浙教版数学八年级上册2.4等腰三角形的性质定理 精品同步练习（含解析）

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浙教版八年级上册数学 2.4 等腰三角形的性质定理 同步练习
(考试时间：60分钟 满分：100分）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。下列各题的备选答案中，只有一项是最符合题意的，请选出。）
1.△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高，若∠EBC＝∠BAD，则△ABC一定是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
2.若等腰三角形的一个外角度数为100°，则该等腰三角形顶角的度数为（　　）
A．80° B．100° C．20°或100° D．20°或80°
3.如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC．工程人员这种操作方法的依据是（　　）
A．等边对等角
B．垂线段最短
C．等腰三角形“三线合一”
D．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等
4.在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝（　　）
A．16° B．28° C．44° D．45°
5.已知等腰三角形的周长为13，一条边长为5，则底边长为（　　）
A．3 B．5 C．5或3 D．4或5
6.若等腰三角形的一个外角度数为100°，则该等腰三角形顶角的度数为（　　）
A．80° B．100° C．20°或100° D．20°或80°
7.如图，AD是等腰△ABC的顶角的平分线，E点在AB上，F点在AC上，且AD平分∠EDF，则下列结论错误的是（　　）
A．BE＝CF B．∠BDE＝∠CDF C．∠BED＝∠CFD D．∠BDE＝∠DAE
8.如图，在射线OA，OB上分别截取OA1＝OB1，连接A1B1，在B1A1，B1B上分别截取B1A2＝B1B2，连接A2B2，…按此规律作下去，若∠A1B1O＝a，则∠A2020B2020O＝（　　）
A． B． C．4040a D．4038a
9.等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长为（ ）
A．12 B．12或15 C．15或18 D．15
10.如图中，分别在上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。）
11.在等腰三角形ABC中，它的两边长分别为7cm和3cm，则它的周长为　 　cm．
12.等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是　 　．
13.如图，△ABC为正三角形，BD是角平分线，点F在线段BD上移动，直线CF与AB交于点E，连结AF，当AE＝AF时，∠BCE＝　20　度．
14.如图，已知AC＝BC，BD＝BM，ME＝MF，∠C＝60°，则∠F＝　 　．
15.在中，与相邻的外角是，要使为等腰三角形，则的度数是________．
三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.如图，在中，，点，在上，．
（1）求证：≌．
（2）若，，求的长．
17.如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，AC平分∠BAD，E是对角线AC上一点，连接BE，DE．
（1）求证：BE＝DE．
（2）当BE∥CD，∠BAD＝78°时，求∠BED的度数．
18.如图所示，在中，，N是上任一点（不与点A，B重合），过点N作交所在直线于点M．
（1）若，求的度数．
（2）如果将（1）中的度数改为，其余条件不变，求的度数．
（3）综合（1）（2），你发现了什么规律？试证明之．
（4）若将（1）中的改为直角或钝角，你发现的规律是否仍然成立？（直接写出结论）
19.问题：如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC．若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．
答案：∠DAC＝45°．
思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由．
（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．
20.如图，在△ABC中，AB＝AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点 E．
（1）求证：DE＝CE．
（2）若∠CDE＝25°，求∠A的度数．
参考答案
一选择题
1.【答案】D
【分析】设∠BAC=x，根据已知可以分别表示出∠ABD和∠BAD，再根据三角形内角和定理即可求得∠BAC的度数．
【详解】解：设∠BAC=x，
∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°-x），
∵BD是∠ABC的角平分线，AD是∠BAC的角平分线，
∴∠ABD=（180°-x），∠DAB=x，
∵∠ABD+∠DAB+∠ADB=180°，
∴（180°-x）+x+130°=180°，
∴x=20°．
故选：D．
