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1.5二次函数的实际应用七大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：实际问题与二次函数之图形问题
【经典例题1】一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以为直径的半圆O，下部是一个矩形．
(1)当米时，求隧道截面上部半圆O的面积；
(2)已知矩形相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米．
①求隧道截面的面积关于半径r（m）的函数关系式（不要求写出r的取值范围）；
②若2米3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值．（取3.14，结果精确到0.1米）
【变式训练1-1】学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为．
(1)求与与的关系式．
(2)围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值．
(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值．
【变式训练1-2】某校九年级学生在数学社团课上进行纸盒设计，利用一个边长为的正方形硬纸板，在正方形纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒．
(1)若无盖纸盒的底面积为，则剪掉的小正方形的边长为多少？
(2)折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由．
【变式训练1-3】如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙(墙的长度为)，另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为，设矩形场地的长为， 宽为， 面积为．
(1)分别求出y与x，s与x的函数解析式；
(2)当x为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？
(3)若购买的篱笆总长增加，矩形场地的最大总面积能否达到 若能，请求出x的值；若不能，请说明理由．
【变式训练1-4】某学校为丰富同学们的课余生活，培养学生的劳动技能，决定利用校内的旧围墙和木栏为同学们围出一片矩形“守望田”，已知旧围墙的长度为，木栏的总长为．
(1)如图，矩形守望田的一边靠墙，另三边使用了木栏，且围成的矩形守望田面积为，求利用旧墙的长；
(2)有同学在学习完二次函数的知识后，发现更好地利用旧墙，就可以让矩形守望田的面积比（1）中的大得多．为了保证安全且能种植更多的蔬菜水果，守望田要保持封闭且面积应尽可能大，请画出你的矩形守望田方案示意图，并求出矩形守望田面积的最大值．
【变式训练1-5】根据素材回答问题：
素材1 如图1，空地上有两条互相垂直的小路，中间有一正方形水池，已知水池的边长为4米，，且与的距离为10米，与的距离为8米．
素材2 现利用两条小路，再购置30米长的栅栏（图中的细实线）在空地上围出一个花圃，要求围起来的栅栏与小路相互平行（或垂直），靠小路和水池的都不需要栅栏，接口损耗忽略不计．
任务1 小明同学按如图2的设计，若米，求出花圃的面积（不包含水池的面积）．
任务2 若按如图3设计方案，点C，D，H三点共线，点G在上，当花圃的面积（不包含水池的面积）为时，求的长．
任务3 学习小组在探究的过程中还发现按如图3设计方案，当的长是____________，围成的花圃（不包含水池）的最大面积是____________．
题型二：实际问题与二次函数之图形运动问题
【经典例题2】如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从点A，B同时出发；
(1)经过几秒的面积等于？
(2)在运动过程中，的面积有最 值（填“大”或“小”），是 ．
【变式训练2-1】如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为下列图像能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练2-2】如图，在中，，，，点和点分别是和的中点，点和点分别从点和点出发，沿着方向运动，运动速度都是1个单位秒，当点到达点时，两点间时停止运动．设的面积为，运动时间为，则与之间的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-3】如图，正方形的边长为，点P以的速度从点A出发沿着方向运动到点B停止，点Q以的速度沿运动到点D停止，P，Q两点同时出发，设运动的时间为，的面积为，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练2-4】如图，在矩形中，，，点是的中点．动点从点出发，沿折线以的速度运动，作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为，的面积为．
(1)当时，的形状是 ．
(2)当点与点重合时，求的值．
(3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
【变式训练2-5】根据物理学知识可知，物体匀加（减）速运动时的路程平均速度时间t．，其中是开始时的速度，是t秒时的速度．如图，钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加．
(1)直接写出钢球在斜面滚动t秒时的速度．
(2)求钢球在斜面滚动的距离s（单位：m）关于滚动的时间t（单位：s）的函数解析式．
(3)如果斜面的长是，钢球从斜面顶端滚到底端用多长时间？
(4)在（3）的条件下，钢球从斜面顶端滚到底端后，继续在水平地面上滚动，速度每秒减少，求钢球静止时在水平地面上滚动的路程．
题型三：实际问题与二次函数之拱桥问题
【经典例题3】如图所示，有一抛物线形状的桥洞．桥洞离水面最大距离为，跨度．
(1)请你建立适当的直角坐标系，并求出在此坐标系下的抛物线的关系式；
(2)一艘小船上平放着一些长，宽且厚度均匀的矩形木板，要使小船能通过此桥洞，则这些木板最高可堆放多少米？
【变式训练3-1】如图，福州西湖公园上有一座造型为抛物线形状的拱桥，因其宛如玉带，从而被人称为玉带桥，经测量，玉带桥的拱顶离水面的平均高度为，若玉带桥所在的这条抛物线表示的二次函数为，则该抛物线所在的平面直角坐标系是如下的（ ）
A．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴
B．以抛物线与水面的左交点为原点，以水面为轴
C．以水面为轴，以抛物线的对称轴为轴
D．以图中夕阳所在位置为原点，以抛物线的对称轴为轴
【变式训练3-2】人勤春来早，奋进正当时．眼下正是温室大棚育苗的好时节，大棚种植户开始了新一年的辛勤劳作，在新的一年播下希望的种子．如图是小颖爸爸在屋侧的菜地上搭建的一抛物线型蔬菜大棚，其中一端固定在离水平地面高3米的墙体A处（墙高大于4米），另一端固定在地面上的C点处，现分别以地面和墙体为x轴和y轴建立平面直角坐标系，已知大棚的高度y（米）与大棚离墙体的水平距离x（米）之间的关系式用表示，抛物线的顶点B的横坐标为2．
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)小颖的爸爸准备在抛物线上取一点P（不与A，C重合），安装一直角形钢架对大棚进行加固（点D、E分别在y轴，x轴上，且轴，轴），小颖为爸爸设计了两种方案：
方案一：如图1，将点P设在抛物线的顶点B处，安装直角形钢架对大棚进行加固；
方案二：如图2，将点P设在到墙的水平距离为5米的抛物线上，安装直角形钢架对大棚进行加固．
方案一、二中钢架DPE所需钢材长度分别记为、，请通过计算说明哪种方案更省钢材？（忽略接口处的材料损耗）
【变式训练3-3】如图某桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是．
(1)按如图所示的坐标系，求该桥拱的函数表达式；
(2)要保证高米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于米），求小船的最大宽度是多少？
(3)如图，桥拱所在的函数图象的抛物线的轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．现将新函数图象向右平移（）个单位长度，使得平移后的函数图象在之间，且随的增大而减小，请直接写出的取值范围．
【变式训练3-4】根据以下素材，探索完成任务．
设计彩虹桥中彩色灯带的悬挂方
素材一 图1是一座隐藏在漳州城市中的“彩虹桥”，也是近年来比较热门的网红打卡点，它由200多个铁架和2400多个灯笼组成． 如图2，每个铁架的横截面可以分为3段，其中是固定支架，分别与地面垂直，主体支架可近似看作一段抛物线，最高点离地面的距离是，，．
素材二 由于灯笼颜色比较单一，街道准备把灯笼替换成长度为的彩色灯带，沿抛物线（主体支架）安装（如图3），且相邻两条灯带安装点的水平间距为．为了安全起见，灯带底部与地面的距离不低于．灯带安装好后成轴对称分布．
问题解决
任务一 确定主体支架的形状 请在图2中以点A为原点建立平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式．
任务二 探究安装范围 在安全前提下，在任务一的坐标系中，确定灯带安装点的横坐标取值范围．
任务三 拟定设计方案 在同一个横截面下，最多能安装几条灯带？并求出此时最右边灯带安装点的坐标．
【变式训练3-5】请阅读信息，并解决问题：
问题 芙蓉大桥检修后需要更换吊杆及相关装饰品
查询信息 深圳有许多桥，有一座坐落于罗湖区的桥—芙蓉大桥，如图，是芙蓉大桥的一个拱，其外形酷似竖琴．桥拱固定在桥面上，拱的两侧安装了17对吊杆（俗称“琴弦”）此段桥长120米，拱高25米．
处理信息 如图是芙蓉大桥其中一拱的主视图，，分别表示是桥的起点和终点，桥拱可看成抛物线，拱的两端，位于线段上，且．一根琴弦固定在拱的对称轴处，其余16根琴弦对称固定在两侧，每侧各8根．记离拱端最近的一根为第1根，从左往右，依次记为第2根，第3根，为第9根，
测量数据 测得上桥起点与拱端水平距离为20米，最靠近拱端的“琴弦” 高9米，与之间设置7根“琴弦”，各琴弦的水平距离相等，记为米．
解决问题 任务1：建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
任务2：求琴弦与拱端的水平距离及的值．
任务3：若需要在琴弦与之间垂直安装一个如图所示高为的高音谱号艺术品，艺术品底部在桥面上，顶部恰好扣在拱桥上边缘，问该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间？
题型四：实际问题与二次函数之销售问题
【经典例题4】“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的天中，第天且为整数)的售价为(元千克)．当时，；当时，．销量(千克)与的函数关系式为，已知该产品第天的售价为元千克，第天的售价为元千克，设第天的销售额为(元)．
(1) ，_____；
(2)写出第天的销售额与之间的函数关系式；
(3)求在试销售的天中，共有多少天销售额超过元？
【变式训练4-1】昆明的蓝花楹在4月中下旬陆续绽放，引来众多游客踏青观赏，拍照留念：某超市购进了蓝花楹创意雪糕，进价为每支8元，在销售过程中发现销售量（支）与售价（元）之间存在一次函数关系（其中，且为整数），当每支创意雪糕的售价为9元时，每天的销售量为105支：当每支创意雪糕的售价是11元时，每天的销售量为95支．
(1)求与之间的函数关系式：
(2)设该商店销售该创意雪糕每天获利（元），当每支创意雪糕的售价为多少元时，每天获取的销售利润最大？最大利润是多少元？
【变式训练4-2】为了推进知识和技术创新、节能降耗，使我国的经济能够保持可持续发展．某工厂经过技术攻关后，产品质量不断提高，该产品按质量分为10个档次，生产第一档次（即最低档）的新产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件可节约能源消耗2元，但一天产量减少4件．生产该产品的档次越高，每件产品节约的能源就越多，是否获得的利润就越大？请你为该工厂的生产提出建议．
