浙教版数学八年级上册2.6 直角三角形 精品同步练习（含解析）

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浙教版八年级上册数学 2.6直角三角形 同步练习
(考试时间：60分钟 满分：100分）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。下列各题的备选答案中，只有一项是最符合题意的，请选出。）
1.如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C＝30°，AC∥EF，则∠1＝（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
2.如图，在△ABC中，点P在边BC上（不与点B，点C重合），（　　）
A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，则AC＝PC
B．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，则AP⊥BC
C．若AP⊥BC，PB＝PC，则∠BAC＝90°
D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，则∠BAC＝90°
3.△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，则∠C为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
4.在Rt△ABC中，∠C＝90o，∠A＝2∠B，则∠A＝（　　）
A．30o B．45o C．60o D．70o
5.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAC＝5∠BAE，则∠C的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
6.）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B﹣∠A＝10°，D是AB上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△CED，边CE交AB于点F．若△DEF中有两个角相等，则∠ACD的度数为（　　）
A．15°或20° B．20°或30° C．15°或30° D．15°或25°
7.如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，作AC的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，若DE＝3，则BD的长度是（　　）
A．3 B．2 C． D．
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若∠A＝60°，AD＝1，则BC的长为（　　）
A． B． C． D．
9.在△ABC中，∠BAC＝90°，点D在边BC上，AD＝AB（　　）
A．若AC＝2AB，则∠C＝30°
B．若AC＝2AB，则3BD＝2CD
C．若∠B＝2∠C，则AC＝2AB
D．若∠B＝2∠C，则S△ABD＝2S△ACD
10.）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在斜边AB上，且AD＝CD，则下列结论中错误的是（　　）
A．∠DCB＝∠B B．BC＝BD
C．AD＝BD D．∠ACD∠BDC
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。）
11.如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝54°，∠2＝24°，则∠B的度数为　 　．
若直角三角形的一个锐角为15°，则另一个锐角等于 　 　．
13.如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，且∠BAD：∠CAB＝1：3，则∠B＝　　．
14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，∠B＝52°，那么∠ACD＝　　．
15.在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝60°，BC＝6，若点P在直线AC上（不与点A，C重合）且∠ABP＝30°，则CP的长为 　 　．
三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠CAB，CD⊥AB，AE、CD相交于点F．
（1）若∠DCB＝50°，求∠CEF的度数；
（2）求证：∠CEF＝∠CFE．
17.定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足α+2β＝90°，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．
（1）若△ABC是“近直角三角形”，∠B＞90°，∠C＝50°，则∠A＝　20　度；
