第1章《二次函数》单元测试卷（含解析）

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浙教版2024年秋季九年级（上）单元测试卷
第1章《二次函数》
时间：120分钟 总分值：120分
题号 一 二 三 总分
得分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列函数中，y是x的二次函数的是（　　）
A．y＝﹣2x+1 B．y＝x（1+x） C．y＝x2+ D．y＝3x
2．二次函数y＝（x﹣2）2+3的图象的顶点坐标是（　　）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3）
3．当函数y＝（x﹣1）2﹣2的函数值y随着x的增大而减小时，x的取值范围是（　　）
A．x＞0 B．x＜1
C．x＞1 D．x为任意实数
4．将抛物线y＝3x2﹣2向左平移2个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的解析式是（　　）
A．y＝3（x+2）2+4 B．y＝3（x+4）2
C．y＝3（x+2）2+2 D．y＝3（x﹣2）2﹣6
5．一次函数y＝ax+c（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
6．已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表，则这条抛物线的对称轴是（　　）
x … ﹣1 0 1 3 …
y ﹣3 1 3 1 …
A．直线x＝﹣1 B．直线x＝0 C．直线x＝ D．y轴
7．“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝at2+bt+1．已知“水火箭”飞行3s和飞行9s时的升空高度相同，飞行8s时的升空高度为33m，则“水火箭”升空的最大高度为（　　）
A．33m B．36m C．37m D．40m
8．如图，在正方形ABCD中，点B，C的坐标分别是（﹣2，1），（2，0），点D在抛物线的图象上，则b的值是（　　）
A． B． C． D．
9．若当﹣4≤x≤2时，二次函数的最小值为0，则m＝（　　）
A． B． C． D．或
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①2a+b＝0；②3a+c＞0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④若A（x1，0），B（x2，0），则x1+x2＝2，其中正确的有（　　）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．若y＝（m2﹣3m）xm2﹣2m﹣1是二次函数，则m　 　．
12．二次函数y＝2（x+2）2﹣4的图象的对称轴是直线　 　．
13．已知抛物线y＝x2﹣2x+c，且经过点（﹣2，y1），（﹣3，y2），试比较y1和y2的大小：y1　 　y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
14．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，则点P（b，c）在第 　 　象限．
15．在扬州市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为　 　 　米．
16．如果二次函数（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝ax2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，那么称这两个函数互为“旋转函数”．若函数与y＝x2﹣2nx+n互为旋转函数，则（m+n）2023的值为 　 　．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）根据下列条件，分别求二次函数的表达式
（1）已知图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6）；
（2）已知图象经过点（3，0），（2，﹣3），并以直线x＝0为的对称轴．
18．（7分）对于抛物线y＝x2﹣4x+3．
（1）将抛物线的解析式化为顶点式．
（2）在坐标系中利用五点法画出此抛物线．
x … …
y … …
（3）结合图象，当0＜x＜3时，y的取值范围 　 　．
19．（7分）已知y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象回答下列问题．
（1）求方程ax2＝﹣bx﹣c的解；
（2）如果方程ax2+bx+c+m＝0无实数根，求m的取值范围．
20．（9分）如图①：是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重二十斤，为机发，行三百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”，在如图②：所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡OA的底部（原点O处），石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，在斜坡上的点A处建有垂直于水平面的城墙AB，已知，石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是（50，25），OC＝5m，OD＝75m，AD＝12m，AB＝9m；
（1）求石块运动轨迹所在抛物线的表达式；
（2）请判断石块能否飞越城墙AB，并说明理由．
21．（9分）某种型号的汽车，每辆进货价为25万元，经市场调查发现，当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．
（1）请写出每周销售汽车的利润y（万元）与每辆汽车降价x（万元）之间的函数关系式．