【变式训练4-3】综合和实践：设计保底利润的销售方案
【背景素材】某公司需处理100件成本为20元，售价为80元的库存产品，计划全部销售给两个经销商，以获得4400元的保底利润．经协商，公司给经销商的优惠条件是∶当购买量超过30件时，每多购买1件，每件产品售价下降1元，并规定售价不能低于40元．公司给经销商的优惠条件是：当购买量达到30件及以上时，每件产品售价降低20元．
【问题解决】为设计方案，可以通过特殊情况或满足部分条件逐步进行探究．
思考1(特值分析)∶若公司将产品平均出售给两个经销商，则可以获利多少钱？
思考2(逐步求解)∶当公司出售给经销商A的数量超过70件时，能否实现保底利润？
思考3(方案探究)：若公司要实现保底利润，请设计所有可能的销售方案．
【变式训练4-4】万达广场以每件元购进一种商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不得高于元/件，试销中发现每天的销售量（件）与每件的销售价（元）满足一次函数，且销售价与销售量的关系如下表：
销售价（元）
销售量（件）
求商场每天的销售利润（元）与每件的销售价（元）的函数关系式，如果商场要想获得最大利润，每件商品的销售价定为多少为最合适？最大销售利润为多少？
【变式训练4-5】某影像公司经过市场调研，发现制作某种毕业相册的销量y（套）是售价x（元/套）的一次函数，其售价、销售量、销售利润w（元）的三组对应值如下表：
售价x（元/套） 130 150 180
销售量y（套） 210 150 60
销售利润w（元） 10500 10500 6000
注：销售利润销售量（售价成本价）
(1)求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)求制作该毕业相册的成本价；
(3)当售价为多少元时，销售利润最大？最大利润是多少？
(4)已知影像公司在七月份为某校九年级制作这种毕业相册的过程中，尽可能让利于学生，最后所得利润为9600元，求这种毕业相册的售价．
题型五：实际问题与二次函数之投球问题
【经典例题5】掷实心球是河南中招体育考试素质类选考项目之一．王阳同学查阅资料了解到实心球从出手到落地的过程中，其竖直高度y（单位：）可近似看作水平距离x（单位：）的二次函数．他利用先进的高速抓拍相机记录了某次投掷后实心球在空中运动的过程，经测量发现，当与时实心球在同一高度，当时，当时，根据上述数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，王阳发现其图象是抛物线的一部分．
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)此次投掷过程中，实心球在空中的最大高度是 ．
(2)求满足条件的抛物线的解析式．
(3)根据中招体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于10时，即可得满分15分．王阳在此次投掷中是否得到满分？请说明理由．
【变式训练5-1】一位运动员在距篮下水平距离4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米． 若该运动员身高1.8米，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
【变式训练5-2】如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表：
x 0 1 2 m 4 5 6 7 …
y 0 6 8 n …
(1)①______，______；
②小球的落点是A，求点A的坐标．
(2)小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系．
①小球飞行的最大高度为______米；
②求v的值．
【变式训练5-3】小静和小林玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点O和A处，测得距离为，若以点O为原点，所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，小林在距离地而的B处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，运动轨迹抛物线的一部分．
(1)抛物线的最高点坐标为______；
(2)求a，c的值；
(3)小林在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，则n的整数值可为______．
【变式训练5-4】从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．
(1)小球被发射后_________时离地面的高度最大（用含的式子表示）．
(2)若小球离地面的最大高度为，求小球被发射时的速度．
(3)按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为．”已知实验楼高，请判断他的说法是否正确，并说明理由．
【变式训练5-5】如图，排球运动场的长为，球网在场地中央，高度为，排球在空中的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．小乐在场地左侧边界处（距球网）练习发球，某次发球，击球点的高度为，当排球飞行的水平距离为5m时达到最大高度．小乐同学建立了如图所示的平面直角坐标系（1个单位长度表示）．
(1)求此抛物线的解析式（不写自变量的取值范围）．
(2)通过计算判断此球是否能够过网．若能过网，请进一步判断是否会出界．
(3)小乐继续按同样的高度、角度和力度发球，要使球既能过网又不出界，请直接写出发球点距离球网的距离 d 的取值范围．（结果保留根号）
题型六：实际问题与二次函数之喷水形问题
【经典例题6】小明和小亮玩打水仗，两人相距米，两人身高都是米．以水平线为轴，小明所站立线为轴建立如图所示直角坐标系，点是小明水枪的喷口，小明的喷水枪喷出的水行走的路线为抛物线，小亮为了喷到小明，踮脚抬臂，使得喷枪的喷口坐标为，小亮水枪喷出的水行走路线为抛物线，且其过点．
(1)请通过计算说明小明能否喷到小亮；
(2)如果是抛物线的顶点，请通过计算说明小亮能否喷到小明．
【变式训练6-1】小江自制了一把水枪（图1），他将水枪固定，在喷水头距离地面1米的位置进行实验．当喷射出的水流与喷水头的水平距离为2米时，水流达到最大高度3米，该水枪喷射出的水流可以近似地看成抛物线，图2为该水枪喷射水流的平面示意图．
(1)求该抛物线的表达式．
(2)在距离喷射头水平距离3米的位置放置一高度为2米的障碍物，试问水流能越过该障碍物吗？
(3)小江通过重新调整喷头处的零件，使水枪喷射出的水流抛物线满足表达式．当时，y的值总大于2，请直接写出a的取值范围．
【变式训练6-2】根据以下素材，探索完成任务．
绿化带灌溉车的操作方案
素材1 一辆绿化带灌溉车正在作业，水从喷水口喷出，水流的上下两边缘可以抽象为两条抛物线的一部分：喷水口离开地面高1.6米，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为3米，高出喷水口0.9米，下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点．
素材2 路边的绿化带宽4米
素材3 绿化带正中间种植了行道树，为了防治病虫害、增加行道树的成活率，园林工人需要给树木“打针”．针一般打在离地面1.3米到2米的高度（不包含端点）．
问题解决
任务1 确定上边缘水流形状 建立如图所示直角坐标系，求上边缘抛物线的函数表达式．
任务2 探究灌溉范围 灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带吗？请说明理由．
任务3 拟定设计方案 灌溉时，为了不影响行道树防治病虫害，喷洒水流不能喷到“打针”区段．那么请问在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针“是否有影响，并说明理由；若你认为有影响，请给绿化部门建议，将行道树栽种在离绿化带右边沿的距离至少多少米才不影响行道树防治病虫害． （参考数据）
【变式训练6-3】如图1，为打造潴龙河夜景景观观赏通道，管理部门在河道两旁安装了喷水装置．喷水水柱要越过绿道喷入潴龙河中．图2是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面的坡比为（其中），是河底．当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离地平面距离的最大值为3米．为解决这个问题，建立如图3的平面直角坐标系．
(1)出于安全考虑，在河道的坝边A 处安装护栏，要求水柱不能喷射到护栏上，则护栏的最大高度是多少米（结果保留一位小数）？
(2)水柱落入水中会溅起美丽的水花，河水水深至少为多少米时，喷水水柱刚好落在水面上？
【变式训练6-4】某公园计划修建一个圆形喷水池，如图，水池中心处立着一个高为的实心石柱，水池周围安装了一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出，并在石柱顶点处汇合，水流在距离石柱处达到最大高度（即为顶点），且离池面的高度为．为了使水流更美观，在距离池面米的位置，围绕石柱还修了一个圆形小水池，使喷出的水在石柱顶点处汇合后，先进入小水池，再溢出．
(1)当时，求抛物线对应的函数解析式．
(2)为了使喷出的水在石柱顶点处汇合后，先进入小水池，再溢出，小水池的半径应设计在什么范围内？
【变式训练6-5】“水门礼”是民航最高级别的礼仪，寓意接风洗尘，C919国产大飞机首航抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”．如图1，两辆车向飞机喷射水柱，形成的两条水柱形状相同，均可以看作是抛物线的一部分，当两辆车喷水口的水平距离为60米，两条水柱在抛物线的顶点处相遇．建立直角坐标系，如图2，此时顶点距离地面22米，喷水口，点距地面均为4米．（喷射水柱的动力和角度均保持不变）
(1)请写出经过，，三点的抛物线的函数表达式．
(2)若两辆车同时向后退10米，两条水柱形状及喷水口到地面的距离均保持不变，两条水柱的相遇点距离地面多少米？
(3)若水柱相遇点距离地面14米，两辆车应该在（2）的条件下再分别后退多少米？
题型七：实际问题与二次函数之增长率问题
【经典例题7】某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元．
(1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率；
(2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？
【变式训练7-1】某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同．
(1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率；
(2)2014年这种产品的产量应达到多少万件？
【变式训练7-2】2022年第一季度我省总值约为10000亿元，第三季度的总值约为11025亿元．
(1)假定第二季度、第三季度我省总值的增长率相同，求这个增长率；
(2)若保持这样的增长率不变，估计到2023年第一季度，我省的总值能否突破12000亿元？并说明理由．
【变式训练7-3】芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率．
【变式训练7-4】中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元．
（1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？
（2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值．
【变式训练7-5】为了打造“清洁能源示范城市”，东营市2016年投入资金2560万元用于充电桩的安装，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金3200万元.
