练4-3】探究二次函数及其图象的性质，请填空：
①图象的开口方向是 ；
②图象的对称轴为直线 ；
③图象与轴的交点坐标为 ；
④当 时，函数有最小值，最小值为 ．
【变式训练4-4】抛物线的开口方向是______，顶点的坐标是______，______，对称轴是______．
当x______时，函数y随x的增大而增大；当x______时，函数y随x的增大而减小；______时，函数取得最______值，______．
【变式训练4-5】已知二次函数．
(1)写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点P坐标；
(2)若抛物线与轴交于、两点，求三角形的面积．
题型五：利用函数的增减性比较函数值大小
【经典例题5】抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-1】若点都在二次函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】已知点， ， 都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-3】已知函数的图象上有，，三点，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-4】已知，设函数，，．直线的图象与函数，，的图象分别交于点，，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式训练5-5】若点，，都在二次函数的图象上，则有（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-6】设点是抛物线上的三点，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
题型六：判断两个函数图像是否正确
【经典例题6】函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B． C． D．
【变式训练6-1】在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（ ）
B．
C． D．
【变式训练6-2】二次函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-3】函数与在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A．B．C． D．
【变式训练6-4】函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练6-5】一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练6-6】函数y＝ax－a和（a为常数，且），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
B．
C． D．
题型七：二次函数实际问题与图像
【经典例题7】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若，，设，的面积是y，则下列图像能大致反映y与x的函数关系是（ ）
B．
C． D．
【变式训练7-1】如图，将两个等腰直角三角形如图摆放，D为AB边的中点，E、F分别在腰AC、BC上（异于端点），当△MND绕着D点旋转时，设DE+DF=x，AB=10，△CEF的面积为y，则y与x之间的函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练7-2】对于不为零的两个实数a，b，如果规定a★b=，那么函数y=x★3的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练7-3】如图，已知A、B是反比例函数图象上的两点，轴，交x轴于点C．动点P从坐标原点O出发，沿匀速运动，终点为C．过点P作轴于Q．设的面积为S，点P运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致为（ ）
A．B．C． D．
【变式训练7-4】如图，在正方形中，，点P从点A出发沿路径向终点C运动，连接，作的垂直平分线与正方形的边交于M，N两点，设点P的运动路程为x，的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（ ）
B．
C． D．
【变式训练7-5】如图，，是的中点，是以点为圆心，为直径的半圆上的一个动点（点与点，可以重合），连接，过作于点，设，则，令，下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com) 同舟共理工作室中小学教育资源及组卷应用平台
1.2二次函数的图像和性质（一）七大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：二次函数的图像和性质
【经典例题1】抛物线的共同性质是（ ）
A．开口向上 B．都有最大值 C．对称轴都是轴 D．顶点都是原点
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值；根据二次函数的性质，可以分别写出题目中抛物线的开口方向，最值、对称轴和顶点坐标，从而可以解答本题．
【详解】解：抛物线的开口向下，有最大值，对称轴是轴，顶点坐标为；