2.【分析】因为题中没有指明该外角是顶角的外角还是底角的外角，所以应该分两种情况进行分析．
【解析】当100°的角是顶角的外角时，顶角的度数为180°﹣100°＝80°；
当100°的角是底角的外角时，底角的度数为180°﹣100°＝80°，所以顶角的度数为180°﹣2×80°＝20°；
故顶角的度数为80°或20°．
故选：D．
3.【解析】∵AB＝AC，BE＝CE，
∴AE⊥BC，
故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故选：C．
4.【分析】延长ED，交AC于F，根据等腰三角形的性质得出∠A＝∠ACB＝28°，根据平行线的性质得出∠CFD＝∠A＝28°，
由三角形外角的性质即可求得∠ACD的度数．
【解析】延长ED，交AC于F，
∵△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，
∴∠A＝∠ACB＝28°，
∵AB∥DE，
∴∠CFD＝∠A＝28°，
∵∠CDE＝∠CFD+∠ACD＝72°，
∴∠ACD＝72°﹣28°＝44°，
故选：C．
5.【答案】解：当5是等腰三角形的底边时，则其腰长是（13﹣5）÷2＝4，能够组成三角形；
当5是等腰三角形的腰时，则其底边是13﹣5×2＝3，能够组成三角形．
所以该等腰三角形的底边为5或3，
故选：C．
6.【答案】解：当100°的角是顶角的外角时，顶角的度数为180°﹣100°＝80°；
当100°的角是底角的外角时，底角的度数为180°﹣100°＝80°，所以顶角的度数为180°﹣2×80°＝20°；
故顶角的度数为80°或20°．
故选：D．
7.【解析】∵AD是等腰△ABC的顶角的平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，AB＝AC，
∵AD平分∠EDF，
∴∠EDA＝∠FDA，
在△AED和△AFD中，
∴△AED≌△AFE（ASA），
∴AE＝AF，
∴AB﹣AE＝AC﹣AF，
∴EB＝FC，故A正确；
∵AD是等腰△ABC的顶角的平分线，
∴AD⊥CB，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵△AED≌△AFE，
∴∠EDA＝∠FDA，
∴∠BDE＝∠CDF，故B正确；
∵△AED≌△AFE，
∴∠AED＝∠AFD，
∴∠BED＝∠CFD，故C正确；
假设∠A＝∠BDE，则∠A+∠EDA＝90°，
∴DE⊥AB，
∵条件中没有DE⊥AB，
∴∠A＝∠BDE错误，故D错误；
故选：D．
8.【解析】∵B1A2＝B1B2，∠A1B1O＝α，
∴∠A2B2Oα，
同理∠A3B3O∠A2B2Oα，
∠A4B4Oα，
∴∠AnBnOα，
∴∠A2020B2020O，
故选：B．
9.【答案】D
【分析】分别从若腰长为3，底边长为6，若腰长为6，底边长为3，去分析求解即可求得答案，注意三角形的三边关系．
【详解】解：①若腰长为3，底边长为6，
∵3+3=6，
∴不能组成三角形，舍去；
②若腰长为6，底边长为3，
则它的周长是：6+6+3=15．
∴它的周长是15，
故选：D．
10.【答案】C
【分析】由已知根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到∠C与∠A之间的关系，从而再利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵AE=ED，
∴∠ADE=∠A，
∴∠DEB=∠A+∠ADE=2∠A，
∵BD=ED，
∴∠ABD=∠DEB=2∠A，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=3∠A，
∵BD=BC，
∴∠C=∠BDC=3∠A，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=3∠A，
∵∠ABC+∠C+∠A=180°，
∴7∠A=180°，
∴∠A=．
故选：C．
填空题
11.【解析】当7cm为腰，3cm为底，此时周长＝7+7+3＝17（cm）；
当7cm为底，3cm为腰，则3+3＜7无法构成三角形，故舍去．
故其周长是17cm．
故答案为：17．
12.【解析】①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，
∵此时能组成三角形，
∴周长＝3+3+4＝10；
②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，
此时能组成三角形，
所以周长＝3+4+4＝11．
综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．
故答案为：10或11．
13.【解析】∵△ABC为正三角形，BD是角平分线，
∴∠ABC＝60°，BD⊥AC，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，AB＝BC，
∵BF＝BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴∠BAF＝∠BCF，
设∠BAF＝∠BCF＝α，
∴∠AEF＝60°+α，
∵AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE＝60°+α，
∴60°+α+60°+α+α＝180°，
∴α＝20°，
∴∠BCE＝20°，
故答案为：20．
14.【解析】∵AC＝BC，∠C＝60°，
∴∠A＝∠ABC＝60°，