（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为多少？
（2）2019年东营市计划再安装A、B两种型号的充电桩共200个.已知安装一个A型充电桩需3.5万元，安装一个B型充电桩需4万元，且A型充电桩的数量不多于B型充电桩的一半.求A、B两种型号充电桩各安装多少个时，所需资金最少，最少为多少？
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1.5二次函数的实际应用七大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：实际问题与二次函数之图形问题
【经典例题1】一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以为直径的半圆O，下部是一个矩形．
(1)当米时，求隧道截面上部半圆O的面积；
(2)已知矩形相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米．
①求隧道截面的面积关于半径r（m）的函数关系式（不要求写出r的取值范围）；
②若2米3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值．（取3.14，结果精确到0.1米）
【答案】(1)（米）
(2)①；②26.1
【分析】（1）根据面积公式计算即可；
（2）①根据几何图形的面积公式可求关于面积的函数解析式；
②利用二次函数的有关性质，在自变量的取值范围内确定面积的最大值．
本题主要考查圆形面积，二次函数的性质等知识，先利用几何图形的面积公式，写出图形的面积与边长之间的关系，再用配方法或公式法求顶点坐标，结合二次函数性质与自变量的取值范围确定最大面积．
【详解】（1）
（米）；
（2）①∵，
∴，
∴．
②由①知，，
又∵2米米，
∴，
∴．
由①知，．
∵，
∴函数图象为开口向下的抛物线，函数图象对称轴，
又，由函数图象知，在对称轴左侧S随r的增大而增大，
故当时，S有最大值．
（米）．
【变式训练1-1】学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为．
(1)求与与的关系式．
(2)围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值．
(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值．
【答案】(1)；
(2)能，
(3)的最大值为800，此时
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用：
（1）根据可求出与之间的关系，根据墙的长度可确定的范围；根据面积公式可确立二次函数关系式；
（2）令，得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可 ；
（3）根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可．
【详解】（1）解：∵篱笆长，
∴，
∵
∴
∴
∵墙长42m，
∴，
解得，，
∴；
又矩形面积
；
（2）解：令，则，
整理得：，
此时，，
所以，一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴围成的矩形花圃面积能为；
∴
∴
∵，
∴；
（3）解：
∵
∴有最大值，
又，
∴当时，取得最大值，此时，
即当时，的最大值为800
【变式训练1-2】某校九年级学生在数学社团课上进行纸盒设计，利用一个边长为的正方形硬纸板，在正方形纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒．
(1)若无盖纸盒的底面积为，则剪掉的小正方形的边长为多少？
(2)折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由．
【答案】(1)剪掉的小正方形的边长为
(2)无盖纸盒的侧面积有最大值，剪掉的小正方形的边长为时，有最大值，最大值为
【分析】本题主要考查一元二次方程与几何图形面积，二次函数最值，掌握一元二次方程的解法，二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据题意和图示，设剪掉的小正方形的边长为，列式求解即可；
（2）根据题意，设剪掉的小正方形的边长为，无盖纸盒的侧面积为，结合几何图形面积的计算方法，二次函数图象最值的计算方法即可求解．
【详解】（1）解：设剪掉的小正方形的边长为，
∴无盖纸盒的底面的边长为，
∴，
解得，（负值舍去），
∴剪掉的小正方形的边长为；
（2）解：设剪掉的小正方形的边长为，无盖纸盒的侧面积为，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴无盖纸盒的侧面积有最大值，剪掉的小正方形的边长为时，有最大值，最大值为．
【变式训练1-3】如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙(墙的长度为)，另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为，设矩形场地的长为， 宽为， 面积为．
(1)分别求出y与x，s与x的函数解析式；
(2)当x为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？
(3)若购买的篱笆总长增加，矩形场地的最大总面积能否达到 若能，请求出x的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)当时，矩形场地的总面积最大，最大为；
(3)矩形场地的最大总面积不能达到，理由见解析．
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题以后，准确列出二次函数关系式，正确运用二次函数的有关性质来解题．
（1）设饲养室长为，则宽为，根据长方形面积公式即可得，由墙可用长可得的范围；
（2）把函数关系式化成顶点式，然后根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）由题意列出函数关系式，再将代入求解，最后再验证即可．
【详解】（1）根据题意得，，；
（2），
当时，矩形场地的总面积最大，最大为；
（3）由题意得，，
将代入得：，
解得：，
，
不符合要求，舍去，
矩形场地的最大总面积不能达到．
【变式训练1-4】某学校为丰富同学们的课余生活，培养学生的劳动技能，决定利用校内的旧围墙和木栏为同学们围出一片矩形“守望田”，已知旧围墙的长度为，木栏的总长为．
(1)如图，矩形守望田的一边靠墙，另三边使用了木栏，且围成的矩形守望田面积为，求利用旧墙的长；
(2)有同学在学习完二次函数的知识后，发现更好地利用旧墙，就可以让矩形守望田的面积比（1）中的大得多．为了保证安全且能种植更多的蔬菜水果，守望田要保持封闭且面积应尽可能大，请画出你的矩形守望田方案示意图，并求出矩形守望田面积的最大值．
【答案】(1)旧墙的长为
(2)作图见解析，矩形守望田面积最大值为
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用、二次函数的实际应用，涉及解一元二次方程、二次函数图象与性质、求二次函数最值等知识，读懂题意，准确得到方程及函数解析式是解决问题的关键．
（1）设旧墙的长为，则，列一元二次方程求解，根据旧围墙的长度为，即可得到答案；
（2）根据题意，作出图形，如图所示，设旧墙的长为，则，得到，由二次函数图象与性质求出最大值即可得到答案．
【详解】（1）解：设旧墙的长为，则，
，则，解得或；
旧围墙的长度为，
，即，
答：旧墙的长为；
（2）解：根据题意，作出图形，如图所示：
设旧墙的长为，则，
设矩形守望田的面积为S平方米，
，
旧围墙的长度为，
，
当时，矩形守望田面积有最大值，为，
答：矩形守望田面积最大值为．
【变式训练1-5】根据素材回答问题：
素材1 如图1，空地上有两条互相垂直的小路，中间有一正方形水池，已知水池的边长为4米，，且与的距离为10米，与的距离为8米．
素材2 现利用两条小路，再购置30米长的栅栏（图中的细实线）在空地上围出一个花圃，要求围起来的栅栏与小路相互平行（或垂直），靠小路和水池的都不需要栅栏，接口损耗忽略不计．
任务1 小明同学按如图2的设计，若米，求出花圃的面积（不包含水池的面积）．
任务2 若按如图3设计方案，点C，D，H三点共线，点G在上，当花圃的面积（不包含水池的面积）为时，求的长．
任务3 学习小组在探究的过程中还发现按如图3设计方案，当的长是____________，围成的花圃（不包含水池）的最大面积是____________．
【答案】任务1：花圃的面积为208；任务2：；任务3：当的长是，围成的花圃（不包含水池）的最大面积是
【分析】任务1：根据矩形面积公式和正方形面积公式求解即可；
任务2：由图3，设，则，由题意可得花圃面积，求解即可；
任务3：设花圃面积为y，由（2）得，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：任务1：如图2，
由题意可知，则，
矩形面积为，
()，
答：花圃的面积为208；
任务2：由图3，延长交于点，
设，
，
由题意可得花圃面积，
即，
解得：或（舍去，不符合题意），
；
任务3：设花圃面积为y，
由（2）得，即，
，
当时，有最大值为273，
答：当的长是，围成的花圃（不包含水池）的最大面积是．
题型二：实际问题与二次函数之图形运动问题
【经典例题2】如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从点A，B同时出发；
(1)经过几秒的面积等于？
(2)在运动过程中，的面积有最 值（填“大”或“小”），是 ．
【答案】(1)秒或秒后,的面积等于；
(2)大；9
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用和二次函数及其最值，根据题意，正确表示出线段长度及利用二次函数的性质求出最值，是解答本题的关键．
（1）设秒后,的面积等于,分别表示出线段和线段的长，然后根据面积为列出方程求得时间即可；
（2）根据，当时，即可取得最大值9．
【详解】（1）解：设秒后,的面积等于,则,,,
根据题意得：
，
解得:或，
答：秒或秒后,的面积等于；
（2）解：∵
，
，开口向下，
∴当时，取得最大值9，
∴经过3秒，的面积最大，最大值是9．
故答案为：大；9．
【变式训练2-1】如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为下列图像能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查动态问题与函数图象，能够明确y与x分别表示的意义，并找到几何图形与函数图象之间的关系，以及对应点是解题的关键，根据题意并结合选项分析当与重合时，及当时图象的走势，和当时图象的走势即可得到答案．