抛物线的开口向上，有最小值，对称轴是轴，顶点坐标为；
抛物线的开口向上，有最小值，对称轴是轴，顶点坐标为；
故选：D．
【变式训练1-1】在同一坐标系内，，，的图象，它们的共同特点是（ ）
A．都是关于原点对称，抛物线的开口方向向上
B．都是关于轴对称，随增大而增大
C．都是关于轴对称，随增大而减少
D．都是关于轴对称，抛物线顶点都是原点
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是关键；由二次函数的图象与性质即可求解．
【详解】解：对于二次函数，其图象对称轴为y轴，顶点为原点；当时，开口向上，在y轴左边，函数值随自变量的增大而减小，在y轴右边，函数值随自变量的增大而增大；当时，开口向下，在y轴左边，函数值随自变量的增大而增大，在y轴右边，函数值随自变量的增大而减小；由此选项A、B、C均错误，选项D正确；
故选：D．
【变式训练1-2】若抛物线的开口向下，则m的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．1或
【答案】A
【分析】
本题考查了二次函数的定义，利用二次项的系数小于零开口向下，二次项的次数为2得出方程组是解题关键．根据二次函数的二次项的系数小于零开口向下，二次项的次数为2，可得方程，根据解方程，可得答案．
【详解】
解：由抛物线的开口向下，得：
，
，（不符合题意要舍去），
故选：A．
【变式训练1-3】下列4个函数，①；②；③；④，其中图像是中心对称图形，且对称中心在原点的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查函数的图象的性质，要求学生熟练掌握函数的对称性质．根据各个函数图形的形状，以及中心对称图形的定义即可求解．在平面内，一个图形绕某个点旋转，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．
【详解】解：四个函数中：
①的图象是中心对称图形，对称中心不是原点；
②的图象是双曲线，是中心对称图形，且对称中心是原点，符合题意；
③是轴对称对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
④的图象不是关于原点对称的中心对称图形．不符合题意．
故选：A．
【变式训练1-4】关于二次函数和的图象，以下说法正确的有（ ）
①两图象都关于轴对称；②两图象都关于轴对称；③两图象的顶点相同；④两图象的开口方向不同；⑤点在抛物线上，也在抛物线上．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图像的性质，根据二次函数的性质即可作答．
【详解】根据二次函数和的图象，可得两图象都关于轴对称，两图象的顶点相同，两图象的开口方向不同，的图象开口向上，的图象开口向下，点只在抛物线上，所以①③④正确．
故选：B．
【变式训练1-5】关于抛物线，给出下列说法：
①抛物线开口向下，顶点是原点；
②当时，随的增大而减小；
③当时，；
④若、是该抛物线上的两点，则．
其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线，可得抛物线的对称轴是轴，顶点是，抛物线开口向下，再结合抛物线的增减性，逐项判断即可，解题关键是掌握二次函数的图象与性质．
【详解】解：，，
抛物线的对称轴是轴，顶点是，抛物线开口向下，
①抛物线开口向下，顶点是原点，故①正确；
②抛物线的对称轴为轴，当时，随的增大而减小，故②正确；
③当时，，取最大值为0，时，取值最小值为，所以，故③错误；
④若，是该抛物线上的两点，则，关于轴对称，横坐标互为相反数，所以，故④正确；
正确的说法共有3个，
故选C．
【变式训练1-6】已知一个二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，请你写出一个符合条件的表达式： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解题的关键．根据题干提供信息，写出符合题意的二次函数的解析式即可；
【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，
∴该抛物线的解析式的二次项系数为负数，不含一次项，
∴这个二次函数的解析式可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
题型二：二次函数的图像和性质
【经典例题2】下列图象中，函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数之间的关系，根据二次函数的开口方向和与y轴的交点位置分别判定a的符号，以及对称轴是y轴，看是否一致即可得到答案．
【详解】解：函数的对称轴为y轴，
A、抛物线开口向上，则，与y轴交于正半轴，则，即，二者不一致，不符合题意；
B、抛物线开口向上，则，与y轴交于负半轴，则，即，但是对称轴不是y轴，不符合题意；
C、抛物线开口向下，则，与y轴交于负半轴，则，即，二者不一致，不符合题意；
D、抛物线开口向下，则，与y轴交于正半轴，则，即，二者一致，且对称轴是y轴，符合题意；
故选：D．
【变式训练2-1】下列函数中，能同时满足以下三个特征的是（ ）
①函数图像经过点；②图像经过第二象限；③当时，随的增大而增大．
