2024-2025学年九年级上册数学第一章 二次函数单元培优测试（大讲堂）（含详解）

二次函数单元测试培优强基卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．二次函数中，自变量与函数的对应值如下表：
若，则下面叙述正确的是（　　）
A．该函数图象开口向上
B．该函数图象与轴的交点在轴的下方
C．对称轴是直线
D．若是方程的正数解，则
2．如图，二次函数的图象与x轴的交点为A、D的横坐标分别为3和，其图像与x轴围成封闭图形L，图形L内部（不包含边界）恰有4个整点（横纵坐标均为整数的点），系数a的值可以是（　　）
第2题图 第7题图
A． B． C． D．
3．定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A叫做“整点”．如：B（3，0）、C（﹣1，3）都是“整点”．抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）与x轴交于点M，N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a的取值范围是（　　）
A．﹣1≤a＜0 B．﹣2≤a＜﹣1
C．﹣1≤a＜ D．﹣2≤a＜0
4．已知二次函数的对称轴为，当时，y的取值范围是．则的值为（　　）
A．或 B．或 C． D．
5．函数图象与有交点，且满足，则的取值范围是（　　）
A． B．或2
C． D．或
6．设k为非负实数，且方程-2kx+4=0的两实数根为a，b，则+的最小值为（　　）
A．-7 B．-6 C．2 D．4
7．函数y＝|ax2+bx|（a＜0）的图象如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．方程|ax2+bx|＝k有四个不等的实数根
B．a+b＞1
C．2a+b＞0
D．5a+3b＜1
8．已知二次函数（）的图象如图所示，在下列5个结论：①；②；③；④；⑤（的实数），其中正确的结论有（　　）
第8题图 第10题图
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．将抛物线位于轴左侧的部分沿轴翻折，其余部分不变，翻折得到的图象和原来不变的部分构成一个新图象，若直线与新图象有且只有2个公共点，则的取值范围是（　　）
A． B．
C．或 D．或
10．如图，把二次函数的图象在x轴上方的部分沿着x轴翻折，得到的新函数叫做的“陷阱”函数．小明同学画出了的“陷阱”函数的图象，如图所示并写出了关于该函数的4个结论，其中正确结论的个数为（　　）
①图象具有对称性，对称轴是直线； ②由图象得，，；
③该“陷阱”函数与y轴交点坐标为；④的“陷阱”函数与的“陷阱”函数的图象是完全相同的．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题填空题（每题4分，共24分）
11． 关于的二次函数，在时有最大值6，则　 　．
12．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，P为抛物线对称轴上动点，则取最小值时，点P坐标是　 　．
第12题图 第15题图
13．已知，为x轴上两点，，为二次函数图象上两点，当时，二次函数y随x增大而减小，若，时，恒成立，则A、B两点的最大距离为　 　．
14．已知函数（是常数，），（是常数，），在同一平面直角坐标系中，若无论为何值，函数和的图象总有公共点，则的取值范围是　 　．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的正半轴交于点.矩形的边在线段上，点C、D在抛物线上，则矩形周长的最大值为　 　.
16．已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a<0）经过点（2，0），且2①方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；
②若对任意的实数m，都有bm-b≥am2-a，则
③若抛物线经过点（-1，0），在抛物线上有且仅有2个点到x轴的距离等于n（n>0），则；
④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，且都在y轴右侧，若4a+c>0，则（x1-x2）（y1-y2）>0.
其中正确的是　 　（填写序号）.
三、综合题（17-21每题6分，22、23每题8分，共46分）
17． 如图，△ABC中，，，，，反比例函数的图象与AB交于点，与BC交于点E．
（1）求m，k的值；
（2）点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于点M，过点P作轴，交BC于点N，连接MN，求△PMN面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
18．如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于，两点，其中点的坐标为，且点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点为抛物线与轴的交点；
①点在抛物线上，且，求点点坐标；
②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值．
19．如图，已知二次函数 的图象经过点 ，与 轴分别交于点 ，点 .点 是直线 上方的抛物线上一动点.