【详解】解：当与重合时，设，由题可得：
∴，，
在中，由勾股定理可得：，
∴，
∴，
∴当时，，
∵，
∴图象为开口向上的抛物线的一部分，
当在下方时，设，由题可得：
∴，，
∵，,
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
∵，
∴图象为开口向下的抛物线的一部分，
综上所述：A正确，
故选：A．
【变式训练2-2】如图，在中，，，，点和点分别是和的中点，点和点分别从点和点出发，沿着方向运动，运动速度都是1个单位秒，当点到达点时，两点间时停止运动．设的面积为，运动时间为，则与之间的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查动点问题，依托三角形面积考查二次函数的图象和分类讨论思想，取的中点F,连接
根据题意得到和，分三种情况讨论三角形的面积：（1）当时，得，结合三角形面积公式求解即可；（2）当时，得，，和，结合；（3）当时，点、都在上，结合和求面积即可．
【详解】解：如图，取的中点F，连接，
，
点、是中点，
∴，，
∵，
∴四边形为矩形，
当时，点在上，点在上，，
；
如图，当时，点在上，点在上，
，
，，，
；
如图，当时，点、都在上，
，
综上判断选项A的图象符合题意．
故选：A．
【变式训练2-3】如图，正方形的边长为，点P以的速度从点A出发沿着方向运动到点B停止，点Q以的速度沿运动到点D停止，P，Q两点同时出发，设运动的时间为，的面积为，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数及二次函数与几何动点问题的综合运用．熟练掌握动点产生的三角形面积计算方法，是解题关键．
根据题意，当Q点分别在、上运动时，形成了不同情况下的三角形，据此进一步用x将相对应的情况下的三角形的面积表示出来，最后观察解析式即可．
【详解】正方形的边长为，点P的速度为，点Q的速度为，P，Q两点同时出发，运动的时间为，
①当时，如下图，
，，
∴，
∵的面积为，
∴，
是开口向下顶点为的抛物线，
∴B、D符合；
②当时，如下图，
，
是y随x增大而减小的线段，
∴只有B符合．
故选：B．
【变式训练2-4】如图，在矩形中，，，点是的中点．动点从点出发，沿折线以的速度运动，作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为，的面积为．
(1)当时，的形状是 ．
(2)当点与点重合时，求的值．
(3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
【答案】(1)等腰直角三角形
(2)
(3)
【分析】（1）由题意得出当时，点在上，如图，作于，则，证明，得出，即可得证；
（2）求出当点与点重合时，此时点的运动的距离为，计算即可得出答案；
（3）分三个阶段：当时，点在上运动；当时，点在上运动，作于；当时，点在上运动，作于，分别利用矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式计算即可得出答案．
【详解】（1）解：当时，点运动的距离为：，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵点是的中点．
∴，
∴当时，点在中点上，
如图，作于，则，
，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的形状是等腰直角三角形；
（2）解：如图，当点与点重合时，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴此时点的运动的距离为，
∴；
（3）解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵点是的中点．
∴，
如图，当时，点在上运动，
，
此时，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；
如图，当时，点在上运动，作于，则，
，
∴四边形为矩形，
∴，
同（1）可得，，
∴，
∴的形状是等腰直角三角形，
由题意得：，
∴，
∴，
∴；
如图，当时，点在上运动，作于，
，
同理可得：四边形为矩形，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，．
【变式训练2-5】根据物理学知识可知，物体匀加（减）速运动时的路程平均速度时间t．，其中是开始时的速度，是t秒时的速度．如图，钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加．
(1)直接写出钢球在斜面滚动t秒时的速度．
(2)求钢球在斜面滚动的距离s（单位：m）关于滚动的时间t（单位：s）的函数解析式．
(3)如果斜面的长是，钢球从斜面顶端滚到底端用多长时间？
(4)在（3）的条件下，钢球从斜面顶端滚到底端后，继续在水平地面上滚动，速度每秒减少，求钢球静止时在水平地面上滚动的路程．
【答案】(1)
(2)
(3)钢球从斜面顶端滚到底端用时2秒
(4)
【分析】此题考查了二次函数和一次函数动点问题，解题的关键是正确列出表达式．
（1）根据速度每秒增加列式即可；
（2）首先求出平均速度，然后利用物体匀加（减）速运动时的路程平均速度时间t求解即可；
（3）把代入求解即可；
（4）首先表示出，然后求出平均速度，然后列式表示出，当时，即，解得，然后代入求解即可．
【详解】（1）∵速度每秒增加
∴；
（2）∵
由题意得，
∴；
（3）把代入得．
解得，
∵，
∴
答：钢球从斜面顶端滚到底端用时2秒；
（4）
当时，即
解得
将代入．
∴钢球静止时在水平地面上滚动的路程为．
题型三：实际问题与二次函数之拱桥问题
【经典例题3】如图所示，有一抛物线形状的桥洞．桥洞离水面最大距离为，跨度．
(1)请你建立适当的直角坐标系，并求出在此坐标系下的抛物线的关系式；
(2)一艘小船上平放着一些长，宽且厚度均匀的矩形木板，要使小船能通过此桥洞，则这些木板最高可堆放多少米？
【答案】(1)；
(2)这些木板最高可堆放米
【分析】本题考查了二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
（1）可令O为坐标原点，平行于的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则可设此抛物线函数关系式为，由题意可得B点的坐标为，由此可求出抛物线的函数关系式．
（2）当时，求得的值，据此求解即可．
【详解】（1）解：以O点为坐标原点，过O且平行于线段的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线的函数关系式为，
由题意可得B点坐标为，
∴，解得，
∴抛物线的函数关系式为；
（2）解：当时，，
∵，
∴木板最高可堆放(米)．
【变式训练3-1】如图，福州西湖公园上有一座造型为抛物线形状的拱桥，因其宛如玉带，从而被人称为玉带桥，经测量，玉带桥的拱顶离水面的平均高度为，若玉带桥所在的这条抛物线表示的二次函数为，则该抛物线所在的平面直角坐标系是如下的（ ）
A．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴
B．以抛物线与水面的左交点为原点，以水面为轴
C．以水面为轴，以抛物线的对称轴为轴
D．以图中夕阳所在位置为原点，以抛物线的对称轴为轴
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的实际应用，涉及二次函数图象与性质，根据题意，结合二次函数图象与性质即可得到答案，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键．
【详解】解：由抛物线的图象与性质可知，二次函数为的对称轴为轴，顶点坐标为，
该抛物线所在的平面直角坐标系是以水面为轴，以抛物线的对称轴为轴，
故选：C．
【变式训练3-2】人勤春来早，奋进正当时．眼下正是温室大棚育苗的好时节，大棚种植户开始了新一年的辛勤劳作，在新的一年播下希望的种子．如图是小颖爸爸在屋侧的菜地上搭建的一抛物线型蔬菜大棚，其中一端固定在离水平地面高3米的墙体A处（墙高大于4米），另一端固定在地面上的C点处，现分别以地面和墙体为x轴和y轴建立平面直角坐标系，已知大棚的高度y（米）与大棚离墙体的水平距离x（米）之间的关系式用表示，抛物线的顶点B的横坐标为2．
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)小颖的爸爸准备在抛物线上取一点P（不与A，C重合），安装一直角形钢架对大棚进行加固（点D、E分别在y轴，x轴上，且轴，轴），小颖为爸爸设计了两种方案：
方案一：如图1，将点P设在抛物线的顶点B处，安装直角形钢架对大棚进行加固；
方案二：如图2，将点P设在到墙的水平距离为5米的抛物线上，安装直角形钢架对大棚进行加固．
方案一、二中钢架DPE所需钢材长度分别记为、，请通过计算说明哪种方案更省钢材？（忽略接口处的材料损耗）
【答案】(1)
(2)方案一更省钢材，见解析
【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
（1）由题意可得，将其代入表达式结合抛物线对称轴联立方程组即可
（2）分别将点p在顶点上时和横坐标为5时，代入解析式，求出纵坐标，根据轴，轴，即可得出答案．
【详解】（1）由题知，
将代入，得，
抛物线的顶点B的横坐标为2．
，即，
解得，
抛物线的函数表达式为．
（2）方案一：抛物线的顶点B的横坐标为2．
，
将点P设在抛物线的顶点B处，
轴，轴，
，
（米）．
方案二：点P设在到墙的水平距离为5米的抛物线上，
即当时，，
，
轴，轴，
，
（米）．
．
综上可知，方案一更省钢材．
【变式训练3-3】如图某桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是．
(1)按如图所示的坐标系，求该桥拱的函数表达式；
(2)要保证高米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于米），求小船的最大宽度是多少？
(3)如图，桥拱所在的函数图象的抛物线的轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．现将新函数图象向右平移（）个单位长度，使得平移后的函数图象在之间，且随的增大而减小，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)小船的最大宽度为米
(3)或
【分析】（1）先求出顶点的坐标，再根据待定系数法求解即可得解；
（2）二次函数的表达式中，令得，求解该方程即可得解；
（3）根据平移规律得到点平移后的对应点为，对称轴平移后的对称轴为，点平移后的对应点为，从而得或上，满足随的增大而减小，解不等式组即可得解．
【详解】（1）解：∵，且点在轴上，
∴，
根据抛物线的特点确定抛物线的对称轴为直线，