（2）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4．边AC上是否存在点E，使得△BCE也是“近直角三角形”？若存在，求出所有E点的位置；若不存在，请说明理由．
18.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，E为边AC上一点，连接DE，EC＝ED，过点E作EF⊥AB，垂足为F．
（1）判断DE与BC的位置关系，并说明理由；
（2）若∠A＝30°，∠ACB＝80°，求∠DEF的度数．
19.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．
（1）若∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，求∠DAE的度数；
（2）已知△ADE的周长11cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为27cm，求OA的长．
20.已知：如图，在△ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延长线于E，连接BE．
（1）求证：CE＝CB；
（2）若∠CAE＝30°，CE＝2，求BE的长度．
参考答案
选择题
1.【解答】解：∵AC∥EF，∠C＝30°，
∴∠C＝∠CBF＝30°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠CBF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
故选：C．
2.【解答】解：A．∵∠BAC＝90°，
∴∠BAP+∠CAP＝∠B+∠C＝90°，
∵∠BAP＝∠B，
∴∠CAP＝∠C，
∴AP＝PC，
只有当∠B＝30°时，AC＝PC，故错误；
B．∵∠BAC＝90°，
∴∠BAP+∠CAP＝90°，
∵∠BAP＝∠C，
∴∠C+∠CAP＝90°，
∴∠APC＝180°﹣（∠C+∠CAP）＝90°，
即AP⊥BC，故正确；
C．∵AP⊥BC，PB＝PC，
∴AP垂直平分BC，
而∠BAC不一定等于90°，故错误；
D．根据PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，无法证明∠BAC＝90°，故错误，
故选：B．
3.【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝90°，
∴∠C＝90°﹣30°＝60°，
故选：D．
4.【分析】根据三角形的内角和定理得到∠A+∠B＝90°，根据已知条件得到2∠B+∠B＝90°，于是得到结论．
【解析】∵∠C＝90o，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠A＝2∠B，
∴2∠B+∠B＝90°，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝2∠B＝60°，
故选：C．
5.【分析】设∠BAE＝x°，则∠BAC＝5x°，根据线段垂直平分线的性质得出AE＝CE，根据等腰三角形的性质得出∠C＝∠EAC，求出∠C＝4x°，根据直角三角形的性质得出∠C+∠BAC＝90°，求出x即可．
【解析】设∠BAE＝x°，则∠BAC＝5x°，
∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴∠C＝∠EAC＝5x°﹣x°＝4x°，
∵∠B＝90°，
∴∠C+∠BAC＝90°，
∴4x+5x＝90，
解得：x＝10，
即∠C＝40°，
故选：B．
6.【分析】由三角形的内角和定理可求解∠A＝40°，设∠ACD＝x°，则∠CDF＝40°+x，∠ADC＝180°﹣40°﹣x＝140°﹣x，由折叠可知：∠ADC＝∠CDE，∠E＝∠A＝40°，可分三种情况：当∠DFE＝∠E＝40°时；当∠FDE＝∠E＝40°时；当∠DFE＝∠FDE时，根据∠ADC＝∠CDE列方程，解方程可求解x值，即可求解．
【解析】在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，
∵∠B﹣∠A＝10°，
∴∠A＝40°，∠B＝50°，
设∠ACD＝x°，则∠CDF＝40°+x，∠ADC＝180°﹣40°﹣x＝140°﹣x，
由折叠可知：∠ADC＝∠CDE，∠E＝∠A＝40°，
当∠DFE＝∠E＝40°时，
∵∠FDE+∠DFE+∠E＝180°，
∴∠FDE＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴140°﹣x＝100°+40°+x，
解得x＝0（不存在）；
当∠FDE＝∠E＝40°时，
∴140°﹣x＝40°+40°+x，
解得x＝30，
即∠ACD＝30°；
当∠DFE＝∠FDE时，
∵∠FDE+∠DFE+∠E＝180°，
∴∠FDE，
∴140°﹣x＝70°+40°+x，
解得x＝15，
即∠ACD＝15°，
综上，∠ACD＝15°或30°，
故选：C．
7.【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD＝CD，根据等腰三角形的性质得到∠ACD＝∠A＝30°，根据直角三角形的两锐角互余求出∠BCD，根据角平分线的定义证明结论．
