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专题突破三：二次函数中定义新运算问题（20道）
（压轴专练）
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
1．新定义：若一个点的横纵坐标之和为6，则称这个点为“和谐点”．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个“和谐点”，则c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．定义：把二次函数与（，、是常数）称作互为“旋转函数”，如果二次函数与（、是常数）互为“旋转函数”，则下列选项中正确的是（ ）
A．； B．；
C．当时，； D．不论取何值，
3．定义：给定关于x的函数，对于该函数图象上任意两点，，当时，都有，称该函数为增函数． 根据以上定义，下列函数中①；②；③；④，是增函数的（ ）
A．①③④ B．①② C．③④ D．①③
4．定义新运算：对于任意实数a，b，都有，例如1．若y关于x的函数的图象与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为 ．
5．定义新运算：对于任意实数a，b，都有a b＝ab＋a＋b，其中等式右边是通常的加法、乘法运算，例如2 3＝2×3＋2＋3＝11．若y关于x的函数y＝（kx＋1） （x－1）图象与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为 ．
6．定义一个运算：，如． 用表示大于最小整数，如． 按照上述规定，若整数满足，则的值是 ．
7．对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函数的图象向上平移个单位，得到的函数的边界值满足是时，则的取值范围是 ．
8．定义：若x，y满足：，（k为常数）且，则称点为“好点”．
（1）若是“好点”，则 ．
（2）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“好点”，则c的取值范围为 ．
9．定义：对于抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），若b2＝ac，则称该抛物线为黄金抛物线．例如：y＝2x2﹣2x+2是黄金抛物线．
（1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式；
（2）若抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）是黄金抛物线，请探究该黄金抛物线与x轴的公共点个数的情况（要求说明理由）；
（3）将黄金抛物线y＝2x2﹣2x+2沿对称轴向下平移3个单位．
①直接写出平移后的新抛物线的解析式；
②设①中的新抛物线与y轴交于点A，对称轴与x轴交于点B，动点Q在对称轴上，问新抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、B为顶点的三角形与△AOB全等？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明．
10．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．
（1）初步尝试
如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB=90°，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形．
（2）理解运用
如图2，已知△ACD为直角三角形，∠ADC=90°，以AC，AD为边向外作正方向ACFB和正方形ADGE，连接BE，求证：△ACD与△ABE为偏等积三角形．
（3）综合探究
如图3，二次函数y=x2–x–5的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，在二次函数的图象上是否存在一点D，使△ABC与△ABD是偏等积三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
