中小学教育资源及组卷应用平台
1.3二次函数的图像和性质（二）八大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：用配方法求顶点坐标
【经典例题1】二次函数的顶点坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查二次函数的顶点坐标．先把二次函数解析式化为顶点式，进而即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴二次函数的顶点坐标为．
故选：A
【变式训练1-1】用配方法将二次函数化为的形式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的三种表达形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．
运用配方法即可将其化为顶点式．
【详解】解：
故选：C．
【变式训练1-2】在二次函数中，当时，y的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数的性质．先把解析式化为顶点式，求出抛物线的对称轴，再根据对称轴和的位置关系求出y的取值范围即可．
【详解】解：，
∵，
∴当时，y有最小值，最小值为1，
∵，
∴当时，，
∴当时，y的取值范围是，
故选：D．
【变式训练1-3】如图，二次函数的图象与x轴交于，下列说法正确的是（ ）
A．
B．顶点坐标为
C．对称轴为直线
D．当时，y随x的增大而增大
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．利用待定系数法求得抛物线的解析式，再利用二次函数的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：二次函数的图象与轴交于，
，
．
选项的结论不正确，不符合题意；
，
该抛物线的顶点坐标为，
选项的结论不正确，不符合题意；
，
抛物线的对称轴为直线，
选项的结论正确，符合题意；
由图象知：当时，随的增大而减小，
选项的结论不正确，不符合题意．
故选：C
【变式训练1-4】在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．
(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式；
(2)直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标．
【答案】(1)
(2)抛物线的对称轴为直线，顶点坐标．
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式以及一般式与顶点式之间的转化，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
（1）把A点和B点坐标代入中得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b即可；
（2）把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解．
【详解】（1）解：抛物线经过点和点，
∴ ，解得
∴这条抛物线所对应的二次函数的表达式为；
（2）解：
，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标．
【变式训练1-5】对于二次函数：
(1)求出图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？
(2)求出此抛物线与x、y轴的交点坐标；
(3)当x取何值时，y随着x的增大而减小．
【答案】(1)开口向下、对称轴为直线、顶点坐标为，函数有最大值，最大值为
(2)、
(3)
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质．熟练掌握一般式化成顶点式，二次函数的顶点坐标、对称轴、增减性，开口方向与最大或最小值的判别，函数与方程的关系，是解题的关键．
（1）利用配方法，先求出二次函数的顶点坐标，对称轴，再根据二次项系数的符号与顶点坐标判断最大值或最小值；
（2）当时，可求与x轴的交点坐标，当时，可求与y轴的交点坐标；
（3）利用二次函数的增减性进行解答，就可以得到答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴函数图像开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，函数有最大值，最大值为；
（2）把代入解析式，得，
∴与轴交于；
把代入解析式，得，
∴与轴交于；
（3）∵图像开口向下，
∴在对称轴的右侧随着的增大而减小，
即时，随着的增大而减小．
题型二：五点法作二次函数图像
【经典例题2】在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：
①；②；③；④．
从图象对比，说出解析式中二次项系数对抛物线的形状有什么影响？
【答案】作图见解析，的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同；越大，开口越小
【分析】本题考查了二次函数的图象和二次函数的性质，解题的关键是正确的作图．根据描点法，可得函数图象，观察图象即可得出二次项系数对抛物线的形状有什么影响．
【详解】解：列表如下：
0 1 2
4 1 0 1 4
8 2 0 2 8
0
0
描点：见表中的数据作为点的坐标在平面直角坐标系中描出，
连线：用平滑的线连接，如图所示：
由图象可知：的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同；越大，开口越小．
【变式训练2-1】已知二次函数，完成下列各题：
(1)将函数关系式用配方法化为的形式，并写出它的顶点坐标、对称轴．
(2)求出它的图象与x轴的交点坐标．
(3)在直角坐标系中，画出它的图象．
(4)当为x何值时，函数y随着x的增大而增大？
(5)根据图象说明：当x为何值时，
【答案】(1)，顶点坐标为，对称轴为直线
(2)图象与x轴的交点坐标为，
(3)见解析
(4)时，y随着x的增大而增大
(5)时，
【分析】本题考查了二次函数的三种形式，二次函数的性质，二次函数图象与x轴的交点问题，以及二次函数图象与不等式，熟练掌握配方法的操作，整理成顶点式形式，求出顶点坐标和对称轴更加简便．
（1）利用配方法整理成顶点式，然后写出顶点坐标和对称轴即可；
（2）令解关于x的一元二次方程，即可得到与x轴的交点坐标；