（1）求二次函数 的表达式；
（2）连接 ， ，并把 沿 轴翻折，得到四边形 .若四边形 为菱形，请求出此时点 的坐标；
（3）当点 运动到什么位置时，四边形 的面积最大？求出此时 点的坐标和四边形 的最大面积.
20．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2与x轴相交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，连接PB，PC，求△PBC面积的最大值以及此时点P的坐标；
（3）抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图1，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．
（1）求b和c的值；
（2）已知点D是在第一象限内的抛物线上的一点，过点D作轴于点E．
①如图2，点D是抛物线的顶点，点P是上一点，若，求点P的坐标；
②如图3，若与交于点F，连接，且，求点D的坐标．
图1 图2 图3
22．如图，直线AB与抛物线交于、两点，与y轴交于点C，点D为线段AB上一点，连接OD、OB.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若OD将分成面积相等的两部分，求点D的坐标；
（3）在平面坐标内是否存在点P，使得以A、O、B、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
23．如图1，在平面直角坐标中，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C，连接，直线交y轴于点M．P为直线上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，分别交直线、于点E、F．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点P落在抛物线的对称轴上时，求的面积；
（3）若点N为y轴上一动点，当四边形为矩形时，求点N的坐标；
答案解析部分
1．【答案】D
【解答】根据表格可知
若，
A：该函数图象开口向上，叙述错误，图象开口应向下，不符合题意
B：该函数图象与轴的交点在轴的下方，叙述错误，函数图象与轴的交点在轴的上方，不符合题意
C：对称轴是直线，叙述错误，对称轴是直线，不符合题意
D：若是方程的正数解，则，叙述正确，当 时，，有，符合题意
故选：D
2．【答案】B
【解答】解：∵二次函数的图象与x轴的交点为A、D的横坐标分别为3和，
∴二次函数解析式为，对称轴为直线，
当时，，，
∴抛物线顶点坐标为，与y轴的交点坐标为，
如图所示：
∵图形L内部（不包含边界）恰有4个整点（横纵坐标均为整数的点），
∴，
解得，
∴四个选项中只有B选项符合题意，
故答案为：B
【解答】解：抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）化为顶点式为y＝a（x﹣1）2+2，故函数的对称轴：x＝1，M和N两点关于x＝1对称，根据题意，抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，这些整点是（0，0），（1，0），（（1，1），（1，2），（2，0），
如图所示：
∵当x＝0时，y＝a+2
∴0≤a+2＜1
当x＝﹣1时，y＝4a+2＜0
即：，
解得﹣2≤a＜﹣1
故选B．
4．【答案】D
【解答】解：∵二次函数的对称轴为，
∴，即，
∴，
当时，有最大值，
∴，
∴，
∴当时，随的增大而增大，
∴，，
解得：或；或；
经检验时，不符合题意；
∴，，
∴．
故答案为：D
5．【答案】D
【解答】解：如图，
函数 图象与函数有交点 ，且满足
对于函数，当x=1时，y=(1-m)2-5；当x=2时，y=(2-m)2-5；
对于函数，当x=1时，y=-4；当x=2时，y=-2；
若二次函数在对称轴右侧的部分与反比例函数有交点，且满足
从图中观察可得：
由①得：0≤m≤2
由②得：m≤2-3或m＞2+3
∴0≤m≤2-3 ；
若二次函数在对称轴左侧的部分与反比例函数有交点，且满足
从图中观察可得：
由①得：m≤0或m≥2
由②得：2-3≤m≤2+3 ∴2≤m≤2+ 3 综上所述， 或
故答案为：D.
