3.5 弧长及扇形的面积(含答案)

3.5 弧长及扇形的面积
一、选择题：
1. 如果一条弧长等于，它的半径等于，这条弧所对的圆心角增加，则它的弧长增加（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2. 在半径为3的中，弦，则的长为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3. 扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积是（ ）
Ａ．16 Ｂ．32 Ｃ．64 Ｄ．
4. 如图1，扇形的圆心角为，且半径为，分别以，为直径在扇形内作半圆，和分别表示两个阴影部分的面积，那么和的大小关系是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．无法确定
图1 图2
5. 如图2，矩形中，，，以的中点为圆心的与相切，则图中的阴影部分的面积为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
6. 如图3，△中，，，，，为垂足，以为圆心，以为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
图3 图4
7. 圆心角为，半径为的弧长为（　　　　）
Ａ．　　　　Ｂ．　　　　Ｃ．　　　　Ｄ．
8. 已知一条弧长为，它所对圆心角的度数为，则这条弦所在圆的半径为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
9. 一块等边三角形的木板，边长为１，若将木板沿水平线翻滚（如图4），则点从开始至结束走过的路径长度为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
二、填空题
1. 一条弧所对的圆心角是，半径是，则这条弧的长是 ．
2. 若的长为所对的圆的直径长，则所对的圆周角的度数为 ．
图5 图6
3. 如图5，是半圆的直径，以为圆心，为半径的半圆交于，两点，弦是小半圆的切线，为切点，若，，则图中阴影部分的面积为 ．
4. 如图6，的半径为1，为上一点，以为圆心，以1为半径作弧与相交于，两点，则图中阴影部分的面积为 ．
5. 圆周角是，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的　　　　　．
6. 圆心角是，占整个周角的　　　　　，因此它所对的弧长是圆周长的　　　．
7. 圆心角是，占整个周角的　　　　　　　，因此它所对的弧长是圆周长的　　　　．
8. 半径为的圆中，的圆周角所对的弧的弧长为 ．
9. 半径为的圆中，长为的一条弧所对的圆心角的度数为 ．
10. 已知圆的面积为，若其圆周上一段弧长为，则这段弧所对的圆心角的度数为 ．
11. 若扇形的圆心角为，弧长为，则这个扇形的面积为 ．
12. 弯制管道时，先按中心线计算其“展直长度”，再下料．根据如图7所示的图形可算得管道的展直长度为 ．（单位：，精确到）
图7 图8
13. 如图8，在Rt△中，，，，将△绕点旋转至△的位置，且使点，，三点在同一直线上，则点经过的最短路线长是 ．
14. 如图9，扇形的圆心角为，半径为，，是的三等分点，则图中阴影部分的面积和是 ．
图9 图10
15. 如图10，已知在扇形中，若，，，则图中阴影部分的面积是 ．
16. 如图11，在两个同心圆中，三条直径把大圆分成相等的六部分，若大圆的半径为2，则图中阴影部分的面积为　　　　　．
图11 图12
17. 如图12，两个半径为1，圆心角是的扇形和扇形叠放在一起，点在上，四边形是正方形，则阴影部分的面积等于　　　　　．
三、解答题：
1. 扇形的圆心角为，弧长是，求扇形的面积．
2. 一个扇形的半径等于一个圆的半径的2倍，且面积相等．求这个扇形的圆心角．
3. 如图所示，正方形是以金属丝围成的，其边长，把此正方形的金属丝重新围成扇形的，使，不变，问正方形面积与扇形面积谁大？大多少？由计算得出结果．
4. 如图，半径为的与半径为的外切于点，是两圆的外公切线，切点分别为，，求和，所围成的阴影部分的面积．
5. 一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料（如图），现找出其中的一种，测得，．今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在的边上，且扇形的弧与的其他边相切，请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要求画出图形，并直接写出扇形半径）．
6. 如图，扇形的圆心角为，正三角形的中心恰好为扇形的圆心，且点在扇形内
（1） 请连接，并证明；
（2） 求证：与扇形重叠部分的面积等于面积的．
参考答案
一、选择题：
1. 如果一条弧长等于，它的半径等于，这条弧所对的圆心角增加，则它的弧长增加（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ
2. 在半径为3的中，弦，则的长为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ
3. 扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积是（ ）
Ａ．16 Ｂ．32 Ｃ．64 Ｄ．
答案：Ａ
4. 如图，扇形的圆心角为，且半径为，分别以，为直径在扇形内作半圆，和分别表示两个阴影部分的面积，那么和的大小关系是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．无法确定
答案：Ａ
5. 如图，矩形中，，，以的中点为圆心的与相切，则图中的阴影部分的面积为（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｄ
6. 如图，△中，，，，，为垂足，以为圆心，以为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ
7. 圆心角为，半径为的弧长为（　　　　）
Ａ．　　　　Ｂ．　　　　Ｃ．　　　　Ｄ．
答案：Ａ
8. 已知一条弧长为，它所对圆心角的度数为，则这条弦所在圆的半径为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ
