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专题训练 等边三角形的性质与判定的综合运用
★性质：（1）等边三角形是三边都相等．
等边三角形的各角都等于60°．
（3）等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴．
★判定
（1）三边相等的三角形叫作等边三角形．
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 ．
题型一 等边三角形的性质
1．（2024 泰安）如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是（ ）
A．45° B．39° C．29° D．21°
2．（2024春 长安区期末）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．100° B．90° C．80° D．60°
3．（2023春 保山期末）如图，在等边△ABC中，D为BC边上的中点，以A为圆心，AD为半径画弧，与AC边交点为E，则∠DEC的度数为（ ）
A．60° B．75° C．105° D．115°
4．（2023秋 邹平市期末）如图，等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B'处，DB'、EB'分别交边AC于点F、G．如果测得∠GEC＝36°，那么∠ADF＝ ．
5．（2024春 沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，以AC为边在△ABC外作等边△ACD，过点D作DE⊥BC．若AB＝5.4，CE＝3，则BE＝ ．
6．（2023秋 忻州期末）如图：△ABC和△ADE是等边三角形．证明：BD＝CE．
7．（2023秋 兴国县期末）如图，已知在等边三角形ABC中，AD⊥BC，AD＝AC，连接CD并延长，交AB的延长线于点E，求∠E的度数．
8．（2024春 皇姑区期末）已知，△ABC是等边三角形，过点C作CD∥AB，连接BD交AC于点O，且OA＝OC．
（1）如图①，求证：AC垂直平分BD；
（2）如图②，点M在BC的延长线上，点N在线段CO上，连接NB，ND，NM，且ND＝NM．求证：NB＝NM．
题型二 等边三角形的判定
1．（2023秋 宁明县期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于点D，且DE＝DC．求证：△CEB为等边三角形．
2．（2024春 驿城区校级期中）如图，在△ABC中，BD是中线，使CE＝CD，若DB＝DE，∠E＝30°．求证：△ABC是等边三角形．
3．（2023秋 长沙期末）已知：如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF．
求证：△DEF是等边三角形．
4．（2024春 五华县期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥CB，∠ADC的角平分线与CB的延长线交于点E，∠E＝60°，求证：△ECD为等边三角形．
5．（2023秋 宁江区期中）如图，△ECB中，∠CEB＝∠B，延长BE至点A，过点A作AD∥CE，∠A＝60°，连接CD．
求证：△ECB是等边三角形．
6．（2023春 东港市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．
（1）求证：AE＝2CE；
（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
题型三 等边三角形的性质与判定的综合
1．（2023 思明区校级二模）如图，在△ABC中，D为AB上一点，AD＝DC＝BC，且∠A＝30°，AD＝5，则AB＝ ．
2．（2023 江西）将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为 cm．
3．（2023春 蔡甸区校级月考）如图，六边形ABCDEF中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F，且AB+BC＝11，FA﹣CD＝3，则BC+DE＝ ．
5．（2023秋 邹城市校级期末）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点．
（1）求证：△BED是等腰三角形：
（2）当∠BCD＝ °时，△BED是等边三角形．
6．（2023秋 武威期末）如图，在△ADB中，∠ADB＝60°，DC平分∠ADB，交AB于点C，且DC⊥AB，过C作CE∥DA交DB于点E，连接AE．
（1）求证：△ADB是等边三角形．
（2）求证：AE⊥DB．
7．等边三角形ABC中，AD是高，AD＝3，∠ABC的平分线交AD于点O，E是AC边上的运动点，连接OE且以OE为边长的等边△OEF，当F点落在BC边上时，请你证明△CEF是等边三角形．
8．（2023秋 新市区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：DE＝EF；
（2）当∠A＝44°时，求∠DEF的度数；
（3）当∠A等于多少度时，△DEF成为等边三角形？试证明你的结论．
题型四 与等边三角形有关的动点运动问题
1．（2023春 莲湖区期中）如图，△ABC是边长为10cm的等边三角形，动点P从点B出发以3cm/s速度沿着B→A→C→B向终点B运动，同时动点Q从点C出发以2cm/s速度沿着C→B→A→C向终点C运动，运动时间为t秒．
（1）当P在AB边上运动时，BP＝ ，BQ＝ ．
（2）当PQ∥AC时，求t的值．
2．（2023秋 德城区校级期末）在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，以每秒1个单位的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．
（1）如图1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；
（2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？
3．（2023春 阜新期中）如图，已知等边△ABC的边长为6cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，运动时间为tS，已知点M的速度1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）当点N第一次到达B点时，点M的位置在 ；当M、N运动 秒时，点N追上点M；
（2）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
4．（2023春 兰州期中）如图所示，△ABC和△ACD都是边长为4厘米等边三角形，两个动点P，Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为t秒．
（1）点P、Q从出发到相遇所用时间是 秒；
（2）当t取何值时，△APQ也是等边三角形？请说明理由；
（3）当0＜t＜2时，判断PQ与AC的位置关系．
题型五 等边三角形中的探究性问题
1．（2023秋 太和县期末）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
2．（2023春 建平县期末）如图（1），等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE．
（1）△DBC和△EAC会全等吗？请说说你的理由；
（2）试说明AE∥BC的理由；
（3）如图（2），将（1）动点D运动到边BA的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．
3．在△ABC中，∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，点F和E分别为射线CA和射线BC上的一个点，连结BF和EF，且∠BFE＝∠FEB．
（1）如图1，点F在线段AC上，点E在线段BC上时，
①当∠ABF＝20°时，则∠CFE＝ 度；
②∠ABF和∠CFE存在怎样的数量关系？请说明理由．
（2）如图2，当点F在CA延长线上，点E在BC延长线上时，∠ABF和∠CFE是否仍然存在（1）的数量关系？请说明理由．
4．（2023秋 青秀区校级期末）已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求∠DOE的度数；
（3）求证：△MNC是等边三角形．
5．（2023 平南县模拟）阅读理解学习
如图1，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC 的高，P是BC边上一点，PM，PN分别与直线AB，AC垂直，垂足分别为M，N，求证：BD＝PM+PN．小刚发现：连接AP，有 S△ABC＝S△ABP+S△ACP，即，由AB＝AC 可得 BD＝PM+PN.