（3）利用五点法作出函数图象即可；
（4）根据函数图象利用二次函数的增减性解答；
（5）写出抛物线在x轴上方部分的x的取值范围即可．
【详解】（1）解：
，
∴顶点坐标为，对称轴为直线；
（2）解：当时，解得或，
∴二次函数与x轴的交点坐标为，；
（3）解：函数图象如图所示；
（4）解：由函数图象可知，时，y随着x的增大而增大；
（5）解：由函数图象可知，当时，．
【变式训练2-2】已知二次函数．
(1)求它的图象的顶点坐标和对称轴；
(2)画出它的图象．并结合图象，当时，则y的取值范围是______．
【答案】(1)图象的顶点坐标为，对称轴为直线
(2)图象见解析，
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
（1）解析式化成顶点式，即可得到结论；
（2）画函数图象，应该明确抛物线的顶点坐标，对称轴，与x轴，y轴的交点，再根据图象求当时，y的取值范围．
【详解】（1）解：，
二次函数的图象的，对称轴为直线；
（2）解：二次函数图象如下图：
当时，则y的取值范围是，
故答案为：．
【变式训练2-3】已知函数已知函数是关于x的二次函数．是关于x的二次函数．
(1)求满足条件的m的值及抛物线的对称轴；
(2)当m为何值时，使抛物线在时，y值随x值的增大而增大；
(3)当抛物线有最高点时，画出该函数的图象，写出m的值与最高点坐标，判断抛物线的增减性．
【答案】(1)满足条件的m的值为，抛物线的对称轴为直线
(2)若使抛物线在时，y值随x值的增大而增大，则m的值为3
(3)最高点坐标为，当时，y值随x值的增大而增大，当时，y值随x值的增大而减小
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，二次函数的图象和性质，画函数图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义．
（1）根据二次函数的定义，求出m的值，根据函数的性质求出对称轴即可；
（2）根据二次函数的性质，进行判定即可；
（3）先根据题意得出函数解析式为，然后画出函数图象，根据二次函数的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数，
∴且，
∴．
当时，抛物线为，对称轴为直线，
当时，抛物线为，对称轴为直线，
∴满足条件的m的值为，抛物线的对称轴为直线．
（2）解：由（1）得，若时，抛物线为，
∵，
∴当时，y值随x值的增大而增大；
若时，抛物线为，
∵，
∴当时，y值随x值的增大而减小，
∴若使抛物线在时，y值随x值的增大而增大，则m的值为3．
（3）解：∵抛物线有最高点，
∴图象开口向下，即，
∴，即抛物线为，
画出函数图象，如图所示：
最高点坐标为，当时，y值随x值的增大而增大，当时，y值随x值的增大而减小．
【变式训练2-4】已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示∶
x … 0 1 …
y … 0 0 …
(1)这个二次函数的解析式是______________；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(3)当时，y的取值范围为______________．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质：
（1）设这个二次函数的解析式是，然后利用待定系数法解答即可；
（2）根据表格在网格中描出点的坐标，然后用圆滑的曲线连接即可；
（3）根据当时，y取得最小值，最小值为，当时，，当时，，即可写出y的取值范围．
【详解】（1）解：设这个二次函数的解析式是，
把点代入得：
，解得：，
∴这个二次函数的解析式是；
（2）解：如图，画出这个二次函数的图象如下：
（3）解：根据题意得：，
∴当时，y取得最小值，最小值为，
当时，，当时，，
∴当时，y的取值范围为．
故答案为：
题型三：二次函数的图像和性质
【经典例题3】已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表，
x … 0 3 5 …
y … 0 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x的值增大而增大
C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线
【答案】D
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可．
【详解】解：由题意得，解得，
∴二次函数的解析式为，
∵，
∴图象的开口向下，故选项A不符合题意；
图象的对称轴是直线，故选项D符合题意；
当时，y的值随x的值增大而增大，当时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题意；
∵顶点坐标为且经过原点，图象的开口向下，
∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意；
故选：D．
【变式训练3-1】下列关于二次函数的图象和性质的叙述中，正确的是（ ）
A．与直线有两个交点 B．开口方向向上
C．对称轴是直线 D．点在函数图象上
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一次函数的交点问题，掌握二次函数的性质是解题关键．联立函数和一次函数，再利用判别式即可判断A 选项；根据二次函数系数与图象得关系，即可判断B选项；将二次函数化为顶点式，即可判断C选项；求出时的函数值，即可判断D选项．
【详解】解：A、联立，整理得：，
，
二次函数的图象与直线有两个交点，选项正确；
B、，
二次函数的图象开口方向向下，选项错误；
C、，
对称轴是直线，选项错误；
D、当时，，
即点不在函数图象上，选项错误；
故选：A
【变式训练3-2】关于x的二次函数的图象下列说法不正确的是（ ）
A．对称轴为直线 B．当时，图象上的最低点为
C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．顶点一定在函数的图象上
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数，反比例函数性质，根据二次函数，反比例函数的图形与性质逐项分析解答即可．熟练掌握二次函数性质是关键．
【详解】解：A、抛物线对称轴为，故原说法正确，不符合题意；
B、当时，抛物线解析式为，顶点的坐标，故原说法正确，不符合题意；
C、当时，开口方向不确定，的增减性也不确定，故原说法错误，符合题意；