∴点，
设抛物线的解析式为，把原点代入得
，
解得，
∴此二次函数的表达式．
（2）解：∵二次函数的表达式，
∴令得：
，
解得：，，
∴小船的最大宽度为：米．
（3）解：根据平移规律得到点平移后的对应点为，对称轴平移后的对称轴为，点平移后的对应点为，根据图像性质，得到函数在或上，满足随的增大而减小，
∴或，
解得或，
故的取值范围是或．
【变式训练3-4】根据以下素材，探索完成任务．
设计彩虹桥中彩色灯带的悬挂方
素材一 图1是一座隐藏在漳州城市中的“彩虹桥”，也是近年来比较热门的网红打卡点，它由200多个铁架和2400多个灯笼组成． 如图2，每个铁架的横截面可以分为3段，其中是固定支架，分别与地面垂直，主体支架可近似看作一段抛物线，最高点离地面的距离是，，．
素材二 由于灯笼颜色比较单一，街道准备把灯笼替换成长度为的彩色灯带，沿抛物线（主体支架）安装（如图3），且相邻两条灯带安装点的水平间距为．为了安全起见，灯带底部与地面的距离不低于．灯带安装好后成轴对称分布．
问题解决
任务一 确定主体支架的形状 请在图2中以点A为原点建立平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式．
任务二 探究安装范围 在安全前提下，在任务一的坐标系中，确定灯带安装点的横坐标取值范围．
任务三 拟定设计方案 在同一个横截面下，最多能安装几条灯带？并求出此时最右边灯带安装点的坐标．
【答案】任务一：；任务二：；任务三：
【分析】本题考查二次函数的应用．理解题意，用顶点式表示出抛物线的解析式是解决本题的关键．根据两个灯带之间的间隔判断出灯带的个数是解决本题的易错点；根据灯带之间的间隔和自变量的取值范围判断出最右边灯带的横坐标是解决本题的难点．
（1）易得抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把点A的坐标代入可得a的值，即可求得抛物线的解析式；
（2）根据支架的高度和灯带底部与地面距离的限定可得y应取0.25，求得相应的x的值，即可判断出灯带安装点的横坐标取值范围；
（3）取（2）中抛物线的得到的横坐标的差即为能安装灯带的距离，除以，得到相应的间隔，加1，即为可安装灯带的个数；进而判断出安装灯带后剩余的距离，除以2，取减去得到的数值，即为最右边灯带的横坐标，代入抛物线解析式，可得纵坐标．
【详解】解：任务一：建立坐标系，
由已知可得顶点的横坐标为2，顶点的纵坐标为，点，
设地物的解析式为，
，
，
故抛物线的解析式为；
任务二：由于固定支架长为，因此要使灯带底部与地面的距离不低于，只需要让安装点到x轴的距离不小于．
令，
解得：或，
因此安装点的横坐标取值范围；
任务三：由于，因此最多可以安装条灯带，
由对称性可得最右边灯带的横坐标为，
，
故最右边灯带安装点的坐标为．
【变式训练3-5】请阅读信息，并解决问题：
问题 芙蓉大桥检修后需要更换吊杆及相关装饰品
查询信息 深圳有许多桥，有一座坐落于罗湖区的桥—芙蓉大桥，如图，是芙蓉大桥的一个拱，其外形酷似竖琴．桥拱固定在桥面上，拱的两侧安装了17对吊杆（俗称“琴弦”）此段桥长120米，拱高25米．
处理信息 如图是芙蓉大桥其中一拱的主视图，，分别表示是桥的起点和终点，桥拱可看成抛物线，拱的两端，位于线段上，且．一根琴弦固定在拱的对称轴处，其余16根琴弦对称固定在两侧，每侧各8根．记离拱端最近的一根为第1根，从左往右，依次记为第2根，第3根，为第9根，
测量数据 测得上桥起点与拱端水平距离为20米，最靠近拱端的“琴弦” 高9米，与之间设置7根“琴弦”，各琴弦的水平距离相等，记为米．
解决问题 任务1：建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
任务2：求琴弦与拱端的水平距离及的值．
任务3：若需要在琴弦与之间垂直安装一个如图所示高为的高音谱号艺术品，艺术品底部在桥面上，顶部恰好扣在拱桥上边缘，问该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间？
【答案】任务1：；任务2：琴弦与拱端的水平距离为8米，的值为4米；任务3：该艺术品顶部应该安装在第5根和第6根琴弦之间
【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的表达式及性质是解题的关键．
任务1：以桥所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则点为原点，令抛物线的解析式为，将点代入中即可得出答案；
任务2：将代入即可得出的长度，再根据线段的和差即可得出的长度，进而求出的值；
任务3：将代入出的值，再进行判断该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间．
【详解】解：任务
如图，以桥所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系，
则点为原点，
由题意得，，，
则点的坐标为，
令抛物线的解析式为，
将点代入中得，
，
解得：，
则抛物线的解析式为．
任务（米），
将代入得，
，（舍），
（米，
（米），（米），
琴弦与拱端的水平距离为8米，的值为4米．
任务3：将代入得，
，（舍），
，
该艺术品顶部应该安装在第5根和第6根琴弦之间．
题型四：实际问题与二次函数之销售问题
【经典例题4】“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的天中，第天且为整数)的售价为(元千克)．当时，；当时，．销量(千克)与的函数关系式为，已知该产品第天的售价为元千克，第天的售价为元千克，设第天的销售额为(元)．
(1) ，_____；
(2)写出第天的销售额与之间的函数关系式；
(3)求在试销售的天中，共有多少天销售额超过元？
【答案】(1)，
(2)
(3)在试销售的天中，共有天销售额超过元
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用；
（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据销售额等于销量乘以售价，分段列出函数关系式，即可求解；
（3）根据题意，根据，列出方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，将，代入，
∴
解得：
∴
故答案为：，．
（2）解：依题意，
当时，
当时，
∴
（3）解：依题意，当时，
当时，
解得：
为正整数，
∴第天至第天，销售额超过元
（天）
答：在试销售的天中，共有天销售额超过元
【变式训练4-1】昆明的蓝花楹在4月中下旬陆续绽放，引来众多游客踏青观赏，拍照留念：某超市购进了蓝花楹创意雪糕，进价为每支8元，在销售过程中发现销售量（支）与售价（元）之间存在一次函数关系（其中，且为整数），当每支创意雪糕的售价为9元时，每天的销售量为105支：当每支创意雪糕的售价是11元时，每天的销售量为95支．
(1)求与之间的函数关系式：
(2)设该商店销售该创意雪糕每天获利（元），当每支创意雪糕的售价为多少元时，每天获取的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)当每支创意雪糕的售价为19元时，每天获取的销售利润最大，最大利润是605元．
【分析】本题主要考查可用待定系数法求一次函数解析式，二次函数的应用等知识．
（1）用待定系数法求一次函数解析式即可．
（2）利用每天的利润每支雪糕的利润每天的销量，即可得出w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质即可得出结果．
【详解】（1）解：售量（支）与售价（元）之间存在一次函数关系为：
将，代入可得：
解得：，
故y与x之间的函数关系式为．
（2）根据题意有：
∵，且x为整数，
∴当时，w有最大值，最大值为605，
答：当每支创意雪糕的售价为19元时，每天获取的销售利润最大，最大利润是605元．
【变式训练4-2】为了推进知识和技术创新、节能降耗，使我国的经济能够保持可持续发展．某工厂经过技术攻关后，产品质量不断提高，该产品按质量分为10个档次，生产第一档次（即最低档）的新产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件可节约能源消耗2元，但一天产量减少4件．生产该产品的档次越高，每件产品节约的能源就越多，是否获得的利润就越大？请你为该工厂的生产提出建议．
【答案】并不是生产该产品的档次越高，获得的利润就越大．建议：若想获得最大利润，应生产第8档次的产品．（其他建议，只要合理即可）
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据题意列出二次函数解析式成为解题的关键．
先找出等量关系“一天的总利润＝一天生产的产品件数×每件产品的利润”、“每件可节约能源消耗2元”，然后据此列出二次函数解析式，再利用二次函数的性质确定最大利润，据此此提出自己认为合理的建议即可．
【详解】解：设该厂生产第x档的产品一天的总利润为y元，
则有．
当时，．
由此可见，并不是生产该产品的档次越高，获得的利润就越大．
建议：若想获得最大利润，应生产第8档次的产品．（其他建议，只要合理即可）
【变式训练4-3】综合和实践：设计保底利润的销售方案
【背景素材】某公司需处理100件成本为20元，售价为80元的库存产品，计划全部销售给两个经销商，以获得4400元的保底利润．经协商，公司给经销商的优惠条件是∶当购买量超过30件时，每多购买1件，每件产品售价下降1元，并规定售价不能低于40元．公司给经销商的优惠条件是：当购买量达到30件及以上时，每件产品售价降低20元．
【问题解决】为设计方案，可以通过特殊情况或满足部分条件逐步进行探究．
思考1(特值分析)∶若公司将产品平均出售给两个经销商，则可以获利多少钱？
思考2(逐步求解)∶当公司出售给经销商A的数量超过70件时，能否实现保底利润？
思考3(方案探究)：若公司要实现保底利润，请设计所有可能的销售方案．
【答案】思考1：4000元；思考2：不能实现保底利润；思考3：经销商A购买件（包括20件，40件），经销商B购买件（包括80件，60件），能实现保底利润．
【分析】本体考查二次函数的应用，解决问题的关键是读懂题意，列出函数关系，利用函数的性质求解．
思考1：公司将产品平均出售给两个经销商，每个经销商购买件，再按优惠条件计算即可；
思考2：设公司出售给经销商A的数量件，其中，则出售给经销商B的数量件，列出函数关系，根据函数的性质即可求解；
思考3：设公司出售给经销商A的数量件，则出售给经销商B的数量件，分三种情况，当，则，当，即时，当时，分别讨论求解即可．
【详解】解：思考1：公司将产品平均出售给两个经销商，每个经销商购买件，
则元，
即：公司将产品平均出售给两个经销商，可以获利4000元；
思考2：设公司出售给经销商A的数量件，其中，则出售给经销商B的数量件，
则公司可获利
，
当时，，
∵，
∴，则随增大而减小，即获利小于3200元，
∴不能实现保底利润；