请你模仿小刚的思路或者用你的新思路解决以下问题：
（1）如图2，当点P在CB的延长线上，且上面问题中其它条件不变时，请直接写出此时线段BD，PM，PN之间的数量关系 ．
（2）如图3，当点P是△ABC 内一点，且 AB＝AC＝BC，BD是△ABC 的高，PM，PN，PQ分别与直线AB，AC，BC垂直，垂足分别为点M，N，Q，猜想此时线段BD，PM，PN，PQ之间的数量关系是 .并说明理由．
6．（2023春 通川区期末）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长
为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．中小学教育资源及组卷应用平台
专题训练 等边三角形的性质与判定的综合运用
★性质：（1）等边三角形是三边都相等．
等边三角形的各角都等于60°．
（3）等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴．
★判定
（1）三边相等的三角形叫作等边三角形．
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 ．
题型一 等边三角形的性质
1．（2024 泰安）如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是（ ）
A．45° B．39° C．29° D．21°
【分析】过点A作AF∥l，由平行公理的推论得出AF∥m，根据平行线的性质得出∠BAF＝∠ABE，∠ACD＝∠CAF，根据等边三角形的性质得出∠BAC＝60°，即可求出∠ACD的度数．
【解答】解：如图，过点A作AF∥l，
∵直线l∥m，
∴AF∥m，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AF∥l，
∴∠BAF＝∠ABE，
∵∠ABE＝21°，
∴∠BAF＝21°，
∴∠CAF＝∠BAC﹣∠BAF＝60°﹣21°＝39°，
∵AF∥m，
∴∠ACD＝∠CAF＝39°，
故选：B．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
2．（2024春 长安区期末）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．100° B．90° C．80° D．60°
【分析】设AC与直线a交于D，AB与直线a交于E，根据平行线性质得∠ADE＝∠1＝40°，再根据等边三角形性质得∠A＝60°，据此可得∠2的度数．
【解答】解：设AC与直线a交于D，AB与直线a交于E，如下图所示：
∵直线a∥b，∠1＝40°，
∴∠ADE＝∠1＝40°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠2＝180°﹣（∠A+∠ADE）＝180°﹣（60°+40°）＝80°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，准确识图，熟练掌握等边三角形的性质，平行线的性质是解决问题的关键．
3．（2023春 保山期末）如图，在等边△ABC中，D为BC边上的中点，以A为圆心，AD为半径画弧，与AC边交点为E，则∠DEC的度数为（ ）
A．60° B．75° C．105° D．115°
【分析】根据等边三角形三线合一的性质可求出∠DAC＝30°，结合AD等于AE求出∠AED的度数即可解出∠DEC的度数．
【解答】解：在等边△ABC中，D为BC边上的中点，
∴∠DAC＝30°（三线合一），
在△ADE中，AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE（180°﹣30°）＝75°，
∵∠AED+∠DEC＝180°，
∴∠DEC＝180°﹣75°＝105°，
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，解题关键在于能够熟练掌握该知识并进行合理运用．
4．（2023秋 邹平市期末）如图，等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B'处，DB'、EB'分别交边AC于点F、G．如果测得∠GEC＝36°，那么∠ADF＝ ．
【分析】首先根据等边三角形的性质得∠B＝60°，再根据∠GEC＝36°得∠BEG＝144°，由翻折的性质得∠BED＝∠GED∠BEG＝72°，∠BDE＝∠FDE，然后根据三角形的内角和定理可得∠BDE＝∠FDE＝48°，则∠BDF＝96°，最后根据邻补角的定义可得∠ADF的度数．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵∠GEC＝36°，
∴∠BEG＝180°﹣∠GEC＝180°﹣36°＝144°，
由翻折的性质得：∠BED＝∠GED，∠BDE＝∠FDE，
∴∠BED∠BEG144°＝72°，
∴∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠BED＝180°﹣60°﹣72°＝48°，
∴∠BDE＝∠FDE＝48°，
∴∠BDF＝∠BDE+∠FDE＝96°，
∴∠ADF＝180°﹣∠BDF＝180°﹣96°＝84°．
故答案为：84°．
【点评】此题主要考查了图形的翻折及其性质，等边三角形的性质，熟练掌握图形的翻折及其性质，理解等边三角形的三个内角都等于60°是解决问题的关键．
5．（2024春 沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，以AC为边在△ABC外作等边△ACD，过点D作DE⊥BC．若AB＝5.4，CE＝3，则BE＝ ．
【分析】过点C作CP⊥AB于P，根据∠ABC＝60°得∠BAC+∠BCA＝120°，再根据等边三角形性质得AC＝CD，∠ACD＝60°，则∠DCE+∠BCA＝120°，由此得∠BAC＝∠DCE，据此可依据“AAS”判定△APC和△CED全等，从而得AP＝CE＝3，则BP＝AB﹣AP＝2.4，进而在根据直角三角形性质得BC＝2BP＝4.8，据此可得BE的长．
【解答】解：过点C作CP⊥AB于P，如下图所示：
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠ABC＝120°，
∵△ACD为等边三角形，
∴AC＝CD，∠ACD＝60°，
∵∠DCE+∠BCA＝180°﹣∠ACD＝120°，
∴∠BAC＝∠DCE，
∵CP⊥AB，DE⊥BC，
∴∠APC＝∠CED＝90°，
在△APC和△CED中，
