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1.4二次函数的图像和性质（三）七大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：待定系数法求二次函数解析式
【经典例题1】已知抛物线的顶点坐标为，与轴的交点坐标为，求此抛物线对应的函数表达式．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数顶点式和待定系数法的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据抛物线的顶点坐标为，可设二次函数的顶点式为，再用待定系数法即可求出抛物线对应的函数表达式．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴可设抛物线对应的函数表达式为，
把代入上式，得，
解得，
∴抛物线对应的函数表达式为，
即．
故此抛物线对应的函数表达式为．
【变式训练1-1】如图，顶点的抛物线与直线相交于A，B两点，且点A在x轴上，连接，．
(1)求点A的坐标和这个抛物线所表示的二次函数的表达式；
(2)求点B的坐标．
【答案】(1)点A的坐标是，
(2)点B的坐标为
【分析】本题考查了一次函数与抛物线的交点问题，用待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图像上点的坐标问题，二次函数图像上点的坐标特征等知识点，能求出点A的坐标是解此题的关键．
（1）先根据一次函数的解析式求出点A的坐标，设顶点为的抛物线的解析式为，把点A的坐标代入求出a即可；
（2）解两函数解析式组成的方程组，即可求出点B的坐标．
【详解】（1）由，
得当时，，
所以点A的坐标是，
设顶点为的抛物线的解析式为，
点在抛物线上，，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）联立，
得：，，
点A的坐标是，
点B的坐标为．
【变式训练1-2】已知二次函数的图象如图所示．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)根据图象回答：当时，的取值范围；
(3)当时，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先设抛物线解析式为，再代入，解出，即可作答．
（2）运用数形结合思想，即可作答．
（3）先化为顶点式得，结合，得出的取值范围，即可作答．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
∴二次函数解析式为．
（2）解：依题意，结合图象，当或时，．
（3）解：∵二次函数解析式为．
∴，
∴当时，y有最小值；
当时，；
当时，y的取值范围为．
【变式训练1-3】已知二次函数的图象与一次函数的图象有两个公共点和．如果抛物线的对称轴为直线，求这个二次函数的解析式．
【答案】
【分析】本题主要考查了求函数解析式，灵活运用待定系数法求函数解析式成为解题的关键．
先求得、，再根据对称轴为设二次函数的解析式为，然后将、代入求得a、h即可解答．
【详解】解:∵二次函数的图象与一次函数的图象有两个公共点和，
∴，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴设二次函数的解析式为
将，代入可得：
，解得：，
∴
∴．
【变式训练1-4】已知二次函数的图像以为顶点，且过点．
(1)求该函数图像与坐标轴的交点坐标；
(2)将函数图像向左平移几个单位，该函数图像恰好经过原点．
【答案】(1)与轴的交点坐标为；与轴的交点坐标为
(2)向左平移1个单位，该函数图象恰好经过原点
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
（1）设顶点式，然后把代入求出的值即可得出二次函数解析式；通过解方程可得抛物线与轴的交点坐标，通过计算自变量为0时的函数值可得到抛物线与轴的交点坐标；
（2）由于抛物线与轴的交点坐标为，把点向左平移1个单位到原点，所以把抛物线解析式向左平移1个单位，该函数图象恰好经过原点．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
所以抛物线解析式为；
当时，，
则抛物线与轴的交点坐标为；
当时，，解得，
则抛物线与轴的交点坐标为；
（2）解：因为抛物线与轴的交点坐标为，
所以把抛物线解析式向左平移1个单位，该函数图象恰好经过原点．
【变式训练1-5】在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．
(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式；
(2)直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标．
【答案】(1)
(2)抛物线的对称轴为直线，顶点坐标．
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式以及一般式与顶点式之间的转化，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
（1）把A点和B点坐标代入中得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b即可；
（2）把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解．
【详解】（1）解：抛物线经过点和点，
∴ ，解得
∴这条抛物线所对应的二次函数的表达式为；
（2）解：
，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标．
【变式训练1-6】已知二次函数的图象经过点，且当时，函数有最大值是2．求二次函数的解析式．