D、，，图象的顶点为，故顶点一定在函数的图象上，故原说法正确，不符合题意．
故选：C．
【变式训练3-3】若二次函数的图象经过点，当时，有最大值，最小值，则的取值范围应是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，根据二次函数的图象经过点，可以求得的值，然后即可得到该函数的解析式，再根据二次函数的性质，时，有最大值，最小值，即可得到的取值范围．
【详解】解：二次函数的图象经过点，
，
解得，
，
该函数的图象开口向下，对称轴是直线，当时，该函数取得最大值，
当时，有最大值，最小值，当时，，
根据对称性可得时，，
，
故选：C．
【变式训练3-4】已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，即关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得，计算求解，然后作答即可．
【详解】解：∵，
∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，，
∴关于对称轴对称的点坐标为，
∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，
∴，
解得，，
故选：C．
【变式训练3-5】如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质以及二次函数与不等式的关系，由题意可得：二次函数的对称轴是直线，抛物线与轴的一个交点为，然后可根据抛物线的对称性求出抛物线与轴的另一个交点，再根据抛物线在轴上方的图象对应的的范围解答即可，正确读懂图象信息、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：由图象可知：抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线与轴的一个交点坐标为，
∴抛物线与轴的另一个交点坐标为，
当时，，
故答案为：．
【变式训练3-6】如图，已知抛物线经过点．
(1)求出此抛物线的解析式；
(2)当时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质：
（1）抛物线经过点，可得，求解即可得到答案；
（2）抛物线的对称轴：，开口向下，可知当时，随的增大而减小，据此即可求得答案．
【详解】（1）解：抛物线经过点，可得
．
解得：．
所以，抛物线的解析式为．
（2）抛物线的对称轴：，开口向下，可知
当时，随的增大而减小．
当时，．
当时，．
所以，当时， 的取值范围为．
题型四：从表格中获取信息
【经典例题4】抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x … 0 1 2 …
y … 5 0 …
从表中可知，下列说法中正确的是（ ）．
A．抛物线的对称轴是y轴 B．抛物线与x轴的一个交点为
C．函数的最小值为5 D．当时，y随x增大而减小
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象及性质．根据表格信息结合二次函数性质，逐项判断即可．
【详解】解：A、由表格可知函数经过，，所以对称轴，故本选项不符合题意；
B、根据图表，当时，，根据抛物线的对称性，当时，，即抛物线与x轴的交点为和，故本选项正确，符合题意；
C、根据表中数据得到抛物线的开口向上，对称轴为，
∴当时，函数有最小值，为，故本选项错误，不符合题意；
D、根据表中数据得到抛物线的开口向上，
∴在对称轴的右侧，y随x增大而增大，故本选项错误，不符合题意．
故选：B．
【变式训练4-1】用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格：
从表中信息可得值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了图表表示函数，二次函数的性质，由表格得到二次函数的对称轴为直线，再根据二次函数的对称性即可求解，由表格得到二次函数的对称轴是解题的关键．
【详解】解：由表格可得，时，；时，；
∴二次函数的对称轴为直线，
∵，
∴当时的函数值等于时的函数值，
∴，
故选：．
【变式训练4-2】二次函数的自变量（表格中从左到右增大）与函数值的对应值如下表：
0 1 3
1 0 1
下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质是解决问题的关键，记住在抛物线的左右函数的增减性不同，确定对称轴的位置是关键，据此作答即可．
【详解】解：由表格可知对称轴为，开口向上，
∴离对称轴越远函数值越大，
∴点，，离对称轴依次变近，
∴，
故选D．
【变式训练4-3】二次函数（，，为常数，且）中的与的部分对应值如下表．下列结论错误的是（ ）
… 0 1 2 3 …
… 0 3 4 3 …
A． B．
C．当时，的值随的增大而增大 D．表中盖住的数是0
【答案】C
【分析】根据对称点坐标，确定抛物线的对称轴，再根据对称轴判定对称点，根据函数的增减性，判定抛物线的开口方向即可．
【详解】因为是对称点，
所以抛物线的对称轴是直线，
所以，
故B正确；
所以是抛物线的顶点，且为有最大值，
故抛物线开口向下，
所以，
故A正确；
因为
所以是对称点，
所以表中盖住的数是0，
故D正确；
因为，
所以对称轴的右侧，的值随的增大而减小，
故C错误．
故选C．
【变式训练4-4】如表记录了二次函数中两个变量与的5组对应值，其中，
… 1 3 …
… 0 2 0 …
根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，注意数形结合；由表知，抛物线的对称轴为直线，则由对称性可得，则可求出函数解析式，根据解析式即可确定k的范围．
【详解】解：由表知，函数自变量取时，对应函数值相等，
则抛物线的对称轴为直线，
由表知，函数自变量取时，对应函数值相等且为0，
则由对称知，，即，
表明抛物线与x轴的两个交点坐标为，
把这两点坐标代入中，得：，
解得：，
即；
当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，如图，
则直线位于直线于过顶点且平行于x轴的两直线间；
而，则抛物线的顶点坐标为，
所以；
故选：C．
题型五：二次函数图像与各项系数之间的关系
【经典例题5】如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据二次函数图像的性质、二次函数图像与系数的关系以及与轴交点问题逐项分析判断即可.
