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第1章 二次函数单元测试卷【培优卷】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：二次函数
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．已知二次函数，经过点．当时，的取值范围为或．则如下四个值中有可能为的是（ ）
A． B． C．2 D．4
2．甲、乙两个质点分别在两个并排直轨道上运动，其速度随时间的变化规律分别如图中a、b所示，图线a是直线，图线b是抛物线，时间内图线a、b与横轴围成的面积相等，抛物线顶点的横坐标为，下列说法正确的是（ ）
A．时间内甲、乙的位移大小不相等
B．时间内甲、乙的位移大小之比为
C．时间内乙的平均速度大于甲的平均速度
D．时间内甲的加速度一直小于乙的加速度
3．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：（1）；②；③；④不等式的解集为．其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．函数和在同一平面直角坐标系中图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（ ）
A．可以找到一个实数，使得 B．无论实数取什么值，都有
C．可以找到一个实数，使得 D．无论实数取什么值，都有
6．最近，吊篮西瓜大量成熟，开园上市，走进某村果蔬基地吊篮西瓜大棚（图1）内，碧绿的藤蔓上一个个生得俊俏、长相甜美的西瓜映入眼帘．如图2是某瓜农的一个横截面为抛物线的大棚，大棚在地面上的宽度是6米，最高点C距地面的距离为2米．以水平地面为x轴，的中点O为原点建立平面直角坐标系．一位身高米的瓜农，若要在大棚内站直行走，则此瓜农从点O沿向左最多能走（ ）
A．米 B．米 C．3米 D．6米
7．如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，二次函数与轴有两个交点，且为正整数，当时，对应函数值的取值范围是，则满足条件的的值是（ ）
A．2 B． C． D．
9．老师给出了二次函数的部分对应值如表：
… 0 1 3 5 …
… 7 0 7 …
同学们讨论得出了下列结论，
①抛物线的开口向上；
②抛物线的对称轴为直线；
③当时，；
④是方程的一个根；
⑤若，是抛物线上的两点，则．
其中正确的是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①④⑤ D．①③④⑤
10．如图，某公司准备在一个的绿地上建造一个矩形的休闲书吧，其中，点D，E，F分别在边上．有下列结论：①的长可以为；②点D在两个不同位置可使得休闲书吧的面积为；③休闲书吧面积的最大值为．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．已知二次函数（），当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是 ．
12．已知抛物线，且经过点，，试比较和的大小： （填“”、“”或“”）．
13．如图，是线段上一动点，分别以，为边长在同侧作等边和等边，连接．若，则四边形面积的最小值是 ．
14．对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 ．
15．如图，二次函数的图象与一次函数的图象在第一象限的交点为A，点A的横坐标为1，则关于x的不等式的解集为 ．
16．如图，抛物线交x轴于A，B两点，A点在B点右侧，交y轴于点C，若点P是抛物线上一动点，过点P作轴交直线于Q点，y轴上是否存在点E，使以为顶点的四边形是菱形，则点E的坐标为 ．
17．抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P点为该图象在第一象限内的一点，过点P作直线的平行线，交x轴于点M，若点P从点C出发，沿着抛物线运动到点B，则点M经过的路程为
18．已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点和，当时，与其对应的函数值．有下列结论：
①；
②关于x的方程有两个不等的实数根；
③；
④若方程的两根为，则．其中正确的有 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知，点在二次函数 的图象上．
(1)当时，求此时二次函数的表达式；
(2)若时，求m的取值范围．
20．广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币）
21．把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象．
(1)试确定a、h、k的值；
(2)指出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性．