【答案】
【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，根据题意可知二次函数的顶点坐标为，设二次函数的解析式为：，把代入解析式解出a的值即可求出答案．
【详解】解：∵当时，函数有最大值是2，
∴二次函数的顶点坐标为：，
设二次函数的解析式为：，
∵二次函数的图象经过点
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为：．
题型二：二次函数的平移
【经典例题2】将抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟知“左加右减”的平移法则是解题的关键．
根据“左加右减”的平移法则即可解决问题．
【详解】解：由题知，
将抛物线向左平移3个单位长度所得抛物线的解析式为．
故选：．
【变式训练2-1】把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移2个单位，则平移后抛物线的表达式是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是二次函数的图象的平移，根据二次函数图象平移的方法“上加下减，左加右减”即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移2个单位，则平移后抛物线的表达式是：，即．
故选：B．
【变式训练2-2】对于二次函数 的性质，下列描述正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是直线
C．顶点坐标是
D．抛物线可由向右平移1个单位得到
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象平移的规律．熟练掌握上述知识是解题关键．
根据二次函数的解析式可判断该二次函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，从而可判断A和B、C．再根据二次函数图象平移的规律“上加下减，左加右减”即可判断D．
【详解】∵二次函数的解析式为：，
∴，
∴该二次函数图象开口向上，故A错误，不符合题意；
由解析式可知该二次函数对称轴为直线，故B错误，不符合题意；
由解析式可知该二次函数顶点坐标为，故C错误，不符合题意；
将函数图象向右平移一个单位得到的新函数的解析式为，故D正确，符合题意；
故选D．
【变式训练2-3】将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．
【详解】解：将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得的抛物线为，
故选：．
【变式训练2-4】将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，求平移后的函数解析式．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键．
【详解】解：，
将其向左平移3个单位得到：
，
再将向下平移2个单位得到：
．
【变式训练2-5】抛物线是由抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，则 ， ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移．熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．
由题意知，，根据上加下减，左加右减，可得平移后的抛物线为，然后求解作答即可．
【详解】解：由题意知，，
∴抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的抛物线为，
∴，，
故答案为：，．
题型三：二次函数对称性求对称轴
【经典例题3】如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，那么关于x的一元二次方程的解为（ ）
A．， B．，
C．， D．
【答案】B
【分析】此题考查的是求二次函数图象与x轴的交点坐标和求一元二次方程的根，掌握二次函数图象的对称性和二次函数与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系是解决此题的关键．根据图象可知二次函数图象的对称轴，然后利用二次函数图象的对称性求出图象与x轴的另一个交点坐标，最后根据二次函数与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系即可得出结论．
【详解】解：由图象可知：二次函数图象的对称轴为直线，
∵图象与轴的一个交点为，
∴图象与x轴的另一个交点坐标为，
∴关于的一元二次方程的两实数根是
故选B．
【变式训练3-1】已知二次函数的与的部分对应值如下表．则这条抛物线的对称轴是（ ）
… …
… …
A．直线 B．直线 C．直线 D．轴
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
根据当、时的函数值都是，结合二次函数的对称性求解即可，
【详解】解：∵当、时的函数值都是，
∴这个二次函数图象的对称轴是直线，即，
故选．
【变式训练3-2】若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则抛物线的对称轴为直线（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，利用对称性求对称轴，根据题意，得到抛物线与轴的两个交点坐标为，对称性得到对称轴为，即可．
【详解】解：∵的两个实数根分别为，，
∴抛物线与轴的两个交点坐标为，
∴对称轴为；
故选A．
【变式训练3-3】抛物线上的部分点的横坐标x和纵坐标y的对应值如下表；