11．新定义：我们把抛物线与抛物线其中称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为．
(1)写出抛物线的函数表达式（用含的式子表示） ，顶点坐标为 ．
(2)对于和，当时，求的取值范围．
(3)若，当时，的最大值与最小值的差为，求的值．
12．定义：在平面直角坐标系中，点是某函数图象上的一点，作该函数图象中自变量大于m的部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于点的“派生函数”．例如：图①是函数的图象，则它关于点的“派生函数”的图象如图②所示，且它的“派生函数”的解析式为．
(1)直接写出函数关于点的“派生函数”的解析式．
(2)点M是函数的图象上的一点，设点M的横坐标为m，是函数G关于点M的“派生函数”．
①当时，若函数值的范围是，求此时自变量x的取值范围；
②直接写出以点为顶点的正方形与函数的图象只有两个公共点时，m的取值范围．
13．新定义：我们把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为：．已知抛物线的“关联抛物线”为．
(1)写出的解析式（用含的式子表示）及顶点坐标；
(2)若，过轴上一点，作轴的垂线分别交抛物线，于点，．
①当时，求点的坐标；
②当时，的最大值与最小值的差为，求的值．
14．新定义：经研究发现，在平面直角坐标系上到定点与定直线距离相等的点刚好组成一条抛物线，我们把满足这样条件的抛物线叫做芳华抛物线．
（1）当时，请直接写出满足条件的一个点，并求此芳华抛物线的解析式；
（2）在（1）的前提下，等边三个顶点都在芳华抛物线上，O为坐标原点，求等边的边长；
（3）在平面上有一定点，在芳华抛物线上取点M使最小，直接写出的最小值（结果可用含b的代数式表示）．
15．新定义：如果二次函数的图像经过点（-1，0），那么称此二次函数的图像为“定点抛物线”
（1）试判断二次函数的图像是否为“定点抛物线”
（2）若定点抛物线与x轴只有一个公共点，求的值．
16．新定义函数：在y关于x的函数中，若0≤x≤1时，函数y有最大值和最小值，分别记ymax和ymin，且满足，则我们称函数y为“三角形函数”．
（1）若函数y=x+a为“三角形函数”，求a的取值范围；
（2）判断函数y=x2﹣x+1是否为“三角形函数”，并说明理由；
（3）已知函数y=x2﹣2mx+1，若对于0≤x≤1上的任意三个实数a，b，c所对应的三个函数值都能构成一个三角形的三边长，则求满足条件的m的取值范围．
17．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如，，都是“纵三倍点”．
(1)判断下列函数图象上是否存在“纵三倍点”，若存在，请求出满足条件的“纵三倍点”；若不存在，请说明理由．
①；
②；
(2)已知抛物线（m，n均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式；
18．定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：的友好同轴二次函数为．
(1)函数的对称轴为___________，其友好同轴二次函数为___________，两个函数表达式的二次项系数的关系是___________．
(2)已知二次函数(其中且且)，其友好同轴二次函数记为．
①若函数的图象与函数的图象交于两点(点的横坐标小于点的横坐标)，求线段的长；
②当时，函数的最大值与最小值的差为8，求的值．
19．定义：若一个函数图象上存在纵坐标与横坐标互为相反数的点，则称该点为这个函数图象的“互逆点”
(1)若点是一次函数的图象上的“互逆点”，则k= ；若点是函数的图象上的“互逆点”，则n=
(2)若点是二次函数的图象上唯一的“互逆点”，求这个二次函数的表达式；
(3)若二次函数（是常数，）的图象过点，且图象上存在两个不同的“互逆点”，且满足，如果，请求出z的取值范围．
20．定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．
【概念理解】
（1）抛物线与抛物线是否围成“月牙线”？说明理由．
【尝试应用】
（2）抛物线与抛物线组成一个如图所示的“月牙线”，与轴有相同的交点，（点在点的左侧），与轴的交点分别为．
①求的值．
②已知点和点在“月牙线”上，，且的值始终不大于2，求线段长的取值范围．