6．【答案】C
【解答】解：∵x2-2kx+4=0有两个实数根
∴ =（-2k）2-4×4=4k2-16≥0
∴k2≥4
∵k为非负实数
∴k≥2
由韦达定理得：a+b=2k，ab=4
∴（a-1）+（b-1）=2k-2，
(a-1)(b-1)=ab-(a+b)+1=4-2k+1=5-2k
∴(a-1)2+(b-1)2=[(a-1)+(b-1)]2-2(a-1)(b-1)=(2k-2)2-2(5-2k)=4(k-)2-7
令y=4(k-12)2-7，则函数图象开口向上，在对称轴右侧，y随k的增大而增大
∴当k=2时，y有最小值4（2-12）2-7=2，即 + 的最小值为2
故答案为：C.
7．【答案】D
【解答】解：A、由题意得当时，方程 |ax2+bx| ＝k没有实数根，故选项A错误；
B、由题意得时， ，当x=1时，，故选项B错误；
C、由题意得，∴，故选项C错误；
D、由题意得时， ，当时， ，
当x=1时，①，
当x=2时，，即②，
由①＋②得 5a+3b＜1
故答案为：D.
8．【答案】B
【解答】解∶开口向下，；对称轴在轴的右侧，a、b异号，则；抛物线与轴的交点在轴的上方，，则，所以①不正确；
当时图象在轴下方，则，即，所以②不正确；
对称轴为直线，则时图象在轴上方，则，所以③正确；
，则，而，则，所以④正确；
开口向下，当有最大值；
当时，，则，即，所以⑤正不确．
故答案为：B．
9．【答案】D
【解答】解： ，
令y=0，则x2+x-6=0，解得x=-3，y=2，
抛物线与x轴交点为（-3，0），（2，0），
由题意可得翻折后y轴左侧的抛物线为，
当直线经过点（0，-6） 时，得t=-6，此时直线与新图象有且只有2个公共点，
然后将直线向上平移过程中直至经过（0，6）之前，始终与新图象有且只有2个公共点，
把（0，6）代入中得t=6，
∴-6≤t＜6时，直线与新图象有且只有2个公共点，
联立与，令y值相等，得=，
整理为2x2+3x+2t-12=0，
△=32+4×2（2t-12）=0，解得t=，
当t=，直线与新图象有且只有2个公共点，
∴或.
故答案为：D.
10．【答案】C
【解答】解：①∵二次函数的图象与x轴的交点为：，，
∴二次函数图象的对称轴为直线，故此说法正确；
②由函数图象可知，原二次函数的顶点坐标为，
∴该二次函数的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴
，
∴，，，故原说法错误；
③把代入得：，
∴原函数与y轴的交点坐标为，
∵把二次函数的图象在x轴上方的部分沿着x轴翻折，得到的新函数叫做的“陷阱”函数，
∴该“陷阱”函数与y轴交点坐标为，故此说法正确；
④∵，
∴的图象与的图象关于x轴对称，
∴的“陷阱”函数与的“陷阱”函数的图象是完全相同，故此说法正确；
综上分析可知，正确的结论有3个，
故答案为：C
11．【答案】2或
【解答】解：y=ax2+a2，
①当a＞0时，二次函数的对称轴为x=0，
∴x=-1时，ymax=a+a2=6，
解得：a=2或a=-3（舍去）；
②当a＜0时，二次函数的对称轴为x=0，
∴x=0时，ymax=a2=6，
解得：a=或a=（舍去），
综上所述，a=2或.
故答案为：2或.
12．【答案】
【解答】解：如图所示：连接BC，交抛物线对称轴于点P，根据的对称性可知，此时取得最小值，
令x=0，则y=2，
点C坐标为（0，2），
令y=0，则，
解得：
点B坐标为，
设直线BC的表达式为y=kx+b，
将点C坐标（0，2），点B坐标代入y=kx+b，
得：，
解得：，
直线BC的表达式为，
抛物线的对称轴，
点P的横坐标为，
把x=代入，
解得y=，
点P的坐标为 .
故答案为： .