x … 0 1 …
y … 0 4 6 6 …
容易看出，点是抛物线与x轴的一个公共点，则它与x轴的另一个公共点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数图象的对称性，先根据表格确定抛物线的对称轴，根据对称性，求出另一个交点坐标即可．
【详解】解：由表格可知：和时的函数值相同，
∴对称轴为直线，
∴点关于对称轴对称的点为：；
故答案为：
【变式训练3-4】已知二次函数中的和满足如表：
根据表格内容，该二次函数的值为 ．
【答案】0
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数对称性．由表格数据可得抛物线对称轴，再由抛物线对称性求解．
【详解】解：由表格可得抛物线经过，，
抛物线对称轴为直线，
，关于对称轴对称，
，
故答案为：．
【变式训练3-5】若二次函数的图象经过、两点，则这个函数图象的对称轴为 ．
【答案】直线
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数与轴的两交点坐标关于对称轴对称是解题关键．由抛物线的对称性得到点A与点B是抛物线上的对称点，即可求出对称轴．
【详解】解： 、两点为二次函数与轴的两交点坐标，
点A与点B是抛物线上的对称点，
又、关于直线对称，
对称轴为直线，
故答案为：直线．
题型四：根据二次函数的对称性求函数值
【经典例题4】在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点和点，其顶点在轴上，则的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，依据题意，由对称轴为直线，从而可得，，即可得出，把的坐标代入即可求得的值，表示出的值是解题的关键．
【详解】解：∵点和点均在二次函数图象上，
∴对称轴是直线．
∴．
∵二次函数的顶点在轴上，
∴．
∴．
∴．
∴．
把的坐标代入得，．
故选：D．
【变式训练4-1】已知二次函数，当时，x的取值范围是，且该二次函数的图象经过点，两点，则d的值不可能是（ ）
A． B．4 C． D．6
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是根据时，的取值范围是，可得抛物线图象开口方向及对称轴直线方程，再根据二次函数的性质进而求解．
【详解】解：如图，
二次函数，当时，的取值范围是，
二次函数开口向下，对称轴为直线，
该二次函数的图象经过点，两点，
点关于对称轴的对称点为，
或，
不可能是．
故选：A．
【变式训练4-2】已知，是抛物线上的两点，则正数（ ）
A．2 B．4 C．8 D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质，根据函数图像上的点满足函数解析式列式求解即可得到答案；
【详解】解：∵，是抛物线上的两点，
∴，，
∴，，
∴，，
即：或，
解得：或，
∵取正数，
故：，
故选：C．
【变式训练4-3】抛物线，y与x的部分对应值如表所示，下列说法错误是（ ）
x 0 1 2 m
y 3 4 3
A．开口向下 B．顶点坐标为 C．当时，y随x的增大而减小 D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性、增减性以及二次函数的顶点坐标．
根据图表信息判断出抛物线的开口向下对称轴为直线，顶点坐标为，再根据抛物线的对称性解答．
【详解】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
时，最大，
抛物线开口向下，当时，随的增大而增大，
当与时，值相等，
时，，
时，．
故选项A、B、D正确，选项C错误，
故选：C．
【变式训练4-4】已知二次函数函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … 0 1 2 3 …
y … 5 0 0 …
(1)二次函数图象所对应的顶点坐标为 ；
(2)当时，______；
(3)与x轴的交点_______；
(4)当函数值时，x的取值范围_________．
【答案】(1)
(2)5
(3)和
(4)或
【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，从表格中获取数据是解题的关键．
对于（1），根据对称的点的坐标即可确定；
对于（2），根据对称轴可知对称的点的纵坐标相等；
对于（3），根据表格直接得出答案；
对于（4），根据抛物线与x轴交点的坐标，再结合开口方向可得答案．
【详解】（1）观察表格可知当时，，当时，，
所以抛物线的对称轴是，顶点坐标是．
故答案为：；
（2）因为对称轴是，
所以和时的函数值相等，所以．
故答案为：5；
（3）观察表格可知抛物线与x轴的交点坐标是和．
故答案为：和；
（4）当时，，当时，，且抛物线开口向上，
所以当或时，．
故答案为：或．
题型五：利用二次函数的对称性求最短路径
【经典例题5】如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，轴对称求最小值问题；连接，，设交抛物线对称轴于点，当与点重合时，取得最小值，最小值为，令分别求得的坐标，勾股定理求得的长，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，，设交抛物线对称轴于点，
∵，
∴，
∴当与点重合时，取得最小值，最小值为，
∵，当时，，则
当时，，
解得：,
∴，
∴
即的最小值为，
故答案为：．
【变式训练5-1】如图，已知拋物线经过，，三点，直线是拋物线的对称轴，点M是直线上的一个动点，当最短时，点M的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据抛物线的对称性，连接交对称轴于M，此时最短，利用待定系数法求得直线的解析式即可求得点M的坐标．