∵BD＝DM，
∴∠BDM＝∠DMB，
∵∠ABC＝∠BMD+∠BDM＝60°，
∴∠BMD＝30°，
∵EM＝MF，
∴∠MEF＝∠MFE，
∵∠BMD＝∠MEF+∠MFE，
∴∠F，
故答案为：15°．
15.【答案】50°或65°或80°
【分析】依据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质进行判断即可．
【详解】解：∠A=180°-130°=50°．
当AB=AC时，∠B=∠C=（180°-50°）=65°；
当BC=BA时，∠A=∠C=50°，则∠B=180°-50°-50°=80°；
当CA=CB时，∠A=∠B=50°．
∠B的度数为50°或65°或80°，
故答案为：50°或65°或80°．
解答题
16.【答案】（1）见解析；（2）2
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，再由已知即可证明；
（2）由及，可得，从而可得AD=BD=2，再由（1）的结论可得AE的长度．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴≌．
（2）∵，，
∴，
∴，
∵≌，
∴．
17.【答案】（1）证明见解析；（2）141°．
【分析】（1）由角平分线的性质得∠BAE＝∠DAE，由SAS证得△BAE≌△DAE，即可得出结论；
（2）由△BAE≌△DAE，得出∠BEA＝∠DEA，推出∠BEC＝∠DEC，易求∠BAC＝∠DAC＝×78°＝39°，由等腰三角形与三角形内角和定理求出∠ACD＝∠ADC＝70.5°，由平行线的性质得出∠BEC＝∠ACD＝70.5°，即可得出结果．
【详解】解：（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
在△BAE和△DAE中，
，
∴△BAE≌△DAE（SAS），
∴BE＝DE；
（2）由（1）得△BAE≌△DAE，
∴∠BEA＝∠DEA，
∴∠BEC＝∠DEC，
∵AC平分∠BAD，∠BAD＝78°，
∴∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝×78°＝39°，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝×（180°﹣39°）＝70.5°，
∵BE∥CD，
∴∠BEC＝∠ACD＝70.5°，
∴∠BEC＝∠DEC＝70.5°，
∴∠BED＝2×70.5°＝141°．
18.【答案】（1）15°；（2）34°；（3），证明见解析；（4）成立
【分析】（1）利用等腰三角形的性质可先求得∠B，在Rt△BMN中利用三角形内角和可求得∠NMB；
（2）方法同（1）；
（3）利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可找到∠A与∠NMB之间的关系，可证明结论；
（4）结合（3）的证明，可知仍然成立，证明方法同（3）．
【详解】解：（1），
，
，
，
，
；
（2）当时，同理有；
（3）规律：，证明如下：
，
，
，
，
，
；
（4）当为钝角或直角时，仍然有．
若∠A为钝角，如图，
∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=，
∵MN⊥AB，
∴∠NMB=90°-∠ABC=90°-=，
同理，当∠A为锐角，依然成立．
19.【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠AED＝2∠C，①求得∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②由①，②即可得到结论；
（2）设∠ABC＝m°，根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解析】（1）∠DAC的度数不会改变；
∵EA＝EC，
∴∠AED＝2∠C，①
∵∠BAE＝90°，
∴∠BAD[180°﹣（90°﹣2∠C）]＝45°+∠C，
∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②
由①，②得，∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝45°；
（2）设∠ABC＝m°，
则∠BAD（180°﹣m°）＝90°m°，∠AEB＝180°﹣n°﹣m°，
∴∠DAE＝n°﹣∠BAD＝n°﹣90°m°，
∵EA＝EC，
∴∠CAEAEB＝90°n°m°，
∴∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝n°﹣90°m°+90°n°m°n°．
20.【思路点拨】（1）利用等角对等边证明即可．
（2）求出∠ABC，∠ACB即可解决问题．
【答案】（1）证明：∵CD 是∠ACB 的平分线，
∴∠BCD＝∠ECD，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴DE＝CE．
（2）解：∵∠ECD＝∠EDC＝25°，
∴∠ACB＝2∠ECD＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝50°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°．
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