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专题突破三：二次函数中定义新运算问题（20道）
（压轴专练）
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
1．新定义：若一个点的横纵坐标之和为6，则称这个点为“和谐点”．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个“和谐点”，则c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数图象与一次函数图象的交点问题．由一个点的横纵坐标之和为6可得“和谐点”在直线上，由可得“和谐点”所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段的交点求解．
【详解】解：由题意可得“和谐点”所在直线为，
将代入得，
将代入得，
设，，如图，
联立与，得方程，
即，
抛物线与直线有两个交点，
△，
解得，
当直线和直线与抛物线交点在点，上方时，抛物线与线段有两个交点，
把代入，得，
把代入得，
，
解得，
．
故选：B．
2．定义：把二次函数与（，、是常数）称作互为“旋转函数”，如果二次函数与（、是常数）互为“旋转函数”，则下列选项中正确的是（ ）
A．； B．；
C．当时，； D．不论取何值，
【答案】C
【分析】此题考查了二次函数的性质，根据“旋转函数”的定义得到，，，则，，逐项进行判断即可．
【详解】解：∵二次函数与（、是常数）互为“旋转函数”，
∴，
解得，故选项A、B错误，
∴，
∴，，
当时，，故选项C正确；
∵，
∴只有当时，，
故选项D错误，
故选：C
3．定义：给定关于x的函数，对于该函数图象上任意两点，，当时，都有，称该函数为增函数． 根据以上定义，下列函数中①；②；③；④，是增函数的（ ）
A．①③④ B．①② C．③④ D．①③
【答案】D
【分析】本题考查的是一次函数、二次函数，掌握各种函数的性质是解题的关键．根据一次函数、二次函数的性质进行分析即可得到答案．
【详解】解：由新定义可得：
，，
∴①是增函数；
，，
∴②不是增函数；
，是增函数，
∴③是增函数；
，是方程，不是函数，
∴④不是增函数．
故选D．
4．定义新运算：对于任意实数a，b，都有，例如1．若y关于x的函数的图象与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为 ．
【答案】
【分析】由定义的新运算求得y关于x的函数为：，再由y关于x函数的图象与x轴仅有一个公共点得到，求解即可．
【详解】解：∵，
∴
即，
∵的图象与x轴仅有一个公共点，令，得，
∴，
∴，
解得：（舍去）或．
故答案为：．
5．定义新运算：对于任意实数a，b，都有a b＝ab＋a＋b，其中等式右边是通常的加法、乘法运算，例如2 3＝2×3＋2＋3＝11．若y关于x的函数y＝（kx＋1） （x－1）图象与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为 ．
【答案】-1或0/0或-1
【分析】由定义的新运算求得y关于x的函数为：y=kx2+2x-1，再由y关于x函数的图象与x轴仅有一个公共点得到4+4k=0，求解即可．
【详解】∵（kx＋1） （x－1）＝（kx+1）（x-1）+（kx+1）+（x-1）=kx2+2x-1，
∴y= kx2+2x-1，
当k≠0时
∵y= kx2+2x-1的图象与x轴仅有一个公共点，
∴△=0，即4+4k=0，
∴k=-1．
当k=0时，
函数为y=2x-1，其图象与x轴一定有一个交点
故答案是：-1或0．
6．定义一个运算：，如． 用表示大于最小整数，如． 按照上述规定，若整数满足，则的值是 ．
【答案】或/4或0
【分析】本题考查了新定义运算，涉及了二次函数的图象与性质，根据题意得，画出函数的图象即可求解
【详解】解：∵，
∴
∴
∵
如图所示，画出该函数的函数图象：
可知：当或时，，则；
∴的值是或
故答案为：或
7．对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函数的图象向上平移个单位，得到的函数的边界值满足是时，则的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了二次函数图象的平移和二次函数的最值问题，根据条件分类讨论函数值绝对值最大的情况是解决问题的关键点．
