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专题突破二：二次函数图像与各项系数之间的关系（20道）
（选填压轴专练）
选填题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分。）
1．如图，已知二次函数的图象关于直线对称，与x轴的一个交点在原点和之间，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．（m为任意实数）
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．根据抛物线开口向上，对称轴，与y轴交点位置，即可判断选项A；根据抛物线对称轴即可判断选项B；根据“对称轴为直线，”可判断选项C； 当时，为最小值，据此可判断选项D．
【详解】解：A．∵抛物线开口向上，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∵抛物线与轴交于负半轴，
∴，
∴，
原题结论正确，故此选项不符合题意；
B．∵对称轴为直线，
∴，
∴，
故选项正确，不符合题意；
C．∵对称轴为直线，，
∴，
∴当时，
原题结论错误，故此选项符合题意；
D．当时，为最小值，
∴，
∴，
∴，
原题结论正确，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．如图是二次函数图像的一部分，对称轴为直线，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．当时，
D．若，，在该函数图像上，则
【答案】B
【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，然后根据对称轴判定；根据当时，，即，然后由函数图象对称性可得，当与时，函数值相同，根据图象即可判断．
【详解】解：如图：根据抛物线对称性补全图象得：
∵抛物线开口方向向下，交轴于正半轴，
∴，，
又∵对称轴为直线，即，
∴，
∴，故B错误，不符合题意；
由函数图象可得，当时，，即，故A正确，符合题意；
∴由函数图象可得当当时，有可能，C错误，不合题意；
由函数图象对称性可得，当与时，函数值相同，
∵，
∴由函数的增减性可得：，D错误，不合题意；
故选A．
3．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】本题考查抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质和各系数表示的意义是解题的关键，根据题意由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置可判断①，由时可判断②，由抛物线对称性及时可判断③，由a与b的数量关系及可得a与c的数量关系，从而判断④，由时y取最大值可判断⑤．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴，
∴，①错误．
∵时，，
∴，②错误．
∵抛物线对称轴为直线，时，
∴时，，③正确．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，④错误．
∵时y取最大值，
∴，即，⑤正确．
故选：A．
4．二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④若图象上有两点，且，则．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质．依据题意，由抛物线开口向下，从而，又抛物线为，故，再结合抛物线与轴交于负半轴，可得，进而可以判断①；又，从而可以判断②；又当时，，又，故，进而可以判断③；由抛物线的对称轴是直线，从而当时与当时函数值相等，进而可得当，则，故可以判断④．
【详解】解：由题意，抛物线开口向下，
．
又抛物线为．
．
抛物线与轴交于负半轴，
．
，故①正确．
又，
，故②正确．
由题意，当时，．
又，
，故③正确．
抛物线的对称轴是直线，
当时与当时函数值相等．
当，则，故④错误．
综上，正确的有：①②③．
故选：C．
5．如图，已知抛物线（a，b，c为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的图象与系数之间的关系，根据抛物线的开口方向，对称轴，与轴的交点位置判断①②，对称轴，特殊点判断③，与轴的交点个数判断④，最值判断⑤．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，与轴交于正半轴，
∴，
∴，；故①②正确；
由图象可知，当时，；故③错误；
∵抛物线与轴有两个交点，
∴，故④正确；
∵时，函数有最大值为，
∴，
∴；故⑤错误；
故选B．
6．如图，抛物线的对称轴是直线，其中一个点的坐标为，下列结论：①；②；③；④若，在函数图象上，则，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质，根据图象可判断①，根据抛物线的对称轴判断②，根据图象与性质判断③④．
【详解】解：抛物线开口向下，，
对称轴在轴右侧，，
抛物线与轴交于正半轴，，
，故①正确；
，，
，故②正确；
对称轴是直线，其中一个点的坐标为，
，
，，故③正确；
当、同在对称轴左侧时，
，在对称轴左侧，随增大而增大，
，，
当、同在对称轴右侧时，
，在对称轴右侧，随增大而减小，
，，故④错误．
故选：C．
7．已知二次函数（）与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若关于x的方程有两个实数根，且满足，则，．其中正确结论的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】本题考查了抛物线和x轴交点的问题以及二次函数与系数的关系，灵活运用二次函数的性质，学会利用函数图象信息解决问题是关键．根据对称轴为直线及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据函数图象与x轴的交点个数，可判断②；可求得图象与x轴的另一个交点坐标为，由当时，，可判断③；由当时，，可判断④；把看为与的图象的交点问题，可判断⑤；从而解决问题．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