，
∴△APC≌△CED（AAS），
∴AP＝CE＝3，
∴BP＝AB﹣AP＝5.4﹣3＝2.4，
在Rt△BCP中，∠ABC＝60°，
∴∠BCP＝30°，
∴BC＝2BP＝2×2.4＝4.8，
∴BE＝BC+CE＝4.8+3＝7.8．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，正确地作出辅助线，构造全等三角形和含有30°角的直角三角形是解决问题的关键．
6．（2023秋 忻州期末）如图：△ABC和△ADE是等边三角形．证明：BD＝CE．
【分析】根据等边三角形的性质可得到两组边对应相等，一组角相等，从而利用SAS判定两三角形全等，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD＝CE．
【解答】证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形（已知），
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°（等边三角形的性质）．
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC（等式的性质），即∠BAD＝∠CAE．
在△BAD与△CAE中，
∵，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
∴BD＝CE（全等三角形的对应边相等）．
【点评】此题考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质；证明线段相等常常通过三角形全等进行解决，全等的证明是正确解答本题的关键．
7．（2023秋 兴国县期末）如图，已知在等边三角形ABC中，AD⊥BC，AD＝AC，连接CD并延长，交AB的延长线于点E，求∠E的度数．
【分析】根据等边三角形的性质得出∠CAD＝30°，再利用等式的性质进行解答即可．
【解答】解：∵在等边三角形ABC中，
∴AB＝AC（等边三角形的意义），AD⊥BC（已知），
∴∠CAD∠BAC（等腰三角形三线合一），
∵∠BAC＝60°（等边三角形的性质），
∴∠CAD＝30°（等量代换），
∵AD＝AC（已知），
∴∠ACD＝∠ADC（等边对等角），
∵在△ACD中，∠ACD+∠ADC+∠CAD＝180°（三角形的内角和等于180度），
∴∠ACD＝75°（等式的性质），
∵在△ACE中，∠EAC+∠ACE+∠E＝180°（三角形的内角和等于180度），
∴∠E＝45°（等式的性质）．
【点评】此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的三边相等和三线合一的性质分析．
8．（2024春 皇姑区期末）已知，△ABC是等边三角形，过点C作CD∥AB，连接BD交AC于点O，且OA＝OC．
（1）如图①，求证：AC垂直平分BD；
（2）如图②，点M在BC的延长线上，点N在线段CO上，连接NB，ND，NM，且ND＝NM．求证：NB＝NM．
【分析】（1）根据等边三角形的性质证明即可；
（2）可得NB＝ND，由ND＝NM，则NB＝NM．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°，
∵CD∥AB，且CD＝AB，
∴CD＝CA＝BC，∠ACD＝∠ACB＝60°，
∴BO＝DO，CO⊥BD，
∴AC垂直平分BD；
（2）由（1）知AC垂直平分BD，
∴NB＝ND，
∵ND＝NM，
∴NB＝NM．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质，垂直平分线的性质，解决此题的关键是掌握等边三角形的相关性质并灵活的应用．
题型二 等边三角形的判定
1．（2023秋 宁明县期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于点D，且DE＝DC．求证：△CEB为等边三角形．
【分析】根据CE⊥AB于点D，且DE＝DC得出BC＝BE，根据角的关系得出∠ECB＝60°，即可证得△CEB为等边三角形．
【解答】证明：∵CE⊥AB于点D，且DE＝DC，
∴BC＝BE，
∵AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于点D，
∴∠ECB＝60°，
∴△CEB为等边三角形．
【点评】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
2．（2024春 驿城区校级期中）如图，在△ABC中，BD是中线，使CE＝CD，若DB＝DE，∠E＝30°．求证：△ABC是等边三角形．
【分析】根据等腰三角形的性质，得到∠DBC＝∠E＝30°，∠CDE＝∠E＝30°，可得∠BCD＝60°，求出∠BDC＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到AB＝BC，从而求出∠A＝∠ACB＝60°＝∠ABC，即可证明．
【解答】证明：∵DB＝DE，
∴∠DBC＝∠E＝30°，
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠E＝30°，
∴∠BCD＝∠CDE+∠E＝60°，
∴∠BDC＝90°，
∵BD是中线，
∴AB＝BC，
∴∠A＝∠ACB＝60°，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
【点评】本题考查了等边三角形的判定，解答本题的关键要明确：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形．也考查了等腰三角形的性质．
3．（2023秋 长沙期末）已知：如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF．
求证：△DEF是等边三角形．
【分析】由△ABC是等边三角形，AD＝BE＝CF，易证得△ADF≌△BED，即可得DF＝DE，同理可得DF＝EF，即可证得：△DEF是等边三角形．
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∵AD＝BE＝CF，
∴AF＝BD，
在△ADF和△BED中，
，
∴△ADF≌△BED（SAS），
∴DF＝DE，
同理DE＝EF，
∴DE＝DF＝EF．
∴△DEF是等边三角形．
【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