【详解】解：连接交抛物线的对称轴于M，则最短，
设直线的解析式为，
将，代入，得，解得，
∴直线的解析式为，
∵抛物线经过、，
∴抛物线的对称轴为直线，
当时，，
∴点M坐标为，
故答案为：．
【变式训练5-2】如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点，使得的值最小，求此时点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由直线与坐标轴的交点得到、，再由抛物线对称性求出抛物线与轴交点，再利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案；
（2）根据动点最值问题-将军饮马模型的解法，利用对称性、结合三角形三边关系得到的值最小为线段的长，即可确定取最小值时对称轴上的点，将代入直线的函数解析式即可得到答案．
【详解】（1）解：将代入，得，即，
将代入，得，解得，即，
对称轴为直线，点关于对称轴对称，
，
设抛物线的函数解析式为，将代入，得，解得，
，
抛物线的函数解析式为；
（2）解：点与点关于直线对称，点在直线上，，
当点是线段与抛物线对称轴的交点时，的值最小，即的值最小为线段的长，
将代入直线的函数解析式，得，
此时．
【变式训练5-3】如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，其顶点为D，对称轴l与x轴交于点H．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求的最小值．
【答案】(1)
(2)的最小值为
【分析】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式及抛物线与坐标轴的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及利用轴对称性质求出最短路线的长．
（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
（2）先求出对称轴，得出点、关于对称轴对称，连接交对称轴于点P，连接，此时的值最小，即为的长求出即可．
【详解】（1）解：将点、、代入，得：
，解得：，
抛物线的解析式为；
（2）抛物线的对称轴为，
点、关于对称轴对称，
连接交对称轴于点P，连接，此时的值最小，
，
的最小值是，
、，
，
的最小值为．
【变式训练5-4】如图所示，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．
(1)求点C及顶点M的坐标；
(2)求点A、B的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最小，若存在，清求出点P的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；，
(2)；，
(3)．
【分析】（1）本题主要靠考查二次函数图像与坐标轴交点问题以及二次函数顶点坐标，函数图像与y轴的交点可得点C坐标；顶点坐标通过对函数解析式配成顶点式即可得到．
（2）本题主要靠考查二次函数图像与坐标轴交点问题，函数图像与轴的交点，转化为解一元二次方程即可求解．
（3）本题主要考查了最短距离问题，点B是点A关于抛物线的对称轴对称的点，根据两点之间线段最短，线段即为所求最短距离．
【详解】（1）解：二次函数，
令，得到：．
∴；
，
∴．
（2）∵二次函数与x轴相交于A、B两点，
令，
得到：，，
∴；．
（3）假设存在点，使得的值最小
∵点B与点A关于抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴与的交点就是使得的值最小的点的位置，如图，
∵，
∴．
又∵，，
∴直线的解析式为：，
又∵点在抛物线对称轴上，将代入直线的解析式，
得到：，
∴
又∵，
∴,
即，的最小值为．
题型六：图像法确定一元二次方程的近似根
【经典例题6】已知抛物线 上的某些点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x
y
则该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了二次函数和一元二次方程的关系，根据表格中数据的变化情况进行估计即可．
【详解】解：由表可以看出，当取与之间的某个数时，，即这个数是的一个根，
∴的一个解x的取值范围为．
故选：B．
【变式训练6-1】观察表格，估算一元二次方程的近似解：
x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8
0.19 0.44
由此可确定一元二次方程.的一个近似解x的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程根的估算，解题的关键是根据表格数据找出位于哪两个数之间即可．
【详解】解：由表格可知， 当时，与时，
∴时，，
故选C．
【变式训练6-2】根据下列表格对应值：
判断关于的方程的一个解的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的根的联系，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，根据上表可知当时，的取值范围为：，即可．
【详解】由上表可知当，关于的方程的一个解的范围为：，
故选：B．
【变式训练6-3】下表给出了二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值：
x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 …
y … 0.75 1.16 …
那么下列各选项中可能是方程的近似根的是（ ）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
