第四章 相似三角形单元培优测试卷（含答案） 2024-2025学年 九年级上册数学

三角形相似培优强基卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．如图，D，E分别是的边上的点，，，相交于点．若，则（　　）
第1题图 第2题图 第3题图
A． B． C． D．
2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，把△ABC绕BC边的中点O旋转后得△DEF，若直角顶点E恰好落在AC边上，且DF边交AC边于点G，则CG的长为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在正方形ABCD和CEFG中，连接AF交CD于点H，AB＝6，DH＝3GH，I是AF的中点，那么CI的长是（　　）
A． B．2 C． D．3
4．如图 ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使 ，连结EF交DC于点G，则 ＝（　　）
第4题图 第5题图 第6题图
A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9
5．如图，正方形的边长是3，，连接、交于点，并分别与边、交于点、，连接，下列结论：①；②；③；④当时，，其中正确结论的是（　　）
A．①③④ B．①③ C．②④ D．①②④
6．如图，在矩形中，，，点E、F分别为、的中点，、相交于点G，过点E作，交于点H，则线段的长度是（　　）
A． B．1 C． D．
7．如图，正方形中，平分，交于点E，将绕点B顺时针旋转得到，延长交于点G，连接交于点H．
下列结论①；②；③；④
正确的是（　　）
第7题图 第8题图
A．①②③④ B．②③ C．①③ D．①②④
8．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF交于点H．下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH PC，其中正确的结论是（　　）
A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④
9．如图，点G是的重心，过点G作分别交AB，AC于点M，N，过点N作交BC于点D，则四边形BDNM与的面积之比是（　　）
第9题图 第10题图
A． B． C． D．
10． 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C，P为该二次函数在第一象限内的一点，连接AP，交BC于点K，则的最小值为（　　）
A． B．2 C． D．
二、填空题填空题（每题4分，共24分）
11．如图，中，，，，CE是斜边AB上的中线，在直线AB上方作，DE，FE分别与AC边交于点M，N，当与相似时，线段CN长度为　 　．
第11题图 第12题图 第13题图
12．如图，M是斜边上的中点，将绕点B旋转，A使得点C落在射线上的点D处，点A落在点E处，边的延长线交边于点F．如果．．那么的长为　 　；的长为　 　．
13．在中，，，连接，若，，的面积为7.5，则　 　．
14．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．将小正方形对角线双向延长，分别交边，和边的延长线于点G，H．若大正方形与小正方形的面积之比为5，，则大正方形的边长为　 　．
15．已知，如图，矩形中，、分别是边、上的点，，，，若与以、、为顶点的三角形相似，则的长为　 　.
16．如图，在正方形中，为的中点，为的中点，
的延长线与的延长线交于点，与相交于点．若，则的长为　 　．
第15题图 第16题图
三、综合题（17-21每题6分，22、23每题8分，共46分）
17．如图，在正五边形中，连结交于点F.
（1）求的度数.
（2）已知，求的长.
18．如图，在平行四边形中，过点A作，垂足为E，连接，F为线段上一点，且．
（1）求证：．
（2）若，，，求的长．
19．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连接AC、BE，它们相交于点F，且∠ACB＝∠ABE．
（1）求证：AE2＝EF BE；
（2）若AE＝2，EF＝1，CF＝4，求AB的长．
20．如图，已知矩形ABCD和矩形AEFG共用顶点A，点E在线段BD上，连接EG，DG，且．
（1）求证：∠ABE＝∠ADG；
（2）若，求EG的长．
21．如图，直线 与 轴、 轴分别相交于 ， 两点，与双曲线 相交于点 ， 轴于点 ，且 ，点 的坐标为 .
（1）求双曲线的解析式；
（2）若点 为双曲线上点 右侧的一点，且 轴于 ，当以点 ， ， 为顶点的三角形与 相似时，求点 的坐标.
22．把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；
（2）连接PE，设四边形APEQ的面积为y（cm2），试探究y的最大值；
（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形．
23．（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．
（2）【问题解决】
如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：．
（3）【类比迁移】
如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴.
故答案为：C。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，过点O作OM⊥AC与M，
，，，
．
又点O为BC的中点，
，
则，
，
则，
又由旋转可知，
，，，
又，
，
，
则，
，
．
故答案为：B.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：过I作IK⊥BC与K，如图：
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴∠D＝∠CGF＝90°＝∠HGF，AD＝AB＝BC＝6，
∵∠AHD＝∠GHF，
∴△ADH∽△FGH，
∴，
∵AD＝6，DH＝3GH，
∴，
∴GF＝2，
∴EF＝GF＝CE＝2，
∴BE＝BC+CE＝6+2＝8，
∵∠B＝∠IKE＝∠E＝90°，
∴AB∥IK∥EF，
∵I为AF中点，
∴K为BE中点，
∴，，
∴CK＝BC﹣BK＝6﹣4＝2，
∴．
故选：A．
4．【答案】D
【解析】【解答】解：设 ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ， ，
∵点F是BC的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：D．
5．【答案】B
6．【答案】A
【解析】【解答】解：四边形是矩形，，，
，，，
点E、F分别为、的中点，
，，
，
，
，
．
由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
解得：，
故答案为：A．
7．【答案】A
【解析】【解答】解：∵将绕点B顺时针旋转得到，
∴，
∴，
故①正确；
∵正方形中，
∴，，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
∵，
∴，
∵平分，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴（SAS），
∴，
∴，
∴，
∴，
故③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故④正确，
故答案为：A
8．【答案】C
【解析】【解答】∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°，
∴BE=2AE；故①符合题意；
∵PC=CD，∠PCD=30°，
∴∠PDC=75°，
∴∠FDP=15°，
∵∠DBA=45°，
∴∠PBD=15°，
∴∠FDP=∠PBD，
∵∠DFP=∠BPC=60°，
∴△DFP∽△BPH；故②符合题意；
∵∠FDP=∠PBD=15°，∠ADB=45°，
∴∠PDB=30°，而∠DFP=60°，
∴∠PFD≠∠PDB，
∴△PFD与△PDB不会相似；故③不符合题意；
∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，
∴△DPH∽△CPD，
∴ ，
∴DP2=PH PC，故④符合题意；
故答案为：C．
9．【答案】C
【解析】【解答】解：如图：
连接AG并延长交BC于E，连接BG交AC于F，连接EF，
∴EF是中位线，
∴EF//AB，AB=2EF.