4．（2024春 五华县期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥CB，∠ADC的角平分线与CB的延长线交于点E，∠E＝60°，求证：△ECD为等边三角形．
【分析】根据平行线的性质得出∠A＝∠ABE，∠ADE＝∠E，进而利用等边三角形的判定解答即可．
【解答】证明：∵AD∥CB，
∴∠A＝∠ABE，∠ADE＝∠E＝60°，
∵∠ADC的角平分线与CB的延长线交于点E，
∴∠ADE＝∠CDE＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠CDE﹣∠E＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠C＝∠CDE＝∠E＝60°．
∴△ECD为等边三角形．
【点评】此题考查等边三角形的判定，关键是根据平行线的性质得出∠A＝∠ABE，∠ADE＝∠E解答．
5．（2023秋 宁江区期中）如图，△ECB中，∠CEB＝∠B，延长BE至点A，过点A作AD∥CE，∠A＝60°，连接CD．
求证：△ECB是等边三角形．
【分析】根据平行线的性质，由AD∥CE，得∠A＝∠CEB＝60°．根据等角对等边，由∠CEB＝∠B，得CE＝CB，从而解决此题．
【解答】证明：∵AD∥CE，
∴∠A＝∠CEB＝60°．
∵∠CEB＝∠B，
∴CE＝CB．
∴△CEB是等腰三角形．
又∵∠CEB＝60°，
∴△CEB是等边三角形．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质、平行线的性质、等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质、平行线的性质、等边三角形的判定是解决本题的关键．
6．（2023春 东港市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．
（1）求证：AE＝2CE；
（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
【分析】（1）连接BE，由垂直平分线的性质可求得∠EBC＝∠ABE＝∠A＝30°，在Rt△BCE中，由直角三角形的性质可证得BE＝2CE，则可证得结论；
（2）由垂直平分线的性质可求得CD＝BD，且∠ABC＝60°，可证明△BCD为等边三角形．
【解答】（1）证明：
连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝30°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，
在Rt△BCE中，BE＝2CE，
∴AE＝2CE；
（2）解：△BCD是等边三角形，
理由如下：连接CD．
∵DE垂直平分AB，
∴D为AB中点，
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝BD，
∵∠ABC＝60°，
∴△BCD是等边三角形．
【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
题型三 等边三角形的性质与判定的综合
1．（2023 思明区校级二模）如图，在△ABC中，D为AB上一点，AD＝DC＝BC，且∠A＝30°，AD＝5，则AB＝ ．
【分析】根据等腰三角形的性质和等边三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵AD＝DC，
∴∠ACD＝∠A＝30°，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝60°，
∵CD＝CB，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD＝CD，
∴BD＝AD＝5，
∴AB＝AD+BD＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
2．（2023 江西）将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为 cm．
【分析】先由平行线的性质可得∠ACB的度数，根据等边三角形的判定和性质定理可得AB＝BC，则可得出AB的长．
【解答】解：∵直尺的两对边相互平行，
∴∠ACB＝∠α＝60°，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠A＝∠ABC＝∠ACB，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝3﹣1＝2（cm）．
故答案为：2．
【点评】此题主要是考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，能够得出AB＝BC是解答此题的关键．
3．（2023春 蔡甸区校级月考）如图，六边形ABCDEF中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F，且AB+BC＝11，FA﹣CD＝3，则BC+DE＝ ．
【分析】AB、CD、EF分别向两方延长，交于点G、H、P，证明△APF、△BCG、△DEH是等边三角形，得出∠P＝∠G＝∠H＝60°，AF＝PA，BC＝BG＝CG，DE＝DH，证出△PGH是等边三角形，得出PG＝GH，即PA+AB+BG＝CG+CD+DH，得出AF+AB+BC＝BC+CD+DE，即可得出答案．
【解答】解：把AB、CD、EF分别向两方延长，交于点G、H、P，如图所示：
∵∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEF＝∠EFA，∠BAF+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEF+∠EFA＝（6﹣2）×180°＝720°，
∴∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEF＝∠EFA＝120°，
∴∠PAF＝∠GBC＝∠GCB＝∠HDE＝∠DEH＝∠PFA＝60°，
∴△APF、△BCG、△DEH是等边三角形，
∴∠P＝∠G＝∠H＝60°，AF＝PA，BC＝BG＝CG，DE＝DH，
∴△PGH是等边三角形，
∴PG＝GH，
即PA+AB+BG＝CG+CD+DH，
∴AF+AB+BC＝BC+CD+DE，
∴BC+DE＝AF﹣CD+AB+BC，
∵AB+BC＝11，FA﹣CD＝3，
∴BC+DE＝3+11＝14；
故答案为：14．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、多边形内角和定理等知识；证明△PGH为等边三角形是解题的关键．