【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点，
，.
，
.
.故①错误；
对称轴是直线，点和点都在抛物线上，
而，
.故②错误；
当时，，
当时，函数取最大值，
∴对于任意实数有：
，
∴，故③正确；
，
.
当时，，
.
，即，
故④正确.
综上所述，正确的有③④.
故选：B.
【变式训练5-1】如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
【答案】C
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②，利用二次函数的最值即可判断③，求出，进一步得到，又根据得到，即可判断④.
【详解】解：①函数图象开口方向向上，
；
对称轴在轴右侧，
、异号，
，
∵抛物线与轴交点在轴负半轴，
，
，故①错误；
②二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，
，
，
时，，
，
，
，故②正确；
③对称轴为直线，，
最小值，
，
∴，
故③正确；
④，
∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得，
，
，
，
，
，
，
故④正确；
综上所述，正确的有②③④，
故选：C
【变式训练5-2】如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点位置确定．利用数形结合的思想是解题的关键．根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①∵图象与x轴交于点，对称轴为直线，
∴图象与x轴的另一个交点为，
∴当时，，
∴，故①错误；
②∵函数开口方向向上，
∴，
∵抛物线与y轴交点在和之间，对称轴为直线，
∴顶点纵坐标要小于，
∴，且，
∴，故②正确；
③∵图象与y轴的交点在和之间，
∴，
∵图象与x轴交于点和，
∴的两根为和3，
由韦达定理可知：，
∴，
∴，
∴，故③正确；
④∵对称轴为直线为，
∴，
∵，，
∴，故④正确．
综上所述，正确的有②③④，
故选：C．
【变式训练5-3】如图为抛物线的图象，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据以下知识点分析即可：①二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右．（简称：左同右异）③常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于．此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确二次函数各项的系数和图形的关系．
【详解】解：，
，
又时，，
，
，
选项C不正确；
抛物线开口向上，
；
又，
，
选项A不正确；
，
，
又，
，
选项D正确；
，
时，，
，
又，
，
选项B不正确．
故选：D．
【变式训练5-4】如图，二次函数的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．根据二次函数图象反映出的数量关系，逐一判断正确性．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与轴的交点在轴上方，
∴，
∴，所以①正确；
∵抛物线与轴有2个交点，
∴，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为，
∴和对应的函数值相等，
∴时，，即，所以③错误；
∵，
∴，所以④正确；
∵顶点坐标纵坐标为，
∴，
∴，所以⑤正确．
故选：D．
【变式训练5-5】二次函数的部分图象如图，图象过点下列结论：①；②；③；④；⑤若顶点坐标为，则方程没有实数根．其中正确的结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】本题主要考查二次函数与系数相关代数式的判断问题，会利用对称轴求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，掌握根的判别式的熟练运用，是解题的关键．
由抛物线的开口方向判断，将点代入，得，由图象可得对称轴为，可得，代入上式可得，再将五个结论分别分析即可由得到答案．
【详解】解：将点代入，
即，
∵图象可得二次函数的对称轴为，开口向下，
∴，，
即，
将代入，
可得．
①∵、，
∴，，
∴，
∴，
故①正确．
②∵，
∴，
故②正确．
③∵、，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故③错误．
④∵、，
故，
∵，
∴，
∴，
故④错误．
⑤将代入，即，
再将、代入上式，
化简可得，
∴，，
将，，，代入则方程中，
即，
根据根的判别式，
可得方程没有两个不相同的实数根，
故⑤错误．
综上作述，正确的结论有两个，
故选．
【变式训练5-6】对称轴为直线的抛物线（、、为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①；②；③；④；⑤（为任意实数）；⑥若点，均在抛物线上，则．其中结论正确的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点确定．由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，结合对称轴判断①，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况判断②，根据时的函数值大于0，判断③；根据时的函数值，结合，代入即可判断④，根据顶点坐标即可判断⑤，根据，即可判断⑥．
【详解】解：①由图象可知：，
∵对称轴为直线：，
∴，
∴，故①正确；
②∵抛物线与轴有两个交点，
∴，
∴，故②正确；
③根据函数图象可知：当时，，
∴，故③正确；
④∵当时，，
∴，故④错误；
⑤∵当时，取到最小值，此时，，
而当时，，
∴，
故，故⑤正确，
⑥∵，，
∴，
∴，故⑥错误；
综上，正确的共4个，
故选：B．
题型六：一次函数和二次函数的综合判断
【经典例题6】已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致为（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合判断．先根据二次函数图象求出，，再根据一次函数图象与其系数的关系判断出一次函数经过的象限即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵，