仔细阅读材料理解题意，可知n的值就是函数值绝对值最大的值，所以根据函数表达式找出函数值的最大值和最小值，进行分类讨论求解即可．
【详解】解：向上平移t个单位后，得到的函数解析式为
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当时，y最大值为，且和的函数值相同，
∵，
∴当时，时，y有最小值，当时，时，y有最小值，
由题意可知：n是函数值绝对值最大时的值，
（I）当时，
①且，
解得，
②当且，
解得
（II）当时，
①且
无解；
②且，
无解，
故答案为：或．
8．定义：若x，y满足：，（k为常数）且，则称点为“好点”．
（1）若是“好点”，则 ．
（2）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“好点”，则c的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标的特征以及新定义问题，正确理解新定义是解决本题的关键．
（1）根据好点”定义可得：，进而计算求解m即可；
（2）由已知可得：，进而求出直线的解析式，所以抛物线 与直线的交点就是好点，再计算即可．
【详解】解：（1）由好点”定义可得：，
∴，
整理得：，
∴或5，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴直线上的点都是好点，
当时，．当时，，
如图，直线解析式为，，
抛物线与直线的交点就是好点，
当抛物线过点A时，，
解得：，
当抛物线与有且只有一个交点时，
有，
整理得：，
∴，
解得：，
∴c的取值范围为： ．
故答案为：．
9．定义：对于抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），若b2＝ac，则称该抛物线为黄金抛物线．例如：y＝2x2﹣2x+2是黄金抛物线．
（1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式；
（2）若抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）是黄金抛物线，请探究该黄金抛物线与x轴的公共点个数的情况（要求说明理由）；
（3）将黄金抛物线y＝2x2﹣2x+2沿对称轴向下平移3个单位．
①直接写出平移后的新抛物线的解析式；
②设①中的新抛物线与y轴交于点A，对称轴与x轴交于点B，动点Q在对称轴上，问新抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、B为顶点的三角形与△AOB全等？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明．
【答案】（1）如y＝x2，y＝x2﹣x+1，y＝x2+2x+4等（答案不唯一）；（2）详见解析；（3）①y＝2x2﹣2x﹣1；②符合条件的点P的坐标：（0，﹣1），（1，﹣1），（﹣，），（，）．
【分析】（1）按照黄金抛物线的定义给a、b、c赋值即可；
（2）将ac＝b2代入判别式当中，消去ac，然后对b分等于0和不等于0两种情讨论即可；
（3）①根据“上加下减”写出平移后的抛物线解析式即可；
②根据所给的限制条件，只能画出四种图形，分别写出相应的P点坐标即可；
【详解】（1）答：如y＝x2，y＝x2﹣x+1，y＝x2+2x+4等；
（2）依题意得b2＝ac，
∴△＝b2﹣4ac＝b2﹣4b2＝﹣3b2，
∴当b＝0时，△＝0，此时抛物线与x轴有一个公共点，
当b≠0时，△＜0，此时抛物线与x轴没有公共点；
（3）
①抛物线y＝2x2﹣2x+2向下平移3个单位得到的新抛物线的解析式为y＝2x2﹣2x﹣1，
②存在．
如图：
若BQ＝AO，过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点P，
P点的坐标为：（0，﹣1），（1，﹣1），
此时，△AOB≌△BQP；
若BQ＝BO，过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点P，
令2x2﹣2x﹣1＝，
解得：x＝﹣或x＝，
∴P点的坐标为：（﹣，），（，）．
此时，△AOB≌△PQB；
综上所述，有四个符合条件的点P的坐标：（0，﹣1），（1，﹣1），（﹣，），（，）．