22．如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线解析式；
(2)点P是抛物线对称轴上一点，当的周长最小时，求点P的坐标．
23．如图，抛物线（a、c为常数，）经过点、，顶点为P，连接．
(1)求的长；
(2)将抛物线L沿x轴或沿y轴平移若干个单位长度得到抛物线，点A的对应点为，点P的对应点为，当四边形是面积为12的平行四边形，且点在y轴的左侧时，求平移后得到的抛物线的表达式．
24．已知二次函数的图象经过两点，其中．
(1)当时，求二次函数图象的对称轴，并求出与轴的交点坐标；
(2)若点的横坐标，当，求的取值范围．
25．图1是一张带智能发球机的乒乓球桌，它可以自定义设置球的落点、速度、弧度及旋转方式，能更真实地模拟实战．如图2，发球机从中线的端点O的正上方处的点A发球，球呈抛物线在正上方飞行，当飞行的水平距离为时，达到最高点M，其高度为．以O为原点，所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图2、图3所示．
(1)求图2中抛物线的表达式及落球点E到原点O之间的距离．
(2)图3是为了更好地模拟与人对打，将出球方向改变，调整成两跳球的方式，即球从点A落到点D，再反弹过网落下，反弹后球呈抛物线飞行，且形状与图2中的抛物线形状一致，但反弹后的最高高度变为．若最后球也落在点E，则球弹跳的跨度的长为多少？
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第1章 二次函数单元测试卷【培优卷】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：二次函数
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．已知二次函数，经过点．当时，的取值范围为或．则如下四个值中有可能为的是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数的性质，依据题意，由当时，x的取值范围为或，可得抛物线对称轴为直线，从而可得b与a的关系，将代入解析式，用含m代数式表示a，进而求解．
【详解】解：当时，，x的取值范围为或.
∴为抛物线上的点，
∴抛物线对称轴为直线．
∴．
∴，
∴，
将代入解析式得，
∴，
∵当时，x的取值范围为或，
∴．
∴
∴．
∴．
故选：D．
2．甲、乙两个质点分别在两个并排直轨道上运动，其速度随时间的变化规律分别如图中a、b所示，图线a是直线，图线b是抛物线，时间内图线a、b与横轴围成的面积相等，抛物线顶点的横坐标为，下列说法正确的是（ ）
A．时间内甲、乙的位移大小不相等
B．时间内甲、乙的位移大小之比为
C．时间内乙的平均速度大于甲的平均速度
D．时间内甲的加速度一直小于乙的加速度
【答案】B
【分析】本题考查了图象，解题的关键是知道图象与坐标轴围成的面积表示位移．根据数学知识计算时间内两质点的位移，即可得到位移之比；平均速度是位移与时间的比值，比较位移的的大小即可得到平均速度的大小， 图象切线的斜率表示加速度，据此求解即可．
【详解】解∶ 图象中，图线与时间轴围成的面积表示位移， 时间内图线a、b与横轴的面积相等，则甲、乙的位移大小相等，故选项A错误，不符合题意；
图线B是抛物线，根据抛物线的特点可知，设时间内甲、乙的位移为x，由几何关系得时间内甲的位移为，由抛物线的对称性可知乙的位移为，则甲、乙的位移大小之比为，故选项B正确，符合题意；
时间内a与坐标轴围成的面积大于b与坐标轴围成的面积，可知此时间段内甲的位移大于乙的位移，则甲的平均速度大于乙的平均速度，故选项C错误，不符合题意；
图象中图线的斜率等于加速度，则根据图象可知时间段内乙的加速度是不断减小的，到施科乙的加速度为零，而甲的加速度一直固定不变，则时间段内甲的加速度大小一开始小于乙的加速度大小，之后甲的加速度大小大于乙的加速度大小，故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
3．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：（1）；②；③；④不等式的解集为．其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、二次函数与不等式，根据抛物线的开口方向可判断①；根据抛物线与x轴没有交点可判断②；根据函数图象经过即可判断③；将不等式变形为：，令，根据直线与抛物线的图象交于点和，进而可判断④；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
【详解】解：抛物线的开口向上，
，则①正确；
抛物线与x轴没有交点，
，则②错误；
∵函数图象经过，
∴，
∴，即，故③正确；
不等式变形为：，
令，如图，
由图象得：直线与抛物线的图象交于点和，
不等式的解集为，故④正确，
则正确的个数有3个，
故选C．