∴，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，
故选：C．
【变式训练6-1】直线 与抛物线 在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中和的正负情况和二次函数图象中的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【详解】解：、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象，，故选项不符合题意；
、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象，，故选项不符合题意；
、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象，，，而抛物线对称轴位于轴右侧，则，故选项不符合题意；
、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象，，对称轴位于轴左侧，则，故选项符合题意；
故选：．
【变式训练6-2】一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致是（ ）
A． B． C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数以及二次函数的图象综合判断，正确确定，的符号是解题关键．直接利用一次函数图象经过的象限得出，的符号，进而结合二次函数图象的性质得出答案．
【详解】解：一次函数的图象经过一、三、四象限，
，，
，
二次函数的图象开口方向向上，图象经过原点，对称轴在轴右侧，
故选：D．
【变式训练6-3】在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ）
A．B． C． D．
【答案】A
【分析】本题综合考查了一次函数图象与二次函数图象；根据两个函数图象的特征结合各项系数进行分析即可．
【详解】解：A、由二次函数图象知，，即；由一次函数图象知，，a、c的符号都一致，故符合题意；
B、由二次函数图象知，，即；由一次函数图象知，，c的符号不一致，故不符合题意；
C、由二次函数图象知，，即；由一次函数图象知，，c的符号不一致，故不符合题意；
D、由二次函数图象知，，即；由一次函数图象知，，a、c的符号都不一致，故不符合题意；
故选：A．
【变式训练6-4】直线经过第一、二、四象限，那么的图像大致为( )
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，二次函数图象，根据一次函数的图象经过第一、二、四象限判断出、的符号，从而判断出函数开口方向，对称轴的位置，据此即可判断．
【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、四象限，
，，
二次函数的开口向下，对称轴在轴右侧，且经过原点，
故选：B．
【变式训练6-5】在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数图像的识别，熟练掌握二次函数图像与一次函数图像的性质是解题关键．根据图像分别判断二次函数解析式中的符合以及一次函数解析式中的符合，判断是否一致，即可获得答案．
【详解】解：A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意；
B、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意．
故选：B．
题型七：反比例函数和二次函数综合
【经典例题7】函数与的图象如图所示，当（ ）时，，均随着的增大而减小．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当时，随着的增大而减小；位于在一、三象限内，且均随着的增大而减小，据此即可得到答案．
【详解】解：由函数图象可知，当时，随着的增大而减小；
位于一、三象限内，且在每一象限内均随着的增大而减小，
当时，，均随着的增大而减小，
故选：D．
【变式训练7-1】二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的大致图象是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象，反比例函数的图象，一次函数的图象，先根据二次函数的图象判断出的符号，进而可判断出一次函数与反比例函数图象所在的象限，先根据二次函数的图象判断出的符号是解答此题的关键．
【详解】解：抛物线开口向下，
．
抛物线与轴的交点在轴正半轴，
．
抛物线的对称轴在轴正半轴，
，
，
一次函数的图象经过一二四象限，反比例函数的图象的两个分支分别位于一三象限，
故选：C．
【变式训练7-2】二次函数 的图象如图所示，则一次函数和反比例函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考察二次函数、一次函数和反比例函数的性质，利用二次函数的性质结合所给的二次函数图像可以判断、、的符号，然后结合一次函数和反比例函数的性质可以推断正确的图像．
【详解】解：∵二次函数 的图象开口向上，
∴，
∵与轴交点在轴的正半轴，
∴，
∵对称轴 得出，
∴一次函数经过一、三、二象限，反比例函数 经过一、三象限，
故选：A．
【变式训练7-3】如图，抛物线与反比例函数的图象相交于点P，若点P横坐标为2，则关于不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数与反比例函数的综合问题．根据两函数图象的上下关系结合点P的坐标，即可得出不等式的解集．
【详解】解：从图象得出当时，二次函数的图象在双曲线的上方，
∴不等式的解集为．
故选：C．
【变式训练7-4】已知二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示．则一次函数与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，根据二次函数图象开口向下得到，再根据对称轴确定出根据与轴的交点确定出，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．