A． B． C． D．．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数、正比例函数、一次函数及反比例函数的图像和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据二次函数、正比例函数、一次函数及反比例函数的图像和性质进行判断即可．
【详解】解：A. ，①函数图像经过点；②图像经过第二、四象限；③当时，随的增大而减小，故此选项不符合题意；
B. ，①函数图像经过点；②图像经过第一、三、四象限；③当时，随的增大而增大，故此选项不符合题意；
C. ，①函数图像经过点；②图像经过第二、四象限；③当时，随的增大而增大，故此选项符合题意；
D. ，①函数图像经过点；②图像经过第一、二、三、四象限；③当时，随的增大而增大，故此选项不符合题意．
故选：C．
【变式训练2-2】如图，二次函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，牢记：，图象开口向下，图象与y轴的交点在 x轴的上方，是解题关键．
根据二次函数系数a可判定图象的开口方向，根据c可判定图象的顶点位置，可得答案．
【详解】解：由二次函数可知二次函数的图象的对称轴为y轴，
，
∴图象开口向下，故A、B错误；
，图象的顶点在y轴的正半轴上，故C正确；
故选：C．
【变式训练2-3】抛物线与的图像的不同之处是（ ）
A．开口方向 B．对称轴 C．顶点坐标 D．形状
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图像、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数的性质，可以写出两个函数的相同之处和不同之处，即可解答本题．
【详解】解：由题意得函数与的图象的对称轴都是轴，
∵，
∴两个函数开口都向下，形状一样，而函数的顶点坐标为，函数的顶点坐标为，
故选：C．
【变式训练2-4】下列关于函数的结论中，正确的是（ ）
A．随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大
C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数的图象的性质，要牢记解析式中的系数和图象性质的关系．根据二次项的系数确定开口方向，再根据对称轴确定增减性．
【详解】解：由题意得，图象开口向上，对称轴为轴，
当时，随增大而减小，
A、C选项说法错误，
当时，随增大而增大，
B选项说法正确，D选项说法错误，
故选：B．
【变式训练2-5】已知抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．关于y轴对称
C．顶点是 D．y有最大值
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，当时，函数有最小值为；
综上：只有选项B是正确的；
故选B．
【变式训练2-6】已知二次函数．
x … 0 1 2 …
y … …
(1)填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象．
(2)
由图可知抛物线开口方向为______，对称轴为______，顶点坐标为______，当时，y随x的增大而______．
(3)利用图象写出当时，y的取值范围是______．
【答案】(1)见解析
(2)向下；y轴；；减小；
(3)
【分析】本题考查二次函数的基础知识点，
（1）根据列表、描点、连线三步作出函数图象即可；
（2）观察函数图象求解即可；
（3）观察函数图象求解即可；
解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象画法，通过数形结合求解．
【详解】（1）解：如下表所示：
x … 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 0 …
函数图象如图所示：
（2）根据函数图象得：抛物线开口方向为向下；对称轴为y轴；顶点坐标为；当时，y随x的增大而减小；
故答案为：向下；y轴；；减小；
（3）有函数图象可得：当时，y的取值范围是，
故答案为：．
题型三：二次函数的图像和性质
【经典例题3】对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，能根据所给函数表达式得出开口向下、对称轴、顶点坐标和增减性是解题的关键．
根据二次函数的表达式，可得出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及增减性，据此可解决问题．
【详解】解：A、因为二次函数的表达式为，所以抛物线的开口向上．故此选项说法正确，不符合题意；
B、抛物线的对称轴是直线，故此选项说法正确，不符合题意；
C、因为抛物线的顶点坐标为，故此选项说法正确，不符合题意；
D、因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上，所以当时，随的增大而减小，故此选项说法不正确，符合题意；
故选：D．
【变式训练3-1】关于x的二次函数与的性质中，下列说法错误的是（ ）
A．开口方向相同
B．对称轴相同
C．开口大小相同
D．当时，随x的增大而减小，随x的增大而增大
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
【详解】解：二次函数的开口向上，对称轴是直线，当，y随x的增大而减小；
二次函数的开口向下，对称轴是直线，当，y随x的增大而增大；