13．【答案】8
【解答】解：当x=1时，y=3，
抛物线y=x2-mx+m+2的对称轴为直线，
∵当x＜1时，二次函数y随x增大而减小，
，
∴m≥2．
∴m+1≥3，
当x=-2时，y=6+3m，当时，，
∵-2≤x1≤m+1，-2≤x2≤m+1，
∴|y1-y2|的最大值为，
∵|y1-y2|≤16恒成立，
．
∴-12≤m≤4，
∵m≥2，
∴2≤m≤4，
∴m的最大值为4，
∴A、B两点的最大距离为4-（-4）=8．
故答案为：8.
14．【答案】或
【解答】且 ，
该函数过点（-4，-2），
且 ，
该函数过（-5，0），（1，0）
当a<0时，无论k为何值，函数和的图象总有公共点，
a<0符合题意；
当a>0时，无论k为何值，函数和的图象总有公共点，
x=-4时，可得
解得
符合题意；
无论为何值，函数和的图象总有公共点，则的取值范围为或 .
15．【答案】13
【解答】设点D的横坐标为m，则点D的纵坐标为，
∴AD=，
∵抛物线的对称轴是直线，
∴点C的横坐标为3-（m-3）=6-m，
∴CD=2m-6，
∴矩形ABCD的周长=，
∴当m=5时，矩形周长有最大值为13，
故答案为：13.
16．【答案】①②③
【解答】解：①∵a<0， 2∴，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根 ，结论①正确；
②∵y=ax2+bx+c，经过点（2，0），∴4a+2b+c=0.
若对任意的实数m，都有bm-b≥am2-a ，即－am2+bm+a－b≥0总成立，
则，
∵总成立，
∴b－2a=0，b=2a.
∴4a+2b+c=8a+c=0，c=－8a.
∵2∴2<－8a<3，
∴，结论②正确；
③∵抛物线经过点（-1，0） 和 点（2，0）时，对称轴为，
∴4a+2b+c=0，a-b+c=0，
解得：a+b=0，
∴b=－a，
c=-a+b=－2a，
当时，抛物线有最大值
当 时，抛物线上有4个点到x轴的距离等于n；
当 时，抛物线上有3个点到x轴的距离等于n；
当 时，抛物线上有且仅有2个点到x轴的距离等于n；结论③正确；
④∵4a+2b+c=0，∴4a+c=－2b>0，∴b<0，
故对称轴，
∵a<0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧y随x的增大而减小.
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，且都在y轴右侧，
故x1y2，即（x1-x2）（y1-y2）<0，结论④错误；
故答案为：①②③.
17．【答案】（1）解：，，．
又，．
，点．
设直线AB的函数表达式为，
将，代入，得
∴直线AB的函数表达式为．
将点代入，得．
．
将代入，得．
（2）解：延长NP交y轴于点Q，交AB于点L．
，，．
轴，，．
，，，．
设点P的坐标为，，则，．
．
．
当时，有最大值，此时．
18．【答案】（1）解：抛物线的对称轴为直线，
又点与在抛物线上，
，
解得，
抛物线的解析式为
（2）解：①由（1）知，二次函数的解析式为，
抛物线与轴的交点的坐标为，与轴的另一交点为，
则，，
设点坐标为，
，
，
，
则，
当时，，
当时，，
点的坐标为或；
②如图，
设直线的解析式为，
将，代入得，
解得，
直线的解析式为，
设点坐标为，，
则点坐标为，
，
当时，线段的长度有最大值．
19．【答案】（1）解：将点B和点C的坐标代入 ，
得 ，解得 ， ．
∴ 该二次函数的表达式为 ．
（2）解：若四边形POP′C是菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上；如图，连接PP′，则PE⊥CO，垂足为E，∵ C（0，3），∴ E（0， ），∴ 点P的纵坐标等于 ．∴ ，解得 ， （不合题意，舍去），
∴ 点P的坐标为（ ， ）．
（3）解：过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（m， ），设直线BC的表达式为 ，则 ， 解得 .
∴直线BC的表达式为 ．
∴Q点的坐标为（m， ），
∴ .