思考3：设公司出售给经销商A的数量件，则出售给经销商B的数量件，
①当，则，
由题意可得：公司可获利
当时，，
∵，则随增大而增大，
∴当时，能实现保底利润；
②当，即时，
由题意可得：公司可获利
当时，（不符题意，舍去），
∵，则当时，随增大而减小，
∴当时，能实现保底利润；
③当时，由思考2可知，不能实现保底利润；
综上，经销商A购买件（包括20件，40件），经销商B购买件（包括80件，60件），能实现保底利润．
【变式训练4-4】万达广场以每件元购进一种商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不得高于元/件，试销中发现每天的销售量（件）与每件的销售价（元）满足一次函数，且销售价与销售量的关系如下表：
销售价（元）
销售量（件）
求商场每天的销售利润（元）与每件的销售价（元）的函数关系式，如果商场要想获得最大利润，每件商品的销售价定为多少为最合适？最大销售利润为多少？
【答案】每件销售价为20元时最合适，每天的销售利润最大，最大销售利润是200元．
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，根据题意列出函数关系式，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键．设与之间的函数关系式为，把代入求出k和b的值即可得出函数关系式，根据“总利润＝每件的利润×销售量”可得函数解析式，利用二次函数的性质进一步求解可得．
【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为，
把代入得：
，
解得：，
∴与之间的函数关系式为，
∵销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，
∴；
根据题意可得：
∵，
∴当时，w随x的增大而增大，
∵，
∴当时，w取最大值，此时，
∴每件销售价为20元时最合适，每天的销售利润最大，最大销售利润是200元．
【变式训练4-5】某影像公司经过市场调研，发现制作某种毕业相册的销量y（套）是售价x（元/套）的一次函数，其售价、销售量、销售利润w（元）的三组对应值如下表：
售价x（元/套） 130 150 180
销售量y（套） 210 150 60
销售利润w（元） 10500 10500 6000
注：销售利润销售量（售价成本价）
(1)求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)求制作该毕业相册的成本价；
(3)当售价为多少元时，销售利润最大？最大利润是多少？
(4)已知影像公司在七月份为某校九年级制作这种毕业相册的过程中，尽可能让利于学生，最后所得利润为9600元，求这种毕业相册的售价．
【答案】(1)y关于x的函数解析式为
(2)制作该毕业相册的成本价为80元/套
(3)当售价是140元时，销售利润最大，最大利润是10800元
(4)这种毕业相册的售价为120元/套
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数和二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用．
（1）设y关于x的函数解析式为，代入表中相关数据得二元一次方程组，求解即可；
（2）设制作该毕业相册的成本价为m元/套，则，代入表中相关数据，得到关于m的方程，求解即可；
（3）根据每件的利润乘以销售量等于销售利润，得关于x的二次函数，根据二次函数的性质可得答案；
（4）根据“当所得利润为9600元”即可列出一元二次方程，求解并结合题意取舍即可解答．
【详解】（1）解：由题意可设y关于x的函数解析式为，
由表格可知当时，；当时，，
∴
解得：
∴y关于x的函数解析式为；
（2）设制作该毕业相册的成本价为m元/套
由题意可知：
由表可得当时，，，
∴，
解得：
∴制作该毕业相册的成本价为80元/套；
（3）解：由题意可知：
∵
∴当时，w有最大值，最大值为10800
答：当售价是140元时，销售利润最大，最大利润是10800元．
（4）解：当所得利润为9600元，即时，
，
解得：，，
∵由于影像公司尽可能让利于学生，
∴，
∴这种毕业相册的售价为120元/套．
题型五：实际问题与二次函数之投球问题
【经典例题5】掷实心球是河南中招体育考试素质类选考项目之一．王阳同学查阅资料了解到实心球从出手到落地的过程中，其竖直高度y（单位：）可近似看作水平距离x（单位：）的二次函数．他利用先进的高速抓拍相机记录了某次投掷后实心球在空中运动的过程，经测量发现，当与时实心球在同一高度，当时，当时，根据上述数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，王阳发现其图象是抛物线的一部分．
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)此次投掷过程中，实心球在空中的最大高度是 ．
(2)求满足条件的抛物线的解析式．
(3)根据中招体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于10时，即可得满分15分．王阳在此次投掷中是否得到满分？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)王阳在此次投掷中得到满分
【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．
（1）根据题意得到抛物线的对称轴为直线根据顶点坐标公式求得顶点坐标，即可求得实心球在空中的最大高度；
（2）利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）令，计算出实心球落地距离，然后作出判断即可．
【详解】（1）解：∵当 与 时实心球在同一高度，
∴抛物线的对称轴为直线
∴当时，实心球在空中的高度最大，
∴实心球在空中的最大高度是，
故答案为: ；
（2）设抛物线的解析式为，把, 代入得
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（3）解：王阳在此次投掷中得到满分.理由如下：
令则
解得 (不合题意，舍去).
∴王阳在此次投掷中得到满分.
【变式训练5-1】一位运动员在距篮下水平距离4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米． 若该运动员身高1.8米，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
【答案】0.2米
【分析】建立直角坐标系, 设解析式为：,待定系数法求出解析式，当时，，结合题意作差即可；本题主要考查二次函数的实际问题，合理建立直角坐标系是解题关键．
【详解】如图建立直角坐标系．
∵点是这段抛物线的顶点
∴设解析式为：，
代入点，可求得：
∴，
即
当时，，
∴距地面高度是米．
【变式训练5-2】如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表：
x 0 1 2 m 4 5 6 7 …
y 0 6 8 n …
(1)①______，______；
②小球的落点是A，求点A的坐标．
(2)小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系．
①小球飞行的最大高度为______米；
②求v的值．
【答案】(1)①3，6；②；
(2)①8，②
【分析】本题主要考查二次函数的应用以及从图象和表格中获取数据，
（1）①由抛物线的顶点坐标为可建立过于a，b的二元一次方程组，求出a，b的值即可；②联立两函数解析式求解，可求出交点A的坐标；
（2）①根据第一问可知最大高度为8米；
②将小球飞行高度与飞行时间的函数关系式化简为顶点式即可求得v值．
【详解】（1）解：①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知：抛物线顶点坐标为，
∴，
解得：，
∴二次函数解析式为，
当时，，
解得：或（舍去），
∴，
当时，，
故答案为：3，6．
②联立得：，
解得：或 ，
∴点A的坐标是，
（2）①由题干可知小球飞行最大高度为8米，
故答案为：8；
②，
则，
解得（负值舍去）．
【变式训练5-3】小静和小林玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点O和A处，测得距离为，若以点O为原点，所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，小林在距离地而的B处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，运动轨迹抛物线的一部分．
(1)抛物线的最高点坐标为______；
(2)求a，c的值；
(3)小林在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，则n的整数值可为______．
【答案】(1)
(2)，
(3)4或5
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，读懂题意，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
（1）依据题意，由抛物线可得最高点坐标，进而可以得解；
（2）依据题意，可得，将代入抛物线，从而得解析式，再令，可得的值；
（3）依据题意，根据点的取值范围代入解析式可求解．
【详解】（1）由题意，抛物线，
抛物线 的最高点坐标为的．
故答案为：．
（2）由题得，．
将代入抛物线，
．
抛物线．
当时，．
（3）小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，
此时，点的坐标范围是，，，
当经过时，，
解得：．
当经过时，，
解得：，
，
为整数，
符合条件的的整数值为4和5．
故答案为：4或5．
【变式训练5-4】从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．
(1)小球被发射后_________时离地面的高度最大（用含的式子表示）．
(2)若小球离地面的最大高度为，求小球被发射时的速度．
(3)按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为．”已知实验楼高，请判断他的说法是否正确，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)小明的说法不正确，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：
（1）把函数解析式化成顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可；
（2）把，代入求解即可；
（3）由（2），得，把代入，求出t的值，即可作出判断.
