浙教版数学八年级上册2.2等腰三角形 精品同步练习（含解析）

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浙教版八年级上册数学 2.2等腰三角形 同步练习
(考试时间：60分钟 满分：100分）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。下列各题的备选答案中，只有一项是最符合题意的，请选出。）
1.△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高，若∠EBC＝∠BAD，则△ABC一定是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
2.在平面直角坐标系中，已知点A（3，3），在x轴的正半轴上确定一点P，使得三角形AOP是等腰三角形，则符合条件的点P共有（　　）
A．2 个 B．3个 C．4个 D．1个
3.如图所示，在三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，在BC上分别取点D，E使∠BAD＝∠B，∠CAE＝∠C，则图中的等腰三角形有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
4.下列说法错误的是（ ）
A．有两个角相等的三角形是等腰三角形
B．到线段两端的距离相等的点，在线段的垂直平分线上
C．成轴对称的两个图形中，对称轴垂直平分连结两个对称点的线段
D．面积相等的两个三角形全等
5.如图，已知每个小方格的边长为1，A，B，两点都在小方格的顶点上，请在图形中找一个格点C，使是等腰三角形，这样的格点C有（　　　）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
6.如图，任意△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①∠A＝2∠BFC﹣180°；②DE﹣BD＝CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＞CF．其中正确的有（　　）
7.如图，点，，分别在等边的三边上，且，过点，，分别作，，边的垂线，得到．若要求的面积，则只需知道（ ）
A．的长 B．的长 C．的长 D．的长
8.如图，在△ABC中已知∠B、∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC点E，若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
9.如图，有一种电子游戏，其规则为：电子屏幕上有一正方形，点P沿直线从右往左移动，当出现点P与正方形四个顶点中的两个顶点构成等腰三角形时，就会发出警报，则直线上会发出警报的点P有（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
10.如图，点A、B在直线l的同侧，点C在直线l上，且是等腰三角形．符合条件的点C有（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。）
11.在中，，，，那么______度．
12.直线，点是，之间（不在直线，上）的一个动点．
图1 图2
（1）若与都是锐角，如图1，__________（填“>”，“<”或“=”）；
（2）若把一块三角尺（，）按如图2方式放置，点，，是三角尺的边与平行线的交点，若，__________°．
13.如图，在中，，点P在的三边上运动，当成为等腰三角形时，其顶角的度数是__________．
14.如图，的点在直线上，，若点P在直线上运动，当成为等腰三角形时，则度数是_______．
15.在等腰三角形ABC中，它的两边长分别为7cm和3cm，则它的周长为　 　cm．
三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.如图，△ABC中，∠B＝∠C，点D、E在边BC上，且AD＝AE，求证：BE＝CD．
17.如图，在中，，是边上的中线，的垂直平分线分别交、于点、，连接，．
(1)求证：点在的垂直平分线上；
(2)若，求的度数．
18.如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E，A在直线DC的同侧，连接AE．
(1)求证：AEBC；
(2)点D在AB的延长线上，仍以CD为边作等边三角形CDE，使得E、A在直线DC的两侧，那么AE和BC还平行吗？画图证明你的判断．
19.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1=∠2，DB=DC．
（1）求证：AB+BE=CD．
（2）若AD=BC，在不添加任何补助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形．
20.如图，．分别计算的度数，并说明图中有哪些等腰三角形．
参考答案
选择题
1.解析】∵∠EBC+∠C＝90°，∠C+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠EBC，
∵∠EBC＝∠BAD
∴∠BAD＝∠CAD，∠CAD+∠C＝90°∠BAD+∠ABC＝90°
∴∠ABC＝∠C
∴AB＝AC
∴△ABC为等腰三角形．
故选：A．
2.【解析】如图所示，当OP＝AP时，P1（3，0），
当OA＝OP时，OP＝OA＝3，此时P1（3，0），
当OA＝AP时，P3（6，0）．
故符合条件的点P共有3个．
故选：B．
3.【解析】∵AB＝AC，∠BAC＝108°，
∴∠B＝∠C＝36°，△ABC是等腰三角形，
∵∠BAD＝∠B＝36°，
∴△ABD是等腰三角形，
∵∠CAE＝∠C＝36°，
∴△AEC是等腰三角形，
∴∠ADC＝∠DAC＝72°，
∴△ADC是等腰三角形，
同理，△ABE是等腰三角形，
∴∠ADE＝∠AED＝72°，
∴△ADE是等腰三角形，
故选：D．
4.【答案】D