当 ，
解得 ，∴ AO=1，AB=4，
∴ S四边形ABPC =S△ABC+S△CPQ+S△BPQ
=
=
当 时，四边形ABPC的面积最大．
此时P点的坐标为 ，四边形ABPC的面积的最大值为 ．
20．【答案】（1）解：把A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：过P作PK∥y轴交BC于K，如图：
在中，令x＝0得y＝2，
∴C（0，2），
由B（4，0），C（0，2）得直线BC解析式为，
设P（t，），则K，
∴PK＝
∴S△PBC＝，
∵﹣1＜0，
∴当t＝2时，S△PBC取最大值4，此时P（2，3），
∴△PBC面积的最大值为4，此时点P的坐标为（2，3）；
（3）解：抛物线上存在点Q，使∠QCB＝45°，理由如下：
当Q在BC上方时，过B作BT⊥CQ于T，过T作MN⊥y轴于N，过B作BM⊥MN于M，如图：
∵∠QCB＝45°，
∴△BCT是等腰直角三角形，
∴∠BTC＝90°，BT＝CT，
∴∠CTN＝90°﹣∠BTM＝∠TBM，
∵∠M＝∠TNC＝90°，
∴△BTM≌△TCN（AAS），
∴BM＝NT，TM＝CN，
设T（m，n），则NT＝m，BM＝n，
∵B（4，0），C（0，2），
∴TM＝MN﹣NT＝4﹣m，CN＝ON﹣OC＝n﹣2，
∵BM＝NT，TM＝CN，
∴，
解得
∴T（3，3），
由C（0，2），T（3，3）得直线CT解析式为，
联立，
解得，
∴Q（）；
当Q在BC下方时，过B作BR⊥CQ于R，过R作SW⊥y轴于W，过B作BS⊥SW于S，如图：
同理可得△BSR≌△RWC（AAS），
∴BS＝RW，RS＝CW，
设R（p，q），
∴，
解得，
∴R（1，﹣1），
∴直线CR解析式为y＝﹣3x+2，
联立，
解得 ，
∴Q（9，﹣25），
综上所述，Q的坐标为（）或（9，﹣25）．
21．【答案】（1）解：将点和点代入抛物线中，
得，
解得，
所以，；
故
（2）解：①由（1）知抛物线的表达式为
，抛物线的顶点D的坐标为
设点P的坐标为，
根据勾股定理，得，，
，
，
即，
解得．
点P的坐标为；
②设直线的函数表达式为
把点和点代入，
得，
解得
直线的函数表达式为
设点E的坐标为，则点，点
，
则，．
由，得
整理得，
解得，（不符合题意，舍去），
当时，
点D的坐标为．
22．【答案】（1）解：由题意可得，
，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：设直线AB的解析式为：，则
，解得：，
∴直线AB的解析式为：，
设点D的坐标为（m，m+4），
∵OD将△分成面积相等的两部分，即，
∴，解得：，
∴点D的坐标为（-1，3）；
（3）解：存在；
设点P的坐标为（xp，yp），
①当四边形AOBP是平行四边形时，p1在第二象限时，
轴，，
∵B（2，6），
∴点P的坐标为（-2，6）；
②当四边形AOPB是平行四边形时，p2在第一象限时，
点P的横坐标为2+4=6，点P的，纵坐标坐标为6，
点P的坐标为（6，6）；
③当四边形APOB是平行四边形时，p3在第三象限时，
，，
∴，，
即，，
解得：，，
此时点P的坐标为（-6，-6）；
综上所述，存在满足条件的点P的坐标为（-2，6）或（6，6）或（-6，-6）.
23．【答案】（1）解：把点、代入抛物线得，
，
解得，
∴抛物线的表达式为：；
（2）解：，
，
，
设直线的表达式为，
，，
∴，
解得，
∴直线的表达式为：，
把代入得：，
∴，
；
（3）解：如图，过点N作于点G，
过点，
，
，
∴直线BM的表达式为：，
，
设，，
∵四边形为矩形，
∴，，
又∵，
，
，，
，
，
、，
，，
．