，
∵抛物线对称轴为直线，
，
，
∵抛物线交y轴的正半轴，
，
，故①正确；
该函数图象与x轴有两个不同的交点，
方程有两个不相等的实数根，
，故②不正确；
∵抛物线的对称轴为直线，
点关于直线的对称点的坐标为，
∴当时，，故③不正确；
∵抛物线经过点，
，
，
，即，故④正确；
函数图象与x轴的交点坐标分别为和，
令，则，
∴直线与抛物线的交点的横坐标分别为，
∴由图象可知：，，故⑤正确；
故正确的有3个，
故选：C．
8．已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③方程的两个实数根为，且，则，；④若为任意实数，则．正确结论的序号为（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③
【答案】B
【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子符号，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质，熟练运用数形结合思想．
首先对称性的得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，然后画出示意图，将代入解析式根据图象即可判断①；根据题意得到，进而可判断②；根据题意画出直线的图象，然后根据图象即可判断③；首先有对称轴得到，然后将代入解析式得到，进而得到，然后由时，y有最大值，即可判断④．
【详解】解：∵二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，
∴开口向下，抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
∴画出示意图如下，
∴当时，，故①正确；
∵
∴，故②错误；
如图所示，抛物线和直线有两个交点，
∴方程的两个实数根为，，且，
∴，，故③正确；
∵对称轴为直线，
∴
∴
∵二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，
∴
∴
∴
∴
∵抛物线开口向下，对称轴为
∴当时，y有最大值
∴若为任意实数，，故④正确．
综上可知，正确的有①③④，
故选B．
9．已知二次函数（、、都是常数，且）的图象与轴交于点、，且，与轴交于正半轴，且交点在的下方，下列结论； ；；，其中正确结论的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】本题主要考查了抛物线图象与系数的关系以及一元二次方程的根与系数的关系，根据抛物线的开口方向和对称轴的位置可判断、、的符号，然后再根据两根关系和抛物线与的交点情况逐项判定即可，熟练掌握抛物线图象与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于点，
∴，故正确；
∵图象与轴交于点、，且，与轴交于正半轴，
∴对称轴为直线，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故正确；
设，则，而，
∴，
∴，
∴，故正确；
由题意得，，
∴，
∴，故正确；
综上正确的有，共个正确，
故选：．
10．如图，函数（，，为常数，且）经过点，，且，下列结论：；；若点，在抛物线上，则；若，则的取值范围是．其中结论正确的有 ．（填序号）
【答案】/
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质逐一判断即可，解题的关键掌握二次函数图象的性质．
【详解】解：由所给抛物线可知，，，，
∴，故错误；
∵，且抛物线与轴的另一个交点横坐标为，
∴，
∴，故正确；
∵抛物线的对称轴在直线和直线之间，
∴点离对称轴的距离比点远，
又抛物线开口向下，
∴，故正确．
将点代入二次函数表达式得，，
又，
两式相加得，，
又，
∴，故错误，
故答案为：．
11．二次函数的图象如图所示．下列结论：
①；②；③方程有两个不相等的实数根；④不等式的解集是．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，先根据二次函数与x轴交于，得到对称轴为直线，进而由对称轴公式即可判断①；根据当时，，即可判断②；根据二次函数开口向上，得到，由函数图象可知，二次函数与直线有两个不同的交点，即可判断③；由函数图象可知，当时，，即可判断④．
【详解】解：∵二次函数与x轴交于，
∴对称轴为直线，
∴，
∴，即，故①正确；
∵当时，，
∴，故②错误；
∵二次函数开口向上，
∴，
由函数图象可知，二次函数与直线有两个不同的交点，
∴方程有两个不相等的实数根，故③正确；
由函数图象可知，当时，，
∴当时，有，
∴，故④正确；
故答案为：①③④．
12．二次函数图象如图所示，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤若存在，满足，则．其中正确的有 ．（填写序号）
【答案】②③⑤
【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，根据抛物线对称轴方程得到，则可对①进行判断；由抛物线开口方向得到，由得到，由抛物线与轴的交点在轴上方得到，则可对②进行判断；利用时，函数有最大值对③进行判断；根据二次函数图象的对称性得到抛物线与轴的另一个交点在点与之间，则时，，于是可对④进行判断；由得到，则可判断和所对应的函数值相等，则，于是可对⑤进行判断．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为，即，
，
抛物线与轴的交点在轴上方，
，
，所以①错误；
，
，所以②正确；
时，函数值最大，
，即，所以③正确；
抛物线与轴的交点到对称轴的距离大于1，