【答案】B
【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．通过表中数据确定抛物线与x轴的交点横坐标的范围，从而得到一元二次方程的根(由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的)．
【详解】解：由表可知当时，，
当时，，
∴抛物线与x轴的一个交点在点与之间，更靠近点，
∴方程的一个根的近似值约为，
故选：B．
【变式训练6-4】小明在学习了利用图象法来求一元二次方程的近似根的知识后进行了尝试：在直角坐标系中作出二次函数的图象．由图象可知，方程有两个根，一个在和之间，另一个在2和3之间，利用计算器进行探索：由下表知，方程的一个近似根是（ ）
0.56
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的近似根，当y等于0时得到的x值即为方程的解．分析题干中的表格，取y值最接近0时x的值作为方程的近似解．
【详解】解：由表格可知，当时，，当时，，
则方程的一个根在和之间，时的y值比时更接近0，
方程的一个近似根为：．
故选：C．
【变式训练6-5】根据下列表格中的自变量x与函数值y的部分对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个根x的取值范围是 ．
x 0.4 0.5 0.6 0.7
【答案】
【分析】本题考查了用函数图象法求一元二次方程的近似根，根据函的图象与x轴交点的横坐标就是方程的根，再根据二次函数y的正负即可判断方程一个解的范围．
【详解】解：∵函数的图象与x轴交点的横坐标就是方程的根，x轴上的点的纵坐标为0，由表中数据可知：在与之间，
∴对应的x的值在与之间，
即．
故答案为：．
题型七：二次函数最值问题
【经典例题7】当时，二次函数的最小值为15，则的值为（ ）
A．或8 B．8 C．6 D．或6
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值是解题的关键．利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值，结合当时函数有最小值15，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：当时，有，
解得：，．
当时，函数有最小值15，
或，
或，
故选：A．
【变式训练7-1】已知二次函数（，为常数）的最小值为，则有（ ）
A．最大值，最大值为 B．最小值，最小值为
C．最大值，最大值为 D．最小值，最小值为
【答案】D
【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象及性质，二次函数的最值，解题关键是熟练掌握二次函数最值的求法．
先根据二次函数有最小值推出、关系式，代入后再根据二次函数性质及最值求法即可得解．
【详解】解：中有最值，
则二次函数中有最小值，
即，
，
，
根据二次函数性质可得有最小值，且最小值为．
故选：．
【变式训练7-2】设二次函数（，m，k是实数），则（ ）
A．当时，函数y的最大值为 B．当时，函数y的最大值为
C．当时，函数y的最大值为 D．当时，函数y的最大值为
【答案】C
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、求二次函数的最值，求出二次函数与x轴的交点坐标是．得到二次函数的对称轴是直线．根据开口方向进一步求出最值即可．
【详解】解：由题意，令，
∴，
∴．
∴二次函数与x轴的交点坐标是．
∴二次函数的对称轴是：直线．
∵，
∴y有最大值．
当，y最大，
即
当时，函数y的最大值为；
当时，函数y的最大值为．
综上，C选项正确．
故选：C．
【变式训练7-3】如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，两点之间线段最短，勾股定理，先利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据轴对称及两点之间线段最短确定点的位置，利用勾股定理即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：把点代入得，，
∵抛物线称轴为直线，
∴，
∴，
把代入得，
，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
当时，，
解得，，
∴，
当时，，
∴，
∴，，
如图，连接，与对称轴相交于点，
∵点和点关于对称轴对称，
∴，
∴，
根据两点之间线段最短，此时周长的最小，则点即为所求，
∴周长最小值，
故选：．
【变式训练7-4】当时，二次函数的最大值是，最小值是，若，则的值是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，利用配方法将原方程转化为顶点式二次函数的解析式，然后根据二次函数图象的特点进行分情况讨论即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由，
∴二次函数的对称轴为直线，
若时，即，
当时，，当时，，
∵，
∴，解得（舍去），
若时，即，
当时，，当时，，
∵，
∴，解得或（舍去），
若，即，
当时，，当时，，
∵，
∴，解得或（舍去），
若时，即，
当时，，当时，，
∵，
∴，解得（舍去），
综上可知：的值是或，
故答案为：或．
【变式训练7-5】若实数x，y满足关系式，且，则t的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的最值，根据题意得到是解题的关键．
由实数，满足关系式，且，得出，由，求得，利用二次函数的性质即可得出．
【详解】解：实数，满足关系式，且，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【变式训练7-6】已知二次函数（m是常数）．