【详解】（1）解：
，
∴当时，h最大，
故答案为：；
（2）解：根据题意，得
当时，，
∴，
∴（负值舍去）；
（3）解：小明的说法不正确．
理由如下：
由（2），得，
当时，，
解方程，得，，
∴两次间隔的时间为，
∴小明的说法不正确．
【变式训练5-5】如图，排球运动场的长为，球网在场地中央，高度为，排球在空中的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．小乐在场地左侧边界处（距球网）练习发球，某次发球，击球点的高度为，当排球飞行的水平距离为5m时达到最大高度．小乐同学建立了如图所示的平面直角坐标系（1个单位长度表示）．
(1)求此抛物线的解析式（不写自变量的取值范围）．
(2)通过计算判断此球是否能够过网．若能过网，请进一步判断是否会出界．
(3)小乐继续按同样的高度、角度和力度发球，要使球既能过网又不出界，请直接写出发球点距离球网的距离 d 的取值范围．（结果保留根号）
【答案】(1)
(2)能过网，会出界，利用见解析
(3)
【分析】本题考查二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键．
（1）根据排球飞行的水平距离为时达到最大高度，求出抛物线的顶点坐标为，再用待定系数法求解即可；
（2）计算当时，的值，与比较；再根据右边界的坐标为，令，求出x值与9比较即可；
（3）小乐继续按同样的高度、角度和力度发球，设击出的排球轨迹为，求解出击出排球轨迹的临界点，即可得解．
【详解】（1）解：∵当排球飞行的水平距离为时达到最大高度，，
∴抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
∵点在抛物线上，
∴，解得，
∴．
（2）解：当时，，
∴此球能够过网；
根据题意得右边界的坐标为
∴当时，，
解得，（舍去），
∵，
∴不会落在界内，会出界．
（3）解：小乐继续按同样的高度、角度和力度发球，
∴设击出的排球轨迹为，
当该轨迹经过球网的顶端坐标时，
，解得，（舍去）
∴，
此时当时，解得：（舍去）或．
∴，
当该轨迹经过右边界的坐标时，，
解得（不符合题意的根舍去），
∴，
此时当时，或（舍去），
∴，
经过分析，若排球既能过网（不触网），又不出界（不接触边界），．
题型六：实际问题与二次函数之喷水形问题
【经典例题6】小明和小亮玩打水仗，两人相距米，两人身高都是米．以水平线为轴，小明所站立线为轴建立如图所示直角坐标系，点是小明水枪的喷口，小明的喷水枪喷出的水行走的路线为抛物线，小亮为了喷到小明，踮脚抬臂，使得喷枪的喷口坐标为，小亮水枪喷出的水行走路线为抛物线，且其过点．
(1)请通过计算说明小明能否喷到小亮；
(2)如果是抛物线的顶点，请通过计算说明小亮能否喷到小明．
【答案】(1)小明能喷到小亮，理由见解析；
(2)小亮能喷到小明，理由见解析．
【分析】（）根据抛物线过点，代入求出，得出抛物线解析式，在将代入解析式求出即可判断；
（）根据抛物线的顶点坐标为，设抛物线为，再根据抛物线过点，即可求出抛物线解析式，再算出时，的值，即可判断；
本题考查了二次函数的实际应用，熟悉掌握二次函数图象上点的坐标特征及性质是解题的关键．
【详解】（1）∵抛物线过点，
∴，
解得：，
∴抛物线，
∵当时，，
∵且小于，
∴小明能喷到小亮；
（2）∵抛物线的顶点坐标为，
∴设抛物线
∵抛物线过点，
∴ ，
解得：，
∴抛物线为，
又∵当时，，
∵且小于，
∴小亮能喷到小明．
【变式训练6-1】小江自制了一把水枪（图1），他将水枪固定，在喷水头距离地面1米的位置进行实验．当喷射出的水流与喷水头的水平距离为2米时，水流达到最大高度3米，该水枪喷射出的水流可以近似地看成抛物线，图2为该水枪喷射水流的平面示意图．
(1)求该抛物线的表达式．
(2)在距离喷射头水平距离3米的位置放置一高度为2米的障碍物，试问水流能越过该障碍物吗？
(3)小江通过重新调整喷头处的零件，使水枪喷射出的水流抛物线满足表达式．当时，y的值总大于2，请直接写出a的取值范围．
【答案】(1)
(2)水流能越过该障碍物
(3)
【分析】本题考查抛物线的应用，掌握用待定系数法求抛物线解析式与二次函数图象性质是解题的关键．
（1）用待定系数法求解即可；
（2）把，代入抛物线解析式，求出y值，再与2比较，即可得出结论；
（3）先求得抛物线的对称轴为．再分两种情况：①当，即时，②当，即时，分别求解即可．
【详解】（1）解：设该抛物线的表达式为．
将点代入，得，解得，
∴该抛物线的表达式为．
（2）解：当时，．
∵，
∴水流能越过该障碍物．
（3）解：∵抛物线的对称轴为．
①当，即时，
将代入，得，解得，
∴a的取值范围为．
②当，即时，
将代入，得，解得，
∴a的取值范围为．
综上所述，a的取值范围为．
【变式训练6-2】根据以下素材，探索完成任务．
绿化带灌溉车的操作方案
素材1 一辆绿化带灌溉车正在作业，水从喷水口喷出，水流的上下两边缘可以抽象为两条抛物线的一部分：喷水口离开地面高1.6米，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为3米，高出喷水口0.9米，下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点．
素材2 路边的绿化带宽4米
素材3 绿化带正中间种植了行道树，为了防治病虫害、增加行道树的成活率，园林工人需要给树木“打针”．针一般打在离地面1.3米到2米的高度（不包含端点）．
问题解决
任务1 确定上边缘水流形状 建立如图所示直角坐标系，求上边缘抛物线的函数表达式．
任务2 探究灌溉范围 灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带吗？请说明理由．
任务3 拟定设计方案 灌溉时，为了不影响行道树防治病虫害，喷洒水流不能喷到“打针”区段．那么请问在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针“是否有影响，并说明理由；若你认为有影响，请给绿化部门建议，将行道树栽种在离绿化带右边沿的距离至少多少米才不影响行道树防治病虫害． （参考数据）
【答案】任务1：；
任务2：灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由见解析
任务3：有影响，将行道树栽种在离绿化带右边沿的距离至少2.46米才不影响行道树防治病虫害
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，求函数值，二次函数的性质；
任务一：待定系数法求解析式，即可求解；
任务二：根据题意，求得下边缘的抛物线解析式为，分别令，得出抛物线与坐标轴的交点，两交点的距离，即为所求；
任务三：依题意，绿化带正中间种植了行道树，令，求得的值，然后令，进而得出结论．
【详解】解：（1）∵上边缘抛物线的顶点坐标为，
∴设上边缘抛物线的函数表达式为，
将代入得，解得，
∴；
（2）上边缘抛物线的表达式：，将代入得，
解得（舍去），，
∵下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点，
∴下边缘抛物线的表达式：，
将代入得，解得（舍去），，
∵路边的绿化带宽4米，（米），
∴灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带；
（3）根据题意得，将代入，
∴，
∴有影响，
当时，，解得，
∴
答：将行道树栽种在离绿化带右边沿的距离至少2.46米才不影响行道树防治病虫害．
【变式训练6-3】如图1，为打造潴龙河夜景景观观赏通道，管理部门在河道两旁安装了喷水装置．喷水水柱要越过绿道喷入潴龙河中．图2是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面的坡比为（其中），是河底．当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离地平面距离的最大值为3米．为解决这个问题，建立如图3的平面直角坐标系．
(1)出于安全考虑，在河道的坝边A 处安装护栏，要求水柱不能喷射到护栏上，则护栏的最大高度是多少米（结果保留一位小数）？
(2)水柱落入水中会溅起美丽的水花，河水水深至少为多少米时，喷水水柱刚好落在水面上？
【答案】(1)护栏的最大高度为米；
(2)河水水深至少为米时，喷水水柱刚好落在水面上．
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握二次函数的性质是关键．
（1）依据题意得二次函数的顶点坐标为，设该二次函数的解析式为，
再结合函数经过原点，求出的值，得到二次函数的解析式为： 从而可得当时， ，进而可以判断得解；
（2）依据题意，可得， 再求得B的坐标为再设的解析式为建立方程组可得进而可得直线，再与抛物线解析式建立方程组，进而计算可以判断得解．
【详解】（1）解：由题意得：二次函数的顶点坐标为，
∴设该二次函数的解析式为：，
∵函数经过原点，
，
解得：，
∴该二次函数的解析式为：，
∴当 时，
∴护栏的最大高度为米．
（2）解：设点的横坐标为，则，
∵米，坝面的坡比为，
∴，
∴点B的坐标为，
又由题意可知，，
设的解析式为，
，
，
，
，
解得：(不合题意，舍去)，
当时，，
∴河水降至离地平面距离为米时，水柱刚好落在水面上，
∴河水水深为米时，水柱刚好落在水面上．
【变式训练6-4】某公园计划修建一个圆形喷水池，如图，水池中心处立着一个高为的实心石柱，水池周围安装了一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出，并在石柱顶点处汇合，水流在距离石柱处达到最大高度（即为顶点），且离池面的高度为．为了使水流更美观，在距离池面米的位置，围绕石柱还修了一个圆形小水池，使喷出的水在石柱顶点处汇合后，先进入小水池，再溢出．
(1)当时，求抛物线对应的函数解析式．