抛物线与轴的一个交点在点与之间，
抛物线与轴的另一个交点在点与之间，
时，，
，所以④错误；
当，则，
和所对应的函数值相等，
，
，所以⑤正确；
故答案为：②③⑤．
13．二次函数的图象如图所示，对称轴为，过，则下列结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数）．其中正确的是 （填序号）．
【答案】①③
【分析】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数的图象与性质，根据图象先判断的取值，然后再根据对称轴与图象的交点情况进行等量代换和推理即可．
【详解】解： 由图象可知，图象开口向下，
∴，
抛物线与y轴交于正半轴，
∴，
又对称轴为，
∴，，
∴，
∴，故①符合题意；
抛物线与x轴交于，
∴，
∴，故②不符合题意；
由二次函数的对称性可知，当时，，
则有，故③符合题意；
∵，，
∴，
又，
∴，故④不符合题意；
当时，函数值最大，，
而当时，，
∴
，故⑤不符合题意．
故答案为：①③．
14．如图，二次函数（为常数，且）的图象过点，对称轴为直线，且，给出下列结论：①；②；③；④，为任意实数；⑤．其中正确的是 ．（填序号即可）
【答案】②④⑤
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线开口向下，交轴于正半轴，对称轴在轴的右边，得出，，，即可判断①；由图象可得：当时，，即可判断②；由二次函数（为常数，且）的图象过点，对称轴为直线，可得，，即可判断③；由抛物线的对称轴为直线，，可得当时，函数值取得最大值为，即可判断④；由得出，从而得出，求解即可判断⑤；熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：抛物线开口向下，交轴于正半轴，对称轴在轴的右边，
，，，
，故①错误，不符合题意；
由图象可得：当时，，
，故②正确，符合题意；
二次函数（为常数，且）的图象过点，对称轴为直线，
，，
，
，即，故③错误，不符合题意；
抛物线的对称轴为直线，，
当时，函数值取得最大值为，
当为任意实数时，，即，故④正确，符合题意；
，
，
，
，
，故⑤正确，符合题意；
综上所述，正确的有②④⑤，
故答案为：②④⑤．
15．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有 （填写所有正确结论的序号）．
【答案】①③⑤
【分析】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，涉及了数形结合思想的应用．根据对称轴为直线及图象开口向下，与y轴的交点，可判断出a、b、c的符号，从而判断①；求出图象与轴的另一个交点为，则可判断②；利用函数的最小值：，可判断③；根据方程的两根为，可得，可判断④⑤的正误．
【详解】解：①∵函数开口方向向上，
∴；
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∵抛物线与y轴交点在轴负半轴，
∴，
∴，故①正确；
②∵图象与x轴交于点，对称轴为直线，
∴图象与轴的另一个交点为，
当时，，故②错误；
③∵二次函数的图象与y轴的交点在的下方，对称轴在x轴右侧，且，
∴函数的最小值：，
∴，故③正确；
④∵图象与x轴交于点，，
∴方程的两根为，
∴，
∴，，
∴，
∵图象与y轴的交点B在和之间，
∴，
∴；故④错误；
∵，
∴，
∵，
∴，故⑤正确．
故答案为：①③⑤．
16．已知抛物线的图象如图所示，则下列结论中，；；；④若，则； ；正确的
【答案】
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①因为抛物线开口向上，可知，对称轴在y轴的左侧，a、b同号．故，抛物线与y轴的交点在负半轴，因此，所以，故①符合题意；
②抛物线和x轴有两个交点，故，故②正确，符合题意；
③当时，，故③错误，不符合题意；
④因为对称轴介于与0之间，因此，得，而，∴，因此④正确，符合题意；
⑤当时，，又∵，∴，∴，故⑤正确，符合题意；
故答案为：．
17．如图，二次函数的图象与正比例函数的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②；③关于x的方程的两根为，；④．其中正确的是 ．（只填写序号）
【答案】①③
【分析】依据题意，根据所给图象可以得出，，再结合对称轴，同时令，从而由根与系数的关系，逐个判断可以得解．
【详解】解：由图象可得，，，又，
．
．
①正确．
由题意，令，
．
又二次函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点，已知点的横坐标为，点的横坐标为2，
的两根之和为，两根之积为．
，．
．
又，
．
．
②错误，③正确．
，，
．
④错误．
故答案为：①③．
18．如图，二次函数（a为常数，且）的图象过点，对称轴为直线且以下结论：为任意实数 ．上述结论中正确结论的是 ．
【答案】②④⑤
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：抛物线的对称轴在y轴右侧，则而，
故，不正确，①不符合题意；
函数的对称轴为直线x1，则，
当时，故正确，②符合题意
∵从图象看，当时， ，
故不正确， ③不符合题意；
∵当时，函数有最大值为，
∴（t为任意实数），
故正确，④符合题意
∵1，故 ，
∵故，
∴ ，
∵，
∴，
∴﹣1＜a，故正确，⑤符合题意；
故答案为：②④⑤．
19．如图，二次函数的图象过点，与y轴正半轴相交，且交点在的上方，下列结论：①2a﹣b＜0；②当x＞﹣1时，y随着x增大而减小；③；④．其中一定成立的结论的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】将点代入函数的解析式可得，再根据与轴正半轴相交，且交点在的上方可得，从而可得，由此可判断①；先根据函数图象的开口向下可得，再求出二次函数的对称轴，然后根据二次函数的增减性即可判断②；根据时，；时，可得，由此即可判断③；根据，可得，由此即可判断④．