4．函数和在同一平面直角坐标系中图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、反比例函数图象与系数的关系，先根据二次函数图象得到字母系数的正负，再判断反比例函数图象即可求解．
【详解】解：由二次函数解析式得，对称轴为，
A、当，抛物线开口方向向下，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，抛物线与y轴交于正半轴，本图象符合题意；故正确；
B、当，抛物线开口方向向上，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，抛物线与y轴交于负半轴，本图象不符合题意；故错误；
C、当，抛物线开口方向向下，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，抛物线与y轴交于正半轴，本图象不符合题意；故错误；
D、当，抛物线开口方向向下，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，抛物线与y轴交于正半轴，本图象不符合题意；故错误；
故选：A．
5．已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（ ）
A．可以找到一个实数，使得 B．无论实数取什么值，都有
C．可以找到一个实数，使得 D．无论实数取什么值，都有
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题意得到二次函数开口向上，且对称轴为，顶点坐标为，再分情况讨论，当时，当时，， 的大小情况，即可解题．
【详解】解：二次函数解析式为，
二次函数开口向上，且对称轴为，顶点坐标为，
当时，，
当时，，
，
当时，，
，
故A、B错误，不符合题意；
当时，，
由二次函数对称性可知，，
当时，，由二次函数对称性可知，，不一定大于，
故C正确符合题意；D错误，不符合题意；
故选：C．
6．最近，吊篮西瓜大量成熟，开园上市，走进某村果蔬基地吊篮西瓜大棚（图1）内，碧绿的藤蔓上一个个生得俊俏、长相甜美的西瓜映入眼帘．如图2是某瓜农的一个横截面为抛物线的大棚，大棚在地面上的宽度是6米，最高点C距地面的距离为2米．以水平地面为x轴，的中点O为原点建立平面直角坐标系．一位身高米的瓜农，若要在大棚内站直行走，则此瓜农从点O沿向左最多能走（ ）
A．米 B．米 C．3米 D．6米
【答案】A
【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式以及求二次函数的自变量，根据题意可知抛物线最高点为，对称轴为，设二次函数的解析式为：，用待定系数法求出抛物线解析式，把代入，求出x，根据题意选择合适得值即可．
【详解】解：根据题意可知抛物线最高点为，对称轴为，
设二次函数的解析式为：，
由∵，的中点O为原点建立平面直角坐标系，
∴，
把代入可得出：，
解得：，
∴二次函数的解析式为：．
当时，
即
解得：，（舍去），
则此瓜农从点O沿向左最多能走．
故选：A．
7．如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，先证明．可得，．点、的横坐标分别为、，可得，．，，，设，则，，，，，．再由，进而可以求解判断即可．
【详解】解：如图，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，
四边形是正方形，
、互相平分，，，
，，
．
，，
．
，．
点、的横坐标分别为、，
，．
，，，
设，则，，
，，，．
又，，
，．
．
．
．
点、在轴的同侧，且点在点的右侧，
．
．
故选：B．
8．已知，二次函数与轴有两个交点，且为正整数，当时，对应函数值的取值范围是，则满足条件的的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程，由题意得出，且，结合为正整数，得出，从而得出二次函数为，再结合二次函数的性质分两种情况讨论：当时；当时，分别计算即可得出答案．
【详解】解：由题意得：，且，
解得：，且，
∵为正整数，
∴，
∴二次函数为，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴当时，，当时，，
∵当时，对应函数值的取值范围是，
∴，
∴当时，函数在上随着的增大而增大，
∴当时，，即，
解得：（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）；
当时，当时，取到最小值，为，即，
解得：（符合题意）；
故选：B．
9．老师给出了二次函数的部分对应值如表：
… 0 1 3 5 …
… 7 0 7 …
同学们讨论得出了下列结论，
①抛物线的开口向上；
②抛物线的对称轴为直线；
③当时，；
④是方程的一个根；
⑤若，是抛物线上的两点，则．
其中正确的是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①④⑤ D．①③④⑤