10．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．
（1）初步尝试
如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB=90°，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形．
（2）理解运用
如图2，已知△ACD为直角三角形，∠ADC=90°，以AC，AD为边向外作正方向ACFB和正方形ADGE，连接BE，求证：△ACD与△ABE为偏等积三角形．
（3）综合探究
如图3，二次函数y=x2–x–5的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，在二次函数的图象上是否存在一点D，使△ABC与△ABD是偏等积三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）（，5）或（，5）
【详解】（1）如图1所示，取AC的中点D，连接BD，则△BAD和△BCD为偏等积三角形．
（2）如图2所示：过点B作BH⊥EA交EA延长线于点H．
∵四边形ABFC和四边形ADGE均为正方形，
∴∠HAC+∠DAC=90°，∠BAH+∠HAC=90°，AB=AC，AD=AE．
∴∠BAH=∠DAC．
在△ABH和△ACD中，，
∴△ABH≌△ACD．∴CD=HB．
∵S△ABE=AE BH，S△CDA=AD DC，AE=AD，CD=BH，
∴S△ABE=S△CDA．
∴△ACD与△ABE为偏等积三角形．
（3）∵S△ABC=S△ABD，
∴点D到AB的距离等于点C到AB的距离．
将x=0代入得：y=–5， ∴CO=5．
∴点D到AB的距离为5，即点D的纵坐标为±5．
当点D的纵坐标为–5时，△ABC与△ABD全等（舍去）．
当点D的纵坐标为5时，x2–x–5=5，
整理得：x2–3x–20=0，解得x1=，x2=．
∴点D的坐标为（，5）或（，5）
11．新定义：我们把抛物线与抛物线其中称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为．
(1)写出抛物线的函数表达式（用含的式子表示） ，顶点坐标为 ．
(2)对于和，当时，求的取值范围．
(3)若，当时，的最大值与最小值的差为，求的值．
【答案】(1)；
(2)当时，或；当时，
(3)的值为或
【分析】本题考查二次函数的应用，涉及新定义，二次函数的图象及性质，解题的关键是分类讨论思想的应用．
（1）根据“关联抛物线”定义可知，抛物线的函数表达式；即可得顶点坐标为；
（2）由，得，即，当时，，可得或；当时，，得；
（3）求出当时，．当 时，；当 时，；分三种情况讨论：Ⅰ．当，即时，若，，若，，Ⅱ．当时，，Ⅲ．当时，，分别解方程可得答案．
【详解】（1）根据“关联抛物线”定义可知，抛物线的函数表达式；
，
顶点坐标为；
故答案为：；；
（2），
，
，
当时，，
或；
当时，，
；
综上所述，当时，或；当时，；
（3），
当时，．
当 时，；
当 时，；
根据题意可知，需要分三种情况讨论：
Ⅰ．当，即时，
若，即，则；，
，
解得或（舍或（舍；
若，即时，；，
，
解得或（舍或（舍；
Ⅱ．当，即时，；．
，
解得（舍或（舍；
Ⅲ．当，即时，，，
，
解得（舍去）或（舍去），
综上所述，的值为或．
12．定义：在平面直角坐标系中，点是某函数图象上的一点，作该函数图象中自变量大于m的部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于点的“派生函数”．例如：图①是函数的图象，则它关于点的“派生函数”的图象如图②所示，且它的“派生函数”的解析式为．
(1)直接写出函数关于点的“派生函数”的解析式．
(2)点M是函数的图象上的一点，设点M的横坐标为m，是函数G关于点M的“派生函数”．
①当时，若函数值的范围是，求此时自变量x的取值范围；
②直接写出以点为顶点的正方形与函数的图象只有两个公共点时，m的取值范围．
【答案】(1)
(2)①当时，；②或
【分析】（1）根据“派生函数”的定义在的部分任取一点关于直线的对称点为，运用待定系数法即可得到答案；
（2）①当时，的解析式为，分别求出，解得或；，解得或；即可得到当或或时，；