5．（2023秋 邹城市校级期末）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点．
（1）求证：△BED是等腰三角形：
（2）当∠BCD＝ °时，△BED是等边三角形．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BEAC，DEAC，从而得到BE＝DE．
（2）利用等边对等角以及三角形外角的性质得出∠DEB＝∠DAB，即可得出∠DAB＝30°，然后根据四边形内角和即可求得答案．
【解答】证明：（1）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC边的中点，
∴BEAC，DEAC，
∴BE＝DE，
∴△BED是等腰三角形；
（2）∵AE＝ED，
∴∠DAE＝∠EDA，
∵AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，
∵∠DAE+∠EDA＝∠DEC，
∠EAB+∠EBA＝∠BEC，
∴∠DAB∠DEB，
∵△BED是等边三角形，
∴∠DEB＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴∠BCD＝360°﹣90°﹣90°﹣30°＝150°．
故答案为：150．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质和判定以及三角形外角的性质等知识，根据题意得出∠DEB＝∠DAB是解题关键．
6．（2023秋 武威期末）如图，在△ADB中，∠ADB＝60°，DC平分∠ADB，交AB于点C，且DC⊥AB，过C作CE∥DA交DB于点E，连接AE．
（1）求证：△ADB是等边三角形．
（2）求证：AE⊥DB．
【分析】（1）直接根据等边三角形的判定定理可得结论；
（2）由平行线的性质可得∠BEC＝∠ADB＝60，根据等边三角形的判定与性质可得CE＝BE＝CB，再由直角三角形的性质可得AE是边BD的中线，最后再由等边三角形的性质可得答案．
【解答】证明：（1）∵DC平分∠ADB，
∴∠ADC＝∠BDC，
∵∠ADB＝60°，
∴∠ADC＝∠BCD＝30°，
∵DC⊥AB，
∴∠DCB＝∠DCA＝90°，
∴∠B＝∠A＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ADB＝∠B＝∠DAB＝60°，
∴△ADB是等边三角形；
（2）∵CE∥DA，
∴∠BEC＝∠ADB＝60，
∴∠CEB＝∠CBE＝∠ECB＝60°，
∴△CEB是等边三角形，
∴CE＝BE＝CB，
∵∠BDC＝30°，∠DCB＝90°，
∴BCBD，
∴CEBD，
∴E是BD的中点，
∴AE是边BD的中线，
∵△ADB是等边三角形，
∴AE⊥BD．
【点评】此题考查的是等边三角形的判定与性质、平行线的性质、直角三角形的性质等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键．
7．等边三角形ABC中，AD是高，AD＝3，∠ABC的平分线交AD于点O，E是AC边上的运动点，连接OE且以OE为边长的等边△OEF，当F点落在BC边上时，请你证明△CEF是等边三角形．
【分析】先根据等边三角形的性质得出△AOH≌△BOD，再得出△OHE≌△ODF，于是DF＝HE从而可得CE＝CF．再由∠C＝60°，所以△CEF是等边三角形．
【解答】解：如图：
∵△ABC是等边三角形，AD是高，BH是∠ABC的角平分线，
∴AC＝BC，∠AHO＝∠EHO＝∠BDO＝∠FDO，CD＝CH，
∴AO＝BO．
在△AOH与△BOD中，
，
∴△AOH≌△BOD（AAS）．
∴OH＝OD．
∵△OEF是等边三角形
∴OE＝OF．
在Rt△OHE与Rt△ODF中，
，
∴△OHE≌△ODF（HL）．
∴DF＝HE．
又∵CD＝CH，
∴CE＝CF．
又∵∠C＝60°，
∴△CEF是等边三角形．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定以及全等三角形的判定与性质．难度适中．
8．（2023秋 新市区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：DE＝EF；
（2）当∠A＝44°时，求∠DEF的度数；
（3）当∠A等于多少度时，△DEF成为等边三角形？试证明你的结论．
【分析】（1）根据AB＝AC可得∠B＝∠C，即可求证△BDE≌△CEF，即可解题；
（2）根据全等三角形的性质，得出∠BED＝∠CFE，再根据三角形内角和定理以及平角的定义，即可求得∠DEF的度数；
（3）根据△DEF为等边三角形，以及△BDE≌△CEF，可得∠C的度数，最后根据等腰三角形ABC，求得其顶角的度数．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵在△BDE和△CEF中，
，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴DE＝EF；
（2）当∠A＝44°时，∠B＝∠C（180°﹣44°）＝68°，
∵△BDE≌△CEF，
∴∠BED＝∠CFE，
∵△CEF中，∠CEF+∠CFE＝180°﹣68°＝112°，
∴∠BED+∠CEF＝112°，
∴∠DEF＝180°﹣112°＝68°；
（3）当∠A等于60度时，△DEF成为等边三角形．
证明：若△DEF为等边三角形，则∠DEF＝60°，
∴∠BED+∠CEF＝120°，
又∵△BDE≌△CEF，
∴∠BED＝∠CFE，
∴△CEF中，∠CEF+∠CFE＝120°，
∴∠C＝180°﹣120°＝60°＝∠B，
∴△ABC中，∠A＝180°﹣60°×2＝60°．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是运用全等三角形的对应边相等，对应角相等进行计算推导，解题时注意三角形的内角和等于180°．
题型四 与等边三角形有关的动点运动问题
1．（2023春 莲湖区期中）如图，△ABC是边长为10cm的等边三角形，动点P从点B出发以3cm/s速度沿着B→A→C→B向终点B运动，同时动点Q从点C出发以2cm/s速度沿着C→B→A→C向终点C运动，运动时间为t秒．
（1）当P在AB边上运动时，BP＝ ，BQ＝ ．
（2）当PQ∥AC时，求t的值．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AB＝BC＝10cm，于是得到结论；