故选项A符合题意，选项B、C，D不符合题意．
故选：A．
【变式训练3-2】关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下 B．对称轴为直线
C．该函数有最大值，最大值是0 D．当时，随的增大而减小
【答案】B
【分析】本题考查的是抛物线的图象和性质，主要考查函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：对于，
∵，故抛物线开口向上，故A错误；
对称轴为直线，故B正确；
该函数有最小值，最小值是0，故C错误；
当时，y随x的增大而增大，故D错误．
故选：B．
【变式训练3-3】有一个二次函数，三位同学分别说出了它的一些特点：
A：函数图像的顶点在x轴上；
B：当时，y随x的增大而减小；
C：该函数图像的形状与函数的图像相同．
已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数关系式： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的函数图像与性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键，根据函数图像与性质，结合A、B、C三个选项可以求出符合题意的二次函数关系式；
【详解】根据A的描述可设二次函数关系式为，
根据C的描述可知，则，
再结合B的描述可得出，且，
所以满足上述所有性质的二次函数关系式可以是，
故答案为： (答案不唯一)．
【变式训练3-4】将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表．
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
【答案】见解析
【分析】本题考查了二次函数的图象和二次函数的性质，抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是直线；顶点坐标是，抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下．
【详解】
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向下 直线
向下 直线
向下 直线
【变式训练3-5】写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(1)
(2)
(3)．
【答案】(1)开口向下，对称轴是，顶点坐标为
(2)开口向上，对称轴是，顶点坐标为
(3)开口向上，对称轴是，顶点坐标为
【分析】（1）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答；
（2）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答；
（3）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答；
【详解】（1）解：∵抛物线，
∴开口向下，对称轴是，顶点坐标为；
（2）解：∵抛物线，
∴开口向上，对称轴是，顶点坐标为；
（3）解：∵抛物线，
∴开口向上，对称轴是，顶点坐标为．
【变式训练3-6】已知函数，和．
(1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象；
(2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标；
(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象；
(4)分别说出各个函数的性质．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)由抛物线向左平移1个单位，由抛物线向右平移1个单位；
(4)见解析
【分析】（1）根据“五点法”可画函数图象；
（2）根据二次函数的性质可进行求解；
（3）根据二次函数的平移可进行求解；
（4）根据二次函数的图象与性质可进行求解．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，
开口向上，对称轴为，顶点坐标为，
开口向上，对称轴为，顶点坐标为；
（3）解：由抛物线向左平移1个单位，由抛物线向右平移1个单位；
（4）解：当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大，
当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大，
当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大．
题型四：二次函数的图像和性质
【经典例题4】下列对二次函数的图像描述不正确的是（ ）
A．开口向下 B．顶点坐标为
C．与轴相交于点 D．当时，函数值随的增大而减小
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解本题的关键是熟练掌握二次函数的性质与各系数的关系．
根据二次函数的对称轴为．顶点坐标为时，函数开口向下，在对称轴左边，y随的增大而增大，在对称轴右边，y随的增大而减小；时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大． 逐个进行分析即可．