(1)当时，求该二次函数图象的顶点坐标．
(2)求证：无论m取何值，该二次函数图象与x轴必有交点．
(3)若点是该二次函数图象上的任意一点，求的最大值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与坐标轴的交点：
（1）将代入解析式，将一般式转化为顶点式，即可得出结果；
（2）令，求出判别式，进行判断即可；
（3）利用二次函数图象的性质，求最值即可．
【详解】（1）解：当时，，
∴抛物线的顶点坐标为：；
（2）令，
则：，
所以无论m取何值，该二次函数图象与x轴必有交点．
（3）把代入解析式得：，
∴，
∴当时，有最大值为．
【变式训练7-7】如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，，连接和．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求点的坐标．
【答案】(1)抛物线得解析式为：
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，轴对称的性质等；
（1）由，得到，，用待定系数法即可求得抛物线解析式；
（2）先确定交对称轴于点，由两点之间线段最短可知，此时有最小值，而的长度是定值，故此时的周长取最小值，求出直线的解析式，再求出其与对称轴的交点即可．
【详解】（1）解：，，
，，
将，，代入，
得，
解得：，，
抛物线得解析式为：．
（2）在中，
对称轴为直线，
点与点关于对称轴对称，
如图，可设交对称轴于点，由两点之间线段最短可知，此时有最小值，
而的长度是定值，故此时的周长取最小值，
在中，
当时，，，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
将点代入，
得，，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为；
故答案为：．
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1.4二次函数的图像和性质（三）七大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：待定系数法求二次函数解析式
【经典例题1】已知抛物线的顶点坐标为，与轴的交点坐标为，求此抛物线对应的函数表达式．
【变式训练1-1】如图，顶点的抛物线与直线相交于A，B两点，且点A在x轴上，连接，．
(1)求点A的坐标和这个抛物线所表示的二次函数的表达式；
(2)求点B的坐标．
【变式训练1-2】已知二次函数的图象如图所示．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)根据图象回答：当时，的取值范围；
(3)当时，求的取值范围．
【变式训练1-3】已知二次函数的图象与一次函数的图象有两个公共点和．如果抛物线的对称轴为直线，求这个二次函数的解析式．
【变式训练1-4】已知二次函数的图像以为顶点，且过点．
(1)求该函数图像与坐标轴的交点坐标；
(2)将函数图像向左平移几个单位，该函数图像恰好经过原点．
【变式训练1-5】在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．
(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式；
(2)直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标．
【变式训练1-6】已知二次函数的图象经过点，且当时，函数有最大值是2．求二次函数的解析式．
题型二：二次函数的平移
【经典例题2】将抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-1】把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移2个单位，则平移后抛物线的表达式是( )
A． B． C． D．
【变式训练2-2】对于二次函数 的性质，下列描述正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是直线
C．顶点坐标是
D．抛物线可由向右平移1个单位得到
【变式训练2-3】将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-4】将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，求平移后的函数解析式．
【变式训练2-5】抛物线是由抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，则 ， ．
题型三：二次函数对称性求对称轴
【经典例题3】如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，那么关于x的一元二次方程的解为（ ）
A．， B．，
C．， D．
【变式训练3-1】已知二次函数的与的部分对应值如下表．则这条抛物线的对称轴是（ ）
… …
… …
A．直线 B．直线 C．直线 D．轴
【变式训练3-2】若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则抛物线的对称轴为直线（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-3】抛物线上的部分点的横坐标x和纵坐标y的对应值如下表；
x … 0 1 …
y … 0 4 6 6 …
容易看出，点是抛物线与x轴的一个公共点，则它与x轴的另一个公共点的坐标是 ．
【变式训练3-4】已知二次函数中的和满足如表：
根据表格内容，该二次函数的值为 ．
【变式训练3-5】若二次函数的图象经过、两点，则这个函数图象的对称轴为 ．