（2）是每周利润为45万元，此利润是否为该周最大利润，说明理由．
（3）若商家想要周利润不小于42万元且不大于48万元，那么他每周的成本最少要多少万元？
22．（10分）如图，抛物线L：y＝ax2+2ax+c（a、c为常数，a≠0）经过点A（﹣4，0）、，顶点为P，连接AP．
（1）求AP的长；
（2）将抛物线L沿x轴或沿y轴平移若干个单位长度得到抛物线L'，点A的对应点为A'，点P的对应点为P'，当四边形APP'A'是面积为12的平行四边形，且点P′在y轴的左侧时，求平移后得到的抛物线L'的表达式．
23．（12分）如图，抛物线y＝（x+1）2+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的对称轴及k的值；
（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；
（3）点M是抛物线上一动点，且在第三象限，过点M作PM⊥x轴交线段AC于点P，求出线段PM长度的最大值．
24．（12分）如图，抛物线与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点E是抛物线对称轴上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式及点B的坐标．
（2）连接AC，当∠CEA＝90°时，求所有符合条件的点E的坐标．
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点E，使得∠ACE＝45°？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：A、是一次函数，y不是x的二次函数，则A不符合题意；
B、符合二次函数定义，它是二次函数，则B符合题意；
C、不是二次函数，则C不符合题意；
D、是一次函数，则D不符合题意；
故选：B．
2．解：∵抛物线解析式为y＝（x﹣2）2+3，
∴二次函数图象的顶点坐标是（2，3）．
故选：A．
3．解：对称轴是：x＝1，且开口向上，如图所示，
∴当x＜1时，函数值y随着x的增大而减小；
故选：B．
4．解：将抛物线y＝3x2﹣2向左平移2个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的解析式是y＝3（x+2）2﹣2+4，即y＝3（x+2）2+2．
故选：C．
5．解：A、由二次函数知a＜0、c＞0，由一次函数知a＜0、c＞0，故该选项正确；
B、由二次函数知a＞0、c＜0，由一次函数知a＜0、c＞0，故该选项错误；
C、由二次函数知a＞0、c＜0，由一次函数知a＞0、c＞0，故该选项错误；
D、由二次函数知a＜0、c＞0，由一次函数知a＞0、c＜0，故该选项错误；
故选：A．
6．解：∵抛物线经过点（0，1），（3，1），
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝，
故选：C．
7．解：∵“水火箭”飞行3s和飞行9s时的升空高度相同，
∴﹣＝＝6，
∴b＝﹣12a，
把t＝8，h＝33代入h＝at2+bt+1得，64a+8b+1＝33，
解得b＝4﹣8a，
∴﹣12a＝4﹣8a，
解得a＝﹣1，
∴b＝12，
∴h＝﹣t2+12t+1＝﹣（t﹣6）2+37，
∵﹣1＜0，
∴当t＝6时，h有最大值，最大值37，
∴水火箭”升空的最大高度为37米，
故选：C．
8．解：如图，作BE⊥x轴，垂足为E，作DF⊥x轴，垂足为F，
∵ABCD是正方形，
∴BC＝CD，
在△CBE和△DCF中，
，
∴△CBE≌△DCF（AAS），
∴DF＝CE，BE＝CF，
∵B（﹣2，1），C（2，0），
∴DF＝4，OF＝3，即D（3，4），
∵D（3，4）在抛物线的图象上，
∴4＝，解得b＝．
故选：B．
9．解：∵y＝x2﹣mx+1＝（x﹣m）2+（﹣m2+1），
∴图象f的对称轴为直线x＝m，
当m≤2时，抛物线开口向上，
∴当x＝m时，y有最小值，y最小＝﹣m2+1＝0，
解得m＝，
当m＞2时，抛物线开口向上，在﹣4≤x≤2时，y随x的增大而减小，
∴x＝2时，y有最小值，y最小＝（2﹣m）2+（﹣m2+1）＝0，
解得m＝（不合题意，舍去），
综上，m＝．
故选：B．
10．解：∵抛物线对称轴为直线，
∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，所以①正确；
∵x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，
即9a+3×（﹣2a）+c＜0，
∴3a+c＜0，故②不正确；
抛物线对称轴为直线x＝1，开口向下，
∴函数的最大值为a+b+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），即a+b≥am2+bm，故③不正确；
∵A（x1，0），B（x2，0），对称轴为直线x＝1，则x1+x2＝2，
故④正确，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．解：若y＝（m2﹣3m）xm2﹣2m﹣1是二次函数，
则m2﹣2m﹣1＝2，且m2﹣3m≠0，
故（m﹣3）（m+1）＝0，m≠0，m≠3，
解得：m1＝3，m2＝﹣1，
∴m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．解：y＝2（x+2）2﹣4的对称轴为直线x＝﹣2，
故答案为x＝﹣2．
13．解：∵y＝x2﹣2x+c，
∴抛物线对称轴为直线x＝＝1，开口向上，
∵|﹣3﹣1|＞|﹣2﹣1|，
∴（﹣2，y1）离对称轴较近，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
14．解：∵二次函数y＝x2+bx+c，
∴a＝1＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴，
∴a、b异号，即b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方，
∴c＜0，