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数与不等式的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
根据当和时，函数值相等，求出对称轴，判断②，得出顶点坐标，得出抛物线的开口方向，判断①，得出的对称点为，根据抛物线的开口向上，判断③，根据时，，判定④，根据抛物线的开口向上，反例“若，都在对称轴左边时，随的增大而减小，则”，判定⑤，综合得出答案即可．
【详解】解：∵当和时，
∴函数图象抛物线对称轴为，则为最低点，故②错误，
∴抛物线的开口向上，故①正确，
∵，
∴的对称点为，
又∵抛物线的开口向上，
∴当时，，故③正确，
∵时，，
∴是方程，即方程的一个根，故④正确，
∵抛物线的开口向上，
∴若，都在对称轴左边时，随的增大而减小，则，故⑤错误，
综上所述，正确的是①③④，
故选：A．
10．如图，某公司准备在一个的绿地上建造一个矩形的休闲书吧，其中，点D，E，F分别在边上．有下列结论：①的长可以为；②点D在两个不同位置可使得休闲书吧的面积为；③休闲书吧面积的最大值为．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的性质，矩形的性质，勾股定理等知识，根据勾股定理求出，可判断，设，则，，矩形 的面积为，则，可判断，根据可判断，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴的长可以为，故符合题意；
∵四边形是矩形，
∴，
设，则，，
∴，
设矩形 的面积为，则
，
当的面积为，即
，
解得：，，
∴当，时，矩形的面积为，
当，时，矩形的面积为，
故符合题意；
，
∴当时，函数有最大值，最大值为，
故符合题意，
故选：D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．已知二次函数（），当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴对称轴为直线，对称轴上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，且时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，
∴，
∴．
12．已知抛物线，且经过点，，试比较和的大小： （填“”、“”或“”）．
【答案】
【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的性质，进行判断即可。
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，在对称轴的左侧，随的增大而减小，
∵，
∴；
故答案为：
13．如图，是线段上一动点，分别以，为边长在同侧作等边和等边，连接．若，则四边形面积的最小值是 ．
【答案】/
【分析】此题考查了二次函数的应用、等边三角形的性质，过作于，过作于，根据等边三角形的性质求出，设，则，结合解直角三角形求出，再根据二次函数的极值求解即可．
【详解】解：过作于，过作于，如图，
和是等边三角形，
，，，，
，
设，则，
，，
，，
，，，
，
当时，四边形面积的最小值为，
故答案为：．
14．对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 ．
【答案】4
【分析】本题考查新定义运算与二次函数综合，涉及二次函数性质、分式化简求值等知识，读懂题意，理解新定义抛物线的“开口大小”，利用二次函数图象与性质将一般式化为顶点式得到，按照定义求解即可得到答案，熟记二次函数图象与性质、理解新定义是解决问题的关键．
【详解】解：根据抛物线的“开口大小”的定义可知中存在一点，使得，则，
，
中存在一点，有，解得，则，
抛物线“开口大小”为，
故答案为：．
15．如图，二次函数的图象与一次函数的图象在第一象限的交点为A，点A的横坐标为1，则关于x的不等式的解集为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了利用函数图形解不等式，理解是二次函数值小于一次函数值时自变量的取值是关键． 即二次函数的图象在一次函数的图象的下边，求自变量x的范围．
【详解】解：由题意得，二次函数的图象与一次函数的图象都经过点，
∵点A的横坐标为1，
∴关于x的不等式的解集为．
故答案为：．
16．如图，抛物线交x轴于A，B两点，A点在B点右侧，交y轴于点C，若点P是抛物线上一动点，过点P作轴交直线于Q点，y轴上是否存在点E，使以为顶点的四边形是菱形，则点E的坐标为 ．
【答案】或或
【分析】本题考查了二次函数与四边形的综合问题，分类讨论①当为菱形的对角线时、②当为菱形的边时两种情况即可求解．
【详解】解：令，解得：；
令，则；
∴
∴
①当为菱形的对角线时，垂直平分，如图，
∴
∴
设解析式为：
则
∴
∴解析式是，
因为
∴，
∴
此时菱形是正方形．
∴．
设，则，
，
∴，解得（不合题意舍去）或，
此时，
∴E．
②当为菱形的边时，
或．
解得：，舍去
∴或
∴或
∴E或E
综上所述，符合条件的点E有三个，坐标为： 或或