题型四：根据二次函数的对称性求函数值
【经典例题4】在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点和点，其顶点在轴上，则的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【变式训练4-1】已知二次函数，当时，x的取值范围是，且该二次函数的图象经过点，两点，则d的值不可能是（ ）
A． B．4 C． D．6
【变式训练4-2】已知，是抛物线上的两点，则正数（ ）
A．2 B．4 C．8 D．
【变式训练4-3】抛物线，y与x的部分对应值如表所示，下列说法错误是（ ）
x 0 1 2 m
y 3 4 3
A．开口向下 B．顶点坐标为 C．当时，y随x的增大而减小 D．
【变式训练4-4】已知二次函数函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … 0 1 2 3 …
y … 5 0 0 …
(1)二次函数图象所对应的顶点坐标为 ；
(2)当时，______；
(3)与x轴的交点_______；
(4)当函数值时，x的取值范围_________．
题型五：利用二次函数的对称性求最短路径
【经典例题5】如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是 ．
【变式训练5-1】如图，已知拋物线经过，，三点，直线是拋物线的对称轴，点M是直线上的一个动点，当最短时，点M的坐标为 ．
【变式训练5-2】如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点，使得的值最小，求此时点的坐标．
【变式训练5-3】如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，其顶点为D，对称轴l与x轴交于点H．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求的最小值．
【变式训练5-4】如图所示，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．
(1)求点C及顶点M的坐标；
(2)求点A、B的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最小，若存在，清求出点P的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由．
题型六：图像法确定一元二次方程的近似根
【经典例题6】已知抛物线 上的某些点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x
y
则该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练6-1】观察表格，估算一元二次方程的近似解：
x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8
0.19 0.44
由此可确定一元二次方程.的一个近似解x的范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-2】根据下列表格对应值：
判断关于的方程的一个解的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练6-3】下表给出了二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值：
x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 …
y … 0.75 1.16 …
那么下列各选项中可能是方程的近似根的是（ ）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
【变式训练6-4】小明在学习了利用图象法来求一元二次方程的近似根的知识后进行了尝试：在直角坐标系中作出二次函数的图象．由图象可知，方程有两个根，一个在和之间，另一个在2和3之间，利用计算器进行探索：由下表知，方程的一个近似根是（ ）
0.56
A． B． C． D．
【变式训练6-5】根据下列表格中的自变量x与函数值y的部分对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个根x的取值范围是 ．
x 0.4 0.5 0.6 0.7
题型七：二次函数最值问题
【经典例题7】当时，二次函数的最小值为15，则的值为（ ）
A．或8 B．8 C．6 D．或6
【变式训练7-1】已知二次函数（，为常数）的最小值为，则有（ ）
A．最大值，最大值为 B．最小值，最小值为
C．最大值，最大值为 D．最小值，最小值为
【变式训练7-2】设二次函数（，m，k是实数），则（ ）
A．当时，函数y的最大值为 B．当时，函数y的最大值为
C．当时，函数y的最大值为 D．当时，函数y的最大值为
【变式训练7-3】如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-4】当时，二次函数的最大值是，最小值是，若，则的值是 ．
【变式训练7-5】若实数x，y满足关系式，且，则t的取值范围为 ．
【变式训练7-6】已知二次函数（m是常数）．
(1)当时，求该二次函数图象的顶点坐标．
(2)求证：无论m取何值，该二次函数图象与x轴必有交点．
(3)若点是该二次函数图象上的任意一点，求的最大值．
【变式训练7-7】如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，，连接和．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求点的坐标．
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