【解析】∵DE是AC边上的中垂线，∠A＝30°，
∴AD＝CD，
∴∠ACD＝∠A＝30°，
∵∠B＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝60°﹣30°＝30°，
∴∠BCD＝∠ACD，
∴CD平分∠BCA．
∴BD＝DE，
∵DE＝3，
∴BD＝3．
故选：A．
8.【分析】在Rt△ACD中，求出AC，再根据BC＝AC tan60°，计算即可．
【解析】∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∴AC＝2AD＝2，
∵∠ACB＝90°，
∴BC＝AC tan60°＝2，
9.【分析】根据直角三角形30°角所对边是斜边的一半，可得BC＝2AB＞AC，从而可判断选项A、C；作AE⊥BC于E，根据勾股定理和等面积法克求得BC、BD和DC，从而得出BD和CD的关系，可判断选项B；可先得出AD为中线，根据三角形中线平分三角形的面积可判断选项D．
【解析】A．设AB＝a，则AC＝2AB＝2a，由勾股定理得：BCa，
所以ABBC，
即∠C度数不是30°，故本选项不符合题意；
B．设AB＝a，则AC＝2AB＝2a，由勾股定理得：BCa，
作AE⊥BC于E，
∵S△ABCAB ACBC AE，
∴AEa，
∵AD＝AB，
∴BE＝DEa，
∴BDa，DC＝BC﹣BDa，
∴3BD＝2CD，，故本选项符合题意；
C．若∠B＝2∠C，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∴∠C＝30°，∠B＝60°，
∴BC＝2AB，AC＜2AB，故本选项不符合题意；
D．若∠B＝2∠C，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∴∠C＝30°，∠B＝60°，
∵AD＝AB，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ADB＝60°，
∴∠DAC＝∠ADB﹣∠C＝30°＝∠C，
∴AD＝DC＝BD，即AD为△ABC的中线，
∴S△ABD＝S△ACD，故本选项不符合题意；
故选：B．
10.【分析】根据同角的余角相等判断A；根据题意判断B；根据等腰三角形的性质判断C；根据三角形的外角性质判断D．
【解析】∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，
∵AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD，
∴∠B＝∠BCD，A选项结论正确，不符合题意；
BC与BD不一定相等，B选项结论错误，符合题意；
∵∠B＝∠BCD，
∴BD＝CD，
∵AD＝CD，
∴AD＝BD，C选项结论正确，不符合题意；
∵∠A＝∠ACD，
∴∠BDC＝∠A＝∠ACD＝2∠ACD，
∴∠ACD∠BDC，D选项结论正确，不符合题意．
故选：B．
填空题
11.【解答】解：如图，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝54°，
∵∠3＝∠2+∠A，
∴∠A＝54°﹣24°＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣30°＝60°，
故答案为60°．
12.【分析】根据直角三角形的两锐角互余列式计算即可．
【解析】∵直角三角形的一个锐角为15°，
∴另一个锐角＝90°﹣15°＝75°，
故答案为：75°．
13.【分析】根据线段垂直平分线性质得出AD＝BD，求出∠B＝∠BAD，设∠BAD＝x°，∠CAB＝3x°，∠B＝x°，根据直角三角形的性质得出x+3x+x＝90，求出x即可．
【解析】∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD，
设∠BAD＝x°，∠CAB＝3x°，
∴∠B＝x°，
∵∠C＝90°，
∴∠CAD+∠BAD+∠B＝90°，
∴3x+x＝90，
解得：x＝22.5，
∴∠B＝22.5°，
故答案为：22.5°．
14.【分析】根据垂直求出∠ADC＝90°，根据直角三角形的性质得出∠B+∠A＝90°，∠A+∠ACD＝90°，求出∠ACD＝∠B，再求出答案即可．
【解析】∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵∠B＝52°，
∴∠ACD＝52°，
故答案为：52°．
15.【分析】根据题意画出图形，分两种情况进行讨论，利用含30°角的直角三角形的性质解答．
【解析】分两种情况：
①如图1，点P在边AC上时，
∵∠A＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠C＝30°，
∵∠ABP＝30°，
∴∠PBC＝60°﹣30°＝30°，
∴∠C＝∠PBC，
∴PC＝PB，
∵∠A＝90°，BC＝6，∠C＝30°，
∴ABBC＝3，AC＝3，
∴AP，BP＝PC＝2；
②如图2，当P在直线AC上时，
同理得：AP，
∴PC34；
综上，PC的长是2或4．
故答案为：2或4．
解答题
16.【分析】（1）根据直角三角形的性质得到∠DCB+∠B＝90°，∠CAB+∠B＝90°，进而得到∠CAB＝∠DCB，根据角平分线的定义计算即可；