【详解】解：A、，开口向下，故A选项正确，不符合题意；
B、二次函数的顶点坐标是，故B选项正确，不符合题意；
C、当时，，与y轴交于点，故C选项不正确，符合题意；
D、二次函数的对称轴为，函数开口向下，当时，函数值y随x的增大而减小，故D选项正确，不符合题意；
故选：C．
【变式训练4-1】抛物线的开口方向、顶点坐标分别是（ ）
A．开口向下，顶点坐标为 B．开口向下，顶点坐标为
C．开口向上，顶点坐标为 D．开口向上，顶点坐标为
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的知识，理解并掌握二次函数的图像与性质是解题关键．二次项系数，函数图像开口向上；，函数图像开口向下；结合抛物线的解析式即可得到它的顶点坐标，据此解答即可．
【详解】解：∵对于物线，，
∴该抛物线开口向上，顶点坐标为．
故选：D．
【变式训练4-2】下列说法不正确的是（ ）
A．函数的图象必过原点
B．函数的图象不经过第二象限
C．函数的图象位于第一、三象限
D．函数的图象中，当时，随增大而增大
【答案】D
【分析】A、将代入即可；B、函数的图象经过第一，三，四象限；C、根据值的大小即可判断图象经过的象限；D、先判断函数的对称轴和开口方向，再判断增减性．本题考查了一次函数的性质，反比例函数图象和性质，二次函数的图象与性质，属于常考题．
【详解】解：A、将代入，得，左右两边相等，不符合题意；
B、函数的图象经过第一，三，四象限，即图象不经过第二象限，不符合题意；
C、函数的图象位于第一、三象限，不符合题意；
D、由函数可知函数图象的开口方向向上，对称轴为，当时，随增大而增小，符合题意．
故选：D．
【变式训练4-3】探究二次函数及其图象的性质，请填空：
①图象的开口方向是 ；
②图象的对称轴为直线 ；
③图象与轴的交点坐标为 ；
④当 时，函数有最小值，最小值为 ．
【答案】①向上；②；③；④3，
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，有最小值，
令，则，
图象与轴的交点坐标为，
故答案为：①向上；②；③；④3，．
【变式训练4-4】抛物线的开口方向是______，顶点的坐标是______，______，对称轴是______．
当x______时，函数y随x的增大而增大；当x______时，函数y随x的增大而减小；______时，函数取得最______值，______．
【答案】向上；；；；；；小值；小值；
【分析】本题考二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：抛物线的开口方向向上，顶点的坐标是对称轴是直线．
当时，函数y随x的增大而增大；当时，函数y随x的增大而减小；时，函数取得最小值，．
故答案为：向上；；；；；；小值；小值；．
【变式训练4-5】已知二次函数．
(1)写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点P坐标；
(2)若抛物线与轴交于、两点，求三角形的面积．
【答案】(1)对称轴为轴，开口向上，顶点坐标为
(2)
【分析】（1）由抛物线的性质可得答案；
（2）由、，顶点P坐标为；可得的面积．
【详解】（1）解：∵，
∴抛物线的开口方向向上、对称轴为直线、顶点P坐标为；
（2）解：如图，
∵、，顶点P坐标为；
∴．
题型五：利用函数的增减性比较函数值大小
【经典例题5】抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行求解．
【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线，
该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，
∵，，，
而，，，
∴点离对称轴最近，点离对称轴最远，
∴；
故选：D．
【变式训练5-1】若点都在二次函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可．
【详解】解∶ 二次函数的对称轴为y轴，开口向上，
∴当时， y随x的增大而增大，
∵点都在二次函数的图象上，且，
∴，
故选∶A．
【变式训练5-2】已知点， ， 都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，然后比较三个点离直线的远近得到，，的大小关系，即可解题．
【详解】解：二次函数的对称轴为直线，
，，，，
且，（离对称轴越近，函数值越大），
，
故选：C．
【变式训练5-3】已知函数的图象上有，，三点，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质，当开口向上时，距离对称轴越近，函数值越小；当开口向下时，距离对称轴越近，函数值越大，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．先找到对称轴和开口方向，根据点到对称轴的距离比较函数值的大小即可．
【详解】解：∵函数，
∴图象开口向下，对称轴为直线，
∴图象上的点距离对称轴越近，函数值越大，
，，，
∵，
∴，
故选：C．
【变式训练5-4】已知，设函数，，．直线的图象与函数，，的图象分别交于点，，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】此题主要考查了二次函数的图象和性质，按照题意，画出满足题意的图象，根据直线与二次函数图象的交点进行判断即可．