【分析】A.根据等腰三角形的判定进行判断即可；B.根据线段垂直平分线的判定进行判断即可；B.根据轴对称的性质进行判断即可；D.根据全等三角形的判定进行判断即可．
【详解】A.根据等腰三角形的判定可知：有两个角相等的三角形是等腰三角形，故A正确；
B.根据线段垂直平分线的判定定理可知：到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上，故B正确；
C.根据轴对称的性质可知：成轴对称的两个图形，对称轴垂直平分连结两个对称点的线段，故C正确；
D.根据三角形的面积公式可知：面积相等的两个三角形不一定全等，故D错误．
故选：D．
5.【答案】D
【分析】分AB为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数．
【详解】解：当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作圆，可找出格点点C的个数有6个；
当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有2个，
6+2=8．
故选：D．
6.【答案】C
【分析】由△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，DE∥BC，易证得△BDF和△CEF都是等腰三角形，继而可得DE＝BD+CE，又由△ADE的周长为：AD+DE+AE＝AB+BD+CE+AE＝AB+AC；即可得△ADE的周长等于AB与AC的和．
【详解】解：∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，
∴∠FBC＝∠ABF=，∠FCB＝∠ACF=，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A+2∠FBC+2∠FCB=180°，
∵∠BFC+∠FCB+∠BFC=180°，
∴∠A＝2∠BFC﹣180°，
故①正确；
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，
∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，
∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠FCB，
∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，
∴DB＝DF，EF＝EC，
∴DE＝DF+EF＝BD+CE，
故②正确；
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE＝AB+BD+CE+AE＝AB+AC；
故③正确
∵∠ABC不一定等于∠ACB，
∴∠FBC不一定等于∠FCB，
∴BF与CF不一定相等，无法判断其大小，
故④错误；
故选：C．
7.【答案】B
【分析】
先证△DEF是等边三角形，可得△DEF的面积=，设AP= BQ=CR=a，AC=BC=AB=b，利用直角三角形的性质可求DF=，即可求解．
【详解】
解：如图，设DR交AB于J．延长QF交AC于N，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵RJ⊥AB，
∴∠AJR=90°，
∵PE⊥BC，∠B=60°，
∴∠JPD=30°，
∴∠PDJ=∠EDF=60°，
同法可证，∠DEF=∠DFE=60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴△DEF的面积=，
∵AP=CR=BQ，
∴CQ=AR，
在△ARJ和△CNQ中，
，
∴△ARJ≌△CNQ（AAS），
∴AJ=CN，
设AP=BQ=CR=a，AC=BC=AB=b，
∴AR=b-a，
∵∠ARJ=30°，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴△DEF的面积=，
∴只要知道AP的长，可求△DEF的面积，
故选：B．
8.【答案】D
【分析】根据平行线的性质，角平分线的性质卡得，进而即可求解．
【详解】解：∵分别平分，
∴，
DE∥BC，
，
，
，
AB＝9，AC＝7，，
△ADE的周长为，
．
故选D
9.【答案】C
【分析】根据正方形的性质，利用等腰三角形的判定方法，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到直线AB上会发出警报的点P的个数．
【详解】解：当BC=BP时，△BCP为等腰三角形；
当P与B重合时，△APC为等腰三角形；
当P运动到AB边的中点时，PD=PC，此时△PCD为等腰三角形；
当P与A重合时，△PBD为等腰三角形；
当PA=AD时，△PAD为等腰三角形；
当AP=AC时，△APC是等腰三角形，这时有2个；
当BD=BP时，△BDP 是等腰三角形，这时有2个；
综上，直线AB上会发出警报的点P有9个．
故选：C．
10.【答案】A
【分析】以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点；再以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点，然后作的垂直平分线，交直线于点，由此即可得．
【详解】解：如图，以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点；再以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点，然后作的垂直平分线，交直线于点．
则符合条件的点共有5个，
故选：A．
填空题
11.【答案】30
【分析】如图所示，延长BC到D，使得BC=DC=3，证明△ACD≌△ACB，AD=AB=6，∠DAC=∠BAC，再证明△ABD是等边三角形，得到∠BAD=60°，则∠BAC=30°．
【详解】解：如图所示，延长BC到D，使得BC=DC=3，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠ACD=90°，
又∵AC=AC，BC=DC，