（2）当点P在AB边上运动时，当点P在BC边上时，根据等边三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵△ABC是边长为10cm的等边三角形，
∴AB＝BC＝10cm，
∴当P在AB边上运动时，BP＝3tcm，BQ＝（10﹣2t）cm，
故答案为：3tcm；（10﹣2t）cm；
（2）当点P在AB边上运动时，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠C＝∠B＝60°，
当PQ∥AC时，∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，
∴△BQP是等边三角形，
∴BQ＝BP，
即10﹣2t＝3t，
解得，t＝2；
当点P在BC边上时，
同理可得10﹣（3t﹣20）＝2t﹣10，
解得，t＝8，
综上所述，当PQ∥AC时，t的值为2或8．
【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
2．（2023秋 德城区校级期末）在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，以每秒1个单位的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．
（1）如图1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；
（2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？
【分析】（1）由平行线的性质得∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，从而得出△BPQ是等边三角形，列方程求解即可；
（2 ）根据点Q所在的位置不同，分类讨论△APQ是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系，列方程求解即可．
【解答】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，PQ∥AC，
∴∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，
又∠B＝60°，
∴∠B＝∠BQP＝∠BPQ，
∴△BPQ是等边三角形，
∴BP＝BQ，
由题意可知：AP＝t，则BP＝9﹣t，
∴9﹣t＝6，
解得：t＝3，
∴当t的值为3时，PQ∥AC；
（2）如图2，①当点Q在边BC上时，
此时△APQ不可能为等边三角形；
②当点Q在边AC上时，
若△APQ为等边三角形，则AP＝AQ，
由题意可知，AP＝t，BC+CQ＝2t，
∴AQ＝BC+AC﹣（BC+CQ）＝9+9﹣2t＝18﹣2t，
即：18﹣2t＝t，解得：t＝6，
∴当t＝6时，△APQ为等边三角形．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形、等腰三角形、以及全等三角形的综合运用，以动点问题为背景，根据等边三角形、等腰三角形以及全等三角形的性质寻找等量关系，再列方程求解，能根据题目要求进行分类讨论是解题的关键．
3．（2023春 阜新期中）如图，已知等边△ABC的边长为6cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，运动时间为tS，已知点M的速度1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）当点N第一次到达B点时，点M的位置在 ；当M、N运动 秒时，点N追上点M；
（2）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
【分析】（1）求出M运动的路程即可判断M的位置，由题意得：2t＝1×t+6，求出t的值即可；
（2）分两种情况，列出关于t的方程，求出t的值，即可解决问题．
【解答】解：（1）当点N第一次到达B点时，
t＝18÷2＝9（s），
∴M运动了1×9＝9（cm），
∴点M的位置在BC中点；
当点N追上点M时，
由题意得：2t＝1×t+6，
∴t＝6，
∴当M、N运动6秒时，点N追上点M，
故答案为：BC中点，6．
（2）如图，AM＝AN，
作AH⊥BC于H，
∴HC＝HB，HM＝HN，
∴MC＝BN，
∴t﹣6＝18﹣2t，
∴t＝8，
∴M、N运动的时间是2s或8s时．得到以MN为底边的等腰三角形△AMN．
【点评】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，关键是由题意得到关于t的方程，并注意分类讨论．
4．（2023春 兰州期中）如图所示，△ABC和△ACD都是边长为4厘米等边三角形，两个动点P，Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为t秒．
（1）点P、Q从出发到相遇所用时间是 秒；
（2）当t取何值时，△APQ也是等边三角形？请说明理由；
（3）当0＜t＜2时，判断PQ与AC的位置关系．
【分析】（1）根据相遇问题，由路程÷速度＝时间建立等式求出t的值即可；
（2）根据若△APQ是等边三角形，此时点P在BC上，点Q在CD上，且△ADQ≌△ACP，进而得出CP＝DQ，求出即可；
（3）根据P，Q运动速度得出，△APN是等边三角形，得∠APQ＝90°求出即可．
【解答】解：（1）设点P、Q从出发到相遇所用时间是t，根据题意得：
t+2t＝AC+AB+BC＝12，
解得：t＝4；
故答案为：4；
（2）如图1：若△APQ是等边三角形，
此时点P在BC上，点Q在CD上，且△ADQ≌△ACP，
则CP＝DQ，即t﹣4＝4﹣（2t﹣8），
解得：t；
（3）PQ与AC互相垂直，理由如下：
如图2所示：根据题意得：AQ＝2AP，
取AQ的中点N，
∵∠PAQ＝60°，
∴△APN是等边三角形，
∴PN＝AN＝NQ，
∴△APQ是直角三角形，
∴∠APQ＝90°，
即当0＜t＜2时，PQ与AC互相垂直．
【点评】此题主要考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，根据已知图形得出对应线段关系是解题关键．
题型五 等边三角形中的探究性问题
1．（2023秋 太和县期末）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
【分析】（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证；