②求出函数关于对称的函数解析式为，再由时，即，当时，，即，可得时与正方形有两个交点；当时，，即或，可得，即可求解．
【详解】（1）解：函数在的部分任取一点关于直线的对称点为，
设函数图象关于对称的部分的图象解析式为，
将，代入解析式，得：，
解得：，
∴“派生函数”的解析式为；
（2）解：①∵当时，图像的顶点坐标为，
关于直线的对称点坐标为：，
∴关于直线对称的图像解析式为：，
∴的解析式为，
令，，
解得：或，
令，，
解得或，
结合图像可得：当或或时，；
②函数的顶点为，
点关于对称的点的坐标为，
∴函数关于对称的函数解析式为，
当时，即，
当时，，即，
∴时与正方形有两个交点；
当时，，即或，
∴；
综上所述，或时与正方形有两个交点．
13．新定义：我们把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为：．已知抛物线的“关联抛物线”为．
(1)写出的解析式（用含的式子表示）及顶点坐标；
(2)若，过轴上一点，作轴的垂线分别交抛物线，于点，．
①当时，求点的坐标；
②当时，的最大值与最小值的差为，求的值．
【答案】(1)，顶点为
(2)①或；②或．
【分析】（1）根据定义将一次项系数与二次项系数互换即可求得解析式，化为顶点式即可求得顶点坐标；
（2）①设，则，，根据题意建立方程解方程即可求解；
②根据题意，分三种情形讨论，根据点距离对称轴的远近确定最值，然后建立方程，解方程求解即可．
【详解】（1）解：抛物线的“关联抛物线”为，
根据题意可得，的解析式
顶点为
（2）解：①设，则，
∴
当时，
解得，
当时，方程无解
或
②的解析式
顶点为，对称轴为
，
当时，即时，
函数的最大值为，最小值为
的最大值与最小值的差为
解得（，舍去）
当时，且即时，
函数的最大值为，最小值为
的最大值与最小值的差为
解得（，舍去）
当时，即时，抛物线开向上，对称轴右侧随的增大而增大，
函数的最大值为，最小值为
的最大值与最小值的差为
即
即
解得（舍去）
综上所述，或．
14．新定义：经研究发现，在平面直角坐标系上到定点与定直线距离相等的点刚好组成一条抛物线，我们把满足这样条件的抛物线叫做芳华抛物线．
（1）当时，请直接写出满足条件的一个点，并求此芳华抛物线的解析式；
（2）在（1）的前提下，等边三个顶点都在芳华抛物线上，O为坐标原点，求等边的边长；
（3）在平面上有一定点，在芳华抛物线上取点M使最小，直接写出的最小值（结果可用含b的代数式表示）．
【答案】（1）当这个点为，此芳华抛物线为；（2）等边△OAB的边长为；（3）2或．
【分析】（1）设这个定点为，然后根据题意及两点距离公式可求解抛物线解析式；
（2）由（1）得：设点A坐标为，然后根据等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质可进行求解；
（3）如图所示，由题意易得PF∥x轴，则有PF=2，根据，进而问题可分当抛物线与PF有交点时和当抛物线与PF无交点时进行求解．
【详解】解：（1）设这个定点坐标为，由题意得：
∵，点，
∴，
整理得：，
∴满足条件的一个点为；
（2）由题意可作如图所示：
∵△AOB是等边三角形，
∴∠BAO=6O°，
由（1）可得抛物线解析式为：，
∴y轴垂直平分AB，
∴∠AOC=30°，
设点A坐标为，
∴AC=a，OC=，
∴，解得：，
∴；
（3）由题意可得如图：
①当抛物线与PF有交点时，如图：
∵点，点，
∴PF∥x轴，
∴PF=2，
∵，
∴要使的值要为最小，只需满足P、M、F三点共线即可，
∴的最小值为2．
②当抛物线与PF无交点时，如图：
过点M作MA垂直直线y=b，
∵点，点，
∴PF∥x轴，
∵由芳华抛物线可得：FM=MA，
∴，
∴要使的值要为最小，只需满足P、M、A三点共线即可，
∴，
∴的最小值为：．
15．新定义：如果二次函数的图像经过点（-1，0），那么称此二次函数的图像为“定点抛物线”
（1）试判断二次函数的图像是否为“定点抛物线”
（2）若定点抛物线与x轴只有一个公共点，求的值．
【答案】（1）是；（2）k＝1
【分析】（1）把x=-1代入抛物线解析式，判断y的值是否为0，即可解决问题．
（2）因为y=x2-mx+2-k与x轴只有一个公共点，所以（-1，0）是抛物线顶点，所以抛物线解析式为y=（x+1）2，由此即可解决问题．
【详解】（1）当x＝ 1时，y＝2＋5 7＝0，
∴抛物线y＝2x2 5x 7经过点（1，0），
∴二次函数图象为“定点抛物线”．