【详解】解：如图所示，
A．由图象可知，当时，，故选项错误，不符合题意；
B．由图象可知，当时，不一定成立，故选项错误，不符合题意；
C．由图象可知，当时，不一定成立，故选项错误，不符合题意；
D．由图象可知，当时，，故选项正确，符合题意；
故选：D
【变式训练5-5】若点，，都在二次函数的图象上，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是y轴，根据时，y随x的增大而减小，即可得出答案．
【详解】
解：∵的图象开口向下，对称轴是y轴，关于y轴的对称点是，
∴时，y随x的增大而减小，
又∵
∴，
故选：D．
【变式训练5-6】设点是抛物线上的三点，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数函数值的大小比较．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质．
由抛物线，可得对称轴为直线，，即当时，随着的增大而减小，由点关于对称轴对称的点坐标为，，可得．
【详解】解：∵抛物线，
∴对称轴为直线，，
∴当时，随着的增大而减小，
∴点关于对称轴对称的点坐标为，
∵，
∴，
故选：A．
题型六：判断两个函数图像是否正确
【经典例题6】函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的知识点是一次函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键．先根据一次函数的性质确定与两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论．
【详解】解： A. 函数图形可得，则开口方向向下正确，但顶点坐标应交于原点，而不是交轴正半轴，故选项A不正确；
B. 函数图形可得，则开口方向向下正确，顶点坐标为,故选项B正确；
C. 函数图形可得，则开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项C不正确；
D. 函数图形可得，则开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项D不正确；
故选B．
【变式训练6-1】在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（ ）
B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点与其系数的关系．
解法一：分和，根据一次函数的性质和二次函数的性质逐项判断即可；
解法二：根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a的正负情况，从而可以解答本题．
【详解】解法一：当时，函数的图象开口向上，函数的图象经过第一、第二、第三象限，所以A、D错误，B正确；
当时，函数的图象开口向下，函数的图象经过第二、第三、第四象限，所以C错误．
解法二：A项，由一次函数的增减性，知，由一次函数图象与y轴的交点，知，故A不符合题意；
B项，由二次函数的图象，知，由一次函数的图象，知，故B符合题意；
C项，由二次函数的图象，知，由一次函数的图象，知，故C不符合题意；
D项，由二次函数的图象，知，由一次函数的图象，知，故D不符合题意．
故选：B．
【变式训练6-2】二次函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据顶点式的顶点坐标为求解即可．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标是，开口向下，
故选：C．
【变式训练6-3】函数与在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了一次函数与二次函数的图象与各项系数的关系，题目有一定的综合性．
结合二次函数与一次函数的性质，当时所经过的象限和开口方向，可以得出．
【详解】解：与
∴二次函数开口向上，一次函数经过一，二，三象限．
故选：C．
【变式训练6-4】函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数图象与性质，一次函数图象与性质，分类讨论，的值，即可．
【详解】当，时，一次函数经过第一，二，三象限；二次函数的对称轴：，二次函数的图象经过原点；
∴选项A、B错误；
当，时，一次函数经过第一，三、四象限；二次函数的对称轴：，二次函数的图象经过原点，函数与交点在轴上，
∴选项C正确；
当，时，一次函数经过第二，三、四象限；二次函数的对称轴：，二次函数的图象经过原点，开口向下；
∴选项D错误．
故选：C．
【变式训练6-5】一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比是否一致．
【详解】解：．由抛物线开口方向可知，，由直线与轴交点可知，，故本选项不符合题意；
B．由抛物线开口方向可知，，由直线与轴交点可知，，故本选项不符合题意；
C．由抛物线开口方向可知，，由直线与轴交点可知，，故本选项符合题意；
D．由抛物线开口方向可知，，由直线与轴交点可知，，故本选项不符合题意．
故选：C．
【变式训练6-6】函数y＝ax－a和（a为常数，且），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