（2）根据全等易得∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，结合（1）中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求三角形的形状；
（3）根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．
【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC，
∴OC＝DC，
∵∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形．
解：
（2）△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∵△BOC≌△ADC，α＝150°，
∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，
∴△AOD是直角三角形．
（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°．
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，
∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．
①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°．
②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，
∴α＝140°．
③当∠ADO＝∠OAD时，
α﹣60°＝50°，
∴α＝110°．
综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
【点评】综合考查了全等三角形的性质及等腰三角形的判定；注意应分类探讨三角形为等腰三角形的各种情况．
2．（2023春 建平县期末）如图（1），等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE．
（1）△DBC和△EAC会全等吗？请说说你的理由；
（2）试说明AE∥BC的理由；
（3）如图（2），将（1）动点D运动到边BA的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．
【分析】（1）要证两个三角形全等，已知的条件有AC＝BC，CE＝CD，我们发现∠BCD和∠ACE都是60°减去一个∠ACD，因此两三角形全等的条件就都凑齐了（SAS）；
（2）要证AE∥BC，关键是证∠EAC＝∠ACB，由于∠ACB＝∠ACB，那么关键是证∠EAC＝∠ACB，根据（1）的全等三角形，我们不难得出这两个角相等，也就得出了证平行的条件．
（3）同（1）（2）的思路完全相同，也是通过先证明三角形BCD和ACE全等，得出∠EAC＝∠B＝60°，又由∠ABC＝∠ACB＝60°，得出这两条线段之间的内错角相等，从而得出平行的结论．
【解答】解：（1）△DBC和△EAC会全等
证明：∵∠ACB＝60°，∠DCE＝60°
∴∠BCD＝60°﹣∠ACD，∠ACE＝60°﹣∠ACD
∴∠BCD＝∠ACE
在△DBC和△EAC中，
∵，
∴△DBC≌△EAC（SAS），
（2）∵△DBC≌△EAC
∴∠EAC＝∠B＝60°
又∠ACB＝60°
∴∠EAC＝∠ACB
∴AE∥BC
（3）结论：AE∥BC
理由：∵△ABC、△EDC为等边三角形
∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°
∠BCA+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE
在△DBC和△EAC中，
∵，
∴△DBC≌△EAC（SAS），
∴∠EAC＝∠B＝60°
又∵∠ACB＝60°
∴∠EAC＝∠ACB
∴AE∥BC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；本题中（1）（2）问实际是告诉解（3）题的步骤，通过全等三角形来得出角相等是解题的关键．
3．在△ABC中，∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，点F和E分别为射线CA和射线BC上的一个点，连结BF和EF，且∠BFE＝∠FEB．
（1）如图1，点F在线段AC上，点E在线段BC上时，
①当∠ABF＝20°时，则∠CFE＝ 度；
②∠ABF和∠CFE存在怎样的数量关系？请说明理由．
（2）如图2，当点F在CA延长线上，点E在BC延长线上时，∠ABF和∠CFE是否仍然存在（1）的数量关系？请说明理由．
【分析】（1）①由题意得到∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF＝40°，根据三角形内角和得到∠FEB＝70°，再根据三角形外角定理即可得解；
②利用等边三角形的性质、三角形的内角和及角的和差即可解决问题；
（2）结论和（1）②相同，证明方法类似．
【解答】解：（1）①在△ABC中，∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，∠ABF＝20°，
∴∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF＝40°，
∵∠BFE＝∠FEB，
∴∠FEB（180°﹣∠FBC）＝70°，
∵∠FEB＝∠CFE+∠C，
∴∠CFE＝∠FEB﹣∠C＝70°﹣60°＝10°，
故答案为：10；
②∠ABF＝2∠CFE，理由如下：
设∠ABF＝x°则∠CBF＝60°﹣x°，
∵∠FBE+∠BFE+∠BEF＝180°，∠BFE＝∠FEB，
∴，
∵∠FBC+∠BFC+∠ACB＝180°，∠ACB＝60°，
∴∠BFC＝180°﹣60°﹣（60°﹣x°）＝60°+x°，
∴，
∴∠ABF＝2∠CFE．
（2）存在∠ABF＝2∠CFE，理由如下：
设∠ABF＝x°则∠CBF＝60°+x°，
∵∠FBE+∠BFE+∠BEF＝180°，∠BFE＝∠FEB，
∴，
∵∠FBC+∠BFC+∠ACB＝180°，∠ACB＝60°，
∴∠BFC＝180°﹣60°﹣（60°+x°）＝60°﹣x°，
∴，
∴∠ABF＝2∠CFE．
【点评】本题考查等边三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构建等式解决问题，属于中考常考题型．