∴△ACD≌△ACB（SAS），
∴AD=AB=6，∠DAC=∠BAC，
又∵BD=BC+DC=6，
∴AD=AB=BD=6，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠BAD=60°，
∴∠BAC=30°，
故答案为：30．
12.【答案】 = 60
【分析】（1）过点作，根据平行线的性质即可求解；
（2）过点作，由（1）可得，进而可得，证明是等边三角形，即可求解．
【详解】（1）如图，过点作，
，
，
，
；
故答案为：；
（2）如图，过点作，
由（1）可得，
∵，
∴,
，，
，
是等边三角形，
，
故答案为：60．
13.【答案】100°或55°或70°
【分析】作出图形，然后分点P在AB上与BC上两种情况讨论求解．
【详解】解：①如图1，点P在AB上时，AP=AC，顶角为∠A=100°，
②∵∠ABC=25°，∠BAC=100°，
∴∠ACB=180°-25°-100°=55°，
如图2，点P在BC上时，若AC=PC，顶角为∠ACB=55°，
如图3，若AC=AP，则顶角为∠CAP=180°-2∠ACB=180°-2×55°=70°，
综上所述，顶角为105°或55°或70°．
故答案为：100°或55°或70°．
14.【答案】10°或80°或20°或140°
【分析】分三种情形：，，分别求解即可解决问题．
【详解】解：如图，
在中，，
①当时，，，
②当时，，
③当时，，
综上所述，满足条件的的值为或或或．
15.【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和7cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解析】当7cm为腰，3cm为底，此时周长＝7+7+3＝17（cm）；
当7cm为底，3cm为腰，则3+3＜7无法构成三角形，故舍去．
故其周长是17cm．
故答案为：17．
三、解答题
16.【分析】根据等腰三角形的性质得出∠BDA＝∠CEA，进而利用全等三角形的判定方法AAS即可得出△ABD≌△ACE，则结论可得出．
【详解】证明：∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴∠BDA＝∠CEA，
在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE（AAS）．
∴BD＝CE，
∴BD＋DE＝CE＋DE，即 BE＝CD．
17.【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，证得是的垂直平分线，根据线段垂直平分线性质可得，，进而证得结论；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出和的度数，再根据等腰三角形的性质和角的和差即可求出的度数．
（1）∵在中，，是边上的中线，
∴，，
∴是的垂直平分线．
∵点在上，
∴．
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴点在的垂直平分线上．
（2）∵，是边上的中线，，
∴，
∴，
∵
∴．
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
18.【答案】(1)见解析
(2)平行，见解析
【分析】（1）根据等边三角形性质推出BC=AC，CD=CE，∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°，求出∠BCD=∠ACE，根据SAS证△ACE≌△BCD，即可证明∠EAC=∠ABC=∠ACB=60°，可得结论；
（2）根据等边三角形性质推出BC=AC，CD=CE，∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°，求出∠BCD=∠ACE，根据SAS证△ACE≌△BCD，即可证明∠EAC=∠ABC=∠ACB=60°，可得结论；
（1）证明：∵△ABC和△DEC是等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠BCA-∠DCA=∠ECD-∠DCA，
即∠BCD=∠ACE，
在△ACE和△BCD中，，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠EAC=∠ABC=60°=∠ACB，
∴AEBC；
（2）解：还成立，
理由如下：
如图，
∵△ABC和△DEC是等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠BCA+∠DCA=∠ECD+∠DCA，
即∠BCD=∠ACE，
在△ACE和△BCD中，，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠EAC=∠ABC=60°=∠ACB，
∴AEBC；
19.【答案】（1）见解析；（2）△BCD，△BCE
【分析】（1）由“ASA”可证△ABD≌△EDC，可得AB=DE，BD=CD，可得结论；
（2）由全等三角形的性质可得BD=CD，AD=EC=BC，可求解．
【详解】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠EDC．
在△ABD和△EDC中，
，
∴△ABD≌△EDC（ASA），
∴AB=DE，
∴DE+BE=BD，
∵BD=CD，
∴AB+BE=CD；
（2）∵△ABD≌△EDC，
∴AD=EC，
∵AD=BC，BD=CD，
∴AD=BC=EC，
∴△BCD是等腰三角形，△BCE是等腰三角形
20.【答案】；图中的等腰三角形有
【分析】根据三角形内角和定理和三角形的外角性质求解即可，根据等角对等边即可找到相等的边，进而证明等腰三角形．
【详解】，
在中，，
是的一个外角，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，
是等腰三角形．
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