故答案为：或或
17．抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P点为该图象在第一象限内的一点，过点P作直线的平行线，交x轴于点M，若点P从点C出发，沿着抛物线运动到点B，则点M经过的路程为
【答案】
【分析】本题考查抛物线与轴的交点、求一次函数自变量值，二次函数，待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
根据题意，可以先求出点的坐标，从而可以得到直线的解析式，再根据，点在抛物线上，可以写出点的坐标和对应的直线的解析式，再根据题意，可以得到点横坐标的最大值，从而可以得到点经过的路程．
【详解】解：如图所示，
∵二次函数，
∴当时，当时，，
∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
设直线的函数解析式为，
，
即直线的函数解析式为，
∵，点在抛物线上且在第一象限，
∴设点的坐标为，
设直线的解析式为，
，
解得，
∴直线的解析式为，
令且，
解得，
此时直线的解析式为，当时，
∴点横坐标最大值是，
∴点经过的路程为：，
故答案为：．
18．已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点和，当时，与其对应的函数值．有下列结论：
①；
②关于x的方程有两个不等的实数根；
③；
④若方程的两根为，则．其中正确的有 ．
【答案】①②③④
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根的判别式；熟练掌握二次函数图象上点的特征，逐一分析三条结论的正误是解题的关键．
①③当时，，由点得，由时，与其对应的函数值可得，进而得出，再判断a的范围；
②将，代入方程，根据根的判别式即可判断；
④由，，可得，所以，再根据b的范围求解后即可判断．
【详解】解：抛物线，，是常数，经过点，，
，，
，
当时，与其对应的函数值．
，
，解得：，
，
，
，，
，
故①③正确；
，，
，即，
，
，
，
关于的方程有两个不等的实数根，故②正确；
，，
，
，
，
，
故④正确；
故答案为：①②③④
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知，点在二次函数 的图象上．
(1)当时，求此时二次函数的表达式；
(2)若时，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质：
（1）根据题意可得二次函数的对称轴为直线，从而得到，即可求解；
（2）把点代入，可得到关于m的不等式，即可求解．
【详解】（1）解：∵点在二次函数 的图象上，且，
∴二次函数的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：∵点在二次函数 的图象上，且，
∴
解得：．
20．广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币）
【答案】当定价为4.5万元每吨时，利润最大，最大值为312.5万元
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设每吨降价x万元，每天的利润为w万元，根据利润每吨的利润销售量列出w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：设每吨降价x万元，每天的利润为w万元，
由题意得，
，
∵，
∴当时，w有最大值，最大值为，
∴，
答：当定价为万元每吨时，利润最大，最大值为万元．
21．把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象．
(1)试确定a、h、k的值；
(2)指出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性．
【答案】(1)，，
(2)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大
【分析】本题考查了二次函数的几何变换，二次函数的性质，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
（1）根据平移规律“上加下减，左加右减”，可得答案；
（2）根据二次函数的图象性质，可得答案．
【详解】（1）解：二次函数的图象的顶点坐标为，把点先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到点的坐标为，
所以原二次函数的解析式为，
所以，，；
（2）解：二次函数，即
∵，
∴图象开口向下，
二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大．
22．如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线解析式；