4．（2023秋 青秀区校级期末）已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求∠DOE的度数；
（3）求证：△MNC是等边三角形．
【分析】（1）根据等边三角形性质得出AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，求出∠ACD＝∠BCE，证△ACD≌△BCE即可；
（2）根据全等求出∠ADC＝∠BEC，求出∠ADE+∠BED的值，根据三角形的内角和定理求出即可；
（3）求出AM＝BN，根据SAS证△ACM≌△BCN，推出CM＝CN，求出∠NCM＝60°即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC、△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE．
（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC，
∵等边三角形DCE，
∴∠CED＝∠CDE＝60°，
∴∠ADE+∠BED
＝∠ADC+∠CDE+∠BED
＝∠ADC+60°+∠BED
＝∠CED+60°
＝60°+60°
＝120°，
∴∠DOE＝180°﹣（∠ADE+∠BED）＝60°，
答：∠DOE的度数是60°．
（3）证明：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC，
又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，
∴AMAD，BNBE，
∴AM＝BN，
在△ACM和△BCN中，
，
∴△ACM≌△BCN（SAS），
∴CM＝CN，
∠ACM＝∠BCN，
又∠ACB＝60°，
∴∠ACM+∠MCB＝60°，
∴∠BCN+∠MCB＝60°，
∴∠MCN＝60°，
∴△MNC是等边三角形．
【点评】本题综合考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的应用，解此题的关键是根据性质进行推理，此题综合性比较强，有一定的代表性．
5．（2023 平南县模拟）阅读理解学习
如图1，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC 的高，P是BC边上一点，PM，PN分别与直线AB，AC垂直，垂足分别为M，N，求证：BD＝PM+PN．小刚发现：连接AP，有 S△ABC＝S△ABP+S△ACP，即，由AB＝AC 可得 BD＝PM+PN.
请你模仿小刚的思路或者用你的新思路解决以下问题：
（1）如图2，当点P在CB的延长线上，且上面问题中其它条件不变时，请直接写出此时线段BD，PM，PN之间的数量关系 ．
（2）如图3，当点P是△ABC 内一点，且 AB＝AC＝BC，BD是△ABC 的高，PM，PN，PQ分别与直线AB，AC，BC垂直，垂足分别为点M，N，Q，猜想此时线段BD，PM，PN，PQ之间的数量关系是 .并说明理由．
【分析】（1）连接PA，由△ABC的面积＝△APC的面积﹣△APB的面积，得到AC BDAC PNAB PM，又AB＝AC，即可推出BD＝PM﹣PN；
（2）连接PA、PB、PC，由△ABC的面积＝△PAB的面积+△PAC的面积+△PBC的面积，得到AC BDAB PMAC PNBC PQ，又AB＝AC＝BC，即可证明BD＝PM+PN+PQ．
【解答】解：（1）BD＝PM﹣PN，理由如下：
连接PA，
∵PN⊥AC，BD⊥AC，PM⊥AB，
∴△APC的面积AC PN，△APB的面积AB PM，△ABC的面积AC BD，
∵△ABC的面积＝△APC的面积﹣△APB的面积，
∴AC BDAC PNAB PM，
∵AB＝AC，
∴BD＝PM﹣PN，
故答案为：BD＝PM﹣PN．
（2）BD＝PM+PN+PQ，理由如下：
连接PA、PB、PC，
∵BD是△ABC 的高，PM，PN，PQ分别与直线AB，AC，BC垂直，
∴△ABC的面积AC BD，△PAB的面积AB PM，△PAC的面积AC PN，△PBC的面积BC PQ，
∵△ABC的面积＝△PAB的面积+△PAC的面积+△PBC的面积，
∴AC BDAB PMAC PNBC PQ，
∵AB＝AC＝BC，
∴BD＝PM+PN+PQ，
故答案为：BD＝PM+PN+PQ．
【点评】本题考查三角形的面积，等腰三角形、等边三角形的性质，关键是由三角形面积公式来解决问题．
6．（2023春 通川区期末）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长
为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
【分析】（1）由E为等边三角形AB边的中点，利用三线合一得到CE垂直于AB，且CE为角平分线，由ED＝EC，利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得证；
（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，由三角形ABC为等边三角形，得到三角形AEF为等边三角形，进而得到AE＝EF＝AF，BE＝FC，再由ED＝EC，以及等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形BDE与三角形EFC全等，利用全等三角形对应边相等得到DB＝EF，等量代换即可得证；
（3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC，由BC+DB求出CD的长即可．
【解答】解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB；
（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE＝EF，BE＝CF，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，
∴∠DEB＝∠ECF，
在△DBE和△EFC中，
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB＝EF，
则AE＝DB；
（3）点E在AB延长线上时，作EF∥AC，则△EFB为等边三角形，
如图所示，同理可得△DBE≌△CFE，
∵AB＝1，AE＝2，
∴BE＝1，
∵DB＝FC＝FB+BC＝2，
则CD＝BC+DB＝3．
故答案为：（1）＝；（2）＝
【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键．