9. 一块等边三角形的木板，边长为１，若将木板沿水平线翻滚（如图），则点从开始至结束走过的路径长度为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ
二、填空题
1. 一条弧所对的圆心角是，半径是，则这条弧的长是 ．
答案：
2. 若的长为所对的圆的直径长，则所对的圆周角的度数为 ．
答案：
3. 如图，是半圆的直径，以为圆心，为半径的半圆交于，两点，弦是小半圆的切线，为切点，若，，则图中阴影部分的面积为 ．
答案：　
答案：，，面积没有变化．
4. 如图，的半径为1，为上一点，以为圆心，以1为半径作弧与相交于，两点，则图中阴影部分的面积为 ．
答案：
5. 圆周角是，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的　　　　　．
答案：
6. 圆心角是，占整个周角的　　　　　，因此它所对的弧长是圆周长的　　　．
答案：，
7. 圆心角是，占整个周角的　　　　　　　，因此它所对的弧长是圆周长的　　　　．
答案：，
8. 半径为的圆中，的圆周角所对的弧的弧长为 ．
答案：
9. 半径为的圆中，长为的一条弧所对的圆心角的度数为 ．
答案：
10. 已知圆的面积为，若其圆周上一段弧长为，则这段弧所对的圆心角的度数为 ．
答案：
11. 若扇形的圆心角为，弧长为，则这个扇形的面积为 ．
答案：
12. 弯制管道时，先按中心线计算其“展直长度”，再下料．根据如图所示的图形可算得管道的展直长度为 ．（单位：，精确到）
答案：
13. 如图，在Rt△中，，，，将△绕点旋转至△的位置，且使点，，三点在同一直线上，则点经过的最短路线长是 ．
答案：
14. 如图，扇形的圆心角为，半径为，，是的三等分点，则图中阴影部分的面积和是 ．
答案：
15. 如图，已知在扇形中，若，，，则图中阴影部分的面积是 ．
答案：
16. 如图，在两个同心圆中，三条直径把大圆分成相等的六部分，若大圆的半径为2，则图中阴影部分的面积为　　　　　．
答案：．
17. 如图，两个半径为1，圆心角是的扇形和扇形叠放在一起，点在上，四边形是正方形，则阴影部分的面积等于　　　　　．
答案：
三、解答题：
1. 扇形的圆心角为，弧长是，求扇形的面积．
答案：
2. 一个扇形的半径等于一个圆的半径的2倍，且面积相等．求这个扇形的圆心角．
答案：
3. 如图所示，正方形是以金属丝围成的，其边长，把此正方形的金属丝重新围成扇形的，使，不变，问正方形面积与扇形面积谁大？大多少？由计算得出结果．
4. 如图，半径为的与半径为的外切于点，是两圆的外公切线，切点分别为，，求和，所围成的阴影部分的面积．
答案：连结，，过作，垂足为，则得矩形，
，．
在Rt△中，，
，，
，，．
( http: / / )，
，
，
( http: / / )．
5. 一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料（如图），现找出其中的一种，测得，．今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在的边上，且扇形的弧与的其他边相切，请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要求画出图形，并直接写出扇形半径）．
答案：
6. 如图，扇形的圆心角为，正三角形的中心恰好为扇形的圆心，且点在扇形内
（3） 请连接，并证明；
（4） 求证：与扇形重叠部分的面积等于面积的．
答案：（1）连结（如图）
　　　　是正三角形的中心．
　　　　．
　　　　　．
　　　　　
　　　　又
　　　　
　　　　
　　　　即
　　　　故
　 （2）
　　　　而．　　有
　　　　
　　　　又是正三角形的中心．
　　　　
　　即与扇形重叠部分的面积等于面积的．
Ａ
Ｄ
Ｃ
Ｂ
Ｆ
Ｅ
Ｏ
Ｑ
Ｏ
Ａ
Ｐ
Ｃ
Ｂ
Ｅ
Ｂ
Ｃ
Ｎ
Ｄ
Ｐ
Ａ
Ｍ
Ａ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
Ａ
Ｄ
Ｃ
Ａ
Ｃ
Ｂ
Ｏ
Ｆ
Ａ
Ｅ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
Ｂ
Ｈ
Ａ
Ｐ
Ａ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｃ
Ｂ
Ｂ
Ｃ
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｏ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
Ａ
Ｏ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ａ
O
D
F
A
C
E
G
B
B
Q
O
P
A
Ｑ
Ｏ
Ａ
Ｐ
Ｃ
Ｂ
Ｅ
Ｂ
Ｃ
Ｎ
Ｄ
Ｐ
Ａ
Ｍ
Ｃ
Ｄ
Ｂ
Ｅ
Ａ
Ｆ
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｃ
Ｂ
Ｏ
Ｅ
Ｆ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ａ
Ｏ
Ｂ
Ｃ
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ａ
Ａ
Ｃ
Ｄ
Ｂ
Ｏ
Ａ
Ｄ
Ｃ
Ｂ
Ｏ
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P
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Q
B
Ａ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
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Ｃ
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Ｈ
Ａ
Ｐ
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Ｃ
Ｂ
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Ｃ
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