【详解】解：二次函数图象开口方向向下，
，
对称轴为直线，
，
，
与轴的正半轴相交，
，
的图象经过第一、二、四象限，
反比例函数的图象在第一三象限，
只有C选项图象符合．
故选：C．
【变式训练7-5】二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的图象大致为（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象，根据二次函数的图象得出，，，，从而得出，即可判断一次函数图象所经过的象限，由当时，，即可判断反比例函数的图象所经过的象限，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：由图象可得：抛物线开口向上，抛物线对称轴在轴右侧，交轴于负半轴，与轴有个交点，
，，，，
，
，
一次函数的图象经过第一、二、三象限，
在抛物线中，当时，，
反比例函数经过第一、三象限，
故选：A．
题型八：二次函数的性质综合
【经典例题8】已知二次函数的图象与y轴相交于点．
(1)若，求该二次函数的最小值；
(2)若，点都在该函数的图象上，比较和的大小关系；
(3)若点都在该二次函数图象上，分别求的取值范围
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
（1）依据题意，由二次函数的图象与轴相交于点，从而求出，又，可得二次函数的解析式，再化成顶点式，进而可得最小值得解；
（2）依据题意，由，从而可得对称轴直线，再结合抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，进而可以判断得解；
（3）依据题意得，由点都在该二次函数图象上，代入解析式可得，进而可以判断得解．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴相交于点，
∴．
又，
∴二次函数为．
又，
∴当时，取最小值为．
（2）∵，
∴对称轴直线．
，
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．
又，
．
（3）由题意得，①，②，
∴得，，
则；
得，，
则，可得或(舍去)．
综上可得，．
【变式训练8-1】已知关于x的二次函数
(1)若该函数的图像与x轴的交点坐标是，求的值；
(2)若该函数的图像的顶点纵坐标为3，
①用含b的代数式表示c；
②当时，y的取值范围是，求c的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，求二次函数的顶点坐标，二次函数的性质等等：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①把解析式化为顶点式求出顶点坐标，再根据顶点纵坐标为3进行求解即可；②分当时，当时，两种情况根据二次函数开口向上，离对称轴越远函数值越大进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数与x轴的交点坐标是，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①∵二次函数解析式为，
∴二次函数顶点坐标为，
∵该函数的图像的顶点纵坐标为3，
∴，
∴；
②∵二次项系数大于0，
∴二次函数开口向上，
∵当时，y的取值范围是，
∴当时，，
∴或（舍去），
则；
当时，或（舍去），
综上：，
∴．
【变式训练8-2】已知二次函数．
(1)求证：该函数的图像与轴总有两个公共点；
(2)若该函数图像与轴的两个交点坐标分别为，，且，求证：；
(3)若，，都在该二次函数图像上，且，结合函数图像，写出的取值范围是________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)或
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，二次函数的图像与性质，一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式等知识，明确题意，合理分类讨论，画出函数图像，数形结合列出不等式组是解答第（3）的关键．
（1）先求出，然后利用不等式的性质证明即可；
（2）利用根与系数的关系得出，，结合，求出， ，然后代入，整理即可得证；
（3）分对称轴在轴左侧和右侧讨论，分别画出草图，结合图像列出不等式组求解即可．
【详解】（1）证明：二次函数，
，
，
，
又对于任意实数都有，
，即，
该函数的图像与轴总有两个公共点；
（2）证明：该函数图像与轴的两个交点坐标分别为，，
，是的两根，
，，
，
联立方程组，
解得：，
将代入中，得：，
整理得：；
（3）解：，都在该二次函数图像上，
抛物线的对称轴为：，
当时，即，
，
画出草图如下：
或，解得，
或，解得：或；
当时，即，
，
画出草图如下：
或
此时的横坐标大于，不符合题意，舍去；
综上所述，或．
【变式训练8-3】已知二次函数，其中，；
(1)若时，
二次函数图象经过点，两点中的一个点，求该二次函数解析式；
二次函数图象的顶点为，求的值；
(2)当，，二次函数图象经过点，，求证：．
【答案】(1)该二次函数解析式；；
(2)证明见解析．
【分析】（）根据，进行排除即可；
先把，再根据顶点为求出即可；
（）由，，得二次函数，由二次函数图象经过点，则，，然后由即可；
本题考查了二次函数的图象及性质，解分式方程，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
【详解】（1）解：当时，，
若二次函数图象经过点，
则，无解，
若二次函数图象经过点，
则，解得：，经检验是原方程的解，
∴该二次函数解析式；
由，
∴顶点坐标为，
∵二次函数图象的顶点为，
∴，解得，
∴；
（2）解：∵，，
∴二次函数，
∵二次函数图象经过点，，
∴，，
∴，
∵，
∴．
【变式训练8-4】已知二次函数（为常数）的图象经过两点．
(1)已知，求该二次函数的表达式．
(2)当该二次函数图象经过点时．
①求该二次函数图象的对称轴和最小值(用含的代数式表示)；
②若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)①直线，；②
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数求最值等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解题的关键．