（2）∵y＝x2 mx＋2 k与x轴只有一个公共点，
∴（ 1，0）是抛物线顶点，
∴抛物线解析式为y＝（x＋1）2＝x2＋2x＋1，
∴2 k＝1，
∴k＝1．
16．新定义函数：在y关于x的函数中，若0≤x≤1时，函数y有最大值和最小值，分别记ymax和ymin，且满足，则我们称函数y为“三角形函数”．
（1）若函数y=x+a为“三角形函数”，求a的取值范围；
（2）判断函数y=x2﹣x+1是否为“三角形函数”，并说明理由；
（3）已知函数y=x2﹣2mx+1，若对于0≤x≤1上的任意三个实数a，b，c所对应的三个函数值都能构成一个三角形的三边长，则求满足条件的m的取值范围．
【答案】(1) a＞1(2)是(3)0【详解】试题分析：（1）由函数的性质可求得其最大值和最小值，由三角形函数的定义可得到关于a的不等式组，可求得a的取值范围；
（2）由抛物线解析式可求得其对称轴，由x的范围可求得其最大值和最小值，满足三角形函数的定义；
（3）由三角形的三边关系可判断函数y=x2-2mx+1为三角形函数，再利用三角形函数的定义分别得到关于m的不等式组，即可求得m所满足的不等式，可求得m的取值范围．
试题解析：（1）∵当x=0，ymin=a；x=1，ymax=1+a，
∵y=x+a为三角形函数，
∴，
∴a＞1；
（2）是三角形函数，理由如下：
∵对称轴为直线，0≤x≤1，
∴当，
∴，
∴它是三角形函数；
（3）∵对于0≤x≤1上的任意三个实数a，b，c所对应的三个函数值都能构成一个三角形的三边长，
∴，若a为最小，c为最大，则有，同理当b为最小，c为最大时也可得，
∴y=x2﹣2mx+1是三角形函数，
∵y=x2﹣2mx+1=（x﹣m）2﹣m2+1，
∴对称轴为直线x=m，
①当m≤0时，当x=0，ymin=1，
当x=1，ymax=﹣2m+2，则2＞﹣2m+2，解得m＞0，
∴无解；
②当，，当x=1，ymax=﹣2m+2，，
解得0＜m＜1，
∴；
③当，，当x=0，ymax=1，则，
解得，
∴；
④当m＞1，当x=1，ymin=﹣2m+2，x=0，ymax=1，则，
解得，
∴无解；
综上述可知m的取值范围为或．
17．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如，，都是“纵三倍点”．
(1)判断下列函数图象上是否存在“纵三倍点”，若存在，请求出满足条件的“纵三倍点”；若不存在，请说明理由．
①；
②；
(2)已知抛物线（m，n均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式；
【答案】(1)①存在“纵三倍点”，其“纵三倍点”坐标为；②存在“纵三倍点”，其“纵三倍点”坐标为和；
(2)
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系：
（1）①令，解方程即可得到结论；②令，解方程即可得到答案；
（2）令，解得，则，则是抛物线的“纵三倍点”，则，再联立两函数解析式，根据两函数只有一个交点得到，求出m的值，进而求出n的值即可得到答案．
【详解】（1）解：①当时，解得，
∴，
∴函数的图象上存在“纵三倍点”，其“纵三倍点”坐标为；
②当时，解得，
∴函数的图象上存在“纵三倍点”，其“纵三倍点”坐标为和；
（2）解：令，解得，则，
∴是抛物线的“纵三倍点”，
∴，
∴，
联立得，
∵抛物线（m，n均为常数）与直线只有一个交点，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴抛物线解析式为．
18．定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：的友好同轴二次函数为．
(1)函数的对称轴为___________，其友好同轴二次函数为___________，两个函数表达式的二次项系数的关系是___________．
(2)已知二次函数(其中且且)，其友好同轴二次函数记为．
①若函数的图象与函数的图象交于两点(点的横坐标小于点的横坐标)，求线段的长；
②当时，函数的最大值与最小值的差为8，求的值．
【答案】(1)直线；；和为1
(2)①4；②或3
【分析】（1）将函数画出顶点式即可得函数的对称轴，再根据友好同轴二次函数的定义求解即可得；
（2）①根据友好同轴二次函数的定义求出函数，联立函数，，解方程可求出点的坐标，由此即可得；