∴点P（b，c）在第三象限．
故答案为：三．
15．解：当y＝0时，y＝﹣x2+x+＝0，
解得，x＝﹣2（舍去），x＝10．
故答案为：10．
16．解：∵函数与y＝x2﹣2nx+n互为旋转函数，
∴，
解得m＝﹣3，n＝2，
∴（m+n）2023＝（﹣3+2）2023＝﹣1，
故答案为：﹣1．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）2﹣8，
把（0，﹣6）代入得：﹣6＝a﹣8，即a＝2，
则二次函数解析式为y＝2（x+1）2﹣8＝2x2+4x﹣6；
（2）根据题意设抛物线解析式为y＝ax2+c，
把（3，0）与（2，﹣3）代入得：，
解得：a＝，c＝﹣，
则抛物线解析式为y＝x2﹣．
18．解：（1）y＝x2﹣4x+3＝（x2﹣4x+4）﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1．
∴抛物线的顶点式为故答案为：y＝（x﹣2）2﹣1．
（2）列表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 ﹣1 0 3 …
函数图象如图所示：
（3）根据函数图象可知：当0＜x＜3时，y的取值范围﹣1≤y＜3．
故答案为：﹣1≤y＜3．
19．解：（1）观察函数图象可知，图象与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0），与y轴的交点坐标为（0，6），
将方程ax2＝﹣bx﹣c变形为ax2+bx+c＝0，
由图象可知方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣3，x2＝1，
∴方程ax2＝﹣bx﹣c的解为x1＝﹣3，x2＝1；
（2）若方程ax2+bx+c+m＝0无实数根，
则由图象可得﹣m＞8，
∴m＜﹣8．
20．解：（1）∵抛物线的顶点坐标是（50，25），
∴设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣50）2+25，
将点C（0，5）代入得：5＝a（0﹣50）2+25，解得：，
∴石块运动轨迹所在抛物线的表达式为：．
（2）当x＝75时，，
∴当到城墙时，石块高度为20m，BD＝AD+AB＝12+9＝21（m），
∵20m＜21m，
∴石块不能飞越城墙AB．
21．解：（1）由题意得：
y＝（8+×4）（29﹣25﹣x）
＝（8x+8）（﹣x+4）
＝﹣8x2+24x+32；
（2）每周利润为45万元，不是该周最大利润，
理由：∵y＝﹣8x2+24x+32
＝﹣8（x﹣）2+50，
∴当x＝时，y最大＝50，
∴当定价为29﹣1.5＝27.5万元时，有最大利润，最大利润为50万元；
（3）当y＝42时，﹣8x2+24x+32＝42，
解得x1＝0.5，x2＝2.5．
当y＝48时，﹣8x2+24x+32＝48，
解得x1＝1，x2＝2．
观察图形知，当0.5≤x≤1时或2≤x≤2.5时，利润不小于42万元且不大于48万元，每周的成本最少要25×（8+4）＝300万元．
22．解：（1）将A（﹣4，0）、B（0 代入y＝ax2+2ax+c中，
解得，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+＝﹣（x+1）2+4，
即顶点P（﹣1，4）；
∵A（﹣4，0），D（﹣1，0），P（﹣1，4），
∴AD＝3，DP＝4，
则；
（2）由题意知，四边形APP′A′是面积为12的平行四边形，
当抛物线沿x轴平移时，可得点A′在x轴上，
由于BD＝4．即要使□APP'A′的面积为12，只需 AA'＝3，
∵点P′在y轴左侧，
∴抛物线L沿x轴向左平移4个单位长度可得抛物线L′，
此时，抛物线L的表达式为；
∴抛物线L′的表达式为：+4或y＝﹣（x+4）2，
即抛物线L′的表达式为：y＝﹣（x+4）2或y＝﹣（x+4）2+8．
23．解：（1）将C（0，﹣3）代入y＝（x+1）2+k得，﹣3＝（0+1）2+k，
解得，k＝﹣4，
∴y＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；
（2）如图1，连接AC，与对称轴交点为P，由两点之间线段最短，可知点P即为所求，
当y＝0时，0＝（x+1）2﹣4，
解得，x＝﹣3或x＝1，
∴A（﹣3，0），
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入得，，
解得，，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，
当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1）﹣3＝﹣2，
∴P（﹣1，﹣2）；
（3）如图2，
设M（a，（a+1）2﹣4），则P（a，﹣a﹣3），
∴，
∵﹣1＜0，
∴当时，PM有最大值．
24．解：（1）∵抛物线过点A（﹣3，0），C（0，4），
∴
解得，
∴抛物线的解析式为，
当y＝0时，，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴B（1，0）．
（2）由（1）知抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
设E（﹣1，m），
∵A（﹣3，0），C（0，4），
∴EC2＝12+（m﹣4）2，EA2＝22+m2，AC2＝25，
∵∠CEA＝90°，
∴EC2+EA2＝AC2，
即12+（m﹣4）2+22+m2＝25，
解得，
∴点E的坐标为或．
（3）存在，．
如图，过点A作AG⊥CE，交CE的延长线于点G，设点F为AC的中点，连接GO，GF，
∵∠ACE＝45°，
∴△AGC是等腰直角三角形，
∴点A，O，C，G在圆F上，
∵A（﹣3，0），C（0，4），
∴，AC＝，
∴，
∵∠AOG＝∠ACE＝45°，
∴点G在y＝﹣x上，
设G（t，﹣t），则，
解得，t2＝0（舍去），
∴点，
设直线CG的解析式为y＝kx+4，
则，
解得，
∴直线CG的解析式，
当x＝﹣1时，，
∴．