（1）直接运用待定系数法即可解答；
（2）①该二次函数图象经过和可得对称轴为直线，进而得到，再采用配方法即可解答；②分和两种情况分别根据二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：把分别代入，
得，解得．
该二次函数表达式为．
（2）解：①该二次函数图象经过和
对称轴为直线．
∴，解得：，
，最小值为．
②当时，，符合要求；
当时，关于对称轴的对称点为，
，而在对称轴右侧，随的增大而增大．
，
．
故的取值范围是．
【变式训练8-5】已知二次函数的图象经过点．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)若点和点均在该抛物线上，当时，请你比较，的大小关系；
(3)若，且当时，y有最小值为，求a的值．
【答案】(1)
(2)当时，；当时，
(3)或
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
（1）把代入可得，然后根据对称轴公式计算即可；
（2）由（1）得抛物线的解析式为，然后把和代入得到，然后对于a分为和两种情况讨论即可；
（3）分为和两种情况，利用最值讨论即可解题．
【详解】（1）解：把代入得，
解得：，
∴对称轴为；
（2）解：由（1）得抛物线的解析式为，
把点和点代入得：
，，
∴，
∵，
∴，
∴当时，，则；
当时，，则；
（3）解：∵，
∴抛物线的解析式为，
当时，即时，有最小值，即，解得；
当时，即时，有最小值，即，解得；
综上所述，a的值为或．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com) 同舟共理工作室中小学教育资源及组卷应用平台
1.3二次函数的图像和性质（二）八大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：用配方法求顶点坐标
【经典例题1】二次函数的顶点坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-1】用配方法将二次函数化为的形式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-2】在二次函数中，当时，y的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】如图，二次函数的图象与x轴交于，下列说法正确的是（ ）
A．
B．顶点坐标为
C．对称轴为直线
D．当时，y随x的增大而增大
【变式训练1-4】在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．
(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式；
(2)直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标．
【变式训练1-5】对于二次函数：
(1)求出图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？
(2)求出此抛物线与x、y轴的交点坐标；
(3)当x取何值时，y随着x的增大而减小．
题型二：五点法作二次函数图像
【经典例题2】在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：
①；②；③；④．
从图象对比，说出解析式中二次项系数对抛物线的形状有什么影响？
【变式训练2-1】已知二次函数，完成下列各题：
(1)将函数关系式用配方法化为的形式，并写出它的顶点坐标、对称轴．
(2)求出它的图象与x轴的交点坐标．
(3)在直角坐标系中，画出它的图象．
(4)当为x何值时，函数y随着x的增大而增大？
(5)根据图象说明：当x为何值时，
【变式训练2-2】已知二次函数．
(1)求它的图象的顶点坐标和对称轴；
(2)画出它的图象．并结合图象，当时，则y的取值范围是______．
【变式训练2-3】已知函数已知函数是关于x的二次函数．是关于x的二次函数．
(1)求满足条件的m的值及抛物线的对称轴；
(2)当m为何值时，使抛物线在时，y值随x值的增大而增大；
(3)当抛物线有最高点时，画出该函数的图象，写出m的值与最高点坐标，判断抛物线的增减性．
【变式训练2-4】已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示∶
x … 0 1 …
y … 0 0 …
(1)这个二次函数的解析式是______________；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(3)当时，y的取值范围为______________．
题型三：二次函数的图像和性质
【经典例题3】已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表，
x … 0 3 5 …
y … 0 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x的值增大而增大
C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线
【变式训练3-1】下列关于二次函数的图象和性质的叙述中，正确的是（ ）
A．与直线有两个交点 B．开口方向向上
C．对称轴是直线 D．点在函数图象上
【变式训练3-2】关于x的二次函数的图象下列说法不正确的是（ ）
A．对称轴为直线 B．当时，图象上的最低点为
C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．顶点一定在函数的图象上．
【变式训练3-3】若二次函数的图象经过点，当时，有最大值，最小值，则的取值范围应是( )
A． B． C． D．
【变式训练3-4】已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-5】如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解是 ．
【变式训练3-6】如图，已知抛物线经过点．
(1)求出此抛物线的解析式；
(2)当时，直接写出的取值范围．
题型四：从表格中获取信息
【经典例题4】抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x … 0 1 2 …