②分且且、两种情况，利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解：函数的对称轴为：直线，
因为，
所以设函数的友好同轴二次函数为，
因为与y轴的公共交点是，
所以，解得，
所以函数的友好同轴二次函数为，
由定义可知：两个函数表达式的二次项系数的关系是和为1．
故答案为：直线；；和为1．
（2）解：①二次函数，
则设，
所以，解得，
所以，
联立得：，
解得或，
当时，；当时，，
所以，
所以；
②函数的对称轴为直线，
(Ⅰ)当且且时，抛物线的开口向上，
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
则当时，取得最小值，最小值为，
当时，取得最大值，最大值为4，
所以，
解得，符合题设；
(Ⅱ)当时，抛物线开口向下，
当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
则当时，取得最大值，最大值为，
当时，取得最小值，最小值为4，
所以，
解得，符合题设；
综上，的值为或3．
19．定义：若一个函数图象上存在纵坐标与横坐标互为相反数的点，则称该点为这个函数图象的“互逆点”
(1)若点是一次函数的图象上的“互逆点”，则k= ；若点是函数的图象上的“互逆点”，则n=
(2)若点是二次函数的图象上唯一的“互逆点”，求这个二次函数的表达式；
(3)若二次函数（是常数，）的图象过点，且图象上存在两个不同的“互逆点”，且满足，如果，请求出z的取值范围．
【答案】(1)2；或
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意直接代入求解即可得出结果；
（2）根据题意得出抛物线与直线的唯一交点为，然后利用根的判别式及点在函数上组成方程组求解即可；
（3）根据题意得出，确定、是方程的两个不相等实数根，利用根于系数的关系及完全平方公式变形得出，再由不等式的性质确定取值范围即可．
【详解】（1）解：根据题意得，
∴，
∴，
解得：；
∵点是函数的图象上的“互逆点”，
∴，解得：或；
故答案为：2；或
（2）点是二次函数的图象上唯一的“互逆点”，
即抛物线与直线的唯一交点为，
∴方程有两个相等的实数根为：，
∴
∴，
∴二次函数的表达式为；
（3）∵二次函数（A，b是常数，）的图象过点，
∴，
∴，
∵图象上存在两个不同的“互逆点”，
∴，，
∴，，,
∴、是方程的两个不相等实数根，
∴， ，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴或，
∵，
∴或，,
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．
【概念理解】
（1）抛物线与抛物线是否围成“月牙线”？说明理由．
【尝试应用】
（2）抛物线与抛物线组成一个如图所示的“月牙线”，与轴有相同的交点，（点在点的左侧），与轴的交点分别为．
①求的值．
②已知点和点在“月牙线”上，，且的值始终不大于2，求线段长的取值范围．
【答案】（1）抛物线与抛物线围成“月牙线”；（2）①的值为；②线段长的取值范围是．
【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及新定义，二次函数的性质等知识，解题的关键是读懂题意，理解“月牙线”的概念．
（1）求出两抛物线与轴的交点坐标，根据抛物线的开口方向相同，即可知抛物线与抛物线围成“月牙线”；
（2）①求出抛物线与轴交点为和，代入求得，据此求解即可；
②先求得两抛物线的顶点坐标，再根据的值始终不大于2，有，即解得，而，；故，从而可得线段长的取值范围是．
【详解】解：（1）抛物线与抛物线围成“月牙线”；理由如下：
在中，令得或，
抛物线与轴的交点为和；
在中，令得或，
抛物线与轴交点为和，
抛物线与抛物线与轴有相同的交点，
又抛物线与抛物线开口方向相同，
抛物线与抛物线围成“月牙线”；
（2）①在中，令得或，
抛物线与轴交点为和，
把和代入得：
，
解得，
；
∴的值为；
②由①知，，
抛物线的顶点为，
抛物线的顶点为，，
，
抛物线在抛物线上方；
，，
，
的值始终不大于2，
，
整理得：，
解得，
，
；
在中，令得，
，
在中，令得，
；
，
；
，
线段长的取值范围是．
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