(2)为了使喷出的水在石柱顶点处汇合后，先进入小水池，再溢出，小水池的半径应设计在什么范围内？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数的应用；
（1）通过顶点B坐标，A，待定系数法求得二次函数解析式；
（2）根据题意，令，解一元二次方程求出x，保留符合题意的x值，即解得答案．
【详解】（1）根据题意，顶点坐标为，
当时，设二次函数解析式为：，
函数过点，
代入解析式得，
解得：，
二次函数解析式为：；
（2）令，则，
解得：或（舍），
∴小水池的半径．
【变式训练6-5】“水门礼”是民航最高级别的礼仪，寓意接风洗尘，C919国产大飞机首航抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”．如图1，两辆车向飞机喷射水柱，形成的两条水柱形状相同，均可以看作是抛物线的一部分，当两辆车喷水口的水平距离为60米，两条水柱在抛物线的顶点处相遇．建立直角坐标系，如图2，此时顶点距离地面22米，喷水口，点距地面均为4米．（喷射水柱的动力和角度均保持不变）
(1)请写出经过，，三点的抛物线的函数表达式．
(2)若两辆车同时向后退10米，两条水柱形状及喷水口到地面的距离均保持不变，两条水柱的相遇点距离地面多少米？
(3)若水柱相遇点距离地面14米，两辆车应该在（2）的条件下再分别后退多少米？
【答案】(1)
(2)消防车后退10米后两条水柱相遇点距地面米
(3)消防车后退10米后两条水柱相遇点距地面米
【分析】本题考查二次函数的实际应用；
（1）根据题干的平面直角坐标系，给出点、的坐标，设经过点A，B，H的抛物线的解析式为，将点、的坐标代入解析式求出解析式；
（2）根据题意利用平移的规律给出经过点，的抛物线解析式，得出的纵坐标即可解题；
（3）根据题意设两辆车应该在（2）的条件下再分别后退米，则经过点，的抛物线的解析式为，将代入解析式，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：设经过点，，的抛物线的解析式为，
根据题意得，，将其代入得：，解得，
，
（2）经过点，的抛物线是由抛物线向右平移得到的，
经过点，的抛物线的顶点为，
经过点，的抛物线的解析式为，
将代入，得，，
消防车后退10米后两条水柱相遇点距地面米．
（3）解：设两辆车应该在（2）的条件下再分别后退米，则经过点，的抛物线的解析式为，
将代入，
即，
解得：（舍去）或
消防车再分别后退10米后两条水柱相遇点距地面米．
题型七：实际问题与二次函数之增长率问题
【经典例题7】某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元．
(1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率；
(2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)19元；250元
【分析】（1）设商城每次降价的百分率为x，根据题意，得，解方程即可．
（2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元，利用每天销售获得的总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，构造二次函数，根据抛物线的最值，结合每个商品的售价不低于进价，解之即可得出x的值即可求得．
本题考查了一元二次方程的应用-平均增长率问题，二次函数的应用，找准等量关系，正确构造二次函数是解题的关键．
【详解】（1）设商城每次降价的百分率为x，
根据题意，得，
解得（舍去），
答：商城每次降价的百分率为为．
（2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元，
根据题意，得
，
∴当时，利润最大，250(元),
答：定价为19元，最大利润为250元．
【变式训练7-1】某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同．
(1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率；
(2)2014年这种产品的产量应达到多少万件？
【答案】(1)这种产品产量的年增长率为
(2)2014年这种产品的产量应达到110万件
【分析】（1）通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率；
（2）依据求得的增长率，代入2014年产量的表达式即可解决．
【详解】（1）解：设这种产品产量的年增长率为x，
根据题意列方程得，
解得，（舍去）．
答：这种产品产量的年增长率为．
（2）解：（万件）．
答：2014年这种产品的产量应达到110万件．
【变式训练7-2】2022年第一季度我省总值约为10000亿元，第三季度的总值约为11025亿元．
(1)假定第二季度、第三季度我省总值的增长率相同，求这个增长率；
(2)若保持这样的增长率不变，估计到2023年第一季度，我省的总值能否突破12000亿元？并说明理由．
【答案】(1)5%
(2)能突破，理由见解析
【分析】（1）设这个增长率为x，利用第三季度的GDP总值=第一季度的总值第二季度、第三季度我省GDP总值的增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）利用预计2023年第一季度我省的总值=2022年第三季度我省的总值每季度我省总值的增长率，可求出预计2023年第一季度我省的总值，再将其与12000亿元比较后即可得出结论．
【详解】（1）设第二季度、第三季度我省总值的增长率为，根据题意得
，
解得，（不合题意，舍去），
答：第二季度、第三季度我省总值的增长率为5%；
（2）到2023年第一季度，我省的总值能突破12000亿元，
理由：2023年第一季度我省总值为（亿元）（亿元），
∴到2023年第一季度，我省的总值能突破12000亿元．
【变式训练7-3】芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用经过两次降价后的价格原价每次降价的百分率，即可找出与之间了函数关系式；
（2）根据该芯片经过两次降价后每块芯片单价为元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】（1）∵每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）
∴依题意得：，
∴与之间的函数关系式为；
（2）依题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴每次降价的百分率为20%．
【变式训练7-4】中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元．
（1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？
（2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值．
【答案】（1）80；（2）20．
【分析】（1）设A、B两种房间入住分别为x、y间，然后根据题目已知条件列方程组进行求解计算即可；
（2）先根据已知条件算出A、B两种房间的入住间数，然后算出总营业收入，然后根据算出对比与2月的增长率，列式计算即可得到答案．
【详解】解：（1）设A、B两种房间入住分别为x、y间，由题意可知：
把①×200得
用②-③得：，解得
把代入①中，解得
故入住A房间的有80间．
（2）由题意得：
下调后A房间的房价=，B房间的房价=
由题目已知条件和（1）中计算的结果知：
下调后A房间的入住间数=，B房间的入住间数=
故三月份的总收入=
又∵三月份比二月份总营业收入增加了
∴
即
解得：，（舍去）
故答案为：20．
【变式训练7-5】为了打造“清洁能源示范城市”，东营市2016年投入资金2560万元用于充电桩的安装，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金3200万元.
（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为多少？
（2）2019年东营市计划再安装A、B两种型号的充电桩共200个.已知安装一个A型充电桩需3.5万元，安装一个B型充电桩需4万元，且A型充电桩的数量不多于B型充电桩的一半.求A、B两种型号充电桩各安装多少个时，所需资金最少，最少为多少？
【答案】（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为50%；（2）A、B两种型号充电桩分别安装66个，134个时所需资金最少，最少为767万元
【分析】(1)设从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为x，根据等量关系，列出方程，即可求解；
(2)设安装A型充电桩a个，则安装B型充电桩个，所需资金为万元，列不等式，求出a的范围，再求出的函数解析式，进而可求出答案.
【详解】（1）设从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为x，
根据题意得：，
解得:，（舍去）.
答：从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为50%；
（2）设安装A型充电桩a个，则安装B型充电桩个，所需资金为万元.
根据题意，得:，
解得:，
，
∵，
∴随a的增大而减小.
∵a为整数，
∴当时，最小，最小值为（万元）.
此时，.
答：A、B两种型号充电桩分别安装66个，134个时，所需资金最少，最少为767万元.
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