y … 5 0 …
从表中可知，下列说法中正确的是（ ）．
A．抛物线的对称轴是y轴 B．抛物线与x轴的一个交点为
C．函数的最小值为5 D．当时，y随x增大而减小
【变式训练4-1】用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格：
从表中信息可得值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-2】二次函数的自变量（表格中从左到右增大）与函数值的对应值如下表：
0 1 3
1 0 1
下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-3】二次函数（，，为常数，且）中的与的部分对应值如下表．下列结论错误的是（ ）
… 0 1 2 3 …
… 0 3 4 3 …
A． B．
C．当时，的值随的增大而增大 D．表中盖住的数是0
【变式训练4-4】如表记录了二次函数中两个变量与的5组对应值，其中，
… 1 3 …
… 0 2 0 …
根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型五：二次函数图像与各项系数之间的关系
【经典例题5】如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练5-1】如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
【变式训练5-2】如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练5-3】如图为抛物线的图象，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-4】如图，二次函数的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练5-5】二次函数的部分图象如图，图象过点下列结论：①；②；③；④；⑤若顶点坐标为，则方程没有实数根．其中正确的结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式训练5-6】对称轴为直线的抛物线（、、为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①；②；③；④；⑤（为任意实数）；⑥若点，均在抛物线上，则．其中结论正确的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
题型六：一次函数和二次函数的综合判断
【经典例题6】已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致为（ ）
A．B．C． D．
【变式训练6-1】直线 与抛物线 在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练6-2】一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致是（ ）
A． B． C．D．
【变式训练6-3】在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ）
A．B． C． D．
【变式训练6-4】直线经过第一、二、四象限，那么的图像大致为( )
A．B．C． D．
【变式训练6-5】在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
题型七：反比例函数和二次函数综合
【经典例题7】函数与的图象如图所示，当（ ）时，，均随着的增大而减小．
A． B． C． D．
【变式训练7-1】二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的大致图象是（ ）
A．B．C． D．
【变式训练7-2】二次函数 的图象如图所示，则一次函数和反比例函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B． C． D．
【变式训练7-3】如图，抛物线与反比例函数的图象相交于点P，若点P横坐标为2，则关于不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．或
【变式训练7-4】已知二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示．则一次函数与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致是( )
A． B．
C． D．
【变式训练7-5】二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的图象大致为（ ）
A．B．C． D．
题型八：二次函数的性质综合
【经典例题8】已知二次函数的图象与y轴相交于点．
(1)若，求该二次函数的最小值；
(2)若，点都在该函数的图象上，比较和的大小关系；
(3)若点都在该二次函数图象上，分别求的取值范围
【变式训练8-1】已知关于x的二次函数
(1)若该函数的图像与x轴的交点坐标是，求的值；
(2)若该函数的图像的顶点纵坐标为3，
①用含b的代数式表示c；
②当时，y的取值范围是，求c的取值范围．
【变式训练8-2】已知二次函数．
(1)求证：该函数的图像与轴总有两个公共点；
(2)若该函数图像与轴的两个交点坐标分别为，，且，求证：；
(3)若，，都在该二次函数图像上，且，结合函数图像，写出的取值范围是________．
【变式训练8-3】已知二次函数，其中，；
(1)若时，
二次函数图象经过点，两点中的一个点，求该二次函数解析式；
二次函数图象的顶点为，求的值；
(2)当，，二次函数图象经过点，，求证：．
【变式训练8-4】已知二次函数（为常数）的图象经过两点．
(1)已知，求该二次函数的表达式．
(2)当该二次函数图象经过点时．
①求该二次函数图象的对称轴和最小值(用含的代数式表示)；
②若，求的取值范围．
【变式训练8-5】已知二次函数的图象经过点．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)若点和点均在该抛物线上，当时，请你比较，的大小关系；
(3)若，且当时，y有最小值为，求a的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com) 同舟共理工作室