∴∠GAB=∠GEF，∠GBA=∠GFE，
∴△ABG∽△EFG.
∴，
∴
∵MN//BC，
∴∠ANM=∠ACB，∠AMN=∠ABC，∠AGM=∠AEB，
∴△AMN∽△ABC，△AMG∽△ABE.
∴，
∴
∵ND//AB，
∴∠CND=∠CAB，∠CDN=∠CBA，
∴△CND∽△CAB.
∴
∴，
∴
故答案为：C.
10．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，过点P作PQ∥AB，与BC交于点Q，
∵ 二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
∴A（-1，0），B（4，0），C（0，5），
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则，
解得，
∴直线BC为，
设，则Q，
∴PQ=-t2+4t，
∵PQ∥AB，
∴△PQK∽△ABK，
∴，
∵k=-，
∴当时，有最大值为：，
∴有最小值为，
∴
故答案为：A.
11．【答案】或
12．【答案】5；
13．【答案】
14．【答案】3
15．【答案】2或6或
16．【答案】10
17．【答案】（1）解：∵五边形是正五边形，
∴，，，，，.
∴四边形是菱形，
∴，
同理可求：，
∴；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴.
∵，
同理，
∴，
∴，即，
设，则，
∴，即，
解得（舍去负值）.
∴的长是.
18．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC
∴∠ADF=∠DEC，∠ADF=∠DEC
∵
∵∠AFD+∠AFE=180°，
∴∠AFD=∠C
在△ADF与△DEC中，∵∠AFD=∠C，∠ADF=∠DEC，
∴△ADF∽△DEC
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=8．
由（1）知△ADF∽△DEC，
∴，
∴
在Rt△ADE中，由勾股定理得：，
所以AE的长为6．
19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠ABE，
∴∠DAC＝∠ABE，
∵∠EAF＝∠EBA，∠AEF＝∠BEA，
∴△EAF∽△EBA，
∴EA：EB＝EF：EA，
∴AE2＝EF BE
（2）∵AE2＝EF BE，
∴BE＝ ＝4，
∴BF＝BE﹣EF＝4﹣1＝3，
∵AE∥BC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，解得AF＝ ，
∵△EAF∽△EBA，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴AB＝ ．
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG均为矩形，
∴∠BAD＝∠EAG＝90°，即∠BAE+∠DAE＝∠DAG+∠DAE＝90°，
∴∠BAE＝∠DAG，
又∵，
∴△ABE∽△ADG，
∴∠ABE＝∠ADG．
（2）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ABE+∠CBD＝90°，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵∠ABE＝∠ADG，
∴∠ADG+∠ADB＝∠ABE+∠CBD＝90°，即∠EDG＝90°，
在Rt△ABD中，
∴，
∴，
由（1）知，△ABE∽△ADG，
∴，∠ABE＝∠ADG，
∴，
∴DG＝，
在Rt△DEG中，EG＝.
21．【答案】（1）解：把 代入 中，得 ，
∴ ，
∵ ，∴把 代入 中，
得 ，
即 ，
把 代入 中，
得 ，
则双曲线解析式为 ；
（2）解：如图， 轴于点H，连接 ；设 ，
∵ 在双曲线 上，
∴ ，
∵点B在 上，
∴ .
当 时，
可得 ，即 ，
∴ ，即 ，
解得 或 （舍去），
∴ ；
当 时，
可得 ，即 ，
整理得 ，
解得 或 （舍），
∴ ，
综上所述， 或 .
22．【答案】（1）解：AP=2t
∵∠EDF=90°，∠DEF=45°，
∴∠CQE=45°=∠DEF，
∴CQ=CE=t，
∴AQ=8﹣t，
t的取值范围是：0≤t≤5；
（2）解：过点P作PG⊥x轴于G，可求得AB=10，SinB= ，PB=10﹣2t，EB=6﹣t，
∴PG=PBSinB= （10﹣2t）
∴y=S△ABC﹣S△PBE﹣S△QCE= =
∴当 （在0≤t≤5内），y有最大值，y最大值= （cm2）
（3）解：若AP=AQ，则有2t=8﹣t解得： （s）
若AP=PQ，如图①：过点P作PH⊥AC，则AH=QH= ，PH∥BC
∴△APH∽△ABC，
∴ ，
即 ，
解得： （s）
若AQ=PQ，如图②：过点Q作QI⊥AB，则AI=PI= AP=t
∵∠AIQ=∠ACB=90°∠A=∠A，
∴△AQI∽△ABC
∴ 即 ，
解得： （s）
综上所述，当 或 或 时，△APQ是等腰三角形．
23．【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
又，
，
点在的延长线上，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，延长到点，使，连接，
四边形是菱形，
，，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
．