【详解】解：①将点代入得：，即，
二次函数的图象与轴正半轴相交，且交点在的上方，
，
，则结论①正确；
②由函数图象的开口向下可知，，
二次函数的图象过点，
抛物线的对称轴，
当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，则结论②不正确；
③由函数图象可知，当时，，
当时，，
，
，即，结论③正确；
④由①已得：，，
，
，即，结论④正确；
综上，一定成立的结论的序号是①③④，
故答案为：①③④．
20．已知抛物线（，，是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论：
①；
②若，则；
③若点，在抛物线上，，且，则；
④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．
其中正确的是 （填写序号）．
【答案】①③④
【分析】首先判断对称轴，再由抛物线的开口方向判断①；由抛物线经过A（-1，0），，当时，，求出，再代入判断②，抛物线，由点，在抛物线上，得，，把两个等式相减，整理得，通过判断，的符号判断③；将方程写成a（x-m）（x+1）-1=0，整理，得，再利用判别式即可判断④．
【详解】解：抛物线过，两点，且，
，
，
，即，
抛物线开口向下，，
，故①正确；
若，则，
，
，故②不正确；
抛物线，点，在抛物线上，
∴，，把两个等式相减，整理得，
，，，
，
，
，故③正确；
依题意，将方程写成a（x-m）（x+1）-1=0，整理，得，
，
，，
，，
， 故④正确．
综上所述，①③④正确．
故答案为；①③④．
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专题突破二：二次函数图像与各项系数之间的关系（20道）
（选填压轴专练）
选填题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分。）
1．如图，已知二次函数的图象关于直线对称，与x轴的一个交点在原点和之间，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．（m为任意实数）
2．如图是二次函数图像的一部分，对称轴为直线，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．当时，
D．若，，在该函数图像上，则
3．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④若图象上有两点，且，则．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，已知抛物线（a，b，c为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．如图，抛物线的对称轴是直线，其中一个点的坐标为，下列结论：①；②；③；④若，在函数图象上，则，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．已知二次函数（）与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若关于x的方程有两个实数根，且满足，则，．其中正确结论的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③方程的两个实数根为，且，则，；④若为任意实数，则．正确结论的序号为（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③
9．已知二次函数（、、都是常数，且）的图象与轴交于点、，且，与轴交于正半轴，且交点在的下方，下列结论； ；；，其中正确结论的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
10．如图，函数（，，为常数，且）经过点，，且，下列结论：；；若点，在抛物线上，则；若，则的取值范围是．其中结论正确的有 ．（填序号）
11．二次函数的图象如图所示．下列结论：
①；②；③方程有两个不相等的实数根；④不等式的解集是．
其中所有正确结论的序号是 ．
12．二次函数图象如图所示，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤若存在，满足，则．其中正确的有 ．（填写序号）
13．二次函数的图象如图所示，对称轴为，过，则下列结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数）．其中正确的是 （填序号）．
14．如图，二次函数（为常数，且）的图象过点，对称轴为直线，且，给出下列结论：①；②；③；④，为任意实数；⑤．其中正确的是 ．（填序号即可）
15．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有 （填写所有正确结论的序号）．
16．已知抛物线的图象如图所示，则下列结论中，；；；④若，则； ；正确的
17．如图，二次函数的图象与正比例函数的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②；③关于x的方程的两根为，；④．其中正确的是 ．（只填写序号）
18．如图，二次函数（a为常数，且）的图象过点，对称轴为直线且以下结论：为任意实数 ．上述结论中正确结论的是 ．
19．如图，二次函数的图象过点，与y轴正半轴相交，且交点在的上方，下列结论：①2a﹣b＜0；②当x＞﹣1时，y随着x增大而减小；③；④．其中一定成立的结论的序号是 ．
20．已知抛物线（，，是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论：
①；
②若，则；
③若点，在抛物线上，，且，则；
④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．
其中正确的是 （填写序号）．
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