B．
C． D．
【答案】C
【分析】先根据的顶点坐标为判断A，B不符合题意，再由C，D中的二次函数的图象判断 则 从而可得答案．
【详解】解：由的顶点坐标为
故A，B不符合题意；
由C，D中二次函数的图象可得：
函数y＝ax－a过一，二，四象限，
故C符合题意，D不符合题意，
故选C
题型七：二次函数实际问题与图像
【经典例题7】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若，，设，的面积是y，则下列图像能大致反映y与x的函数关系是（ ）
B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据菱形的性质求出根据三角形的面积公式求出有与x的函数解析式，再根据二次函数的性质求最值，从而判断函数图像．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴∠BAO=30°，
∵PE⊥OA，PF⊥OB，
∴四边形PEOF是矩形，
∴EP=OF，
∵AB=8，
∴
∵AP=x，
∴
∴
∵
∴当x=4时，y有最大值，最大值为
故函数图像是开口向下的抛物线，当x=4时，最大值为
故选：B．
【变式训练7-1】如图，将两个等腰直角三角形如图摆放，D为AB边的中点，E、F分别在腰AC、BC上（异于端点），当△MND绕着D点旋转时，设DE+DF=x，AB=10，△CEF的面积为y，则y与x之间的函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】连接CD，易证△CED≌△BFD，则四边形CEDF的面积=×S△ACB，DE=DF，S△EDF=×（x）2，于是△CEF的面积y=四边形CEDF的面积-S△EDF，根据函数关系式即可作出判断．
【详解】解：连接CD，
∵△ABC是等腰直角三角形，D为AB边的中点，
∴∠ECD=∠B=45°，CD=AD=BD，∠CDB=90°，
∵∠MDN=90°，
∴∠EDC=∠FDB，
在△CED和△BFD中，，
∴△CED≌△BFD（ASA），
∴四边形CEDF的面积=S△ACB=S△CDB=×BD2=×52=，DE=DF，
∵DE+DF=x，
∴S△EDF=×（x）2=x2，
∴△CEF的面积y=四边形CEDF的面积-S△EDF=-x2(5)，
图象是一段开口向下的抛物线，观察四个选项，只有选项D符合题意，
故选：D．
【变式训练7-2】对于不为零的两个实数a，b，如果规定a★b=，那么函数y=x★3的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据新定义分和时，分别写出函数的表达式即可求解．
【详解】解：根据新定义可分两种情况：
当时，，图象是抛物线的一部分；
当时，，图象是双曲线的一部分，
∴只有选项D符合题意，
故选：D．
【变式训练7-3】如图，已知A、B是反比例函数图象上的两点，轴，交x轴于点C．动点P从坐标原点O出发，沿匀速运动，终点为C．过点P作轴于Q．设的面积为S，点P运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致为（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】分别判断当点P在线段上运动时，当点P在上运动时，点P在上运动时的图像变化趋势，即可作出选择．
【详解】解：当点P在线段上运动时，设直线的表达式为，
点P的坐标满足，则（a是大于0的常数，），图象为抛物线的一部分；
当点P在上运动时，此时的面积（），保持不变；
点P在上运动时，设路线的总路程为l，点P的速度为b，则，因为l，，b均是常数，所以S与t成一次函数关系．
综上所述，S关于t的函数图象大致为B选项，
故选：B．
【变式训练7-4】如图，在正方形中，，点P从点A出发沿路径向终点C运动，连接，作的垂直平分线与正方形的边交于M，N两点，设点P的运动路程为x，的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（ ）
B．
C． D．
【答案】A
【分析】分点P在AB和BC上两种情况，分别求出MN和PF长，利用面积公式求解．
【详解】解：（1）如图，当0≤x≤4时，点P在AB上，过点N作NE⊥AD于点E，设MN与PD交于点F，
∴NE=DC=AD，
则PD= ，
又∵MN垂直平分PD，
∴PF= ，
∴∠MDF+∠FMD=∠MNE+∠FME=90°，
∴∠MNE=∠PDA，
在△MNE和△PDA中，
∴△APD≌△EMN，
∴PD=MN= ，
∴y= ,
（2）如图，当4＜x≤8时，点P在BC上，
过点N作NE⊥CD于点E，设MN交PD于点F，
则PD= ,
∴PF
用（1）的方法得
MN,
y=，
故
故选择A．
【变式训练7-5】如图，，是的中点，是以点为圆心，为直径的半圆上的一个动点（点与点，可以重合），连接，过作于点，设，则，令，下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设，则，令，根据题意代入计算即可得到函数关系式，将关系式化为顶点式，根据函数的性质解答．
【详解】设，则，
∵，
∴（0≤x≤5），
∴该函数是二次函数，开口向下，对称轴为直线x=，顶点坐标为（， ），
故选：A．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com) 同舟共理工作室