（2）根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠CAE，根据直角三角形的性质得到∠CEF＝∠AFD，根据对顶角相等证明结论．
【解答】（1）解：∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠B＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∴∠CAB＝∠DCB＝50°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE∠CAB＝25°，
∴∠CEF＝90°﹣∠CAE＝65°；
（2）证明：∵AE平分∠CAB，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵∠CAE+∠CEF＝90°，∠BAE+∠AFD＝90°，
∴∠CEF＝∠AFD，
∵∠CFE＝∠AFD，
∴∠CEF＝∠CFE．
17.【分析】（1）∠B不可能是α或β，当∠A＝α时，∠C＝β＝50°，α+2β＝90°，不成立；故∠A＝β，∠C＝α，α+2β＝90°，则β＝20°，答案为20；
（2）根据已知条件推出△ABC∽△AEB，根据相似三角形的性质列方程求得AE，即可求解．
【解析】（1）∵∠B＞90°，
∴∠B不可能是α或β，
当∠A＝α时，∠C＝β＝50°，α+2β＝90°，不成立；
故∠A＝β，∠C＝α，α+2β＝90°，则β＝20°，
故答案为20；
（2）存在，理由：
在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△BCE是“近直角三角形”，
∵∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝5，
∵△BCE是“近直角三角形”，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠C，
∴△ABC∽△AEB，
∴，
即，
解得：AE．
18.【分析】（1）由角平分线的定义可得∠ACD＝∠BCD，由等腰三角形的性质可得∠ACD＝∠EDC，即可求得∠ACD＝∠EDC，进而可求解；
（2）由直角三角形的性质可求解∠AEF＝60°，由平行线的性质可求解∠AED的度数，进而可求解．
【解析】（1）DE∥BC，理由如下：
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵EC＝ED，
∴∠ACD＝∠EDC，
∴∠BCD＝∠EDC，
∴DE∥BC；
（2）∵EF⊥AB，∠A＝30°，
∴∠AEF＝60°，
∵∠ACB＝80°，DE∥BC，
∴∠AED＝∠ACB＝80°，
∴∠DEF＝∠AED﹣∠AEF＝80°﹣60°＝20°．
19.【分析】（1）求出∠BAC＝110°，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，可求出答案；
（2）连接OA，OB，OC，根据三角形的周长公式求出OB+OC，根据线段垂直平分线的性质得到OB＝OC，计算即可．
【解析】（1）∵∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣40°＝110°，
∵DM是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠ABC＝30°，
同理，EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ACB＝40°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝110°﹣30°﹣40°＝40°；
（2）连接OA，OB，OC，
∵△ADE的周长11cm
∴AD+DE+EA＝11（cm），
∴BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝11（cm）；
∵△OBC的周长为27cm，
∴OB+OC+BC＝27（cm），
∵BC＝11cm，
∴OB+OC＝16（cm），
∵OM垂直平分AB，
∴OA＝OB，
同理，OA＝OC，
∴OA＝OB＝OC＝8（cm）．
20.【分析】（1）利用等腰三角形的性质和平行线的性质得到AC是∠EAB的角平分线，根据角平分线的性质即可证明CE＝CB；
（2）通过倒角或者三角形全等证明△AEB是等边三角形，所以BE＝AB，在Rt△ABC中，根据30°所对的直角边等于斜边的一半求得AC，再根据勾股定理求出AB，即得出BE的长．
【解析】（1）证明：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴AC是∠EAB的角平分线，
又∵CE⊥AD，CB⊥AB，
∴CE＝CB．
（2）解法一：∵AC是∠EAB的角平分线，
∴∠EAB＝2∠CAE＝60°，
∵∠DCA＝∠DAC＝30°，
∴∠EDC＝∠DCA+∠DAC＝60°，
∵CE⊥AD，
∴∠CED＝90°，
∴∠ECD＝30°，
∵CB⊥AB，
∴∠CBA＝90°，
∵AB∥CD，
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