(2)点P是抛物线对称轴上一点，当的周长最小时，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，一次函数的图象与性质，轴对称的性质等知识点，依据轴对称路径最短问题确定出点P的位置是解题的关键．
（1）根据待定系数法即可求得；
（2）连接交抛物线的对称轴于点P，连接，依据轴对称图形的性质可得到，则的周长，故当点在一条直线上时，的周长最小值，然后求得直线的解析式，从而可得到点P的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线经过两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵当时，，
∴，
∵点P是抛物线对称轴上一点，
∴，
∴．
∴当点在一条直线上时，有最小值，即的长度．
如图，连接交抛物线的对称轴于点P，
又∵为定值，
∴此时，的周长最小．
设直线的解析式为，
则，
解得：，
∴直线的解析式为，
将代入得：，
∴点P的坐标为，
即当的周长最小时，点P的坐标为．
23．如图，抛物线（a、c为常数，）经过点、，顶点为P，连接．
(1)求的长；
(2)将抛物线L沿x轴或沿y轴平移若干个单位长度得到抛物线，点A的对应点为，点P的对应点为，当四边形是面积为12的平行四边形，且点在y轴的左侧时，求平移后得到的抛物线的表达式．
【答案】(1)5
(2)抛物线的表达式为或或
【分析】本题主要考查了用待定系数法求出二次函数解析式，利用勾股定理求出两点之间的距离．以及二次函数平移的性质，注意分类讨论当抛物线沿x轴平移和当抛物线沿y轴平移是解题的关键．
（1）用待定系数法求出二次函数解析式，再求出点P的坐标，利用勾股定理求出A，P两点之间的距离．
（2）根据题意分两种情况，当抛物线沿x轴平移时，可得点在x轴上，利用已知条件可得出抛物线L沿x轴向左平移3个单位长度可得抛物线，利用平移的性质即可得出抛物线的表达式，当抛物线沿y轴平移时，可得点在直线上，利用已知条件可得出抛物线L沿y轴向上或向下平移4个单位长度可得抛物线，利用平移的性质即可得出抛物线的表达式，
【详解】（1）解：将、代入中，
得
解得
抛物线L的表达式为．
顶点．
过点P作轴于点D，则，
，，，
，，
．
（2）由题意知，四边形是面积为12的平行四边形，
当抛物线沿x轴平移时，可得点在x轴上，
由于，即要使的面积为12，只需，
点P'在y轴左侧，
抛物线L沿x轴向左平移3个单位长度可得抛物线，
此时，抛物线L'的表达式为；
当抛物线沿y轴平移时，可得点在直线上，
由于，要使的面积为12，只需，
抛物线L沿y轴向上或向下平移4个单位长度可得抛物线，
此时，抛物线L'的表达式为或．
综上，抛物线L'的表达式为或或．
24．已知二次函数的图象经过两点，其中．
(1)当时，求二次函数图象的对称轴，并求出与轴的交点坐标；
(2)若点的横坐标，当，求的取值范围．
【答案】(1)对称轴为，抛物线与轴的交点坐标的交点坐标为，
(2)或
【分析】本题考查二次函数的综合问题，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．
（1）解析式为，根据题意求解即可；
（2）令时，求得，要两种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
对称轴为，
当时，，
解得，
此时抛物线与轴的交点坐标的交点坐标为，；
（2）解：，
，抛物线开口向上，对称轴为，
又，
点P到对称轴的距离比点Q到对称轴的距离远，
当时，，
解得，
分两种情况讨论：
①当时，如图：
则，解得，
②当时，如图：
则，解得
综上所述：的取值范围为或．
25．图1是一张带智能发球机的乒乓球桌，它可以自定义设置球的落点、速度、弧度及旋转方式，能更真实地模拟实战．如图2，发球机从中线的端点O的正上方处的点A发球，球呈抛物线在正上方飞行，当飞行的水平距离为时，达到最高点M，其高度为．以O为原点，所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图2、图3所示．
(1)求图2中抛物线的表达式及落球点E到原点O之间的距离．
(2)图3是为了更好地模拟与人对打，将出球方向改变，调整成两跳球的方式，即球从点A落到点D，再反弹过网落下，反弹后球呈抛物线飞行，且形状与图2中的抛物线形状一致，但反弹后的最高高度变为．若最后球也落在点E，则球弹跳的跨度的长为多少？
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，关键是弄清楚题意，明确变量的代表的实际意义．
（1）由待定系数法即可求解，再令，即可求解；
（2）由，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意可知点A、M的坐标分别为、，
设抛物线的表达式为，
将点A的坐标代入上式得，解得，
则抛物线的表达式为，
令，
解得（舍去）或，即．
（2）解：设点，则点，
设抛物线的表达式为，
则，
解得，（不符合题意，舍去），
即，则跨度DE的长为．
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